29、路漫漫其修道远，吾将上下而求索——屈原
高三数学复习教学一、二、三
三明教科所 池新回
高考复习是一门学问，复习中究竟该如何把握知识的要点，到底怎样才可以培养学科的综合能力
这就要求我们要有一套科学的复习方法
高考命题是以《考试说明》为依据的，高三数学复习要以《说明》为指导，在内容取舍上，应以考试内容为准，不随意扩充、拓宽和加深；注意各知识点的难度控制；弄清《说明》中各项要求的具体落脚点，把握试题改革的新趋势
搞好高三数学总复习，要做到一个更新--更新教育理念
二个突出--突出数学复习的准确性；突出数学复习的有效性
三个关注--关注数学主干知识的变化对高考命题的影响；关注新增教学内容对高考命题的影响；关注选修内容对高考命题的影响
一、更新教育理念
"观念大于一切"，认识了问题的本质才能更好的解决问题
面对高中数学新课程，必须更新教学理念，充分发挥学生的主观能动性和教师的主导地位，切实搞好课堂教学的有效性
二、突出数学复习的准确性
1．读一读
《普通高中数学课程标准》，《全日制普通高中数学教学大纲》，《普通高中数学考试大纲》（新课程，老课程），2008年课改实验区高考《数学考试说明》，2008年福建省高考《数学考试说明》，福建省数学科《教学要求》，高三毕业班《数学教学建议》
2．比一比
（1）做好《课程标准》与《教学大纲》的比较
新增内容，淡化内容，删减内容，不要求内容
（2）做好新旧考试大纲的比较
知识要求的比较，能力要求的比较，考试内容的比较，考试要求的比较
（3）做好新课程《课程标准》与《考试大纲》的比较
3．看一看
了解福建省近几年自主命题的情况：知识内容的考查情况，数学思想的考查情况，数学能力的考查情况
三、突出数学复习的有效性
1．做一做
认真做一遍课改实验区2008年的高考试卷
2．理一理
了解各省份高考数学试题的特点
（1）基础知识的考查情况（关注基础知识，强调通性通法）
课本是"本"，是一切知识的来源与基础，历年高考都强调以课本为依据；课本是学生获得系统的数学知识的主要来源，学生最熟悉，最亲切；课本中结论，定理与性质，都是学习数学非常重要的环节；课本是考试内容的具体化，是中、低档题目的直接来源，是解题能力的生长点
数学复习要立足于课本，而把其它资料作为辅助材料
当然我们也应该清醒地认识到，在《课程标准》框架下，出现了"一
标多版"的教材，不同版本的教材不但编写风格不同，在把握课标方向、领会课标精神上也存在差异，在某些知识点上的处理也略有不同
面对这样的情况，在试卷取材方面，以前倡导的"以纲为纲，以本为本"、"试题来源于教材"、 "试题可以从课本中找到原型"的做法，显然对选修不同版本的学生是不公平的，因此这样的命题方式将会发生变化
（08宁夏理6）已知，则使得都成立的取值范围是
A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）
（2）新型主干知识的形成（紧扣课标要求，突出新型主干）
（3）数学思想方法的考查力度（突出思想方法，淡化特殊技巧）试卷注重从学科整体意义和思想价值立意，关注通性通法、淡化特殊技巧，关注检测考生对中学数学知识所隐含的各种数学思想方法（函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般的思想、有限与无限思想、必然与或然思想）的掌握情况，在突出考查最基本、最通用的数学规律和数学技能的同时，关注对数学思想方法的考查
（08宁夏理12）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为
A. B. C. 4 D.
（4）创新意意识的养成情况（关注试题更新，培养创新意识）
高考改革呼唤创新，只有创新才能实现发展
2008年新课标高考数学试题的走势，充分展示了新课标理念，突出了对创新能力的考查，主要表现在以下两个方面：
（1）探究性学习深入地走进了高考试题
探究性学习，已不再是初始阶段的由教师的指导下，考生从自然、社会和生活中选择某些内容为专题进行探究，并以类似科学研究的方式，主动地多渠道地获取知识，并灵活运用所学知识来分析解决问题的学习活动，而是倡导学生独立自主地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一系列数学活动过程
（2）重视与高等数学的衔接
2008年高考继续加强了对初等数学与高等数学衔接过渡的考查，为学生升入高等院校学习奠定了良好的基础
尤其是关于向量、概率统计、算法、导数、积分的考查，在考题中也占有较大的比例
（08宁夏理16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲
品种
271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307 308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352 乙
品种
284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318 320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356
由以上数据设计了
如下茎叶图：
甲 乙
3
1
27
7
5
5
0
28
4
5
4
2
29
2
5
8
7
3
3
1
30
4
6
7
9
4
0
31
2
3
5
5
6
8
8
8
5
5
3
32
0
2
2
4
7
9
7
4
1
33
1
3
6
7
34
3
2
35
6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①__________________________________________________________________________，
②__________________________________________________________________________
分析：本题结论不明确，学生具有灵活的探索空间，答案不唯一
（5）加强应用问题的考查力度（关注数学应用，倡导"学以致用"）
坚持数学应用，加强实践能力，是时代的需要，是新课程改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的
对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式，要求学生能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题，并加以验证；能用数学语言正确地表述和说明
数学应用问题是近年高考的热点内容，数学应用问题通常有三种来源：一是通过改编的与实际生活相关的应用题；二是与横向学科有联系的应用问题；三是从社会热点出发，有实际生活背景、题意新颖的数学问题
解应用题一般步骤大致如下：（1）审题
分为读懂和加深两个层次，把问题中的情境转化为数学语言，找出问题中的主要关系，这个过程可概括为十六个字：把握整体--弄清题目所述事件和研究问题，理解局部--抓住关键词语，提炼有用信息，正确把握其局部含义，理清关系--根据题意，运用关系分析法、表格分析法、图象分析法等理清各相关量的关系；（2）建模
把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，即建立数学模型；（3）解模
选择合适的数学方法求解建立的数学模型；（4）检验
对结果进行检验或评估，最后将结果应用于现实，作出解释或预测
（08宁夏理19）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2
根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10% X2
2%
8%
12%
P
0.8
0.2 P
0.2
0.5
0.3 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和
求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值
（注：D(aX + b) = a2DX）
（6）文理不同要求情况
（7）凸显新课程内容的变化
（8）选修内容的考查情况（控制"选考"难度，保证考试公平）
3．试一试
根据课改实验省份的高考命题结构，可
进行针对性的模拟训练
四、关注数学主干知识的变化对高考命题的影响
根据课程标准对中学知识的调整，构成高中数学的主干内容也产生了新的变化，函数与导数、三角、立体几何、解析几何、概率与统计、数列成为中学数学的新的主干知识
高考突出的考查点是高中数学的主干知识
2008年高考福建卷，理科七大主干知识考查的分值为132分，文科七大主干知识考查的分值为137分
2008年高考广东卷，理科六大主干知识考查的分值为120分，文科六大主干知识考查的分值为117分
2008年高考宁夏卷，理科六大主干知识考查的分值为117分，文科六大主干知识考查的分值为112分
2008年高考山东卷，理科六大主干知识考查的分值为131分，文科六大主干知识考查的分值为132分
2008年高考江苏卷，六大主干知识考查的分值为135分
因此在复习中要加大对这些知识的复习力度
但我们不难看到，有些传统教学内容的教学要求发生了变化，这些变化肯定会影响高考命题走向
立体几何是高中数学重要的知识板块，是高考中考查考生空间想象能力和逻辑思维能力的良好素材
立体几何是传统内容中变化最大的，应关注文科对空间向量的应用不作要求，而明确要求理科学生用空间向量解决问题
复习时应严格按照"课标"和"考纲"的要求，进行有针对性的训练，应注意培养学生对空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力
2008年新课标地区高考立体几何部分考查内容分布情况
省份
科类
题号
内容
分值
小计
宁夏、海南
文科
12
线面基本位置关系
5
22 14
棱柱的概念、球的体积
5 18
三视图、体积、线面位置关系
12 理科
12
三视图及其应用
5
22 15
棱柱的概念、球的体积
5 18
空间向量，线面角、线线角
12 广东
文科
7
三视图
5
17 18
棱锥的概念及其体积的运算
12 理科
5
三视图
5
19 20
空间中的线面角及其相关计算
14 山东
文科
6
三视图
5
17 19
面面位置关系，棱锥的体积
12 理科
6
三视图
5
17 20
线线角、线面角、面面角
12 江苏
文理全卷
16
线面平行与垂直等综合问题
15
15
立体几何应突出"空间"、"立体"
即把线线、线面、面面的位置关系考查置于某几何体的情景中
几何体以棱锥、棱柱为重点
棱柱中又以三棱柱、正方体为重点；棱锥以一条侧棱或一个侧面垂直于底面为重点，棱柱和棱锥的结合体也要重视
面积、体积计算，解答题涉及棱锥（特别是三棱锥）居多．因为三棱锥体积求法灵活，思路广泛
立体几何与传统内容相比，增加了三视图
仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构
特征，对棱柱、正棱锥、球的性质由掌握降为不作要求；二面角文科考生不作要求，理科考生要求用空间向量计算
新教材无论是编写理念、教材体系，还是形式和内容都与旧教材有所不同，旧教材原有的知识体系被打破了，甚至打碎了，教学要求也发生变化了，传统教学内容的教学要求的变化，将引发高考命题作调整，这是复习中不得不认真研究的一个问题
因此在复习中要重视以下几个方面：第一，尽管教材对证明（立几推理）的要求弱化（对判定定理不要求证明），但仍应予以重视，它是推理与证明的好素材，而且还要注意位置关系的探索性问题，如"在什么条件下，两线、面具有垂直（平行）关系"等
第二，要重视与三视图有关问题的训练
体积、表面积的计算应成为立体几何考查的重点之一，要注意隐含在求体积、面积中的能力要求，如通过图形变换、等价转换的方法求体积、面积；变动的图形（体）的面积、体积的研究，如不变量与不变性问题（定值与定性）、最值与最值位置的探求等；由三视图给出的几何体的相关问题的研究
第三，要注意通过适当的问题载体提高难度，如通过组合体（如圆柱内接棱柱、棱锥；球内接棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）提出位置关系、面积与体积等方面的问题
解析几何的考查内容和要求已发生了变化，如降低了对双曲线的要求等，复习时应重视对其本质的认识，淡化对几何图形性质的技巧性处理，重视基础知识的掌握，适当加强与向量、函数等知识的交叉融合
要把握好解析几何的基本思想，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，解决几何问题，这种"数形结合的思想"应贯穿复习教学的始终
要掌握好解决解析几何问题的一些基本方法（如设而不求的整体化方法，求曲线方程的代入法等）
复习中应关注函数方程思想的渗透，对一元二次方程根与系数关系可做适当的补充
复习中要在运算上下功夫
2008年新课标地区高考解析几何初步部分考查内容分布情况
省份
科类
题号
内容
分值
小计
宁夏、海南
文科
2
双曲线的概念
5
22 15
椭圆的概念
5 20
直线与圆的方程
12 理科
11
抛物线的概念
5
22 14
双曲线的概念
5 20
直线、椭圆、抛物线综合问题
12 广东
文科
6
直线与圆的方程
5
17 20
椭圆与抛物线的综合问题
12 理科
11
直线与圆的位置关系
5
19 18
椭圆与抛物线的综合问题
14 山东
文科
11
直线与圆的方程
5
23 13
圆与双曲线的概念
4 22
椭圆综合问题
14 理科
10
椭圆的概念
5
24 11
直线与圆的方程
5 22
抛物线综合问题
14 江苏
文理全卷
9
直线的方程
5
25 12
椭圆的概念
5 18
圆及其综合问题
15
文科对双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程的要求由掌握降为了解，对其有关性质由掌握降为知道；理科双曲线的定义、几何图形和标准方程的要求由掌握降为了解，对其有关性质由掌握降为知道
在《教学要求》中，椭圆的简单几何性质只限在范围、对称轴、顶点、离心率；双曲线的简单的几何性质只限在范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线，也就是说，椭圆、双曲线的准线不要求，同时对圆锥曲线的统一方程也不作要求
因此在这部分内容的复习中，要特别注意以下几个方面：一是重心应放在圆锥曲线的定义、性质的研究上，如曲线上一个点与曲线的顶点、焦点等特殊点构成的图形的性质、线段长度、图形面积等；二是注意圆锥曲线与其他内容的结合，如与导数的结合、与向量的结合等，其中直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系及其相关的综合问题是重中之重；三是注意处理直线与曲线的交点问题，要转化为方程组求解
五、关注新增教学内容对高考命题的影响
新一轮基础教育课程的改革加强了旨在培养考生的数学素养和实用技能方面的能力，使之能与现代生活及科技发展相适应，体现了课程改革的基本思想和新时期的培养目标
为实现新课改的目标，新增加的内容一般都会在高考中体现，以说明该内容增加的必要性，从而引起考生的重视
新课标增加了三视图、算法初步，流程图与结构图、统计案例，二分法、定积分、几何概型，推理与证明、函数模型，选修4中的3个专题（矩阵与变换、极坐标与参数方程、不等式选讲）等
新增内容大多与实际应用紧密相关，要重视基本概念的应用背景，使学生在遇到相关问题时会合理利用相应的知识去处理，具备初步的数学建模的思想，同时，也使学生感受到数学与生活实际息息相关
在新课标中，对新增内容的要求都不高，主要介绍基本概念及最基本的方法，应突出对基本概念、基本方法，基本思想的理解与应用
紧扣课程标准和考试大纲，讲清讲透基本内容和基本方法，正确把握教学内容的度
2008年新课标地区高考新增内容考查分布情况
省份
科类
内容
分值
宁夏、海南
文科
三视图、茎叶图、算法、坐标系与参数方程、几何证明选讲
28 理科
三视图、茎叶图、算法、定积分、坐标系与参数方程、
不等式选讲、几何证明选讲
30
广东
文科 三视图、算法、坐标系与参数方程、几何证明选讲
15 理科
三视图、算法、坐标系与参数方程、
不等式选讲、几何证明选讲
20
山东
文科
三视图、算法
9 理
科
三视图、茎叶图、算法、定积分
18
江苏
文理全卷
几何概型、算法、统计、几何证明选讲、矩阵与变换、
参数方程与极坐标
30 对于二分法，这是函数部分新增的内容，突出了方程的解与函数零点的关系，要重视其中蕴含的思想与方法
求方程的近似解，应明确这种求解方法是从函数角度考虑，采用函数值不断逼近、区间不断缩小来实现的，既充分体现了函数与方程的思想方法,又是学习高等数学计算方法的基础
算法与框图，从2008年新课标地区的高考来看，几乎全部以流程图（即程序框图）的形式出现
从知识内容方面看，条件结构和循环结构是主要的考查对象，在循环语句中要重视For语句与While语句的正确使用
从知识综合的角度看，将算法与其他知识进行交汇是值得重视的问题
如用循环语句给出递推数列、数列求和，用条件语句给出分段函数、方程或不等式等综合问题，甚至可以将其与向量、复数等进行有机结合
几何概型，应注意转化与化归思想的应用，要特别注意哪些概率问题是几何概型问题？ D和d的测度是何种几何量？在复习中要重视以下几个问题：一是简单几何背景的问题；二是与线性规划、解析几何结合的问题；三是与方程、函数、不等式结合的问题
理科对选修部分要注意与数学期望、方差等内容结合
推理与证明，合情推理与演绎推理要求理解，分析法与综合法及反证法要求了解
这里的要求是对其概念的的要求，而不是对方法的要求，会用分析法、综合法、反证法证明一些问题还是需要的，不容忽视
合情推理是可能出现新题型的一个方向，可能在填空题中出现，也可能在解答题中先用合情推理猜测结论，再利用演绎推理证明结论
六、关注选修内容对高考命题的影响
高中数学新课程改变了传统的课程结构，规定了高中生需要掌握的基本的数学知识和技能，同时调整了必修课程和选修课程的设置，增加了高中数学课程的可选择性
高中新课程的改革必然引导高考的改革，高考命题既要有利于高中数学新课程的改革，又要发挥数学的基础学科的作用；既要重视考查考生对中学数学知识的掌握程度，又要注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能；既要符合《普通高中数学课程标准》和《普通高中课程方案》的要求，又要利用高考命题的导向功能，推动新课程课堂教学改革
新课程实验区的高考试题出现了新的模式，设置了选考内容，出现了"超量命题，限量答题"的现状
我省2009年高考，理科考生要从选修4-2、选修4－4、选修4－5中任选二题进行作答
命题中不论是采用宁夏模
式、还是采用广东模式或其他的模式，为了保证选做题的难度等值，确保不因选择不同的模块而造成评价失真，保证考试的公平性，这部分的试题应以中档或中档偏易为宜
《福建省普通高中新课程高三毕业班数学教学复习建议》中，对选考内容的复习做了较详细的说明，《坐标系与参数方程》应着重理解用极坐标系和平面直角坐标系解决问题的思想，以及两种坐标的关系与互化；极坐标系只要求能够表示给出简单图形的极坐标方程；球坐标系和柱坐标系只做简单的了解，不宜拓宽、深入；参数方程的复习应通过分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，举例说明某些曲线用参数方程表示比普通方程更方便，具有优越性，能够选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程，对参数方程的应用不加深，不提高要求
《不等式选讲》的复习应通过几个重要的不等式的证明，使学生理解这些不等式的数学本质以及证明的数学思想，了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法，提高逻辑思维能力和分析解决问题能力，但不对恒等变化难度和一些技巧做过高要求；柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式、平均值不等式的应用只要求会证明一些简单问题和求一些特定函数的极值，应注意控制难度，不宜拔高要求
《矩阵与变换》重在引导学生理解二阶矩阵的概念，理解矩阵、逆矩阵特征值和特征向量的概念和性质，掌握矩阵变换的基本性质、二阶矩阵的求法及性质，掌握二阶方阵特征值和特征向量的求法(只要求特值是两个不同实数的情形)
??
??
??
??
1
29、路漫漫其修道远，吾将上下而求索——屈原