x
图12
四十二章 几何综合型问题
7．(2012贵州六盘水，7，3分)下列命题为真命题的是（ ▲ ） A ．平面内任意三个点确定一个圆 B ．五边形的内角和为540° C ．如果a>b,则ac 2>bc 2
D ．如果两条直线被第三条直线所截那么所截得的同位角相等
分析：根据命题的定义：对一件事情做出判断的语句叫命题．正确的命题叫真命题，据此即对四个选项进行分析即可回答．
解答：解：A 、平面内任意三点确定一个圆是一个假命题，，如三点在一条直线上，不能构成圆，故本选项错误；
B 、五边形的内角和为540°，故本选项正确；
C 、如果a b ＞则2
2
ac bc ＞，如果c=0,结论不成立，故本选项错误；
D 、如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等．没有平行线，故本选项错误； 故选B ．
点评：此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题．
13. （2012贵州省毕节市，13，3分）下列命题是假命题的是（ ）
A.同弧或等弧所对的圆周角相等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.两条平行线间的距离处处相等
D.正方形的两条对角线互相垂直平分 解析：分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答：解：A 、错误，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补，是假命题；B 、平分弦的直径垂直于弦是正确的，是真命题；C 、两条平行线间的距离处处相等是正确的，是真命题；D 、正方形的两条对角线互相垂直平分是正确的，是真命题．故选A ．
点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
31. ( 2012年四川省巴中市,31,12)如图12，在平面直角坐标系中，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB=16，点D 与点A 关于y 轴对称，tan ∠ACB=4
3 ,点E 、
F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 不与点A 、D 重合），且∠CEF=∠ACB. (1)求AC 的长和点D 的坐标； （2）说明△AEF 与△DCE 相似；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求点E 的坐标. 【解析】①∵四边形ABCO 为矩形,∴∠B=900 tan ∠ACB=43 ,在R t △ACB 中，设BC=3k,AB=4k,股定理，AC=5K,∵AB=4k=16,∴k=4, ∴AC=20,OA=BC==3k=12, ∴点A 的坐标为（－12，0），
x
27题答案图
而点D 与点A 关于y 轴对称,∴点D 的坐标为（12，0） ②由：∠CDE=∠EAF,∠AEF =∠DCE ，得出△AEF ∽△DCE ③分类讨论：
当CE=EF 时，则△AEF ∽△DCE ， ∴AE=CD ，即AO+OE=CD 设E(x,0),有12+x=20,∴x=8
此时，点E 的坐标为（8.0）
当EF=FC 时，∠FCE =∠FEC=∠ACB, ∴tan ∠FCG =tan ∠ACB=4
3
,
作FG ⊥CE 于G,在R t △FCG 中，设CE=6a,则FG=4a,于是CF=5a, ∵△AEF ∽△DCE
∴CE 2=CF ·AC,即36a 2=5a ·20,a=259
∴CE=
259 ×6=503 .在R t △CEO 中，OE=CE 2-OC 2 =143 ∴E （14
3
,0） 当CE=CF 时，E 与D 重合与题目矛盾。
【答案】①AC=20,D(12.0) ②由：∠CDE=∠EAF,∠AEF=∠DCE ，得出△AEF ∽△DCE ③
E （8.0）或E （
14
3
,0） 【点评】本题难度比较大，综合考查了解直角三角形，勾股定理、相似三角形的条件、矩形又一次展现了数形结合思想的必要性。
25．(本题满分12分)如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ． 已知tan ∠CBE ＝1
3
，A (3，0)，D (－1，0)，E (0，3)． (1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．
点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
【解析】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．
将E(0，3)代入上式，解得：a＝－1．
∴y＝－x2＋2x＋3．
则点B(1，4)．…………………………………………………………………………………2分(2)如图6，证明：过点B作BM⊥y于点M，则M (0，4)．
在Rt△AOE中，OA＝OE＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE
＝
在Rt△EMB中，EM＝OM－OE＝1＝BM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，BE
∴∠BEA＝180°－∠1－∠MEB＝90°．∴AB是△ABE
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝BE
AE ＝1
3
＝tan∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE＋∠3＝90°，∴∠CBE＋∠3＝90°．
∴∠CBA＝90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．………………………………………………………………5分(3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0，－1
3
)．………………………………………………………8分(4)解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b．
将A(3，0)，B(1，4)代入，得
30,
4.
k b
k b
+=
?
?
+=
?
解得
2,
6.
k
b
=-
?
?
=
?
∴y＝－2x＋6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y＝3时，得x＝3
2，∴F(3
2
，3)．…………9分
图甲图乙(备用图)
图6
情况一：如图7，当0＜t ≤
3
2
时，设△AOE 平移到△DNM 的位置，MD 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G ．则ON ＝AD ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L ． 由△AHD ∽△FHM ，得
AD HK
FM HL
=
．即332
t HK HK t =--．解得HK ＝2t ． ∴S 阴＝S △MND －S △GNA －S △HAD ＝12×3×3－12(3－t )2－12t ·2t ＝－3
2
t 2＋3t ．…………11分
情况二：如图8，当
3
2
＜t ≤3时，设△AOE 平移到△PQR 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V ．由△IQA ∽△IPF ，得AQ IQ FP
IP
=．即
3332
IQ t IQ t -=--
．解得IQ ＝2(3－t )． ∴S 阴＝S △IQA －S △VQA ＝
12×(3－t )×2(3－t )－12(3－t )2＝12(3－t )2
＝12t 2－3t ＋92
． 综上所述：s ＝2
2333 0),22
1933 (3).2
22t t t t t t ?-+
【答案】(1) y ＝－x 2
＋2x ＋3， B (1，4)；
(2) 证明：如图，过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M (0，4)． 在Rt △AOE 中，OA ＝OE ＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE
＝
在Rt △EMB 中，EM ＝OM －OE ＝1＝BM ， ∴∠MEB ＝∠MBE ＝45°，BE
∴∠BEA ＝180°－∠1－∠MEB ＝90°．
∴AB 是△ABE
在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BE AE ＝1
3
＝tan ∠CBE ， ∴∠BAE ＝∠CBE ．
在Rt △ABE 中，∠BAE ＋∠3＝90°，∴∠CBE ＋∠3＝90°． ∴∠CBA ＝90°，即CB ⊥AB ．
图8
图7
图6
∴CB 是△ABE 外接圆的切线． (3)P 1(0，0)，P 2(9，0)，P 3(0，－1
3
)．
(4) s ＝2
2333 0),22
1933 (3).2
22t t t t t t ?-+
【点评】本题以平面直角坐标系为背景，综合考察了二次函数、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、三角形相似、勾股定理、待定系数法、分类讨论等知识，而且是中考的压轴题。知识点丰富全面，考查了学生综合运用知识、分类讨论思想来解决问题的能力。第1小题常规题，利用待定系数法求二次函数的解析式，难度较低；第2小题是利用勾股定理、锐角三角函数、90°的圆周角所对的弦是直径、等量代换等证明圆的切线，综合性较强，难度中等；第3小题，考察了分类讨论思想，在坐标轴上找点，构造寻找相似三角形，难度中等；第4小题，利用分类讨论思想、二次函数、和差法计算阴影部分面积，是压轴题的最后一题，将中下层面的学生拒之题外，难度较大.
23.（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线112
y x =
+与抛物线
2
3y ax bx =+-交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方
的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD ⊥AB 于点D
（1）求,a b 及sin ACP ∠的值
（2）设点P 的横坐标为m
①用含m 的代数式表示线段PD 的长， 并求出线段PD 长的最大值；
②连接PB ，线段PC 把△PBD 分成 两个三角形，是否存在适合的m 值， 使这两个三角形的面积之比为9:10？
若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由.
23.解析：（1）根据题意知，点A 纵坐标为0
出横坐标，将A 、B 两点坐标代人求出,a b ，设直线,A B ∥y 轴，∴A C P A E O ∠=∠.能求∠ACP 的正弦；（2）①在R t △PCD 中，用m 表示出PC ，结合上面求出的sin ACP ∠值，表示出PD 的长；②分别过点D,B 作DF ⊥PC ，B G ⊥PC ，垂
X
足分别为F ，G ，利用△PCD 与△PCB 公共边PC ，分别用m 表示出它们的高DF ，BG ，在R t △PDF
中，2
1(28).5
DF PD m m =
=-
--又4,BG m =-
∴
2
1(28)25
45
PC D PBC m m S D F m S B G
m
---+=
=
=
-
当29510PC D PBC S m S +=
=
时.解得52
m =
当2105
9
PC D PBC
S m S +== 时，解得329
m =
解：（1）由1102
x +=，得到2,x =-∴(2,0)A -
由
1132
x +=，得到4,x =∴(4,3)B
∵23y ax bx =+-经过,A B 两点，
2
2
(2)230,
4430
a b a b ?---=??+-=?? ∴11,22a b ==- 设直线,A B 与y 轴交于点E ，则(0,1)E ∵PC ∥y 轴，∴A C P A E O ∠=∠.
∴sin sin 5
O A AC P AEO AE
∠=∠=== （2）由（1）可知抛物线的解析式为2
1132
2
y x x =-
-
∴2
111(,
3),(,1)22
2
P m m m C m m -
-+
2
2
11111(
3)4222
2
P C m m m m m =
+--
-=-
++
在R t △PCD 中，ACP PC PD ∠?=sin
2
1(4)2
5
m m =-
++?
2
1)5
5
m =-
-+
∵05
-
<∴当1m =时，P D 5
②存在满足条件的m 值，5
32
29
m =
或
点评：本题是一道函数与几何问题的综合题，先根据一次函数与抛物线的交点坐标求出
函数的解析式，然后利用图象上面点的坐标来表示图形中线段的长，图形的面积等问题，再建立方程，或根据二次函数的性质求最值.
27．(2012江苏苏州，27，8分)如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4）． （1）当x=时，求弦PA 、PB 的长度；
（2）当x 为何值时，PD ?CD 的值最大？最大值是多少？
∴=
（2012·哈尔滨，题号28分值 10） 28．(本题10分)
已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．
(1)如图l，求证：PC=AN；
(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，
求DQ 的长．
【解析】本题是对三角形全等、相似、勾股定理、三角函数的综合考查.
（1）先证明△AQP ≌△MNA ，得AN=PQ ，PA=AM ，再利用等角的余角相等证∠ABP=∠CBP ，结合角平分线性质说明PQ=PC ，从而PQ=AN 得证；
（2）NP=2，PC=3，结合（1）中结论易知AN=3，AP=AM=5，由勾股定理可计算MN=AQ=5 通过△PNM ∽△PBC 可得BC=6，则BP 可求；
设CK=2m,CF=3m,通过△PNE ∽△PKC ， NE 、EM 可用m 表示，由sin ∠PBC= sin ∠EMH=
5
5，
可将EH 、FH 用m 表示；
作ER 垂直BF 于R ，有tan ∠BPC=tan ∠EFR=2可求RF 值，在RT △REP 中勾股定理计算EF ，可求m 值，进而CK 、BK 可计算；
计算tan ∠PKC= tan ∠BDK=1，tan ∠ABC=3
4
，作KG 垂直BA 于G ，设KG=4n,则BG=3n,BK=5n=3,n
值可得解，BD=7n ，DQ=AB-BD-AQ 可解.
【答案】证明：（1）∵MA ⊥AM ，MN ⊥AP ，∠BAM=∠ANM=90°，∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN. ∵∠PQA=∠ANM=90°，AQ=MN ，∴△APQ ≌△MNA ，∴AN=PQ ，AM=AP ，∴∠AMN=∠APN ，又因为∠APM=∠BPC ，∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°。∴∠ABM=∠PBC ，又PQ ⊥AB ，PC ⊥BC ，∴PQ=PC ，∴AN=PC ；
（2）∵NP=2，PC=5，∴由（1）知PA=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5，∴AQ=MN=4. 设CK=2m,CF=3m.∵MN ∥BF ，∴△PNM ∽△PBC ，△PNE ∽△PKC ，
∴32
===PC NP BC MN CK NE ，∴BC=6，NE=m 34，∴BF=6+3m,ME=4-m 34,BP=35,
∴sin ∠PBC= sin ∠EMH=
BP
PC =
5
5,∵EF ⊥PM ，∴FH=BF sin ∠PBC=
5
5（6+3m ），EH=EM sin
∠EMH=
5
5（4-
m 3
4）.
作ER 垂直BF 于R ，则ER=NC=5.
∵∠RFE+∠REF=∠RFE+∠PBC=90°，∴∠REF=∠PBC ，∴tan ∠BPC=tan ∠EFR=
RF
RE =2，∴
RF=2
5，∴EF=2
55，∴m=
2
3,∴CK=3，BK=3.
∵∠PKC+∠DKE=∠ABC+∠BDK ，∠DKE=∠ABC ，∴∠BDK=∠PKC.
∵tan ∠PKC=1，∴tan ∠BDK=1，作KG ⊥BA 于G ，∵tan ∠BDK=1，tan ∠ABC=3
4，
∴设KG=4n,则BG=3n,GD=4n,∴BK=5n=3, n=5
3，∴BD=7n=
5
21.
∵AB=10，AQ=4，∴BQ=6，∴DQ=BQ-BD=
5
9.
【点评】本题第二问的难点在于如何巧妙添加辅助线、如何反复利用相似、同角（等角）的三角函数表示其他相关线段并列方程求解.
由MN ∥BF 推到三角形相似、结合CK ：CF=2:3设定参数表示其他线段是本题的突破口，同角（等角）的三角函数值相等、勾股定理是解答本题的重要工具.
解答此类题目的宗旨是根据已知条件表示能表示的所有线段，寻找各线段之间的关系，建立起联系，逐步推进达到求解的目的.
23．（2012四川达州，23，12分）（12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （-2，0），过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.
（2）若抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围. ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.
解析：对于（1），可知OC=1，过D 作DF 垂直y 轴，则△OBC ≌△FCD ，则FC=OB=2，DF=OC=1，故点D 坐标为（-1，3），同理可得E 点坐标为（-3，2）；对于（2），可用待定系数法，求出抛物线的解析式；对于（3），可考虑当点D 、B 、E 运动到y 轴上时是三种情况，在这三个时间段内分别讨论，能做到不混淆、不重、不漏；求抛物线的顶点坐标，可以先求出点E 平移到y 轴后的坐标，从而可确定抛物线是如何平移，即可求出抛物线平移后的顶点坐标。 答案：（1）D （-1，3）、E （-3，2）（2分）
（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），则
??
?
??=+-=+-=23932c b a c b a c ……………………………………………………………….（3分） 解得 ???
?
?
?
???=-=-=23121c b a
∴22
32
12
+-
-
=x x y ……………………………………………………….（4分）
（3）①当点D 运动到y 轴上时，t=12
.
当0＜t ≤
2
1
时，如右图
设D ′C ′交y 轴于点F
∵ tan ∠BCO=
OC
OB =2,又∵∠BCO=∠FCC ′
∴ tan ∠FCC ′=2, 即C O C F '
'=2
∵CC ′
∴FC ′
∴S △CC ′F =
2
1CC ′·FC ′=
52
1t ×52t=5 t 2
…………………………………（5分）
当点B 运动到点C 时，t=1. 当
2
1
＜t ≤1时，如右图 设D ′E ′交y 轴于点G ，过G 作GH ⊥B ′C ′于H. 在Rt △BOC 中，BC=5122
2
=
+
∴GH=5,∴CH=2
1GH=2
5
∵CC ′=5t,∴HC ′=5t-
2
5,∴GD ′=5t-
2
5
∴S 梯形CC ′D ′G =
2
1(5t-
2
5+5t) 5=5t-
4
5……………………………（7分）
当点E 运动到y 轴上时，t=2
3.
当1＜t ≤
2
3
时，如右图所示
设D ′E ′、E ′B ′分别交y 轴于点M 、N
∵CC ′=5t ，B ′C ′=5,
∴CB ′=5t-5, ∴B ′N=2CB ′=52t-52 ∵B ′E ′=5,∴E ′N=B ′E ′-B ′N=53-52t ∴E ′M=
2
1E ′N=2
1(53-52t)
∴S △MNE ′ =2
1(53-52t)·2
1(53-52t)=5t 2-15t+
4
45 ∴S 五边形B ′C ′D ′MN =S 正方形B ′C ′D ′E ′ -S △MNE ′ =-2
)5((5t 2-15t+4
45)=-5t 2+15t-
4
25
综上所述，S 与x 的函数关系式为：
当0＜t ≤2
1时, S=52
t
当21＜t ≤1时，S=5t 4
5- 当1＜t ≤23时，S=-5t 2+15t 4
25
-………………………………………………..（9分）
②当点E 运动到点E ′时，运动停止.如下图所示 ∵∠CB ′E ′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B ′CE ′
∴△BOC ∽△E ′B ′C
∴C
E BC E B OB '=
''
∵OB=2，B ′E ′=BC=5
∴C
E '=55
2
∴CE ′=
2
5
∴OE ′=OC+CE ′=1+2
5=
2
7
∴E ′（0，
2
7）…………………………………………………………………..（10分）
由点E （-3，2）运动到点E ′（0，2
7）,可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平
移了
2
3个单位.
∵22
3212
+-
-
=x x y =8
25)2
3(21
2
+
+
-
=x y
∴原抛物线顶点坐标为（2
3-，
8
25）……………………………………………（11分）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（2
3，
8
37）…………………………（12分）
点评：本题以直角坐标系内的正方形为基本图形，设计出正方形沿着某条直线平移的运动型问题，考查了三角形全等、三角形相似的判定及其性质，图形的平移及其性质等知识点，考察了待定系数法、数形结合方法，分类思想方法，具体有较强的综合性和一定的区分度。
28．(2012江苏苏州，28，12分)如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合，在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD ．已知正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG ，GH 的长分别为4cm ，3cm ，设正方形移动时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中0≤x ≤2.5． （1）试求出y 关于x 的函数关系式，并求当y=3时相应x 的值；
（2）记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2．试说明S 1﹣S 2是常数；
（3）当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长．
∴=
∴=y=
y=
时，
=GD=?= =GD（1=
=﹣=
x=
x=
PD=
=
23（2012深圳市 23 ，19分）如图9—①，平在面直角从标系中，直线:()l y x b b =-+20≥的位置随b 的不同取值而变化。
（1）已知⊙M 的圆心坐标为（4，2），半径为2
当b = 时，直线:()l y x b b =-+20≥经过圆心M ；
当b = 时，直线:()l y x b b =-+20≥与 ⊙M 相切；
（2）若把⊙M 换成矩形ABCD ，如图9—②，其三个顶点的坐标分别为：
(,),(,),(,A B C 206062。设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式。
:
l y =-2（2
b 中，扫过知形之前，扫过的面积为0，直线扫过矩形时，扫过的图形分别为三角
形，直角梯形，五边形、矩形，故可分5种情况，求出S 与b 的函数关系式，是
l : y = 图9—① l : y = -2x
典型的分段函数。
【解答】：（1） b =10；
b b =-=+1010 如图9—3，易求(,)b
K -02
，则tan A K O ∠=2，又N H ∥OK
则A K O H N K ∠=∠，
由于M NK ∠=90 ，
MNH HMN MNH HNK ∠+∠=∠+∠=90
则H M N H N K A K O ∠=∠=∠，tan tan H M N A K O ∠=∠=2 设,M H x =则N H x =2，有NH MH MN +=222，
()x x +=222
22
，x =
5
H C =-
=
25
5
B N =-
=
45
5
,
故N 55
， 代入y x b =-+2
，求得b =-110
b =+210
（2）如图9—4 ①当b 40≤≤时，直线不扫过知形，此时S =0
②b <0≤6时，直线扫过矩形的面积为三角形的面积，由于直线与x 轴的交点为
意,b
??
???
02，故 ()()b b S b b =-?-=
-+211222242224 ③
当b <6≤12时，直线扫过矩形的面积为
直角梯形的面积，此时与DC 交点为(,)b -1
122
()()b b S b ??
-+-?????==-3222252
④ 当b 12<≤14时，直线扫地矩形的面积为五边形， 此时直线与DC 的交点为(,)b -612则
()(
)b S b b b b =--
--=-
++2
1151267412
2
4
⑤ 当b >14
图9--4
综上，
()
()
()
()
()
b
b b b
S b b
b b b
b
?
?
?-+
?
?
=-
?
?
?-+-
?
??
2
2
004
1
244<6
4
56<12
1
74112<14 4
8>14
≤≤
≤
≤
≤
【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。
23．(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
∵
x=
==
=4=
×
+3=．
25．（2012山西，25，12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
依据2：
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA 的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
【解析】（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
连接CO，则CO是AB边上的中线．
∵∠ACB=90°，
∴OC=AB=OB，
又∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠2=∠B，
∵BN⊥DE，
∴∠BND=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∴MC=NB，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．
【答案】（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明过程省略． （3）解：OM=ON ，OM ⊥ON ．理由见解析．
【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求，故是选拔考生较好的能力题．难度较大． 23．（本题满分10分）
（2012山东东营，23，10分）（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．求证：CE ＝CF ；
（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠GCE ＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE ＝BE ＋GD ．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE ＝4，DE =10, 求直角梯形ABCD 的面积．
【解析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF （SAS ），即CE=CF ．（2）延长AD 至F ，使DF =BE ．连接CF ．借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF ，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE ，又因为CE=CF ，CG=CG ，∴△ECG ≌△FCG ，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ．（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．再设AB=x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理可求出x ．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，
∴△CBE ≌△CDF ．∴CE ＝CF ．
（第23题图1） B （第23题图3）
B C
A D
E
（第23题图2）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线 EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D
2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图
A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C
2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）
第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下：
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②
(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论. 3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 勺两条边分别 重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是 BD 中点)按顺时针方向旋转. (1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察 或 测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； (2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立， F O (1)若 s i n / A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此 弭■若不成 辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E (2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥ 延长交BD 于点F ,直线 F CF 中考专题训练 1、如图，在梯形 ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且 AB=1, BC=2 tan / ADC=2. (1) 求证：DC=BC; ⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF 的形状，并证明你的结论; (3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，Z BEC=135 时，求 sin / BFE 的值. 2、已知：如图，在 □ ABCD 中，E 、F 分别为边 AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的 (1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =r D -，求CD 的长 C D M B 勺直径AB 垂 请证 立，请说明理由. A G
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
页眉内容 中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
初中几何证明题 经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 .如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO，所以CD=GF得证。 A P C D B A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何综合题 1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H． （1）如图1，若 ①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长； （2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 答案： （1）①75 B ∠=?，45 ACB ∠=?； ②作DE⊥AC交AC于点E. Rt△ADE中，由30 DAC ∠=?，AD=2可得DE=1，AE3 =. Rt△CDE中，由45 ACD ∠=?，DE=1，可得EC=1. ∴AC31 =+. Rt△ACH中，由30 DAC ∠=?，可得AH33 + =； （2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC 证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. BAC ∠ 60 BAC ∠=?
易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =. ∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. 2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α?<