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一、2011年高考数学全部知识点整理+经典例题详细解析

高中数学必修一、高中数学必修二、高中数学必修三、高中数学必修四、 高中数学必修五、高中数学选修2-1、高中数学选修2-2、高中数学选修2-3 高中数学选修4-5

二、【内部资料】2009-2010年高考数学模拟压轴大题总结+详细解析

《2011年高考数学总复习系列》——高中数学必修一 第一章、集合

一、基础知识(理解去记)

定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素x 在集合A 中,称x 属于A ,记为A x ∈,否则称x 不属于A ,记作A x ?。

例如,通常用N ,Z ,Q ,B ,Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用?来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,则A 叫做B 的子集,记为B A ?,例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集,如果A 是B 的子集,B 也是A 的子集,相等。如果A 是B 的子集,而且B 中存在元素不属于A ,则A 叫B 的真子集。

B A ?包含两个意思:①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 }.{B x A x x B A ∈∈=且 }.{B x A x x B A ∈∈=或

},{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。 },,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ,集合

},,b a R x <∈记作闭区间],[b a ,R 记作).,(+∞-∞

?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 对集合中元素三大性质的理解 (1)确定性

集合中的元素,必须是确定的.对于集合A 和元素a ,要么a A ∈,要么a A ?,二者必居其一.比如:“所有大于100的数”组成一个集合,集合中的元素是确定的.而“较大的整数”就不能构成一个集合,因为它的对象是不确定的.再如,“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合. (2)互异性

对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.任何两个相同的对象在同一集合中时,只能算作这个集合中的一个元素.如:由a ,2

a 组成一个集合,则a 的取值不能是0或1.

(3)无序性

集合中的元素的次序无先后之分.如:由123,,组成一个集合,也可以写成132,,组成一个集合,它们都表示同一个集合.

帮你总结:学习集合表示方法时应注意的问题

(1)注意a 与{}a 的区别.a 是集合{}a 的一个元素,而{}a 是含有一个元素a 的集合,二者的关系是

{}a a ∈.

(2)注意?与{}0的区别.?是不含任何元素的集合,而{}0是含有元素0的集合.

(3)在用列举法表示集合时,一定不能犯用{实数集}或{}R 来表示实数集R 这一类错误,因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思.

用特征性质描述法表示集合时,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应具备哪些特征性质,从而准确地理解集合的意义.例如: 集合{

}

()x y y x =

,中的元素是()x y ,,这个集合表示二元方程y x 的解集,或者理解为曲线

y x =上的点组成的点集;

集合{

}x y x =中的元素是x ,这个集合表示函数y x =中自变量x 的取值范围; 集合{}y y x =中的元素是y ,这个集合表示函数y x =

中函数值y 的取值范围;

集合{

}

y x =

中的元素只有一个(方程y x ),它是用列举法表示的单元素集合.

(4)常见题型方法:当集合中有n 个元素时,有2n 个子集,有2n -1个真子集,有2n -2个非空真子集。 二、基础例题(必会)

例1 已知{

}

2

43

A y y x x x ==-+∈R ,,{

}

2

22B y y x x x ==--+∈R ,,求A B . 正解:2

2

43(2)11y x x x =-+=---∵≥, 2

2

22(1)33y x x x =--+=-++≤, {

}1A y y =

-∴≥,{}3B y y =≤,

{}

13A B y y =- ∴≤≤.

解析:这道题要注意研究的元素(看竖线前的元素),均是y ,所以要求出两个集合中y 的

范围再求交集,A 中的y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合.

例2 若{}

322427A a a a =--+,

,, 223211122(38)372B a a a a a a a a ??

=+-+---+++????

,,,,,且{}25A B = ,,试求实数a .

正解:∵A ∩B={2,5},∴由32

275a a a --+=, 解得 2a =或1a =±.

当a=1时,2

221a a -+=与元素的互异性矛盾,故舍去1a =;

当1a =-时,{}10524B =,,,,,此时{}245A B = ,,,这与{}25A B = ,矛盾,故又舍去1a =-;

当2a =时,{}245A =,,,{}132525B =,,,,,此时{}25A B = ,满足题意,故2a =为所求. 解析:此题紧紧抓住集合的三大性质:①确定性 ②互异性 ③无序性

三、趋近高考(必懂)

1.(2010年江苏高考1)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a 2+4},A∩B={3},则实数a =______________ 方法:将集合B 两个表达式都等于3,且抓住集合三大性质。【答案】1.

2.(2010.湖北卷2.)设集合A=22

{(,)|1}416

x y x y +=,B={(,)|3}x x y y =,则A ∩B 的子集的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D.1

方法:注意研究元素,是点的形式存在,A 是椭圆,B 是指数函数,有数形结合方法,交于两个点,说明集合中有两个元素,还要注意,题目求子集个数,所以是22=4【答案】A

集合穿针 转化引线(最新)

一、集合与常用逻辑用语

3.若2

:3840:(1)(2)0p x x q x x -+>+->,,则p ?是q ?的( ).

(A )充分条件 (B )必要条件

(C )充要条件 (D )既不充分又不必要条件

解析:∵2:3840p x x -+>,即2

3

x <或2x >, ∴2

:

23

p x ?≤≤. ∵:(1)(2)0q x x +->,即1x <-或2x >, ∴:12q x ?-≤≤.

由集合关系知:p q ???,而q p ???.

∴p ?是q ?的充分条件,但不是必要条件.故选(A).

4. 若k ∈R ,则“3k >”是“方程

22

133

x y k k -=-+表示双曲线”的( ). (A )充分条件 (B )必要条件

(C )充要条件

(D )既不充分又不必要条件

解析:方程

22

133

x y k k -=-+表示双曲线

(3)(3)0k k k ?-+>?>

或3k <-.故选(A ). 二、集合与函数

5.已知集合2

{2}

{2}P y y x x Q x y x x ==-+∈==-+∈R R ,,,,那么P Q 等于( ). (A )(0,2),(1,1) (B ){(0,2),(1,1)} (C ){1,2} (D ){2}y y ≤

解析:由代表元素可知两集合均为数集,又P 集合是函数22y x =-+中的y 的取值范围,故P 集合的实质是函数22y x =-+的值域.而Q 集合则为函数2y x =-+的定义域,从而易知{2}P Q y y = ≤,选(D ).

评注:认识一个集合,首先要看其代表元素,再看该元素的属性,本题易因误看代表元素而错选(B)或(C).

三、集合与方程

6.已知2

{(2)10}

{0}A x x p x x B x x =+++=∈=>R ,,,且A B =? ,求实数p 的取值范围. 解析:集合A 是方程2(2)10x p x +++=的解集, 则由A B =? ,可得两种情况:

①A =?,则由2(2)40p ?=+-<,得 40p -<<; ②方程2

(2)10x p x +++=无正实根,因为1210x x =>, 则有0(2)0p ???

-+

≥于是0p ≥.

综上,实数p 的取值范围为{4}p p >-. 四、集合与不等式

7. 已知集合222{412}{(21)(1)0}A a ax x x a B x x m x m m =+---=-+++<恒成立,≥, 若A B ≠? ,求实数m 的取值范围.

解析:由不等式2

2

412ax x x a +---≥恒成立,

可得 2(2)4(1)0a x x a ++

+-≥,

(※)

(1)当20a +=,即2a =-时,(※)式可化为3

4

x ≥

,显然不符合题意. (2)当20a +≠时,欲使(※)式对任意x 均成立,必需满足200a +>??

??

,≤

即2244(2)(1)0a a a >-??-+-?

,,≤

解得 {2}A a a =≥.

集合B 是不等式2(21)(1)0x m x m m -+++<的解集, 可求得{1}B x m x m =<<+,

结合数轴,只要12m +>即可,解得 1m >. 五、集合与解析几何

例6 已知集合2

{()20}A x y x mx y =+-+=,和{()1002}B x y x y x =-+=,,≤≤,

如果A B ≠? ,求实数m 的取值范围.

解析:从代表元素()x y ,看,这两个集合均为点集,又220x mx y +-+=及10x y -+=是两个曲线方程,故A B ≠? 的实质为两个曲线有交点的问题,我们将其译成数学语言即为:“抛物线

220x mx y +-+=与线段10(02)x y x -+=≤≤有公共点,求实数m 的取值范围.”

由22010(02)x mx y x y x ?+-+=?-+=?,,

≤≤,得

2(1)10(02)x m x x +-+=≤≤,

∵A B ≠? ,

∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由2(1)40m ?=--≥,得3m ≥或1m -≤.

当m ≥3时,由12(1)0x x m +=--<及121x x =知,方程①只有负根,不符合要求;

当1m -≤时,由12(1)0x x m +=-->及1210x x =>知,方程①有两个互为倒数的正根,故必有一

根在区间(01],

内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 综上,所求m 的取值范围是(1]-∞-,

. 第二章、函数

一、基础知识(理解去记)

定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。

定义2 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.

最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y =

x -11的反函数是y =1-x

1

(x ≠0). 补充知识点:

定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义4 函数的性质。 (1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)f (x 2)),则称f (x )在区间I 上是增(减)函数,区间I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数y =f (x )的定义域为D ,且D 是关于原点对称的数集,若对于任意的x ∈D ,都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )是奇函数;若对任意的x ∈D ,都有f (-x )=f (x ),则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。

(3)周期性:对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内每一个数时,f (x +T )=f (x )总成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T 0,则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。

定义5 如果实数a a }记作开区间(a , +∞),集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间(-∞,a ].

定义6 函数的图象,点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象,其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0); (1)向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象; (2)向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象; (3)向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象; (4)与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称;

(5)与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称;

(6)与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称;(7)与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称。 定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y =x

-21

, u=2-x 在(-∞,2)上是减函数,y =

u 1在(0,+∞)上是减函数,所以y =x

-21在(-∞,2)上是增函数。 注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。

一、基础知识(初中知识 必会)

1.二次函数:当≠a 0时,y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数,其对称轴为直线x =-a

b 2,另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0),其中x 0=-

a

b

2,下同。 2.二次函数的性质:当a >0时,f (x )的图象开口向上,在区间(-∞,x 0]上随自变量x 增大函数值减小(简称递减),在[x 0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a <0时,情况相反。

3.当a >0时,方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下(记△=b 2-4ac )。

1)当△>0时,方程①有两个不等实根,设x 1,x 2(x 1x 2}和{x |x 1

,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x a

b 2-≠}和空集?,f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

3)当△<0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R 和?.f (x )图象与x 轴无公共点。 当a <0时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若a >0,当x =x 0时,f (x )取最小值f (x 0)=a

b a

c 442

-,若a <0,则当x =x 0=a b 2-时,f (x )

取最大值f (x 0)=a

b a

c 442

-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),当x 0∈[m, n ]时,f (x )在[m, n ]

上的最小值为f (x 0); 当x 0n 时,f (x )在[m, n ]上的最小值为f (n )(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

一定注意: “p 或q ”复合命题只有当p ,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且q ”复合命题只有当p ,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。

定义2 原命题:若p 则q (p 为条件,q 为结论);逆命题:若q 则p ;否命题:若非p 则q ;逆否命题:若非q 则非p 。

一定注意: 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意: 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p 则q ”为真,则记为p ?q 否则记作p ≠q .在命题“若p 则q ”中,如果已知p ?q ,则p 是q 的充分条件;如果q ?p ,则称p 是q 的必要条件;如果p ?q 但q 不?p ,则称p 是q 的充分非必要条件;如果p 不?q 但p ?q ,则p 称为q 的必要非充分条件;若p ?q 且q ?p ,则p 是q 的充要条件。

二、基础例题(必懂) 1.数形结合法。

例1(09.江西) 求方程|x -1|=x

1

的正根的个数. 【解】 分别画出y =|x -1|和y =

x

1

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以

方程有一个正根。

例2 (2010.广西模拟) 求函数f (x )=

113632424+--+--x x x x x 的最大值。

【解】 f (x )=2

2

2

2

2

2

)0()1()3()2(-+---+-x x x x ,记点P (x , x -2),A (3,2),B (0,1),则

f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。

因为|PA |-|PA |≤|AB |=10)12(32

2=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y =x 2的交点时等号成立。

所以f (x )m ax =.10

2.函数性质的应用。

例3 (10、全国) 设x , y ∈R ,且满足?????=-+--=-+-1

)1(1997)1(1

)1(1997)1(3

2

y y x x ,求x +y . 【解】 设f (t )=t 3+1997t ,先证f (t )在(-∞,+∞)上递增。事实上,若a

f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0,所以f (t )递增。

x

y 1

1

由题设f (x -1)=-1=f (1-y ),所以x -1=1-y ,所以x +y =2.

例4 (10、全国) 奇函数f (x )在定义域(-1,1)内是减函数,又f (1-a )+f (1-a 2)<0,求a 的取值范围。 【解】 因为f (x ) 是奇函数,所以f (1-a 2)=-f (a 2-1),由题设f (1-a )

例5 (10、全国) 设f (x )是定义在(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k ∈Z , 用I k 表示区间(2k -1, 2k +1],已知当x ∈I 0时,f (x )=x 2,求f (x )在I k 上的解析式。 【解】 设x ∈I k ,则2k -1

又因为f (x )是以2为周期的函数, 所以当x ∈I k 时,f (x )=f (x -2k )=(x -2k )2.

例6 (10·全国) 解方程:(3x -1)(15692++-x x )+(2x -3)(131242+-x x +1)=0. 【解】 令m=3x -1, n =2x -3,方程化为

m(42+m +1)+n (42+n +1)=0. ①

若m=0,则由①得n =0,但m, n 不同时为0,所以m ≠0, n ≠0.

ⅰ)若m>0,则由①得n <0,设f (t )=t (42+t +1),则f (t )在(0,+∞)上是增函数。又f (m)=f (-n ),所以m=-n ,所以3x -1+2x -3=0,所以x =.5

4 ⅱ)若m<0,且n >0。同理有m+n =0,x =5

4

,但与m<0矛盾。 综上,方程有唯一实数解x =.5

4 3.配方法。

例7 (经典例题) 求函数y =x +12+x 的值域。

【解】 y =x +12+x =2

1

[2x +1+212+x +1]-1 =21(12+x +1)-1≥21-1=-2

1. 当x =-21时,y 取最小值-21,所以函数值域是[-2

1

,+∞)。

4.换元法。

例8 (经典例题) 求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1),x ∈[0,1]的值域。

【解】令x +1+x -1=u ,因为x ∈[0,1],所以2≤u 2=2+221x -≤4,所以2≤u ≤2,所以

2

2

2+≤22+u ≤2,1≤2

2

u ≤2,所以y =22+u ,u 2∈[2+2,8]。 所以该函数值域为[2+2,8]。

5.判别式法。

例9 求函数y =4

34

322+++-x x x x 的值域。

【解】由函数解析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ① 当y ≠1时,①式是关于x 的方程有实根。

所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0,解得

7

1

≤y ≤1. 又当y =1时,存在x =0使解析式成立, 所以函数值域为[

7

1

,7]。 6.关于反函数。

例10 (10年宁夏)若函数y =f (x )定义域、值域均为R ,且存在反函数。若f (x )在(-∞,+ ∞)上递增,求证:y =f -1(x )在(-∞,+ ∞)上也是增函数。

【证明】设x 1

例11 (经典例题)设函数f (x )=4

231

4++x x ,解方程:f (x )=f -1(x ).

【解】 首先f (x )定义域为(-∞,-32)∪[-41

,+∞);其次,设x 1, x 2是定义域内变量,且

x 1

411++-

x x =)

23)(23()(51212++-x x x x >0, 所以f (x )在(-∞,-32)上递增,同理f (x )在[-4

1

,+∞)上递增。

在方程f (x )=f -1(x )中,记f (x )=f -1(x )=y ,则y ≥0,又由f -1(x )=y 得f (y )=x ,所以x ≥0,所以x ,y ∈[-

4

1

,+∞). 若x ≠y ,设x y 也可得出矛盾。所以x =y . 即f (x )=x ,化简得3x 5+2x 4-4x -1=0, 即(x -1)(3x 4+5x 3+5x 2+5x +1)=0,

因为x ≥0,所以3x 4+5x 3+5x 2+5x +1>0,所以x =1. 7.待定系数法。

例1 (经典例题) 设方程x 2-x +1=0的两根是α,β,求满足f (α)=β,f (β)=α,f (1)=1的二次函数f (x ). 【解】 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),

则由已知f (α)=β,f (β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a +b +1]=0, 因为方程x 2-x +1=0中△≠0,

所以α≠β,所以(α+β)a +b +1=0. 又α+β=1,所以a +b +1=0. 又因为f (1)=a +b +c =1, 所以c -1=1,所以c =2.

又b =-(a +1),所以f (x )=ax 2-(a +1)x +2. 再由f (α)=β得a α2-(a +1)α+2=β,

所以a α2-a α+2=α+β=1,所以a α2-a α+1=0. 即a (α2-α+1)+1-a =0,即1-a =0, 所以a =1,

所以f (x )=x 2-2x +2. 8.方程的思想

例2 (10.全国) 已知f (x )=ax 2-c 满足-4≤f (1)≤-1, -1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f (1)=a -c ≤-1, 所以1≤-f (1)=c -a ≤4. 又-1≤f (2)=4a -c ≤5, f (3)=

38f (2)-3

5f (1),

所以

38×(-1)+35≤f (3)≤38×5+3

5×4, 所以-1≤f (3)≤20.

9.利用二次函数的性质。 例3 (经典例题) 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R, a ≠0),若方程f (x )=x 无实根,求证:方程f (f (x ))=x 也无实根。

【证明】若a >0,因为f (x )=x 无实根,所以二次函数g (x )=f (x )-x 图象与x 轴无公共点且开口向上,所以对任意的x ∈R,f (x )-x >0即f (x )>x ,从而f (f (x ))>f (x )。 所以f (f (x ))>x ,所以方程f (f (x ))=x 无实根。 注:请读者思考例3的逆命题是否正确。 10.利用二次函数表达式解题。

例4 (经典例题)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )=x 的两根x 1, x 2满足0

1, (Ⅰ)当x ∈(0, x 1)时,求证:x

(Ⅱ)设函数f (x )的图象关于x =x 0对称,求证:x 0<

.2

1

x 【证明】 因为x 1, x 2是方程f (x )-x =0的两根,所以f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2), 即f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x .

(Ⅰ)当x ∈(0, x 1)时,x -x 1<0, x -x 2<0, a >0,所以f (x )>x . 其次f (x )-x 1=(x -x 1)[a (x -x 2)+1]=a (x -x 1)[x -x 2+

a

1

]<0,所以f (x )

(Ⅱ)f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)+x =ax 2+[1-a (x 1+x 2)]x +ax 1x 2,

所以x 0=

a x x a x x a 21

221)(2121-+=-+,

所以012121222210

??-=-=-a x a x x x ,

所以.2

10x

x <

11.构造二次函数解题。

例5 (经典例题) 已知关于x 的方程(ax +1)2=a 2(a -x 2), a >1,求证:方程的正根比1小,负根比-1大。 【证明】 方程化为2a 2x 2+2ax +1-a 2=0. 构造f (x )=2a 2x 2+2ax +1-a 2,

f (1)=(a +1)2>0, f (-1)=(a -1)2>0, f (0)=1-a 2<0, 即△>0, 所以f (x )在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比1小,负根比-1大。 12.定义在区间上的二次函数的最值。

例6 (经典例题)当x 取何值时,函数y =2

224)

1(5

+++x x x 取最小值?求出这个最小值。 【解】 y =1-2

2

2)

1(5

11+++x x ,令=+112x u,则0

+??? ??

-u , 且当101=u 即x =±3时,y m in =20

19

.

例7 设变量x 满足x 2+bx ≤-x (b <-1),并且x 2+bx 的最小值是2

1

-,求b 的值。 【解】 由x 2+bx ≤-x (b <-1),得0≤x ≤-(b +1).

ⅰ)-2b ≤-(b +1),即b ≤-2时,x 2

+bx 的最小值为-2

14,422-=-b b ,所以b 2=2,所以2±=b (舍去)。 ⅱ) -2

b

>-(b +1),即b >-2时,x 2+bx 在[0,-(b +1)]上是减函数,

所以x 2+bx 的最小值为b +1,b +1=-21,b =-2

3

.

综上,b =-2

3

.

13.一元二次不等式问题的解法。

例8 (经典例题) 已知不等式组???>+<-+-1

20

22a x a a x x ①②的整数解恰好有两个,求a 的取值范围。

【解】 因为方程x 2-x +a -a 2=0的两根为x 1=a , x 2=1-a , 若a ≤0,则x 11-2a . 因为1-2a ≥1-a ,所以a ≤0,所以不等式组无解。 若a >0,ⅰ)当0

2

1

时,x 1

ⅱ)当a =

21

时,a =1-a ,①无解。 ⅲ)当a >2

1

时,a >1-a ,由②得x >1-2a ,

所以不等式组的解集为1-a 1且a -(1-a )≤3,

所以1

例9 (经典例题) 设定数A ,B ,C 使得不等式 A (x -y )(x -z )+B (y -z )(y -x )+C (z -x )(z -y )≥0 ①

对一切实数x ,y ,z 都成立,问A ,B ,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及A ,B ,C 的等式或不等式表示条件)

【解】 充要条件为A ,B ,C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ). 先证必要性,①可改写为A (x -y )2-(B -A -C )(y -z )(x -y )+C (y -z )2≥0 ②

若A =0,则由②对一切x ,y ,z ∈R 成立,则只有B =C ,再由①知B =C =0,若A ≠0,则因为②恒成立,所以A >0,△=(B -A -C )2(y -z )2-4AC (y -z )2≤0恒成立,所以(B -A -C )2-4AC ≤0,即A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ) 同理有B ≥0,C ≥0,所以必要性成立。

再证充分性,若A ≥0,B ≥0,C ≥0且A 2+B 2+C 2≤2(AB +BC +CA ),

1)若A =0,则由B 2+C 2≤2BC 得(B -C )2≤0,所以B =C ,所以△=0,所以②成立,①成立。 2)若A >0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 15.常用结论。

定理1 若a , b ∈R, |a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |.——绝对值不等式

【证明】 因为-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |,所以-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b |, 所以|a +b |≤|a |+|b |(注:若m>0,则-m ≤x ≤m 等价于|x |≤m ). 又|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b |,

即|a |-|b |≤|a +b |.综上定理1得证。

定理2 若a ,b ∈R, 则a 2+b 2≥2ab ;若x ,y ∈R +,则x +y ≥.2xy

(证略)

注 定理2可以推广到n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数

一、基础知识(必会)

1.指数函数及其性质:形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数,其定义域为R ,值域为(0,+∞),当01时,y =a x 为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。

2.分数指数幂:n m n m

n n

n

m

n

m n

n a

a a a a a a a 1

,1,,1=

===--。 3.对数函数及其性质:形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R ,

图象过定点(1,0)。当01时,y =log a x 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N >0); 1)a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1); 2)log a (M N )= log a M+ log a N ;

3)log a (

N

M

)= log a M- log a N ;4)log a M n =n log a M (万能恒等式) 5)log a n M =n 1

log a M ;6)a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).

5. 函数y =x +x

a

(a >0)的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ,单调递减区间为[)0,a -和(]

a ,0。

(请同学自己用定义证明)

6.连续函数的性质:若a

例1 已知a , b , c ∈(-1, 1),求证:ab +bc +ca +1>0.

【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1)),则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证f (-1)>0且f (1)>0(因为-10, f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0, 所以f (a )>0,即ab +bc +ca +1>0.

例2 (06) (柯西不等式)若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数,b 1, b 2,…,b n ∈R ,则(∑=n

i i

a

1

2)·(

∑=n

i i

b

1

2)

≥(

∑=n

i i

i b

a 1)2,等号当且仅当存在∈μR ,使a i =i

b μ, i =1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令f (x )= (∑=n

i i

a

1

2)x 2

-2(

∑=n

i i

i b

a 1

)x +

∑=n i i b 1

2=∑=-n

i i i

b x a

1

2)(,

因为

∑=n

i i

a

1

2>0,且对任意x ∈R , f (x )≥0,

所以△=4(

∑=n

i i

i b

a 1

)-4(

∑=n

i i

a

1

2)(

∑=n

i i

b

1

2)≤0.

展开得(

∑=n

i i

a

1

2)(

∑=n

i i

b

1

2)≥(

∑=n

i i

i b

a 1

)2。

等号成立等价于f (x )=0有实根,即存在μ,使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。

***注释:根据许多省市的2011年高考大纲,柯西不等式已经淡化,同学只需大致了解就即可,不需深入做题。

例3(10.全国卷) 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2],求u=???

?

??+??? ?

?+y y x x 11的最小值。 【解】u=???

? ??+??? ?

?

+y y x x 11=xy +xy x y y x 1++≥xy +xy 1+2·x y y x ? =xy +

xy

1

+2. 令xy =t ,则0

.42

c 因为0

c ≤1,所以f (t )在??

? ??4,02c 上单调递减。 所以f (t )m in =f (42c )=42c +24c ,所以u ≥42c +24

c +2.

当x =y =2c 时,等号成立. 所以u 的最小值为42c +2

4

c +2.

2.指数和对数的运算技巧。

例4 (经典例题) 设p , q ∈R +且满足log 9p = log 12q = log 16(p +q ),求

p

q

的值。 【解】 令log 9p = log 12q = log 16(p +q )=t ,则p =9 t , q =12 t , p +q =16t ,

所以9 t +12 t =16 t ,即1+.34342t

t ??

?

??=??? ??

记x =t

t t p q ??

?

??==34912,则1+x =x 2,解得.251±=x

又p q >0,所以p q =.2

51±

例5 (经典例题)对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c )和实数x , y , z , w ,若a x =b y =c z =70w ,且w

z y x 1

111=++,求证:a +b =c .

【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70. 所以

w 1lga =x 1lg 70, w 1lgb =y

1lg 70, w 1lgc =z 1lg 70,

相加得

w 1(lga +lgb +lgc )=???

? ??++z y x 111lg 70,由题设w z y x 1

111=++, 所以lga +lgb +lgc =lg 70,所以lgabc =lg 70.

所以abc =70=2×5×7.

若a =1,则因为xlga =wlg 70,所以w =0与题设矛盾,所以a >1. 又a ≤b ≤c ,且a , b , c 为70的正约数,所以只有a =2, b =5, c =7.

所以a +b =c .

例6 (经典例题) 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且log a x +log c x =2log b x ,求证c 2=(ac )logab . 【证明】 由题设log a x +log c x =2log b x ,化为以a 为底的对数,得

b

x

c x x a a a a a log log 2log log log =

+

, 因为ac >0, ac ≠1,所以log a b =log ac c 2,所以c 2=(ac )logab . 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。

例7 (经典例题)解方程:3x +4 x +5 x =6 x .

【解】 方程可化为x

x x ??

?

??+??? ??+??? ??653221=1。设f (x )=

x

x x ??

?

??+??? ??+??? ??653221, 则f (x )在(-∞,+∞)上是减函数,因为f (3)=1,所以方程只有一个解x =3.

例8 (经典例题) 解方程组:?????==++3

12x y

y x y x y x (其中x , y ∈R +

). 【解】 两边取对数,则原方程组可化为.3lg )(lg 12lg )(?

??=+=+glx y y x y

x y x ①②

把①代入②得(x +y )2lgx =36lgx ,所以[(x +y )2-36]lgx =0.

由lgx =0得x =1,由(x +y )2-36=0(x , y ∈R +)得x +y =6, 代入①得lgx =2lgy ,即x =y 2,所以y 2+y -6=0. 又y >0,所以y =2, x =4. 所以方程组的解为?????==????

?==2

4

;112211y x y x .

例9 已知a >0, a ≠1,试求使方程log a (x -ak )=log a 2(x 2-a 2)有解的k 的取值范围。

【解】由对数性质知,原方程的解x 应满足??

?

??>->--=-00)(22222a x ak x a x ak x .①②③

若①、②同时成立,则③必成立,

故只需解?

??>--=-0)(2

22ak x a x ak x .

由①可得2kx =a (1+k 2), ④

当k =0时,④无解;当k ≠0时,④的解是x =k k a 2)1(2+,代入②得k

k 212

+>k .

若k <0,则k 2>1,所以k <-1;若k >0,则k 2<1,所以0

综上,当k ∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

人教版高中数学必修一知识点与重难点

人教版高中数学必修一 ————各章节知识点与重难点 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 (1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素 如:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A,如果a不属于集合A 记作a?A 3、常用数集及其记法 非负整数集(即自然数集)记作:N;正整数集记作:N*或N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R 4、集合的表示法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(Venn图) 1.1.2 集合间的基本关系 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B A B B A ??? 且 3、真子集 如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B?A)

【人教A版】2018版高中数学必修一精品学案全集(含答案)

§2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y=x,y=x,1123 y=x,y =,y=x的图象,掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点).预习教材P77-P78,完成下面问题:知识点1 幂函数的概念α一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.【预习评价】(正确的打“√”,错误的打“×”) 4-(1)函数y=x是幂函数.( ) 5x-(2)函数y=2是幂函数.( ) 12 (3)函数y=-x是幂函数.( ) 45 -提示(1)√ 函数y=x符合幂函数的定义,所以是幂函数;x-(2)× 幂函数中自变量x是底数,而不是指数,所以y=2不是幂函数; 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1,所以y=-x不是幂函数.知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:(2)幂函数的性质:1231-幂函数 y=x y=x y=x y=x 2 y=x (-∞,0)∪定义域 [0,+∞) R R R (0,+∞) *0,+∞) 值域 [0,+∞) {y|y∈R,且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0,+∞),增增单调性增增 x∈(0,+∞),减 x∈(-∞,0],减x∈(-∞,0),减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)=x,则f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数33--(2)3.17与3.71的大小关系为________.解析(1)易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.13-(2)易知f(x)=x=在(0,+∞)上是减函数,又 3.17<3.71,所以

高一数学必修一重难点讲解

高中必修一一些重点函数值域求法十一种2 复合函数9 一、复合函数的概念9 二、求复合函数的定义域:9 复合函数单调性相关定理10 函数奇偶性的判定方法10 指数函数:12 幂函数的图像与性质15

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞Y 例2. 求函数x 3y -=的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得:4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得:23y 2 1≤ ≤ (2)当y=1时,0x =,而? ?? ???∈23,211 故函数的值域为? ???? ?23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。 解:两边平方整理得: 0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得:21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤ 由0≥?,仅保证关于x 的方程: 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,

高中数学必修1-5常考难点

高中数学必修1-5常考难点 必修一 第一章:集合和函数的基本概念 这一章的易错点,都集中在空集这一概念上,而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念,一个不小心就会丢分。次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图,掌握了这些,集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念,这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念,最好的方法是写在笔记本上,每天至少看上一遍。 第二章:基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现,单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式,多记多用,多做一点练习,基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点,而且图像问题是不能靠记忆的,必须要理解,要会熟练的画出函数图像,定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系,这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题,需要着重回看课本例题。 第三章:函数的应用 这一章主要考是函数与方程的结合,其实就是函数的零点,也就是函数图像与X 轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点,要学会在这三者之间灵活转化,以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法,直接计算加得必有零点,连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等,这些难点对应的证明方法都要记住,多练习。二次函数的零点的Δ判别法,这个需要你看懂定义,多画多做题。 必修二 第一章:空间几何 三视图和直观图的绘制不算难,但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感,要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物,这就要求学生特别是空

高中数学必修一集合经典习题

集合练习题 一、选择题(每小题5分,计5×12=60分) 1.下列集合中,结果是空集的为() (A)(B) (C)(D) 2.设集合,,则() (A)(B) (C)(D) 3.下列表示①②③④中,正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.满足的集合的个数为() (A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9 5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为() (A)(B)(C)(D) 6.下列集合中,表示方程组的解集的是() (A)(B)(C)(D) 7.设,,若,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 8.已知全集合,,,那么 是() (A)(B)(C)(D) 9.已知集合,则等于() (A)(B) (C)(D) 10.已知集合,,那么() (A)(B)(C)(D) 11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()

(A)(B) (C)(D) 12.设全集,若,, ,则下列结论正确的是() (A)且(B)且 (C)且(D)且 二、填空题(每小题4分,计4×4=16分) 13.已知集合,,则集合 14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15.设全集,,,则的值为 16.若集合只有一个元素,则实数的值为三、解答题(共计74分) 17.(本小题满分12分)若,求实数的值。 18.(本小题满分12分)设全集合,, ,求,,, 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求,

20.(本小题满分12分)已知集合 , ,且 ,求实数 的取值范围。 21.(本小题满分12分)已知集合 , , ,求实数的取值范围 22.(本小题满分14分)已知集合 , ,若 ,求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ,},{2A x y x y B ∈==,},2{A x a x y y C ∈+==,若满足B C ?, 求实数a 的取值范围. 已知集合}71{<<=x x A ,集合}521{+<<+=a x a x B ,若满足 }73{<<=x x B A ,求 实数a 的值.

高中数学必修教学目标与教学重难点总结(完整版)

§1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2.过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的 含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点、难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. §1.1.2集合间的基本关系 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想. (2)体会类比对发现新结论的作用. 二. 教学重点、难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. §1.1.3集合的基本运算 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并 集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作 用. 2.过程与方法 学生通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算. 3.情感、态度与价值观

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1.棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即侧棱都). ⑵棱锥:①有一个面(即底面)是,②其余各面(即侧面)是 . ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点, ②两底面是平行且相似的多边形。 2.圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱: . ⑵圆锥: . ⑶圆台:①平行于底面的截面都是圆, ②过轴的截面都是全等的等腰梯形, ③母线长都相等,每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球: . 3.棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个, ②若干个, ③若干个 . (2)表面积及体积公式: 4.圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5.球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习,课前5分钟回答下列问题 1.下列命题正确的是() (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称: (1)由8个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他面都是全等的矩形。 (2)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3.五棱台的上下底面均是正五边形,边长分别是6cm和16cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长是13cm,求它的侧面面积。 4.一个气球的半径扩大a倍,它的体积扩大到原来的几倍? 强调(笔记): 【课中35分钟】边听边练边落实 5.如图:右边长方体由左边的平面图形围成的是()(图在教材P8 T1 (3))

高中数学必修一集合知识点总结大全90302

高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。 真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系

最新高一数学必修一重点难点分析(1)

一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子. 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法,难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合.这一节的特点是概念多、符号多,正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键.为此,在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目,以帮助学生提高判断能力,加深理解集合的概念和表示方法.1.关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案,引言给出了一个实际问题,其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题,必须用到集合和逻辑的知识,也就是把它数学化.一方面提高用数学的意识,一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础. 2.关于集合的概念分析

点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念. 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”;初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.”这句话,只是对集合概念的描述性说明.我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念,从而阐明集合概念如同其他数学概念一样,不是人们凭空想象出来的,而是来自现实世界. 3.关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意. 新的国家标准定义自然数集N含元素0,这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便早日与之接轨,另一方面,0还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算 仍属于自然数,其中.因此要注意几下几点: (1)自然数集合与非负整数集合是相同的集合,也就是说自然数集包含0;

高中数学必修1-5常考难点易错点

高中数学必修1-5常考难点易错点 数学对大多数的学生来说,无疑为一场噩梦。但这同时也意味着,只要能把数学成绩提上来,总成绩也就能从众多学生中脱颖而出。并且相对于语文英语等大科来说,数学想要提分也是最容易的,只要能多拿下一个选填题就能多拿下五分。而就经验而言,数学成绩好的学生其总成绩也一定不会差,而要想总成绩能名列前茅,数学必须要有120以上。所以对高中生来说,数学是一定要攻克下来的难关。 下面为同学们整理了数学难点以及易错点,请对照查看自己的掌握状况。 必修一 第一章:集合和函数的基本概念 这一章的易错点,都集中在空集这一概念上,而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念,一个不小心就会丢分。次

一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图,掌握了这些,集合的“并、补、交、非”也就解决了。 还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念,这些都是函数的基础而且不难理解。假期回顾最好的方法是将这些概念,写在笔记本上,每天至少看上一遍。 第二章:基本初等函数 ——指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像 函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现,单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式,多记多用,多做一点练习,基本就没问题。 函数图像是这一章的重难点,而且图像问题是不能靠记忆的,必须要理解,要会熟练的画出函数图像,定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系,这也是常考点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题,需要着重回看课本例题。 第三章:函数的应用

这一章主要考是函数与方程的结合,其实就是函数的零点,也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点,要学会在这三者之间灵活转化,以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法,直接计算加得必有零点,连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等,这些难点对应的证明方法都要记住,多练习。二次函数的零点的Δ判别法,这个需要你看懂定义,多画多做题。 必修二 第一章:空间几何 三视图和直观图的绘制不算难,但是从三视图复原出实物从而计算就需要比较强的空间感,要能从三张平面图中慢慢在脑海中画出实物,这就要求学生特别是空间感弱的学生多看书上的例图,把实物图和平面图结合起来看,先熟练地正推,再慢慢的逆推(建议用纸做一个立方体来找感觉)。

新课标高中数学必修1全册导学案及答案

§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的. 1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合;

高一数学必修1 集合教案

第一章集合与函数概念 §1.1集合 (一)集合的有关概念 ⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。 2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示, 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A; ⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a?A。 5.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集),记作N; 正整数集,记作N*或N+;N内排除0的集. 整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R; 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。“中国古代四大发明” (造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大 的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: ⑴大于3小于11的偶数;⑵我国的小河流; ⑶非负奇数;⑷方程x2+1=0的解; ⑸某校2011级新生;⑹血压很高的人; ⑺著名的数学家;⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 7.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A; ⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a?A。 例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4?A,等等。 练:A={2,4,8,16},则4∈A,8∈A,32?A.

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案

【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},

最新高中数学必修一集合知识点总结

高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一:集合有关概念 1.集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东 西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 3.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。例:世界上最高的山、中国古代四大美女、…… (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A 注意:常用数集及其记法:(&&&&&) 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 (1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系, A?(或B?A) 称集合A是集合B的子集。记作:B A?有两种可能(1)A是B的一部分,; 注意:B (2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A

2021年高中数学必修一教学目标与教学重难点(全)

第1章集合与函数 欧阳光明(2021.03.07) §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性、互异性、无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2.过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程, 感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点、难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择.

§1.1.2集合间的基本关系 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象 概念的作用. 2.过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想. (2)体会类比对发现新结论的作用. 二. 教学重点、难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. §1.1.3 集合的基本运算 一. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交 集与并集.

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的 补集. (3)能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概 念的作用. 2.过程与方法 学生通过观察和类比,借助Venn图理解集合的基本运算. 3.情感、态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二. 教学重点、难点 重点:交集与并集,全集与补集的概念. 难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系. §1.2.1函数的概念 一. 教学目标 1.知识与技能 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想与意识. 2.过程与方法 (1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重 要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,

高一数学必修一知识点难点归纳5篇分享

高一数学必修一知识点难点归纳5篇 分享 说到高一数学,很多同学都会说很难,的确,相对而言,高一数学是高中数学中最难的一部分,但我们一定要把知识点给吃透。下面就是给大家带来的高一数学必修一知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学必修一知识点总结1 一、一次函数定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx(k为常数,k≠0) 二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限: 当k0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点

当b0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当k0时,直线只通过一、三象限;当k0时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式 y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和 y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

高中数学必修1导学案

班级: 组别: 组号:___________ 姓名: 2.2.1对数(1) 【学习目标】 1. 理解对数的概念; 2. 能够进行对数式与指数式的互化; 3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2,探究并思考: 1.问题:截止到1999年底,我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么多少年后人口数可达到18亿,20亿,30亿? 请问:(1)问题具有怎样的共性? (2)已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢?例如:由1.01x m =,求x . 2.一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ). 记作 log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数 试试:将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm ),并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln N 试试:分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考: (1)指数与对数间的关系? 0,1a a >≠时,x a N =? . (2)负数与零是否有对数?为什么? (3)log 1a = , log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式: (1)4 216=; (2)3 1 3 27 -= ; (3)520a =; (4)10.452b ??= ??? . 2)将下列对数式写成指数式: (1)5log 1253=; (2) log 32=-; (3)lg 0.012=-; (4) 2.303=. 小结:注意对数符号的书写,与真数才能构成整体. 【合作探究】 1.求下列各式的值: ⑴2log 64; ⑵2 1 log 16 ; (3)lg10000;

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第1章 集 合 §1.1 集合的含义及其表示 重难点:集合的含义与表示方法,用集合语言表达数学对象或数学内容;区别元素与集合等概念及其符 号表示;用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容;集合表示法的恰当选择. 考纲要求:①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系; ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 经典例题:若x ∈R ,则{3,x ,x 2 -2x }中的元素x 应满足什么条件? 当堂练习: 1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( ) A .某班个子较高的同学 B .长寿的人 C D .倒数等于它本身的数 2.下面四个命题正确的是( ) A .10以内的质数集合是{0,3,5,7} B .由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C .方程2 210x x -+=的解集是{1,1} D .0与{0}表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若 -a ?Z ,则a ∈Z ; (3)所有的正实数组成集合R + ;(4)由很小的数可组成集合A ; 其中正确的命题有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4 4.下面四个命题: (1)零属于空集; (2)方程x 2 -3x+5=0的解集是空集; (3)方程x 2 -6x+9=0的解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0的解集是无限集; 其中正确的命题有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4 5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( ) A . {x,y 且0,0x y <>} B . {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6.用符号∈或?填空: 0__________{0}, a __________{a }, π __________Q , 2 1 __________Z ,-1__________R , 0__________N , 0 Φ.

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