6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .
二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）
1．二元函数 y x y x y x f ln ln 22),(2
2
--+= 在其定义
域内 ( ) .
（A ） 有极小值
（B ） 有极大值 （C ） 既有极大值也有极小值
（D ） 无极值
2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) .
------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
（A ）当 R x ≤ 时，
∑+∞
=1n n
n x a
收敛，且当 R x > 时
∑+∞
=1n n
n
x a
发散 （B ） 当 R x < 时，
∑+∞
=1
n n
n
x a
收敛，且当 R x ≥ 时
∑+∞
=1n n n
x a
发散
（C ）当 R x < 时，
∑
+∞
=1
n n
n x a 收敛，且当 R x > 时
∑
+∞
=1
n n n x a 发散
（D ）当 R x R ≤<- 时，
∑+∞
=1
n n
n
x a
收敛，且当 R x > 或 R x -≤ 时
∑+∞
=1
n n n
x a
发散
3．已知二元函数 ),(y x f 在点 )0,0( 某邻域内连续 ， 且 1),(lim 223
30
=+++→→y
x y x y x f y x ， 则（ ）.
（A ） 点 )0,0( 不是二元函数 ),(y x f 的极值点 （B ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极大值点 （C ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极小值点 （D ） 无法判断点 )0,0( 是否是二元函数 ),(y x f 的极值点
4．对于非齐次线性方程组 ??
?????=+???++???????????????=+???++=+???++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********
以下结论中 不正确 的是 ( ).
(A) 若方程组无解, 则系数行列式 0=D (B) 若方程组有解, 则系数行列式 0≠D (C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) 0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件
5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为
3
t
泊松分布, 而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ). (A) 1
-e (B) 4
1--e (C) 8
-e
(D) 8
-1-e
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分） 1. 已知 )ln 2ln (2),(y x y x y x f z +?+=
= ，在计算点 )1,2( 处函数值时，如果自
变量 x 和 y 分别发生误差 02.0-=?x 和 01.0=?y ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z ? 的近似值 .
2．设函数 )(x f 在点 0=x 的邻域内 连续，极限 ])
1ln(2)(3[
lim 2
x
x x x f A x ++-=→ 存在 ，（1）求 )0(f 的值； （2）若 1=A ，问：)(x f 在点 0=x 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 )0('f .
3. （1）已知广义积分
dx e x 2
-+∞
∞
-?
是收敛的，试利用初等函数 x e 的幂级数展开式推导出
这个广义积分的值大于1 的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ；
（2） 利用（1） 的结论，试比较
dx e
x x
x 22
2)2(+-+∞
?-?
与
dx e x x
x
22
1
2
)2(+-?-?
的
大小 ，详细说明你的理由 （5 分） .
4．已知定义在全平面上的二元函数 3
2),()1(),(),(2
+
?++?=???D
d y x f x dx y x x f y x f σ ， ---------------
其中 D 是由直线 x y =， 1=y 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 ),(y x f 的解析表达式 .
5．计算行列式
a
a a a a a
a a a --------11
10
10
00
001100
11
0001 的值 .
6．已知 ??
???
?
?
?????=?????????
???---=20001200312
0431
2,1000110001100011C B , 矩阵 A 满足 : E C B C E A T T =--)(1 , E 为单位阵 , 求 A .
7．设随机变量 ),(Y X 的概率密度函数为 ?
?
?>>?=+-其它
,00,0,),()
(y x e A y x f y x ,
求 : (1) 常数 A （2分） ； (2) ),(min Y X Z = 的概率密度函数 （4分） ；
（3）),(Y X 落在以 x 轴 , y 轴及直线 22=+y x 所围成三角形区域 D 内的概率 （3分）.
四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，共30
分）
1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的产品。
每生产一公斤A 产品和 B 产品的变动成本分别为12 元 / 公斤 和 8元 / 公斤；这两种产品的需求函数分别为 )464(31q p x +-= 和 )14(3
1
q p y -+=
，其中 p 、q 分别为A 产品和 B 产品的销售单价（元 / 公斤），x 、y 分别为A 产品和 B 产品的市场需求量（单位：公斤）. 问：在供需平衡情况下（即需求量等于生产量）
（1）该工厂生产两种产品各为多少时，所得的总利润达到最大？此时销售单价各为多少？(4分） （2）现在，政府拟对A 、B 两种产品征税。为了使从这两种产品征得的总税收费达到最大，政府
税务部门应确定A 、B 两种产品征收的税率（元 / 公斤）分别为多少？（4分） （3）在总税收费达到最大的方案确定后，消费者在购买一公斤A 产品和一公斤B 产品时，
各将承担多少税费？ （2分）
考专业：
--------------------------------------------------------
2．设三阶矩阵A 的特征值为，，，321321===λλλ对应的特征向量依次为
T ），，（1111=ξ, T ），，（4212=ξ, T ），，（9313=ξ, 又 T
），，（311=β,
(1) 将 β 用 321ξξξ，， 线性表示 ; (2) 求 βn
A , n 为自然数 .
3．设钻头的寿命 ( 即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度, 以米为单位 ) 服从参数为 0.001 的指数分布, 现要打一口深度为2000米的井, 求 :
(1) 只需一根钻头的概率 ; (2) 恰好用两根钻头的概率 .
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，
第二小题7分，共13分）
1．若级数
∑+∞
=1
n n
a
绝对收敛，级数
)(1
1
n n n b b
-∑+∞
=+ 收敛.
（1）试证级数
)(1
∑+∞
=?n n n
b a
绝对收敛； （4分）
（2）若仅知级数 ∑+∞
=1
n n
a
收敛， 其他条件不变，试举例说明此时结论（1）不成立.（2分）
2．设 A 和 B 均是 n 阶可逆阵, 且存在常数 λ 使 B E A A )(λ-=, E 为 n 阶单
位阵 , 证明: BA AB = .
2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》模拟试卷1
解答
一、填空题：
1、极限 )cos (sin 21
lim 3
23=+++++∞→x x x x x x x .
【分析】 无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.
【详解】 0)
2(l n 26
lim 32ln 223lim 21lim 322323==++=++++∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x ，而x x c os si n +有界。
【答案】 应填0。
2、已知1)(0-='x f ，则 )
()2(lim 000
=---→x x f x x f x
x .
【详解】 x x f x x f x x f x x f x x x f x x f x x x )
()(lim
)()2(lim )()2(lim
000000000-----=---→→→ 1)()()(2000='-='+'-=x f x f x f 。
【答案】 应填1。
3、微分方程 3
)(21d d x
y x y x y -= 满足1|1==x y 的特解为 =y . 【详解】 齐次方程，令u x
y
=，ux y =，则x u x
u x y d d d d +=， 代入原方程，得 321d d u u x u x u -=+，321d d u x u x -=，x x
u u
d d 23=
-， 积分得 C x u
+=||ln 12，将x y
u =代回，得 C x y x +=||ln 22，
得原方程的通解为 C
x x y +±=||ln |
|，
将1|1==x y 代入得1=C ，于是所求特解为 1
||ln |
|+±=x x y 。
【答案】 应填1
||ln |
|+±=x x y .
4、设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且a =||A ，b =||B ，???
? ??=O B A O C ，
则 ||=C . 【详解】 ab mn mn )1(||||)1(||-=?-==
B A O
B A
O C 。 【答案】 应填ab mn
)1(-。
5、若二次型32212
32
22
122x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 的取值范围是 .
------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
【详解】 用顺序主子式讨论. 二次型的矩阵为
?
???? ??=12/02/1101
2t t A ， 02||1>=A ，011112||2>==A ，
12/02/11012||t t A =1
2/02/1110t t t
--=02
1
12>-=t ，解得 22<<-t 。
解不等式组 ???>-+->-0
)1)(2(0
42λλλ12 <<-?λ.
【答案】 应填22<<-t .
6、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 中任取一个数，记为Y ，则
}2{==Y P .
【详解】由全概率公式，
∑===?===4
1
}|2{){}2{i i X Y P i X P Y P 48
13
)4131210(41=
+++=
. 【答案】 应填48
13
.
二、选择题：
1、设函数x
x x x f sin e tan )(??=，则)(x f 是 【 】 (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 【答案】 选 (B)。
2、设函数)(x f 对任意x 均满足等式)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中b a ,为非零常数，则 【 】 (A) )(x f 在1=x 处不可导 (B) )(x f 在1=x 处可导，且a f =')1( (C) )(x f 在1=x 处可导，且b f =')1( (D) )(x f 在1=x 处可导，且ab f =')1(
【详解】 x f x f f x )1()1(lim
)1(0-+='→x af x af x )
0()(lim
0-=→ x
f x f a x )
0()(lim
0-=→ab f a ='=)0(. 【答案】 选 (D)。
3、设??
+=
D
xy f x k σd )]([2
，其中f 为连续的奇函数，D 是由3x y -=，1=x ，1=y 所围成的平面区域，则k 等于 【 】
(A) 0
(B)
3
2
(C) 3
2-
(D) ??D
xy f σd )(2
【详解】 因为f 为奇函数，所以)(xy f 关于x 和y 均为奇函数，由区域对称性知，
0d )(=??D
xy f σ，
所以原式
??D
x σd 2
?
?--=11
1
2
3
d d x
y x x ?-+=1
1
3
2d )1(x x x ?-=1
1
2d x x 3
2
=. 【答案】 选 (B)。
4、齐次线性方程组
【 】
???
??=++=++=++0
00321
3213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A 。若存在三阶矩阵O B ≠，使得O AB =，则
(A) 2-=λ且0||=B (B) 2-=λ且0||≠B (C)
1=λ且0||=B
(D)
1=λ且0||≠B
【详解】 由已知O AB =且O B ≠，则齐次线性方程组0Ax =有非零解，从而0||=A ，即
λλ
λλ
1
1
1112λλλλλ1011112--=λ
λλλ101111)1(2
--=0)1(2=-=λ，1 =?λ； 若0||=B ，则由O AB =得O A =，矛盾，所以0||≠B 。
【答案】 选 (C)。
5、掷6颗骰子，令X 为6颗骰子点数之和，则=EX 【 】
(A) 42
(B)
2
21
(C)
2
7 (D) 21
【详解】 设第i 颗骰子的点数为)6,,2,1( =i X i ，则∑==
6
1
i i
X
X ，
而 ∑=?=6
161k i k EX 621
=，所以 216
1
==∑=i i EX EX 。
【答案】 选 (D)。
三、解答题：
1、求极限 )cos sin 1(lim 2220x
x
x x -→. 【详解】 原式x x x x x x 222
2
0sin )cos (sin lim -=→42
20)2(sin 21
lim x x x x -=→3042cos 2sin 2lim x x x x x -=→ 3044sin 212lim x x x x -=→20124cos 22lim x x x -=→2064cos 1lim x x x -=→22
06)4(21lim x x x →=34=. 2、设x x x f sin )(sin 2
=，求 ?
-x x f x x d )(1. 【详解】 t t
t f arcsin 1
)(=，
?
-x x f x
x d )(1?
?
-=x x x
x
x d arcsin 11?
-=x x
x d 1arcsin
?--=x x 1d arcsin 2??
-?
-+--=x x
x x x x d 21
11
12arcsin 12
C x x x ++--=2arcsin 12.
3、求函数x
x y arctan 2
e )1(+-=π
的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。
【详解】 x
x
x x y arctan 22
2e 1+++='π
，令0='y ，得驻点0,121=-=x x ，列表如下：
单调递增区间为 )1,(--∞，),0(∞+；单调递减区间为 )0,1(-
极小值为 2e )0(π
-=f ，极大值为4e 2)1(π
-=-f 。
函数无间断点，故无铅直渐近线；y x ±∞
→lim 不存在，故无水平渐近线；
πe )
(lim
1==+∞
→x
x f a x ， ])([lim 11x a x f b x -=+∞
→]e e )1[(lim arctan 2
x x x
x ππ
--=++∞
→
x
x x
x x arctan 2
arctan 2e lim )1e
(lim e ++∞
→+∞
→--=π
π
ππ
e 11e lim e arctan 2--=+∞→x x
x ππ
e 1e lim e 22arctan 2-+-=+∞→x
x x x π
e 2-=， 1)
(lim 2==-∞→x
x f a x ，2])([lim 22-=-=-∞→x a x f b x ，
故所求渐近线为 )2(e -=x y π
及 2-=x y 。
4、计算二重积分
??+D
y x y x d d arcsin
12
2，其中D ：122≤+y x ，y y x ≥+22，0≥x ，
0≥y .
【详解】 化为极坐标，原式??
?=
1
sin 20
d arcsin 1d θπ
θr r r
??=1sin 20d arcsin d x y y y x π
， 再交换积分次序，原式?
?
=
y
x y y y arcsin 0
1
d arcsin d 2
1
d 10==?y y 。
5、设向量组 ???
?
? ??=????? ??-=????? ??-=????? ??=c b a 1,411,512,102321βααα，
试问：当c b a ,,满足什么条件时，
（1）β可由321,,ααα线性表示，且表法唯一？ （2）β不能由321,,ααα线性表示？
（3）β可由321,,ααα表示，但表法不唯一？并求出一般表达式.
【详解】 ????? ??--=c b a 4510112
112A ??????
??-------→b c ab a a
b 5100
21212201
12，
(1) 当022≠-
-a ，即4-≠a 时，β可由321,,ααα线性表示，且表法唯一；
(2) 当022=-
-a
，即4-=a 时， ????? ?
?--+→b c b b
510021100
1
1
2A ???
?
?
??+-+→c b b b 3100021100112，
若031≠+-c b ，即13≠-c b 时，β不能由321,,ααα线性表示；
(3) 当4-=a ，13=-c b 时，
????
? ??+→0000211001
12b b A ，
此时β可由321,,ααα表示β，但表法不唯一，一般表达式为
321)12()12(αααβ++++-=b k b k ，其中k 为任意常数。
6、设
????? ??-----=240111111A ，????
? ??--=2111ξ
（1）求满足 12ξξ=A ，132
ξξ=A 的所有向量32,ξξ； （2）对（1）中的任意向量32,ξξ，证明321,,ξξξ线性无关. 【详解】 （1）解方程组 12ξξ=A ，
????? ??-------=224011111111),(1ξA ????? ??---→112000001111???
?
?
??---→000011201111，
通解为
???
?? ??-+????? ??=21110012k ξ，其中1k 为任意常数.
????? ??--=0440220222
A ，解方程组 132ξξ=A ，
????? ??----=204410221022),(12ξA ???
?
?
??-→000000001022，
通解为
???
?
? ??+????? ??-+????? ??-=100011102/1323k k ξ，其中32,k k 为任意常数.
（2）由于 3
121
213211
221
2
/11
||k k k k k k +-----=ξξξ02
1
≠-
=， 所以321,,ξξξ线性无关.
7、(05,13分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
.,
20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<
?
?=
求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （2）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z （3）}.2
121{≤≤
X Y P 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分
布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可. 【详解】（1）关于X 的边缘概率密度
?
∞+∞
-=y y x f x f X d ),()(?????<<=?其他
,010 ,d 20
x y x
???<<=其他 ,01
0 ,2x x ， 关于Y 的边缘概率密度
?∞+∞
-=x y x f y f Y d ),()(?????<<=?其他 ,020 ,d 1
2
y y y ?
????<<-=其他 ,0 2
0 ,21y y ， （2）Z 的分布函数为 }2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1）当02）当20<≤z 时， }2{)(z Y X P z F Z ≤-=2
4
1z z -=， 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z
即Z 的分布函数为 ????
???≥<≤-<=2
,1 20 ,410 ,0 )(2z z z z z z F Z
故Z 的的概率密度为 .,20,
0,
2
11)(其他<
,21{≤≤Y X P ??≤
≤=2
1,21d ),(Y X y x f σ??=212
210d d y x y 163d )1(2121
0=-=?y y ，
}21{≤X P ?=21
0d 2x x 4
1
=，
所以 .434
1163
}2
1{}21
,21{}2121{==≤≤≤=
≤≤X P Y X P X Y P
四、应用题：
1、设银行存款的年利率为05.0=r 。某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…第n 年提取)910(n +万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少为多少万元？
解 第一年末结余：19)1(-+r A ；
第二年末结余：28)1](19)1([-+-+r r A 28)1(19)1(2
-+-+=r r A ； ……
第n 年末结余：0)910()1(28)1(19)1(21
≥+--+-+-+--n r r r A n n n
，
……
++++++++≥---n r n r r A )1)(910()1(28)1(1921
∑∞
=++=1
)1(910n n r n ∑∑∞
=∞=+++=11)1(9)1(110n n
n n r n r ， r
r r n n
+-+=+∑∞
=11111)1(11201==r ， ∑∞==1
)(n n
nx x f ∑∞
=-=1
1
n n nx
x )(1
'?=∑∞
=n n x x )1('-?=x x
x 2
)1(x x -=，)1,1(-∈x
所以 21)111(11
)1(r
r r n n n
+-+=+∑∞
=21r r +=4200025.005.1==， 因此 3980
4209200=?+≥A (万元)。
2、已知矩阵???
?
??=3421A ，求100A . 【详解】 先将A 对角化，
3
4
2
1
||----=
-λλλA E 0542=--=λλ，得特征值 1,521-==λλ，
对51=λ，???
? ??-→???? ??--00122424，得特征向量 T
)2,1(1=α；
对12-=λ，?
??
? ??→????
??----00114422，得特征向量 T
)1,1(2-=α， 令 ???? ??-=12
11
P ，则 ???? ??-=-10051AP P ，???
? ??-=-1211311
P ， 所以 1
100
100
1005-?
??
?
??-=P
P A
????
?
?-???? ?????? ??-=121110
0512*******
???? ??-???? ??-?=121115
215
31100
100
???
?
??+?-?-+=152252152531100100100
100
?????
?
??+?-?-?+
?=31532325323153132
53
1100100100100。
3、两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度f (t )、数学期望和方差。
【详解】以1X 和2X 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则21X X T +=。
由条件知，)2,1(=i X i 的概率密度为
?
??≤>=-0 , 0 0
, e 5)(5x x x p x i ，
1X 和2X 显然相互独立。
利用卷积公式，对0>t ，有
?
∞+∞
--=x x t p x p t f d )()()(21?---=t
x t x x 0
)(55d e e 25t t 5e 25-=；
当0≤t 时，显然0)(=t f ，所以
?
??≤>=-0 , 0 0
, e 25)(5t t t t f t 。
由于 51)(=i X E ，25
1)(=i X D ，)2,1(=i 因此
5
2
)()()()(2121=
+=+=X E X E X X E T E ， 而1X 和2X 相互独立，可见 25
2)()()()(2121=
+=+=X D X D X X D T D 。
五、证明题：
1、设函数)(x f 在],0[π上连续，且
0d )(0
=?
π
x x f ，0d cos )(0
=?π
x x x f ，
试证明：在),0(π内至少存在两个不同的点21,ξξ，使0)()(21==ξξf f 。 【详解】 引入辅助函数 ?
=
x
t t f x F 0
d )()(，],0[π∈x ，则 )()(x f x F ='，
0)()0(==πF F ，又
?=π0
d cos )(0x x x f ?=π
)(d cos x F x ?+=π
π0
0d sin )(|)(cos x x x F x xF
?=π
d sin )(x x x F ，
因此必存在一点),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF ，否则x x F sin )(在),0(π内恒正或恒负，均与0d sin )(0
=?
π
x x x F 矛盾，
因),0(πξ∈，0sin ≠ξ，所以0)(=ξF ，综上所述，
0)()()0(===πξF F F ，),0(πξ∈ 在区间],0[ξ和],[πξ上分别对)(x F 应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使得
0)()(21='='ξξF F ，即 0)()(21==ξξf f 。
2、设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值，证明: A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.
证：必要性:因为A 有n 个互不相同的特征值，故A 可对角化，即存在可逆阵P ，使
11Λ=-AP P ；
由于A 的特征向量也是B 的特征向量，故对同样的P ，有21
Λ=-BP P ， 于是 1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ，
1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA ，
而 1221ΛΛ=ΛΛ，所以BA AB =；
充分性：设λαα=A ，0≠α，两边左乘B ，利用BA AB =，有
)()()(αλααB B A A B ==，
若0≠αB ，由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量，由于A 的特征值两两不同，故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个，因此α与αB 应成比例，即
μαα=B ，即α为B 的特征向量；
最新高数期末考试题.
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
中国农业大学2021年601高等代数考试大纲
《高等代数》考试大纲 一、考试性质 《高等代数》课程是数学专业硕士研究生入学考试必考科目之一，有些对数学知识要求较高的理工类非数学专业也考此门课程，是由教育部授权各招生院校自行命题的选拔性考试。《高等代数》考试的目的是测试考生的高等代数相关基础知识和分析及运用能力。 二、评价目标 要求考生具有较全面的高等代数基础知识，并且具有应用高等代数知识解题、证明及分析问题的能力。 三、考试内容 （1）行列式的定义、性质及各种计算方法； （2）向量组的线性相关与无关、向量组的秩；线性方程组有解的充分必要条件及线性方程组求解的各种方法； （3）矩阵的各种运算（包括矩阵的逆运算）；矩阵的分块，矩阵的初等变换，广义逆矩阵，矩阵的相抵（也叫等价）、相似和合同；矩阵的特征值与特征向量；矩阵可对角化的各种判别方法。 （4）二次型的标准型及其求法；正定二次型与正定矩阵及其判别。 （5）一元多项式的带余除法、最大公因式；不可约多项式与唯一因式分解定理； 重因式及其判定；有理数域上的不可约多项式及其判别方法； （6）线性空间的定义、线性空间的基和维数、线性空间的同构、商空间以及其子空间的交与直和；线性变换的核与象及矩阵表示；线性变换的特征值与特征向量，可对角化的条件，不变子空间；线性变换和矩阵的最小多项式； 线性变换和矩阵的约当标准形。-矩阵及其标准型和应用。 （7）欧几里得空间及性质，正交矩阵、正交变换与对称变换。 四、考试形式和试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成。答案必须写在答题纸相应的位置上。（三）试卷题型 本试卷以解答题为主，包括计算题和证明题两部分。同时，根据情况，也可能含有填空、选择题，但分值不超过总分的20%。
高数考试大纲word版
浙江省2007年普通高校“2+2”选拔联考科目考试大纲： 《高等数学A》考试大纲 I.考试要求 适用专业：报考软件工程、电子信息工程、信息管理与信息系统和机械设计制造及自动化专业的考生 《高等数学A》考试大纲包含微积分、线性代数和概率论三个部分。 考试的具体要求依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次。1．了解：要求对所列知识的含义有基本的认识，知道这一知识内容是什么，并在有关的问题中识别它。 2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够利用知识解决有关问题。 3．灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。 II.大纲内容 《微积分》部分 一、函数、极限、连续 考试内容： 函数的概念及表示法/函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性/反函数、复合函数、隐函数、分段函数/基本初等函数的性质及图形/初等函数/应用问题的函数关系的建立/数列极限与函数极限的概念/函数的左极限和右极限/无穷小和无穷大的概念及关系/无穷小的基本性质及无穷小的比较/极限四则运算/极限存在的两个准则：单调有界数列极限存在准则和夹逼准则/两个重要极限/函数连续的概念/函数间断点的类型/初等函数的连续性/闭区间上连续函数的性质 考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题中的函数关系式。2．理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3．理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
5．了解数列极限和函数极限（包括左、右极限）的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6．掌握极限的性质与极限四则运算法则。掌握利用两个重要极限求极限的方法。7．理解无穷小、无穷大的概念和基本性质，掌握无穷小的阶的比较方法。8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）并会应用这些性质。 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念/导数的几何意义/函数的可导性与连续性之间的关系/导数的四则运算/基本初等函数的导数/复合函数、反函数和隐函数的导数/高阶导数/某些简单函数的n 阶导数/微分中值定理及其应用/洛必达法则/函数单调性/函数的极值/函数图形的凹凸性、拐点/函数斜渐近线和铅直渐近线/函数图形的描绘/函数的最大值与最小值/弧微分/曲率的概念/曲率半径的概念 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描绘一些物理量。 2. 掌握用定义法求函数导数值；熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；熟练掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。 3.了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及简单函数的n 阶导数。 4．会求分段函数的一阶、二阶导数。 5．会求由参数方程所确定的函数的导数以及反函数的导数。 6.理解微分的概念，导数与微分之间的关系。 7.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论，掌握这三个定理的应用及相关证明题。 8.熟练掌握洛必达法则求不定式极限的方法。 9. 熟练掌握函数单调性的判别方法及其应用，熟练掌握极值、最大值和最小值的求法（含应用题）。
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
2019年沈阳师范大大学初试625高等代数一考试大纲
2019年全国硕士研究生招生考试大纲 科目代码：625 科目名称：高等代数一 适用专业：基础数学、计算数学、应用数学、 运筹学与控制论 制订单位：沈阳师范大学 修订日期：2018年9月
《高等代数一》考试大纲 一、课程简介 高等代数是数学专业的基础课之一。主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。既有较强的抽象性和概括性，又具有广泛的应用性。对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。 二、考查目标 主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 三、考试内容及要求 第一章多项式 一、考核知识点 1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。 2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。 3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。 4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。 5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。 6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。 7、掌握本原多项式的概念。熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。熟练掌握Eisenstein判别法及应用。 二、考核要求 识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理, 整除的概念和常用性质，带余除法，最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性
高数考试大纲word版
山东省2013年普通高等教育专升本 高等数学（公共课）考试要求 总要求：考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 一、函数、极限和连续 （一）函数 1.理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 2.理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。 3.了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。 4.掌握函数的四则运算与复合运算。 5.理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。 6.了解初等函数的概念。 （二）极限 1.理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。 3.理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷 （x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。 4.掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。 5.理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。 6.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （三）连续
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高等代数考试大纲
高等代数考试大纲 Ⅰ考查目标 高等代数课程是一门基础理论课.近年来，由于自然科学，社会科学和工程技术的迅速发展，特别是由于电子计算机的普遍应用，使得代数学得到日益广泛的应用.这就要求数学专业的本科学生不仅了解代数学的一些计算问题，还应具备代数学的基础理论知识，以便融会贯通的运用代数学的工具去解决理论上和实践上遇到的各种问题. 本课程包括一元多项式理论，线性代数，其中以线性代数为主，具有很强的抽象性与逻辑性.本课程的考查注重学生科学的思维方式，分析问题和解决问题的能力；同时渗透现代数学的观点和的思想.通过本课程的考查，能体现“学生掌握多项式理论的基本概念，线性方程组的基本理论，矩阵的基本运算和技巧，线性空间与欧几里得空间的基本性质，线性变换的基本概念和方法”的基本情况.考查学生的抽象思维能力，解决实际问题的方法，从而为学生的研究生阶段的学习打下必要的代数学基础. 难度以应届本科优秀学生能取得及格以上成绩为基准. Ⅱ考试形式和试卷结构 1填空题约占30% 2计算题约占40% 3证明题约占30%.可以根据需要将证明题分为基本证明题和综合证明题两大部分. 4、试卷总分150分. Ⅲ考查范围 第一部分多项式 一多项式代数与多项式函数 二最大公因式和互质（与数域扩充无关的性质） 三因式分解（与数域扩充有关的性质）及应用 第二部分行列式
一行列式的定义、性质及应用 二行列式的计算 第三部分矩阵初步 一矩阵代数 二矩阵的初等变换及应用 三方块矩阵的初等变换及应用 第四部分线性空间 一线性空间的定义 二向量的线性关系 三子空间与空间直和分解 第五部分线性变换 一线性映射 二线性变换 三同构对应及应用 第六部分线性方程组 一齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示 二非齐次线性方程组解的存在性、唯一性与表示三线性方程组的反问题和矩阵方程 第七部分矩阵的秩 一矩阵的秩的等价刻划 二关于矩阵秩的命题及应用 第八部分线性空间同构
专升本考试大纲(高数一二三).pdf
山东省2020年普通高等教育专科升本科招生考试公共基础课考试要求 山东省教育招生考试院 二○二○年一月 高等数学Ⅰ考试要求
Ⅰ. 考试内容与要求 本科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基本理论、较熟练的运算能力。主要考查学生识记、理解和应用能力，为进一步学习奠定基础。具体内容与要求如下： 一、函数、极限与连续 （一）函数 1.理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会建立应用问题的函数关系。 2.理解和掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3.了解分段函数和反函数的概念。 4.掌握函数的四则运算与复合运算。 5.理解和掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 （二）极限 1.理解极限的概念，能根据极限概念描述函数的变化趋势。理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系，x 趋于无穷大（∞→?∞→+∞→x x x ,,）时函数的极限。 2.了解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则),熟练掌握利用两个重要极限e x x x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim 0求函数的极限。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会用等价无穷小量求极限。
（三）连续 1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 2.掌握连续函数的性质。 3.掌握闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 4.理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。 二、一元函数微分学 （一）导数与微分 1.理解导数和微分的概念，了解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。 3.掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。 4.理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 5.掌握微分运算法则，会求函数的一阶微分。 （二）中值定理及导数的应用 1.理解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理。会用罗尔定理证明方程根的存在性,会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。 2.熟练掌握洛必达法则，会用洛必达法则求“00”，“∞∞”，“∞?0”，“∞?∞”，“∞1”，“00”和“0∞”型未定式的极限。
历年高等数学期末考试试题
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
7.《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲 一、课程简介 高等代数是数学专业的基础课之一。主要内容包括：多项式理论；线性方程组；行列式；矩阵；二次型；线性变换；欧氏空间等。本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的代数学基本思想和基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、儿何、代数方法处理问题的初步训练。既有较强的抽象性和概括性，乂具有广泛的应用性。对于培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力有着重要作用。 二、考查目标 主要考察考生对高等代数的基本理论和基本方法的理解和掌握情况及抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 三、考试内容及要求 第一章多项式 一、考核知识点 1、熟练掌握一元多项式整除的概念及性质。 2、熟练掌握最大公因式的求法、性质及多项式互素的充要条件。 3、熟悉因式分解定理的内容，了解标准分解式的概念。 4、熟悉重因式的概念，熟练掌握k重因式的判定方法。 5、熟悉有关多项式函数的概念、余数定理。 6、熟练掌握代数基本定理，复系数多项式、实系数多项式因式分解定理的内容。 7、掌握本原多项式的概念。熟练掌握有理系数多项式与整系数多项式因式分解的关系。熟练掌握整系数多项式有理根的性质和求法。熟练掌握EiSenStein 判别法及应用。 二、考核要求 识记：数域的概念，一元多项式的概念和运算性质，次数定理，整除的概念和常用性质，带余除法,最大公因式的概念和性质，不可约多项式的概念和性质，因式分解及唯一性定理，标准分解式的概念，重因式的概念、性质，多项式函数的概念、性质及根，代数基本定理，复系数与实系数多项式的因式分解定理，本原多项式的概念、性质，EiSenStein判别法。
高数1考研大纲
考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 高等教学 约56% 线性代数 约22% 概率论与数理统计
约22% 四、试卷题型结构 单选题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以 及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径
(完整word版)大一高数期末考试试题.docx
2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.
本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）
大一高数同济版期末考试题(精) - 副本
高等数学上（1） 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(l i m . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x
江苏专转本高等数学考试大纲
江苏专转本高等数学考试 大纲 Prepared on 22 November 2020
江苏省专转本《高等数学》考试大纲 一、答题方式 答题方式为闭卷，笔试 二、试卷题型结构 试卷题型结构为：单选题、填空题、解答题、证明题、综合题 三、考试大纲 （一）函数、极限、连续与间断 考试内容 函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。 数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。 考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系。 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 （二）导数计算及应用 考试内容 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线、导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数隐函数以及参数方程所确定的函数的导数、高阶导数、一阶微分形式的不变性、微分中值定理、洛必达（L’Hospital）法则、函数单调性的判别、函数的极值、函数的最大值和最小值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘。 考试要求 1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
高等数学二期末考试试题
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321
大一上学期高数期末考试题
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示： 设） 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导 ， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。 ，在处连续。 13.解： ， 四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程：解出特征根： 其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明： 故有： 证毕。
