课时作业(五十二) 第52讲 圆锥曲线中的热点问题
时间：45分钟 分值：100分
基础热身
1．2011·山东实验中学二模 过抛物线y ＝2x 2
的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2
＝( )
A ．－2
B ．－12
C ．－4
D ．－1
16
2．2011·银川一中二模 双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋1
3a 的最小值为( )
A.
33 B.23
3
C ．2
D ．1 3．2011·福州模拟 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2
＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A ．5
B ．8
C.17－1
D.5＋2
4．2011·广东六校联考 过点P (－3,0)的直线l 与双曲线
x
2
16－y
2
9
＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )
A.916
B.34
C.16
9 D ．16 能力提升
5．2011·哈九中月考 抛物线y ＝4x 2
上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C.???
?1
2，1 D ．(1,4) 6．2011·浙江五校联考 已知点F 是双曲线x 2a 2－y
2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过
F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是
( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1＋2)
D ．(2,1＋2)
7．2011·开封模拟 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2
＝4x 上一动点P 到直线l 1
和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.37
16
8．若AB 为过椭圆
x
2
25＋y
2
16
＝1中心的弦，F 1为椭圆的左焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 9．设P 为双曲线x 2
－
y
2
12
＝1右支上的一点，F 1、F 2是该双曲线的左、右焦点．若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2等于( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.2π3
10．2011·银川一中二模 若A 为抛物线y ＝14
x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则·等
于________．
11．2011·龙岩模拟 已知曲线x 2a y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且·＝0(O 为原点)，则1
a
－
1
b
的值为________．
12．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．若一条双曲线与它的共轭
双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，e 21＋e 2
2的最小值是________．
13．2011·重庆卷 设圆C 位于抛物线y 2
＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．
14．(10分)2011·合肥高三质检 已知抛物线y 2
＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .
(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；
(2)设＝α，＝β，试问α＋β是否为定值．若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
15．(13分)2011·山东实验中学二模 已知椭圆E ：x 2a 2＋y
2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率
e ＝
2
2
，点D (0,1)在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；
(2)设过点F 2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G (t,0)，求点G 横坐标t 的取值范围．
(3)试用t 表示△GAB 的面积，并求△GAB 面积的最大值．
难点突破
16．(12分)2011·山东卷 已知动直线与椭圆C ：x
2
3＋y
2
2＝1交于P 、Q 两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝6
2
，
其中O 为坐标原点．
(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 2
2均为定值；
(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；
(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6
2
？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．
课时作业(五十二)
【基础热身】
1．D 解析 抛物线的焦点坐标是?
???0，
18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2
－kx －18
＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－1
16
.
2．B 解析 根据基本不等式b 2
＋13a ≥2b 3a ，只要根据双曲线的离心率是2，求出b
a 的值即可．由于已知双曲线
的离心率是2，故2＝c a ＝a 2
＋b 2
a 2
＝1＋???
?b a 2，解得b a 3，所以b 2
＋13a 的最小值是23
3. 3．C 解析 点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛
物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，即点P 到Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值为17－1.
4．A 解析 A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是???
?
x 1＋x 22
，
y 1＋y 22
，AB 的斜率k 1＝
y 2－y 1
x 2－x 1
，OM 的斜率k 2＝
y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 21x 22
－x 21
，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 22－x 2
1)，故k 1·k 2＝916
. 【能力提升】
5．C 解析 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2
－5|17＝4?
??
?x －
122
＋417
，显然这
个函数当x ＝1
2
时取得最小值，此时y ＝1.
6．B 解析 根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ?
???－c ，b 2
a ，则|AF |＝
b 2a |EF |＝a ＋
c ，只要|AF |<|EF |就能使∠ABF <π4，即b 2a
2 －e －2<0，即－1 7．A 解析 点P 到直线l 2的距离等于到焦点F 的距离，故所求的线段之和的最小值就是焦点F 到直线l 1 的距离，即|4＋6| 32＋4 2＝2. 8．B 解析 设AB 的方程为x ＝my ，代入椭圆方程得16m 2y 2 ＋25y 2 ＝400?y ＝±2016m 2 ＋25 ， 所以S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·220 16m 2＋25 ≤3·4＝12. 9．C 解析 F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×213|y 0| ＝12，故y 20＝12213，代入双曲线方程得x 2 0＝2513，根据对称性取点P ? ?? ? ?51313，121313，此时 |PF 1|＝? ????51313＋132＋? ?? ??1213132 ＝ 13??? ?????18132＋????12132 ＝62 (32 ＋22 ) 13 ＝6，根据双曲线定义可得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝4，即三角形∠F 1PF 2是 三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2 ，故∠F 1PF 2＝π2 10．－3 解析 抛物线方程为x 2 ＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)．设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2 )x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3. 11．2 解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2 b ＝1得，(b －a )x 2 ＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋ x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1. 所以2a ＋2ab a －b －2a a －b ＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 12．4 解析 e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b 2，则e 21＋e 2 2＝a 2＋b 2a 2＋a 2＋b 2b 2＝2＋b 2a 2＋a 2b 2≥2＋2＝4. 13.6－1 解析 由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x 轴上． 设圆心C (a,0)(0＜a ＜3)，则半径为3－a ，于是圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2 ， 将抛物线方程y 2 ＝2x 代入圆的方程得 (x －a )2＋2x ＝(a －3)2，即x 2 －2(a －1)x ＋6a －9＝0， 由Δ＝4(a －1)2－4(6a －9)＝0，即a 2 －8a ＋10＝0，解得a ＝4±6， ∵0＜a ＜3，∴a ＝4－ 6. 故圆C 的半径能取到的最大值为3－a ＝6－1. 14．解答 (1)证明：设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)， 联立方程：?? ? y ＝kx ＋2， y 2 ＝4x ， 得 k 2x 2 ＋(4k －4)x ＋4＝0，① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ??? ?－2 k ，0， 则x 1＋x 2＝－ 4k －4k 2 ，x 1x 2＝4 k 2，② |MA |·|MB |＝1＋k 2 |x 1－0|·1＋k 2 |x 2－0|＝4(1＋k 2 ) k 2 ， 而|MC |2＝??? ?1＋k 2????－2k －02＝4(1＋k 2 )k 2 ， ∴|MC |2 ＝|MA |·|MB |≠0， 即|MA |、|MC |、|MB |成等比数列． (2)由＝α，＝β得， (x 1，y 1－2)＝α????－x 1－2 k ，－y 1， (x 2，y 2－2)＝β??? ?－2 k －x 2，－y 2， 即得α＝ －kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2 ， 则α＋β＝－2k 2 x 1x 2－2k (x 1＋x 2) k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ， 由(1)中②代入得α＋β＝－1， 故α＋β为定值，且定值为－1. 15．解答 (1)b ＝1，e 2＝c 2a ＝a 2－b 2 a ＝12，∴a 2 ＝2，a ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. 解法一：(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入x 2 2 ＋y 2 ＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2 －2＝0. ∵直线AB 过椭圆的右焦点F 2， ∴方程有两个不等实根． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－2 1＋2k 2， x 0＝12(x 1＋x 2)＝2k 2 2k 2＋1，y 0＝k (x 0－1)＝－k 2k 2＋1 ， ∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1 k (x －x 0)． 令y ＝0，得 t ＝x 0＋ky 0＝2k 2 2k 2＋1－k 2 2k 2＋1＝k 2 2k 2＋1＝12－1 4k 2＋2 . ∵k ≠0，∴0 2 . ∴t 的取值范围为????0，1 2. (3)S △GAB ＝12·|F 2G |·|y 1－y 2|＝1 2|F 2G ||k |·|x 1－x 2|. 而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝8(k 2 ＋1) 2k 2 ＋1 ， 0 2 2k 2＋1 ， 可得k 2＝t 1－2t ，k 2＋1＝1－t 1－2t ，2k 2 ＋1＝11－2t . 所以|x 1－x 2|＝22(1－2t ) 1－t 1－2t . 又|F 2G |＝1－t ， 所以S △GAB ＝12(1－t )t 1－2t ·22(1－2t )1－t 1－2t ＝2(1－t )3 t ? ???0 令f (t )＝t (1－t )3 ， 则f ′(t )＝(1－t )2 (1－4t )． 可知f (t )在区间????0，14上单调递增，在区间????14，1 2上单调递减． 所以，当t ＝14时，f (t )有最大值f ????14＝27 256. 所以，当t ＝14时，△GAB 的面积有最大值36 16 . 解法二：(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1， 由????? x ＝my ＋1，x 22 ＋y 2 ＝1，可得(m 2＋2)y 2 ＋2my －1＝0， 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则y 1＋y 2＝－2m m ＋2，y 1y 2＝－1 m ＋2. 可得y 0＝y 1＋y 22＝－m m 2＋2 ， x 0＝my 0＋1＝2 m 2＋2 . ∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－m (x －x 0)． 令y ＝0，得 t ＝x 0＋y 0m ＝2m 2＋2－1m 2＋2＝1 m 2＋2 . ∵m ≠0，∴0 2. ∴t 的取值范围为? ?? ?0， 12. (3)S △GAB ＝1 2 ·|F 2G |·|y 1－y 2|， 而|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2 －4y 1y 2＝8(m 2 ＋1) m 2 ＋2 ， 由t ＝1m 2＋2，而得m 2 ＋2＝1t . 所以|y 1－y 2|＝8??? ?1 t －11 t 2 ＝8t (1－t ). 又|F 2G |＝1－t ， 所以S △MPQ ＝2t (1－t )3 . 所以△MPQ 的面积为2t (1－t )3 ? ???0 下同解法一． 【难点突破】 16．解答 (1)(i)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1. 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 2 1 2＝1.① 又因为S △OPQ ＝ 62，所以|x 1|·|y 1|＝6 2 .② 由①、②得|x 1|＝ 6 2 ，|y 1|＝1. 此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 2 2＝2， (ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知m ≠0，将其代入x 2 3＋y 2 2 ＝1，得 (2＋3k 2)x 2＋6akmx ＋3(m 2 －2)＝0， 其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2 －2)>0， 即3k 2＋2>m 2 ，(*) 又x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2 －2) 2＋3k 2， 所以|PQ |＝1＋k 2 ·(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2 ＝1＋k 2 ·263k 2 ＋2－m 2 2＋3k 2 ， 因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2 ， ， 所以S △OPQ ＝1 2 |PQ |·d ， ＝121＋k 2·263k 2＋2－m 2 2＋3k 2 ·|m |1＋k 2， ＝6|m |3k 2 ＋2－m 2 2＋3k 2 . 又S △OPQ ＝ 62， 整理得3k 2＋2＝2m 2 ，且符合(*)式， 此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝???－6km 2＋3k 2－2×3(m 2 －2)2＋3k ＝3， y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23 (x 21＋x 2 2)＝2. 综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 2 2＝2，结论成立． (2)解法一： ①当直线l 的斜率存在时， 由(1)知|OM |＝|x 1|＝6 2 ，|PQ |＝2|y 1|＝2， 因此|OM |·|PQ |＝ 6 2 ×2＝ 6. ②当直线l 的斜率存在时，由(i)知 x 1＋x 22＝3k 2m ， y 1＋y 22＝k ??? ?x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 2 2m ＝1 m ， |OM |2 ＝????x 1＋x 222＋????y 1＋y 222＝9k 24m 21m 2＝6m 2 －24m 2＝ 12????3－1m 2， |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2) (2＋3k 2)2＝2(2m 2 ＋1)m 2 ＝2????2＋1m 2， 所以|OM |2·|PQ |2 ＝12×???3－1m 2×2×????2＋1m 2 ＝????3－1m 2???2＋1m 2≤? ?????3－1m 2＋2＋1m 222 ＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1 m 2m ＝±2时，等号成立． 综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为5 2 . 解法二： 因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 2 2)＝10， 所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |2 2＝10 2 ＝5. 即|OM |·|PQ |≤5 2 ，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立． 因此|OM |·|PQ |的最大值为5 2. (3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝ 62 . 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62 ， 由(1)得 u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3；v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 2 2＝2， 解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 2 2＝1. 因此u ，x 1，x 2只能从±6 2 中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取， 因此D ，E ，G 只能在? ????± 6 2 ，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6 2 矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G . 课时作业18 对数 时间：45分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( B ) A ．a <1 2 且a ≠1 B ．00且a ≠1 D ．a <12 解析：由对数的概念可知，使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足???? ? a >0，a ≠1， －2a ＋1>0， 解 得0 解析： 5．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋ 2n 等于( D ) A ．3 B.34 C ．9 D.9 2 解析：由已知得a m ＝1 2 ，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝9 2 .故选D. 解析： 二、填空题 解析：由已知得x ＝????123 ， 8．lg(ln e)＋log 2(2·lg10)＝1. 解析：ln e ＝1，lg10＝1， 故原式＝lg1＋log 2(2×1)＝0＋1＝1. 9．已知log 3(log 4x )＝0，log 2(log 3y )＝1，则x ＋y ＝13. 解析：由已知得log 4x ＝1，故x ＝4，log 3y ＝2， 故y ＝32＝9.所以x ＋y ＝4＋9＝13. 三、解答题 10．求下列对数的值： 解： 圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值围为____ （答：11(3,)(,2)22---U ）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 p e c b a ,,,, §2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为 __________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做________________，两焦点间的距离叫做________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________________，焦点F 1________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是____________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D ．x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A ．12 B ．1或3 C ．1＋22 D ．2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆 2．2.2 对数函数及其性质(二) 课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质. 2.掌握对数函数的性质及其应用． 1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5 B.1 5 C.1e D.12 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2 和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x 3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12 log x )的定义域是( ) A ．[1 2，1] B ．[4,16] C ．[116，1 4 ] D ．[2,4] 4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________. 6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________． 一、选择题 1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2 ，c ＝log 45，则( ) A ．a 专题0８解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为,离心率为;圆过椭圆的三个顶点．过点且斜率不为０的直线与椭圆交于两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)证明：在轴上存在定点,使得为定值;并求出该定点的坐标． 【答案】（1)(２） 【解析】试题分析：(Ⅰ)设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得,可得椭圆的方程；(Ⅱ）设直线的方程为,将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为,可得 ,由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明: 由题意设直线的方程为, 由消去ｙ整理得, 设,, 要使其为定值，需满足, 解得 ． 故定点的坐标为 ． 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (１)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意． 2．【四川省成都市第七中学201７－２0１8学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2 :2C y px =（0,p p >为常数)交于不同的两点,M N ,当1 2 k =时，弦MN 的长为15（1)求抛物线C 的标准方程; （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ,且直线MQ 经过点()1,1B -,判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点,请说明理由． 【答案】(1）24y x =；(2)直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析:(1)根据弦长公式即可求出答案; (2)由(1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ,则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=; 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= (1）; 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1)代入()121221t t t t ?=-+- (2) 将(2)代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点． 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 阶段检测卷(五) (圆锥曲线) 时间：分钟满分：分 一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，有且只有一个正确答案，请将答案选项 填入题后的括号中．．已知过点(－，)和()的直线与直线＋－＝垂直，则的值为( ) ．－．．． ．若椭圆＋＝的焦距为，则的值为( ) ．．或 ．．或 ．(年新课标Ⅰ)已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( ) ． ． ．设过点(，)，且斜率为的直线与圆＋－＝相切，则的值为( ) ．±．± ．－±±．设，是双曲线－＝(>，>)的两个焦点，在双曲线上，若·＝，· ＝(为半焦距)，则双曲线的离心率为( ) ． ．已知双曲线：－＝的左、右焦点分别为，，点为的右支上一点，且＝，则△ 的面积等于( ) ．．．．．抛物线＝(>)的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足∠ ＝，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是( )．如图-，，是双曲线－ ＝(>，>)的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，.若△ 为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) 图- ．()) 二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中横线上．．已知双曲线，的顶点重合，的方程为 －＝，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的倍，则的方程为．．若直线：＝＋和直线：＝＋将圆(－)＋(－)＝分成长度相等的四段弧，则＋＝. ．在△中，∠＝°，＝，△＝.若以，为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率＝. 三、解答题：本大题共小题，共分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．(分)已知椭圆：＋＝(>>)的长轴长为短轴长的倍． ()求椭圆的离心率； ()设椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且⊥，求证：直线恒与圆＋＝相切． §3.2 对数函数 3.2.1 对数（一） 课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算． 1．对数的概念 如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即________，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作__________．其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做________，以e 为底的对数叫做________，log 10N 可简记为________，loge N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：log a N a ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数________． 一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为________． 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若 e ＝ln x ，则x ＝e 2 .其中正确的是________．(填序号) 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是_____________________________． 4．方程3log 2x ＝14的解集是________． 5．若log a 5 b ＝ c ，则下列关系式中正确的是________． ①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a . 6．0.51log 4 12-+?? ??? 的值为________． 7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12 x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________. 9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝________. 二、解答题 圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两 个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22 2 21x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 22 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）； 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一 致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用． 1．抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______． (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p 2 ， 焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦 设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论． (1)以AB 为直径的圆与准线________． (2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______. (4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________. 一、选择题 1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( ) A ．x 2＝－92y 或y 2＝4 3x B ．y 2＝－92x 或x 2＝4 3y C ．y 2＝－9 2x D ．x 2＝4 3 y 2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列 B ．既成等差数列又成等比数列 C ．成等比数列 D ．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) [时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1．[2011·辽宁五校二联] 若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1 D ．a ＝2，b ＝ 2 2．[2012·淄博模拟] 函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 3．[2011·莆田质检] 已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( ) 4．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 能力提升 5．设函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2011)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 2 2011)＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．2log a 8 6．[2012·淄博模拟] 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2 ，c ＝log 45，则( ) A ．a 2021年高考数学一轮复习专题五圆锥曲线课时作业含解析文 1．(xx·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝2 2 ，且经过点 (6，1)，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的标准方程； (2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程． 解：(1)由题意可得e ＝c a ＝ 22 ， ∵椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1 b 2＝1， 又a 2－b 2＝c 2 ，解得a ＝22，b ＝2， ∴椭圆E 的标准方程为x 28＋y 2 4 ＝1. (2)连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ，依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠ PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°，∵|OP |＝22，∴|OM |＝42，∴ －4 2 ＋m 2 ＝42， 又m >0，解得m ＝4，∴M (－4,4)， ∴直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ， ∵∠OMP ＝30°，∴∠POM ＝60°，∴∠OPA ＝30°，由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2，∴ |n |12 ＋－1 2 ＝2，解得n ＝±2(舍去负值)， ∴直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 2．如图，分别过椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2的动直线l 1，l 2相交于 P 点，l 1，l 2与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 且这四点两两不同，直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜 率k 1，k 2，k 3，k 4满足k 1＋k 2＝k 3＋k 4.已知当l 1与x 轴重合时，|AB |＝23，|CD |＝43 3 . (1)求椭圆E 的方程； (2)是否存在定点M ，N ，使|PM |＋|PN |为定值？若存在，求出M ，N 点坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)当l 1与x 轴重合时，由2a ＝|AB | ＝23，得a 2 ＝3.又2b 2 a ＝|CD |＝433，所以 b 2 ＝2，所以椭圆E 的方程为x 2 3＋y 2 2 ＝1. (2)焦点F 1，F 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点的坐标为(－1,0)或(1,0)． 当斜率存在时，设直线l 1，l 2的斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 ????? x 23＋y 2 2＝1， y ＝m 1x ＋1 得(2＋3m 2 1)x 2 ＋6m 21x ＋3m 2 1－6＝0， 所以x 1＋x 2＝－6m 2 12＋3m 21，x 1x 2＝3m 2 1－6 2＋3m 21， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2 ＝m 1? ?? ??x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2 ＝m 1? ? ???2＋ x 1＋x 2x 1x 2＝－4m 1 m 21－2 . 同理k 3＋k 4＝－4m 2 m 22－2 . ∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2 m 22－2， 即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0， 由题意得m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0. 课时作业9 对数与对数函数 一、选择题 1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( C ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.???? ??23，＋∞ D.? ?? ?? 23，＋∞ 解析：由????? log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1>0， 即????? log 3(2x －1)≥log 313， x >12，解得x ≥2 3. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)＝1,则f (x )＝ ( A ) A ．log 2x B.12x C ．log 12 x D ．2x －2 解析：由题意知f (x )＝log a x (a >0,且a ≠1),∵f (2)＝1,∴log a 2＝1,∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4,那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( C ) 解析：由f (2)＝2a ＝4,得a ＝2.所以g (x )＝|log 2(x ＋1)|, 则g (x )的图象由y ＝|log 2x |的图象向左平移一个单位得到,C 满足． 4．(惠州市调研)若a ＝20.5 ,b ＝log π3,c ＝log 2sin 2π5,则 ( D ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 解析：依题意,得a >1,01,得c <0,故a >b >c ,故选D. 5．若函数f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为( A ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1,＋∞) D ．[2,＋∞) 解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a ,要使 函数在(－∞,1]上递减,则有????? g (1)>0，a ≥1，即? ???? 2－a >0， a ≥1，解得1≤a <2,即a ∈[1,2)． 6．(洛阳市第一次联考)设a ＝log 36,b ＝log 510,c ＝log 714,则( D ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c 解析：因为a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32,b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52,c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72,因为log 32>log 52>log 72,所以a >b >c ,故选D. 7．(贵阳市摸底考试)20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,这就是我们常说的里氏震级M ,其计算公式为M ＝lg A －lg A 0,其中A 是被测地震的最大振幅,A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显,则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( D ) A ．10倍 B ．20倍 C ．50倍 D ．100倍 解析：根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg10M ＝lg(A 0·10M ),所以A ＝A 0·10M ,则A 0 ×107 A 0×105 ＝ 100.故选D. 二、填空题 8．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1.则a ＝－7. 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 课时作业14 抛物线的简单几何性质 [基础巩固] 一、选择题 1．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＋x 2＝6， 那么|AB |＝( ) A ．8 B ．10 C ．6 D ．4 2．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85 D ．3 3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ， 垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( ) A.7π12 B.2π3 C.3π4 D.5π6 4．若直线y ＝2x ＋p 2 与抛物线x 2 ＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A ．5p B ．10p C ．11p D ．12p 5．已知点P 在抛物线x 2＝4y 上，则当点P 到点Q (1,2)的距离与点P 到抛物线焦点距离 之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(2,1) B ．(－2,1) C ．－1，14 D ．1，14 二、填空题 6．已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为 5，则直线AF 的斜率为________． 7．已知抛物线y 2＝12 x ，则弦长为定值1的焦点弦有________条． 8．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上一点，则|AB |的最小值为________． 三、解答题 9．已知直线x －2y －1＝0被焦点在y 轴上，顶点在原点的抛物线截得的弦长为15，求此抛物线的方程．2020_2021学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1第1课时对数课时作业含解析新人教A版必修1
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