马尔柯夫链预测法 如果事物的发展过程及状态只与事物当时的状态有关，而与以前状态无关时，则此事物的发展变化称为马尔柯夫链。如果系统的安全状况具有马尔柯夫性质，且一种状态转变为另一种状态的规律又是可知的，那么可以利用马尔柯夫链的概念进行计算和分析．来预测未来特定时刻的系统安全状态。 马尔柯夫链是表征一个系统在变化过程中的特性状态，可用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机性的，则变化过程是一个随机过程，当时刻 t 变到时刻1+t ，状态变量从某个取值变到另一个取值，系统就实现了状态转移。系统从某 种状态转移到各种状态的可能性大小，可用转移概率来描述。 假定系统的初始状态可用状态向量表示为： ()()()()()[] 00302010,,,,n s s s s s = (5-19) 状态转移概率矩阵为： ????? ???????=nn n n n n p p p p p p p p p p 21 22221 11211 (5-20) 状态转移矩阵是一个n 阶方阵，满足概率矩阵的一般性质，即满足10≤≤ij p 且 11 =∑=n j ij p 。也就是说，状态转移矩阵的所有行变量都是概率向量。 一次转移向量() 1s 为： ()p s s 0) 1(= 二次转移向量() 2s 为： ()()20)1(2p s p s s ==
类似地 ()()10)1(++=k k p s s 【例5-4】某单位对1250名接触硅尘人员进行使康检查时，发现职工的健康状况分布如表5-6所示。 表5-6 接尘职工健康状况 根据统计资料，一年后接尘人员的健康变化规律为： 健康人员继续保持健康者剩70％。有20％变为疑似硅肺，10％的人被定为硅肺，即 7.011=p , 2.012=p ，1.013=p 原有疑似硅肺者一般不可能恢复为健康者，仍保持原状者为80％，有20％被正式定为硅肺，即 021=p ，8.022=p ，2.023=p 硅肺患者一般不可能恢复为健康或返回疑似硅肺，即 ,031=p 032=p ，133=p 。 状态转移矩阵为： ???? ? ?????=3332 31 232221 131211 p p p p p p p p p p 预测一年后接尘人员的健康状况为： () ()()() () [] ???? ??????=?=3332 31 2322 21131211 03020101p p p p p p p p p S S S p S S
讲义中例题对M/G/1马尔可夫链模型的讨论: 令X n 为第n 个顾客到达系统时系统中的顾客数，这一时刻记为T n . 设在(T n , T n +1]内离开服务台的顾客数为Y n ，则X n +1=X n +1-Y n . 显然 0≤Y n ≤X n . 先证{X n }为马氏链. 表述方法一：事实上，P {X n +1=i +1-j | X n =i , X n -1=i n -1,…,X 0=i 0} = {Y n =j | X n =i , X n -1=i n -1,…, X 0=i 0} = P {Y n =j }。这是因为Y n 与{X n , X n -1,…, X 0}独立，且P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }。故{X n }是一个马氏链。 再求P {X n +1=i +1-j | X n =i }=P {Y n =j }. 1）若01j i ≤≤?，则系统不会出现空闲。故 110 {}{()()|}() ()(())()().! n n n n n j t P Y j N T N T j T T t dG t t N t j g t dt e dG t j μμ∞ ++∞∞ ?==?=?====∫∫∫ 2) 若j i =，此时系统可能出现空闲，故 1100 {}{()()|}()()(())()().!n n n n n k t k i P Y j N T N T j T T t dG t t N t j dG t e dG t k μμ∞ ++∞∞ ∞?=== ?≥?== ≥=∫∑∫ ∫ 表述方法二：在上述求一步转移概率的过程中，若记将一步转移概率记成1()n n P X j X i +==，则 从1()(1)n n n P X j X i P Y i j +====+?，利用0,n n Y X ≤≤则有 1 1.i j +≥≥ （1） 当1j >时，即2,j ≥ 此时系统不会出现空闲，其一步转移概率为： (1)10 ()()(1)()(1)! i j t n n n t P X j X i P Y i j e dG t i j μμ+?∞?+====+?= +?∫ ； （2） 当1j =时，此时系统可能出现空闲，其一步转移概率为： ()10 1()()(1)().!k t n n n k i j t P X j X i P Y i j e dG t k μμ∞ ∞?+=+?====+?=∑∫
马尔可夫预测 马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性 一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性 不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。 该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测， ④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤 ①确定系统状态 有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S 用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L ③计算一步转移概率矩阵
令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为： 1112121 2221 2n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????L L M M M M L ④计算K 步转移概率矩阵 若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。 K 步转移概率矩阵为： 11121212221 2()k n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????L L M M M M L ⑤预测及分析 根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： () ()111210212221 2K n K n n n nn p p p p p p S S p p p ??????=??????L L M M M M L 例题： 设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。 市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。 再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率 用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L （1） ②计算各类产品保留和转购变动率
马尔可夫链模型 马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] ? 1 马尔可夫链模型概述 ? 2 马尔可夫链模型的性质 ? 3 离散状态空间中的马尔可夫链 模型 ? 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 ? 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建 立 o 5.2 马尔可夫模型的应 用 ? 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能 取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s，有 。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处于状态i的概率， 满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X n + 1 | X n) 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：
文献综述 数学与应用数学 马尔柯夫链在班级成绩预测中的应用 马尔柯夫链是数学中具有马尔科夫性质的离散随机过程. 在该过程中, 给定当前信息的情况下, 过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的. 考虑只取有限个或可数个值的随机过程{}n ,0,1,2,X n =K , 若不另外说明, 过程可能取得值的集合将以非负整数集{}0,1,2,K 来表示. 若n X i =, 就说过程在时刻n 处于状态i , 假设每当过程处于状态i , 则在下一时刻处于状态j 的概率是固定的ij P , 也即假设对一切状态011,,,,,n i i i i j -K 及一切0n ≥又 {}1111100,,,,/n n n n ij P X j P X i X i X i X i +--======K , 这样的随机过程称为马尔柯夫链. 式(2.1)解释为, 对马尔柯夫链, 给定现在的状态n X 及过去的状态011,,,n X X X -K , 将来的状态1n X +的条件分布于过去的状态无关, 只依赖于现在的状态, 这称为马尔科夫性. 马尔柯夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型, 它对一个系统由一种状态转移到另一种状态给出了定量分析. 马尔柯夫在1906年首先做出了这类过程. 而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的. 马尔柯夫链与布朗运动以及遍历假说被列为二十世纪初期重要课题, 但马尔柯夫寻求的不仅在于数学动机, 名义上是对于纵属事件大数法则的扩张. 其中, 马尔柯夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟. 这一应用类似于“克里金”地理统计学, 被称为是“马尔柯夫链地理统计学”. 经过近百年的发展已形成完整的理论体系, 并且广泛被应用于社会、经济、科技、生态、农业、环境、医学、水利水电等众多科学领域. 自从我国著名的数学家、教育家中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔柯夫理论引入国内以后, 我国学者对马尔柯夫过程的研究也取得了丰硕的成果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔科夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔柯夫过程与位势理论的关系、多参数马尔柯夫过程等方面做了很多开创性工作, 近年来也不断有新的研究成果推出, 这些都标志着我国数学界对马尔柯夫理论的研究理论研究达到了世界领先水平.
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 1.蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现） 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 7.网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 10.图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 1.预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个
马尔可夫链模型 在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。这种性质称为无后效性或马尔可夫性。通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。 具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。 马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。 马氏链简介： 马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为 0,1,2,n = ，对每个n ，系统的状态用随机变量n X 表示，设n X 可以 取k 个离散值1,2,,n X k = ，且n X i =的概率记作() i a n ，称为状态概 率，从n X i =到1 n X j +=的概率记作ij p ，称为转移概率。如果1 n X +的 取值只取决于n X 的取值及转移概率，而与1 2,,n n X X -- 的取值无关， 那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。 由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为 1 (1)()1,2,,k i j ij j a n a n p i k =+= =∑
并且() i a n 和ij p 应满足 1 1 ()10,1,2,;0 ;1 1,2,,k k j ij ij j j a n n p p i k ====≥==∑∑ 引入状态概率向量和转移概率矩阵 12()((),(),,()) {}k ij k a n a n a n a n P p == 则基本方程可以表为1 (1)()(0)n a n a n P a P ++== 例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。 解：商店的经营状况是随机的，每月转变一次。用随机变量n X 表示第n 个月的经营状况，称为经营系统的状态.1,2 n X =分别表示 好与不好，0,1,n = 。用() i a n 表示第n 月处于状态i 的概率（1,2i =） 即()()i n a n P X i ==，ij p 表示本月处于状态i ，下月转为状态j 的概率。 这里1 n X +无后效性，只取决于n X 和ij p 。 112112220.5,0.4,0.5,0.6p p p p ==∴== 根据全概率公式可以得到： 11112212112222 (1)()()0.50.5(1)()(1)()()0.4 0.6a n a n p a n p a n a n P P a n a n p a n p +=+??? ?+==? ?+=+?? ? 假设这个递推公式存在极限w ，有w w P = ，即()0w P E -=。于 是当经营状况好或孬时，经计算可以得到下面的结果
利用马尔柯夫链对天津市恩格尔系数的实证分析 把天津市恩格尔系数的变化过程看成是一个马尔可夫链，并针对恩格尔系数的特点引入恩格尔系数增减率，建立天津市恩格尔系数变化对马尔可夫链模型，并进行预测分析，以供有关方面参考。 标签：马尔柯夫链天津市恩格尔系数 1 分析背景 恩格尔系数是从一个方面反映一个国家或地区消费结构状况，衡量居民生活水平高低，且被世界各国广泛采用的消费结构指标。联合国粮农组织(FAO)根据各国的消费习惯，利用恩格尔系数对一个国家或地区的居民生活质量提出了一个相对标准，即60%以上为绝对贫困，50%-60%为勉强度日，40%-50%为小康，30%-40%为富裕，30%以下为最富裕。联合国粮农组织的这一举措，使恩格尔系数成为评价国家或地区生活水平高低的重要标准之一，恩格尔系数和恩格尔定律得到了广泛的认同。 中国从改革开放以来，随着经济发展，居民收入差距扩大，消费档次逐步拉开，引起人们对恩格尔系数普遍关注。另外，中国宣布“总体达到小康”，其衡量标准之一就是恩格尔系数。我国劳动和社会保障部确定最低工资标准的方法之一就是恩格尔系数法。因此研究恩格尔系数具有和重要的现实意义。 2 马尔可夫链 马尔可夫链的数学定义为：设随机过程的状态空间S为R中的可列集。如果对T中任意n个参数t1＜t2＜…tn，以及使 成立的S中任意状态i1，…in-1与in均有则称为马尔可夫链。设I为离散的马尔可夫链的状态空间。称条件概率 ，为的h步转移概率。转移概率表示已知过程在m的马尔可夫链称为齐次马尔可夫链。此时，k步转移概率可以记为p(k)。当时k=1，称为一步转移概率，简记为p；并且p(k)=pk，k≥1。概率转移矩阵中的元素具有非负性以及行和为1两个性质。 应用马尔可夫链的方法预测的基本思路是:如果某种事物或某种现象的各状态的时间序列为马尔可夫链，则根据T(u-1)时刻的状态估计或预报T(u)时刻的状态。对于一个符合马尔可夫过程的时间序列，先根据具体情况，将其划分成若干离散的状态，再计算一阶转移概率矩阵。由T(u-1)时刻的S(u-1)某状态，经一步转移到T(u)时刻的S(u)某状态的概率，称为一步转移概率。一步转移概率为：，其中ωu为状态S(u)出现的次数，ωuk为从状态S(u)转移到状态S(k)的次数，puk 为由状态S(u)经过一阶转移到状态S(k)的转移概率。
数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数；
3．5 马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
马氏链模型 教学目的: 通过教学，使学生掌握马尔可夫链的基本知识，掌握建立马氏链模型的基本方法，能用马氏链模型解决一些简单的实际问题。 教学重点和难点: 建立马氏链模型的基本思想和基本步骤。 教学内容： 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术．这种技术已在市场预测分析和市场管理决策中得到广泛应用，近年来逐步被应用于卫生事业管理和卫生经济研究中．下面扼要介绍马尔可夫链的基本原理以及运用原理去进行市场预测的基本方法． （1）马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n}的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n}具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n}的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关． 对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j的一步转移概率： 若假定上式与n无关，即，则可记为（此时，称过程是平稳的），并记 （1）称为转移概率矩阵． 例1 设某抗病毒药销售情况分为“畅销”和“滞销”两种，
按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握）
一、用法,用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果,算法得步骤,公式?三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法得备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法就是应用概率论中马尔可夫链（Marｋov ｃhain)得理论与方法来研究分析时间序列得变化规律,并由此预测其未来变化趋势得一种预测技术. 什么时候用 应用马尔可夫链得计算方法进行马尔可夫分析，主要目得就是根据某些变量现在得情?况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生得变动，作为提供某种决策得依 据. 马尔可夫链得基本原理 我们知道，要描述某种特定时期得随机现象如某种药品在未来某时期得销售情况，比如说第n季度就是畅销还就是滞销，用一个随机变量Ｘｎ便可以了，但要描述未来所有时期得情况，则需要一系列得随机变量Ｘ１，X2，…,X n,…。称｛ Xｔ，t∈Ｔ,Ｔ就是参数集}为随机过程，{ Xｔ｝得取值集合称为状态空间。若随机过程｛X n｝得参数为非负整数, X Xｎ }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔ｎ为离散随机变量，且{ 可夫链（简称马氏链)。所谓无后效性,直观地说，就就是如果把{ X n｝得参数n瞧作时间得话,那么它在将来取什么值只与它现在得取值有关,而与过去取什么值无关。 对具有N个状态得马氏链,描述它得概率性质，最重要得就是它在ｎ时刻处于状态i下一时刻转移到状态j得一步转移概率： 若假定上式与ｎ无关，即,则可记为（此时,称过程就是平稳得），并记 （1) 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）．即每个元素非负。 （2）。即矩阵每行得元素与等于1。 如果我们考虑状态多次转移得情况,则有过程在n时刻处于状态i，ｎ＋ｋ时刻转移到状态j得ｋ步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与ｎ无关，可写成。记
马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：
马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
马氏链模型及m a t l a b 程序 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法的备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。 什么时候用 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。 马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．
对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率： 若假定上式与n 无关，即 ====)()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记 ?? ? ? ?? ? ? ?=N N N N N N p p p p p p p p p P 2 12222111211 （1） 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）N j i p j i ,,2,1,,0 =≥．即每个元素非负． （2）N i p N j j i ,,2,1,11 ==∑=．即矩阵每行的元素和等于1． 如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成) (k j i p ．记 ???? ??? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （2） 称为k 步转移概率矩阵．其中) (k j i p 具有性质： N j i p k j i ,,2,1,,0) ( =≥； N i p N j k j i ,,2,1,11 ) ( ==∑=． 一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （3）
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例 五、前面国赛用到此算法的备注一下 马氏链模型 用来干什么 马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。 什么时候用 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。 马尔可夫链的基本原理 我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量X1，X2，…，X n，…．称{ X t，t∈T ，T是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n为离散随机变量，且{X n}具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{X n}的参数n看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关． 对具有N个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n时刻处于状态i下一时刻转移到状态j的一步转移概率：
若假定上式与n 无关，即 ====)()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记 ?? ? ? ??? ? ?=N N N N N N p p p p p p p p p P 2 12222111211 （1） 称为转移概率矩阵． 转移概率矩阵具有下述性质： （1）N j i p j i ,,2,1,,0 =≥．即每个元素非负． （2）N i p N j j i ,,2,1,11 ==∑=．即矩阵每行的元素和等于1． 如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率： 同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成) (k j i p ．记 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （2） 称为k 步转移概率矩阵．其中) (k j i p 具有性质： N j i p k j i ,,2,1,,0) ( =≥； N i p N j k j i ,,2,1,11 ) ( ==∑=． 一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵 ???? ?? ? ??=)()(2 )(1 )(2)(22)(21)(1)(12) (11) (k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P （3） （2）状态转移概率的估算 在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下