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2015年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(文科)及答案

2015年高考数学真题分类汇编专题06 数列文

1.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若

844S S =，则10a =（）

（A ）

172 （B ）19

（C ）10 （D ）12 【答案】B

【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +

??=+??，解得1a =1

，∴101119

9922

a a d =+=

+=，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式

【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.

2.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5

【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以

15a =；

若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=?=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =；

故答案为5

【考点定位】等差数列的性质.

【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然

后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+?+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.

3.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ．【答案】1

【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2

551b ac ==+-=，因为

0b >，所以1b =，所以答案应填：1．

【考点定位】等比中项．

【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．

4.【2015高考福建，文16】若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的

零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________．【答案】9

【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比

数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，4

b a

=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4

是等差中项时，

2a a

=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．【考点定位】等差中项和等比中项．

【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．

5.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．【答案】

,13

- 【解析】由题可得，2

111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3

d a =-=

. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以

及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.

6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若

126n S =，则n = .

【答案】6

【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，

∴2(12)

12612

n n S -==-，∴264n =，∴n=6.

考点：等比数列定义与前n 项和公式

【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.

7.【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，2

1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27

【解析】∵2≥n 时，2

1,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，2

为公差的等差数列 ∴271892

289199=+=??+

?=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.

【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.

8.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

n a n b n -=+，求12310b b b b +++???+的值．

【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．

【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．

由已知得()()11143615

a d a d a d +=???+++=??，

解得13

1a d =??=?

．

所以()112n a a n d n =+-=+．（II ）由（I ）可得2n n b n =+．

所以()()()()

231012310212223210b b b b +++???+=++++++???++

()()2310222212310=+++???+++++???+

()()102121101012

-+?=

()112255=-+ 112532101=+=．

【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．

【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）；

（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）． 9.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，

432a a -=．

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n = . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =. 所以61642128b -=?=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.

【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，等比数列的通项公式：11n n a a q -=．

10.【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

n n n n a b S S ++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（Ⅰ）1

2n n a -=（Ⅱ） 1122

n n ++--

【解析】

（Ⅰ）由题设可知83241=?=?a a a a ，又941=+a a ，可解的??

?==8141a a 或???==18

1a a （舍去）由3

14q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .

（Ⅱ）122

1211)1(1-=--=--=

n n n n q q a S 又11111

n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=

==-

所以1113221211

111...1111...++-=???? ??-++???? ??-+???? ??-=+++=n n n

n n S S S S S S S S b b b T

111

=+n .

【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n 项和，以及利用裂项相消法求和.

【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+，则q p n m a a a a =”，是解决本题的关键，同时考生发现11111

n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-

是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.

11.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =

，35

a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；

（2）证明：112n n a a +??

????

为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．

【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()1

1212n n a n -??

=-? ?

．

【解析】

试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为

2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +?

?-????

是等比数列；

（3）先由（2）可得数列112n n a a +??-????的通项公式，再将数列112n n a a +?

?-????的通项公式转化为数列12n n a ??

????????

???????

是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式．试

题

解

析

：（

）

当

n =时，

4231

458S S S S +=+，即

435335415181124224a ??????

+++++=+++ ? ? ???????

，解得：478a =

（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125

441644

a a a +=?

+==，所以21

44n n n a a a +++=，因

为

()212111111111

4242212142422222

n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====

----，所以数列

112n n a a +?

?-??

是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +??

????

是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以

11122n n n a a -+??-= ?

即

41122n n n n

a a ++-=???? ? ???

??，所以数列12n n a ????

??????

???????

是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n

a n n =+-?=-??

???

，即()()1

11422122n

n n a n n -????=-?=-? ? ?????，所以数列{}

n a 的通项公式是()1

1212n n a n -??

=-? ?

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.

【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．

本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2n ≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：

n n

a q a +=（常数）

，等比数列的通项公式：11n n a a q -=，等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-．

12.【2015高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n

n n

a c

b =

，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）1

21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),9

29().9n n n a n b -?=+????=???

；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.

【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.

13.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，

（I ）证明：23n n a a +=；（II ）求n S 。

【答案】（I ）略；(II) 2

*2*23

(531),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈?? 【解析】

试题分析：（I ）当*

,2n N n ∈≥时，由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，

113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项

与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.

试题解析：（I ）由条件，对任意*n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，因而对任意*

,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，故对一切*n N ∈，23n n a a +=。（II ）由（I ）知，0n a ≠，所以

3n n

a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==?，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++

3(31)

(133)2(133)3(133)2

n n n n ----=+++++=++=

从而1221223(31)3

23(531)22

n n n n n n S S a ----=-=-?=?-，

综上所述，2*2*23

(531),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈??。【考点定位】数列递推关系、数列求和

【名师点睛】已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.

14。【2015高考湖南，文21】（本小题满分13分）函数2

()cos ([0,)f x ae x x =∈+∞，记n

为()f x 的从小到大的第*

()n n N ∈个极值点。（I ）证明：数列{()}n f x 是等比数列；

（II ）若对一切*

,()n n n N x f x ∈≤恒成立，求a 的取值范围。

【答案】（I ）略；

(II) 2,)π

-+∞

【解析】

试题分析：（I

）由题()cos()4

x f x x π

+ ，令()0f x '= ，求出函数的极值点，根据

等比数列定义即可得到结果；(II)

由题意问题等价于

n e n ππππ-

≤-恒成立问题，设

()(0)

e g t t t

=>，然后运用导

数

知

识

得

到

2min 1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ

πππ====

，所以24

e π

≤，求

得2a π

-≥，得到a 的取值范围；

试题解析：（I

）()cos sin cos()4

x x x f x ae x ae x x π

'=-=

令()0f x '=，由0x ≥，得42x m πππ+=-，即*3,4

x m m N π

π=-∈，

而对于cos()4

x π

，当k Z ∈时，

若22242k x k π

ππ-

，即32244k x k ππππ-

<<+，则cos()04x π

+>；

若322242k x k πππππ+<+<+，即52244k x k ππππ+<<+，则cos()04

x π

+<；

因此，在区间3((1),)4m m πππ--与3(,)44

m m ππ

ππ-+上，()f x '的符号总相反，于

是当*3,4x m m N ππ=-∈时，()f x 取得极值，所以*3,4

n x n n N π

π=-∈，此时，

334

43()cos()(1)4n n n n f x ae

n π

ππππ-

-+=-=-，易知()0n f x ≠，而

1()()n n f x e f x π+==-是常数，故数列{()}n f x

是首项为41()f x ae π

=，公比为e π-的等比数列。

（II ）对一切*

,()n n n N x f x ∈≤

恒成立，即34

34n n π

πππ--≤恒成立，亦即

n e n π

πππ-

≤-恒成立，

设()(0)t e g t t t =>，则2

(1)

()t e t g t t -'=，令()0g t '=得1t =，

当01t <<时，()0g t '<，所以()g t 在区间(0,1)上单调递减；当1t >时，()0g t '>，所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增；因为(0,1)n x ∈，且当2n ≥时，1(1,),,n n n x x x +∈+∞<所以

2min

1254[()]min[(),()]min[(),()]()444n g x g x g x g g g e ππ

πππ

====

因此，*

,()n n n N x f x ∈≤

恒成立，当且仅当24e ππ≤

，解得2a π

-≥，

故实数a

的取值范围是2,)π

-+∞。

【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质

【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．

15.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +?

????

的前

n 项和为

n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设()12n a

n n b a =+?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 1

4(31)4.9

n n n T ++-?=

【解析】

（I ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得

1211

a a =，所以123a a =. 令2,n =得

12231125

a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-

（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+? 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-?

114(14)13444,1433n n n n n ++--=-?=?--

所以113144(31)44.999

n n n n n T ++-+-?=?+=

【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.

【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等，解答本题的关键，首先是注意运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数，或忘记从3n T -化简到n T .

本题是一道能力题，属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.

16.【2015高考陕西，文21】设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥

(I)求(2)n f '；

(II)证明：()n f x 在20,3??

???

内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n

n a ??<-< ???.

【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.

试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++ ，

所以1(2)1222n n f n -'=+?++ ① 由 22(2)12222n n f n '=?+?++ ② ①-②得21(2)12222n n n f n -'-=++++-

122(1)2112

n n n n -=

-?=---，所以 (2)(1)21n n f n '=-+ (II)因为(0)10f =-<

222133222()112120233313

n n f ????- ? ? ?????????=

-=-?≥-?> ? ?????

-，

所以()n f x 在2(0,)3

内至少存在一个零点，又1()120n n f x x nx -'=+++> 所以()n f x 在2

(0,)3

内单调递增，

因此，()n f x 在2(0,)3

内有且只有一个零点n a ，

由于1()11n

n x f x x -=--，

所以10()11n

n n n n

a f a a -==--

由此可得1111222

n n n a a +=+> 故

n a << 所以1

11112120222333n n

n n n a a ++????

<-=

?????

【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.

【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明

零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.

17.【2015高考四川，文16】设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且

a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1

{

a 的前n 项和为T n ，求T n . 【解析】(Ⅰ) 由已知S n ＝2a n －a 1，有

a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)

即a n ＝2a n －1(n ≥2)

从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)

所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2

所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列故a n ＝2n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得112n n a =所以T n ＝211[1()]111122 (11222212)

n n n

-+++==-- 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力.

【名师点睛】数列问题放在解答题第一题，通常就考查基本概念和基本运算，对于已知条件是S n 与a n 关系式的问题，基本处理方法是“变更序号作差”，这种方法中一定要注意首项a 1是否满足一般规律(代入检验即可，或者根据变换过程中n 的范围和递推关系中的表达式判断).数列求和时，一定要注意首项、公比和项数都不能出错.同时注意，对于较为简单的试题，解析步骤一定要详细具体，不可随意跳步.属于简单题.

18.【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式;

（II ）设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.

【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;（II ）()2323n

n S n =-+

【解析】

（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;（II ）用错位相减法求和.

试题解析:（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,

q d q d ?-=?-=?

消去d 得4

280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,

{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .

（II ）由（I ）有()1

212

n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则

()0121123252212,n n S n -=?+?+?++-? ()1232123252212,n n S n =?+?+?++-?

两式相减得()()2

12222122323,n

n S n n -=++++--?=--?-

所以()2323n

n S n =-+ .

【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力. 【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.

19.【2015高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，

*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈

*1231111

1(n N )23n n b b b b b n

+++++=-∈ .

（1）求n a 与n b ；

（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)2;n

n n a b n ==；(2)1

*(1)22()n n T n n N +=-+∈

【解析】

(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和. 试题解析：(1)由112,2n n a a a +==，得2n

n a =. 当1n =时，121b b =-，故22b =. 当2n ≥时，

11n n n b b b n +=-，整理得11

n n b n b n

++=

，所以n b n =.

(2)由(1)知，2n

n n a b n =?

所以2

222322n

n T n =+?+?++?

2341222232(1)22n n n T n n +=+?+?++-?+?

所以2

1222222(1)22n

n n n n n T T T n n ++-=-=++++-?=--

所以1

(1)2

2n n T n +=-+.

【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力. 20.【2015高考重庆，文16】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9

. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式，

(Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）+1

n n a ，（Ⅱ）21n n T =-. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知及等差数列的通项公式和前n 项和公式可得关于数列的首项a 1和公式d 的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可求出b 1和b 4的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的

前n 项和公式1(1)

1n n b q T q

-=-即可求得数列{}n b 前n 项和n T ．

试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得

11329

22,3,22

a d a d ′+=+

= 化简得113

22,,2

a d a d +=+=

解得11

=1,2

a d =，

故通项公式1=1+2n n a -，即+1

=2n n a .

(2)由（1）得141515+1

=1==82

b b a =，. 设{}n b 的公比为q,则34

q 8b b ==,从而2q =. 故{}n b 的前n 项和

1(1)1(12)21112

n n n n b q T q -?===---.

【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列.

【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.

本题属于基础题，注意运算的准确性.

【2015高考上海，文23】（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*∈N n . （1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；

（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*

∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；

（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*

∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*∈N n ，

0n a ≠，且

(,6)6m n

a a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4

. 【解析】（1）因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ，所以)(211n n n n b b a a -=-++6)5383(2=--+=n n ，

所以}{n a 是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n . （2）由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，

所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=，因为n n a a ≥0，*∈N n ，

所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0，所以}{n b 的第0n 项是最大项.

（3）因为n n b λ=，所以)(211n n n n a a λλ-=-++，

当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+???+-+-=--- λλλλλλ

λ3)(2(2)(22211

+-+???+-+-=---n n n n

λλ+=n 2，当1=n 时，λ31=a ，符合上式，所以λλ+=n n a 2，

因为031<=λa ，且对任意*∈N n ，

)6,6

(1∈n a a ，故0

2<+=λλa ，于是)0,2

(-∈λ，此时对任意*∈N n ，0≠n a ，当02

<<-

λ时，λλλ>+=n n a 22||2，λλλ<+-=--1212||2n n a ，由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为022

2<+=λλa ，最小值为λ31=a ，由题意，

n m a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及3

1212+=λa a ，由

61312>+λ及6123<+λ，解得04

1<<-λ，综上所述，λ的取值范围是)0,4

(-.

【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.

【名师点睛】数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁，在高考中的地位举足轻重，近年来的新课标高考都把数列作为核心内容来加以考查，并且创意不断，

2015高考数学分类汇编数列

专题六数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由，得，解得．因此数列为“M—数列”. （2）解：①因为，所以．由得，则 . 由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ，所以，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)

2017年高考试题分类汇编之数列一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a

2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14）若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128

2014高考数学真题分类汇编- 数列

D 单元数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1 －a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n b n ，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n － 1，求数列{a n }的前n 项和S n . 17．解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2，所以数列{c n }是以c 1＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1，知a n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32 ＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1. 17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ. (2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 17．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ. (2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由(1)知，a 3＝λ＋1. 若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2. 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 17．、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明???? ??a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32 . 17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3? ???a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以???? ??a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n 2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12 . (2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1 . 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3 n －1，即1a n ＝23n －1≤13n －1.

2015-2019全国卷高考数学分类汇编-数列

2014年1卷 17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 2014年2卷 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112 n a a a ++<…+. 2015年1卷 (17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和 2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （16）设S n 是数列{a n }的前项和，且111 1,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________． 2016年1卷（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。 2016-2 17.（本小题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 2016-3 （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,, ,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个（17）（本小题满分12分）已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式（II ）若53132 S = ，求λ 2017-1 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22 ，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2017-2 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑ ．

2020真题数学分类汇编—数列

2020高考真题数学分类汇编—数列一、选择题（共9小题） 1．（2020?浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（） A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b8 2．（2020?北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（） A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项 3．（2020?新课标Ⅰ）设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（） A．12B．24C．30D．32 4．（2020?新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位大三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（） A．5B．8C．10D．15 5．（2020?新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i+m＝a i（i ＝1，2…）的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k （k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2， 3，4）的序列是（） A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…

高考数学《数列》分类汇编及解析

高考数学《数列》分类汇编及解析一、选择题（共18题） 1．（北京卷）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42 (81)7 n +- 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列求和公式可得D 2．（北京卷）如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9 解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B 3．（福建卷）在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.45 解：在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d =3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B. 4．（广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D. 2 解：33025515 2051 1=??? ?=+=+d d a d a ，故选C. 5．（湖北卷）若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由3 10a b c ++=可b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，

高考数学试题知识分类汇编数列

高考数学试题汇编数列重庆文1 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 重庆理1 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 安徽文3 等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 辽宁文5 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 福建文2 等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30 广东理5

已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 湖北理5 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111 lim 111p q n n n ∞ ??+- ??? =??+- ??? →（ C ） A ．0 B ．1 C ． p q D ．11 p q -- 湖南文4 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a = ，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 湖北理8 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 湖南理10 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 {}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ?????? ≠???? ????? ?，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ B ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 辽宁理4 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27

2019年上海市高三二模数学分类汇编—数列

二模真题汇编-数列一、填空题 1.（2019宝山二模11）已知无穷等比数列…123,,,a a a 各项和为92,且2=2a -,若49 ||102n S --<,则n 的最小值为_____. 【答案】10 【解析】题意可得1 221 91299402 a q q q a a q ?=? -?--=??==-?则1241,33q q ==-（舍去前者）16a =则 44416(1( )) 9 9913||10101012 2231()3 n n n S -----??-

【答案】【解析】，该式有极限，则且极限于0，则等价于，整理得，解得 4.（2019奉贤二模7）7. 设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是【答案】【解析】由题意有，即，因为，可解得 5.（2019黄浦二模3）计算：【答案】【解析】 6. （2019黄浦二模7）若等比数列的前项和，则实数【答案】【解析】，，所以， 21-5q q a q a q q a q q a S S n k k n k n --=-----=-+++11)1(1)1(111111110<>2 312a a a a ???>>q a q a a q a 1211110a <10<

2020年高考数学试题分类汇编专题数列理精品

2020年高考试题数学（理科）数列一、选择题: 1. (2020年高考天津卷理科4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和, * n N ∈,则10S 的值为 A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．110 已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项， n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为 A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．110 【答案】D. 【解析】∵2,9327-=?=d a a a ，∴)16)(4()12(112 1--=-a a a ，解之得201=a ， ∴110)2(2 9 10201010=-?+ ?=s . 2. (2020年高考江西卷理科5)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 答案：A 解析：212122,1S a a S a =+=∴=Q 31233,1S S S a =+=∴=Q ，41344,1S S S a =+=∴=Q ，101a =L 224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5

【答案】D 【解析】22111(21)(11)k k k k S S a a a k d a k d +++-=+=++-+++- 12(21)a k d =++21(21)244245k k k =?++?=+=?=故选D 。 5.(2020年高考上海卷理科18)设{}n a 是各项为正数的无穷数列， i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =L ），则{}n A 为等比数列的充要条件为（） A ．{}n a 是等比数列。 B ．1321,,,,n a a a -L L 或242,,,,n a a a L L 是等比数列。 C ．1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列。 D ．1321,,,,n a a a -L L 和242,,,,n a a a L L 均是等比数列，且公比相同。【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大. 【答案】D 【解析】由题意知i A =1i i a a +，若{}n A 是等比数列，则 1n n A A +=121n n n n a a a a +++=2n n a a +为非0常数，即21A A =31a a ，32A A =42 a a ，……， ∴135,,,a a a L 和246,,,a a a L 成等比数列，且公比相等；反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则1n n A A +=2 n n a a +=q ，则{}n A 是等比数列，故选D. 二、填空题 1. (2020年高考广东卷理科12)设n S 是等差数列* {}()n a n N ∈的前n 项和，且 141,7a a ==，则5______S = 答案：25 解析：由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5 252 S +?= =。 2. (2020年高考广东卷理科11)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若 141,0k a a a =+=，则k = .

近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题 1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足?? ? ??-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+?++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14. 2.（ 2010年上海高考文12）在n 行m 列矩阵12321 234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---?? 中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???，当9n =时，11223399a a a a +++???+= . 答案：45 3．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （* n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞ = 答案： 1 2 4.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（* n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞ = 答案：1 5.（2011年上海高考文2）3lim(1)3 n n n →∞ - =+ 答案：2- 6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0l im||n n Q P →∞ = 答案：3 7.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、 2 1 为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞ →)(lim 21n n V V V . 答案： 8 7 8.（2012年上海高考文14）已知1 ()1f x x = +，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012 a a =，则2011a a +的值是 . 答案： 3+13526 9. (2013年上海高考理1）计算：20 lim 313 n n n →∞+=+ ．

高考数学分类汇编：数列

2016年高考数学试题分类汇编数列一、选择题 1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且 *1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ， *1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N . (P ≠Q 表示点P 与Q 不重合) 若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（） A.{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{} 2 n d 是等差数列【答案】A 二、填空题学科网 1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20. 2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ?N ，{23}n S ?，则k 的最大值为 . 【答案】4

三、解答题 1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比329 33 b q b = ==，所以2 11b b q = =，4327b b q ==．设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，???）．（II ）由（I ）知，21n a n =-，1 3n n b -=．因此1 213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和 ()11321133n n S n -=++???+-+++???+ ()12113213n n n +--=+-学科网 2 31 2 n n -=+． 2、（2016年江苏省高考）记{}1,2,100U =…， .对数列{}( )* n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?,定义0T S =;若 {}12,,k T t t t =…，，定义1 2 +k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+. 现设{}( )* n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . （1）求数列{}n a 的通项公式；

全国各地高考数学试题数列分类汇编

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 11111132433(3)24996732022 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-， ∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =- 【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+=+=，联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A ．24- B ．3- C ．3 D ．8 【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2 3 26a a a =?，即()()()2 11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =- ∴()616565 61622422 S a d ??=+=?+?-=-，故选A. 6．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{} n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165 6615482 S a d a d ?=+=+=，联立112724 ,61548 a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C.

2014年高考数学理科分类汇编专题06_数列

1. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 . 4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >

5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) 139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列 6. 【2014天津高考理第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ．

8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= . 9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列{}n a 是等差数列，若135 1,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________. 10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8

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