15.2.3 整数指数幂
1．理解整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题．
2．理解零指数幂和负整数指数幂的意义．
3．负整数指数幂在科学记数法中的应用．
一、阅读教材P 142～144，完成预习内容．
知识探究
1．正整数指数幂的运算有：(a≠0，m ，n 为正整数)
(1)a m ·a n ＝________； (2)(a m )n
＝________；
(3)(ab)n ＝________； (4)a m ÷a n ＝________； (5)? ??
??a b n ＝________； (6)a 0＝________. 2．负整数指数幂有：a －n ＝1a n (n 是正整数，a ≠0)． 自学反馈
1．(1)32＝______，30＝______，3－2＝______；
(2)(－3)2＝______，(－3)0＝______，(－3)－2＝______；
(3)b 2＝______，b 0＝______，b －2＝______(b≠0)．
2．(1)a 3·a －5＝________________；
(2)a －3·a －5＝________________；
(3)a 0·a －5＝________________；
(4)a m ·a n ＝________________(m ，n 为任意整数)．
a m ·a n ＝a m ＋n 这条性质对于m ，n 是任意整数的情形仍然适用．
同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算．
二、阅读教材P 145，完成下列问题．
1．填空：
(1)绝对值大于10的数记成________的形式，其中1≤︱a ︱<10，n 是正整数．n 等于原数的整数数位________1.
(2)用科学记数法表示：100＝________；2 000＝________；33 000＝________；864 000＝
________.
2．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值小于1的数，即将它们表示成________的形式．(其中n 是正整数，1≤|a|＜10)
3．用科学记数法表示：0.01＝________；0.001＝________；
0．003 3＝________.
自学反馈
1．(1)0.1＝____________；(2)0.01＝____________；
(3)0.000 01＝____________；(4)0.000 000 01＝____________；
(5)0.000 611＝____________；
(6)－0.001 05＝____________；
(7)1＝____________.
当绝对值较小的数用科学记数法表示为a×10－n
时，a 的取值一样为1≤︱a ︱＜10；n
是正整数，n 等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数．(包括小数点前面的0)
2．用科学记数法表示：
(1)0.000 607 5＝____________；
(2)－0.309 90＝____________；
(3)－0.006 07＝____________；
(4)－1 009 874＝____________；
(5)10.60万＝____________．
活动1 小组讨论
例1 计算：(1)(a －1b 2)3；(2)a －2b 2·(a 2b －2)－3.
解：(1)原式＝a －3b 6＝b 6a 3. (2)原式＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8
a 8. 例2 下列等式是否正确？为什么？
(1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)? ??
??a b n ＝a n b －n . 解：(1)正确．理由：a m ÷a n ＝a
m －n ＝a m ＋(－n)＝a m ·a －n . (2)正确．理由：? ????a b n ＝a n b n ＝a n ·1b n ＝a n b －n .
活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)(a ＋b)
m ＋1·(a ＋b)n －1； (2)(－a 2b)2·(－a 2b 3)3
÷(－ab 4)5；
(3)(x 3)2÷(x 2)4·x 0；
(4)(－1.8x 4y 2z 3)÷(－0.2x 2y 4z )÷(－13
xyz)． 2．已知||b －2＋(a ＋b －1)2＝0.求a 51÷a 8的值． 3．计算：x n ＋2·x n －2÷(x 2)
3n －3. 4．已知：10m ＝5，10n ＝4.求102m －3n 的值．
5．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 326 7；(2)－0.001 1.
6．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(3×10－5)×(5×10－3)；
(2)(－1.8×10－10)÷(9×10－5)；
(3)(2×10－3)－2×(－1.6×10－6)；
活动3 课堂小结
1．n 是正整数时，a －n 属于分式．并且a －n ＝1a n (a≠0)． 2．小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n 的形式．其中1≤a<10，n 是正整数．
【预习导学】
知识探究
1．(1)a m ＋n (2)a mn (3)a n b n (4)a m －n (5)a n
b n (6)1 自学反馈
1．(1)9 1 19 (2)9 1 19 (3)b 2 1 1b 2 2.(1)a －2＝1a 2 (2)a －8＝1a 8 (3)a －5＝1a 5 (4)a m ＋n 知识探究
1．(1)a×10n 减去 (2)102 2.0×103 3.3×104 8.64×105 2.a×10－n 3.1×10－2 1×10－3 3.3×10－3
自学反馈
1．(1)1×10
－1 (2)1×10－2 (3)1×10－5 (4)1×10－8 (5)6.11×10－4 (6)－1.05×10－3
(7)1×10－n 2．(1)6.075×10－4 (2)－3.099×10－1 (3)－6.07×10－3
(4)－1.009 874×106 (5)1.06×105
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．(1)原式＝(a ＋b)m ＋1＋n －1＝(a ＋b)m ＋n .(2)原式＝a 4b 2·(－a 6b 9)÷(－a 5b 20)＝a 5b －9＝a 5
b 9.(3)原式＝x 6÷x 8·x 0＝x －2＝1x 2.(4)原式＝－(1.8÷0.2×3)·x 4－2－1·y 2－4－1·z 3－1－1＝－27xy －3z ＝－27xz y 3. 2.∵||b －2＋(a ＋b －1)2＝0，∴b －2＝0，a ＋b －1＝0.∴b＝2，a ＝－1.∴a 51÷a 8＝(－1)51
÷(－1)8
＝－1. 3.原式＝x n ＋2＋n －2÷x 6n －6＝x 2n －6n ＋6＝x 6－4n . 4.102m －3n ＝102m ·10－3n ＝（10m ）2（10n ）3＝5243＝2564
. 5.(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3. 6.(1)原式＝3×5×10－5×10－3＝
1.5×10－7.(2)原式＝(－1.8÷9)×10
－10÷10－5＝－2×10－6.(3)原式＝14×106×(－1.6)×10－6＝－4×10－1.
整数指数幂 1、教材分析 教学目标：掌握负整数指数幂的意义，并会运用负整数指数幂的运算性质进行运算。 重难点：重点：运用负整数指数幂的运算性质进行运算。 难点：理解负整数指数幂的意义 2、教学过程 活动一：复习回顾，扎实基础 （预习课本，并且思考问题） 正整数指数幂的性质： 1、正整数指数幂的运算性质是什么 （1）同底数幂的乘法： （2）幂的乘方： （3）积的乘方： （4）同底数的幂的除法： （5）分式的乘方： （6）0 指数幂，即当a≠__ 时，a01. 根据上述性质，计算下列问题： 1. （2ab2）3 2.（2x）3 （-5xy ） 3.（x-1）0=1,则x 活动二：启发引导，揭示意义
1. （预习书本143 页，自主探究负整数指数幂的意义） 2. 探一探 在a m a n中，当m =n时，产生0 次幂，即当a≠0时， 那么当m< n时，会出现怎样的情况呢 （1）计算：525552 5535255 5513 55 由此得出： ______________ 。 （2）当a≠0 时，a3a5=a3 5=a 2a3a 5= __________ =___ 由此得到：_____ （a≠0）。 小结： 1.负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时， a n= 1n（a≠0）. 如 1 纳米=10 米，即 1 纳米= __ a n 根据负整数指数幂的意义，计算下列各题： 例 1 填空： （1）21，311， x1 (2) ( 2) 3，( 3) 3，( x) 3， （3）42，( 4) 2， 4 2 1 (4) 1 2 2 ， 3 2 ，4 1 b 1，a （5）若x m =2，则 x 2m= (6) 23 1 0 21 1 2（2） 3 2 12006a01 。米. 1
零指数幂与负整数指数幂练习题 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算： 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 7．计算：． 8．计算：．
9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0
16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（3.14﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2．21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|． 23．计算：． 24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0
25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算：
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解 答： 解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解 答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解 答： 解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1．5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解 答： 解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答：解： =1+3﹣1﹣（﹣2）=5． 故答案为5． 8．计算：．解 答： 解：原式= =． 9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011
课文学习 知识结构 1．理解幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础． 2．理解幂的乘方和积的乘方法则的导出是根据乘方的定义以及同底数幂的乘法法则． 3．同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．所以要求每个学生都能得三个运算法则的数学表达式“都为正整数）”和语言表述“同底数 幂相乘，底数不变，指数相加，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方”搞清楚，并能正确运用． 重点难点本节的重点是：正确理解幂的三个运算法则，并能熟练运用这三个法则进行计算与化简．本节的难点是： （1）正确运用有关的运算法则，防止发生以下的运算错误，如： 等； （2 ）正确处理运算中的“ 符号”，避免以下错误，如：等； （3）在进行加、减、乘、除、乘方的混合运算时处理好运算程序问题，防止用运算程序混乱产生的错误，如,, 等等． 典型例题 例1 计算： 【点评】在运用幂的运算法则进行计算时，要避免出现繁杂运算的现象，如 运算的结果虽然没有错误，但由于运算的过程中没有直接运用幂的乘方法则，而采取幂的乘法法则，致使运算出现了思维回路，达不到“简洁”的要求． 【解】
例2 【分析】 【解】 【点评】当两个幂的底数互为倒数或负倒数时，底数的积为1 或－1．这时逆用积的乘方公式可起到简化运算的作用． 例3 【分析】 解】 略 【点评】在运用幂的运算法则时，不仅要分清何时指数相加？何时指数相乘？还要能对法则灵活运用，即能顺用又能逆用．例4 求下列各式中的： 【 【分析】 【解】 略. 【点评】由幂的意义，我们容易知道，两个幂相等时，如果底数相同，则指数一定相同；但如果指数相同，其底数应就指数为奇数和偶数两种情况进行研究．当指数为奇数时，则底数相同；当指数为偶数时，则底数相同或互为相反数． 例5 【分析】 （1）比较两个数的大小．常用比较法即考察两数差的值．当差为正数时，第一量大于第二量；当差为零时，第一量等于第二量；当差为负数时，第一量小于第二量．即 【解】
北师大七年级数学下导学案 第一章 整式的乘除 本章知识结构 1、《同底数幂的乘法》导学案 一、 学习目标 1、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，了解正整数指数幂的意义。 2、了解同底数幂乘法的运算性质，并能逆用公式，能解决一些实际问题。 二、教学方法：观察讨论法、启发式 三、学习过程 （一）自学导航 １、n a 的意义是表示 相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 叫做底数， 叫做指数。 阅读课本p 16页的内容，回答下列问题： ２、试一试： （1）2 3×3 3=（3×3）×（3×3×3）=() 3 （2）32×5 2= =() 2 （3）3 a ?5 a = =() a （二）想一想： 1、m a ?n a 等于什么（m,n 都是正整数）？为什么？ 2、观察上述算式计算前后底数和指数各有什么关系？你发现了什么？ 概括： 符号语言： 。 文字语言： 。 计算： (1) 35×75 (2) a ?5a (3) a ?5a ?3 a （一） 合作攻关 判断下列计算是否正确，并简要说明理由。 （1）a ?2a = 2a （2） a +2a = 3a （３）2a ?2a ＝２2 a （４）3a ?3a = 9a （５） 3a +3a =6 a （二） 达标训练 １、计算： （１）310×2 10（２）3a ?7a （３）x ?5x ?7x ２、填空：
5x ?（ ）＝9x m ?（ ）＝4m 3a ?7a ?（ ）＝11a ３、计算： （１）m a ?1+m a （２）3y ?2y ＋5y （３）（ｘ＋ｙ）2 ?（ｘ＋ｙ）6 ４、灵活运用： （１）x 3＝２７，则ｘ＝ 。（２）９×２７＝x 3，则ｘ＝ 。 （３）３×９×２７＝x 3，则ｘ＝ 。 （三） 总结提升 1、怎样进行同底数幂的乘法运算？ 2、练习： （1）5 3×２７= （2）若m a ＝３，n a ＝５，则n m a +＝ 。 能力检测 1．下列四个算式：①a 6·a 6=2a 6；②m 3+m 2=m 5；③x 2·x·x 8=x 10；④y 2+y 2=y 4 ．其中计算正确的有（? ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．m 16 可以写成（ ） A ．m 8+m 8 B ．m 8·m 8 C ．m 2·m 8 D ．m 4·m 4 3．下列计算中，错误的是（ ） A ．5a 3-a 3=4a 3 B ．2m ·3n =6 m+n C ．（a-b ）3·（b-a ）2=（a-b ）5 D ．-a 2·（-a ）3=a 5 4．若x m =3，x n =5，则x m+n 的值为（ ） A ．8 B ．15 C ．53 D ．3 5 5．如果a 2m-1·a m+2=a 7 ，则m 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6．同底数幂相乘，底数_________，指数_________． 7．计算：-22×（-2）2 =_______． 8．计算：a m ·a n ·a p =________；（-x ）（-x 2）（-x 3）（-x 4 ）=_________． 9．3n-4·（-3）3·35-n =__________．
《15.2.3整数指数幂》教学设计 一、内容和内容解析 本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级上册，是第15章“分式”第2节“分式的运算”第3课时的内容. 根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动，在了解负整数指数幂定义合理性的基础上，探究负整数指数幂的性质，并运用于简化计算. 在此之前，学生已经学过正整数指数幂和零指数幂，特别是正整数指数幂，学生已经学过了它的5条运算性质：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、商的乘方，其中对同底数幂的除法，要求被除式的指数要大于除式的指数.教学中抓住这个条件，引导学生类比0指数幂展开探索，从约分和同底数幂的除法两个角度“殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性，这样，就在运算需求之下，实现了指数的扩充，然后引导学生通过验证的方式，针对以前的5条性质进行再探讨，不难发现，在负指数的约定下，其他性质的使用条件也能推广到整数指数幂，这不仅给式的计算带来更大的便利，也为后续科学记数法的扩充作下铺垫.不仅如此，教学中对于负整数指数幂性质的探究方法，对于后续扩大数域范围后验证运算封闭性的问题具有类比和启示作用（如以后随着认识分数指数和无理数指数，对指数的认识还要扩大到有理数范围和实数范围），是初中代数的重要内容之一. 在负整数指数幂性质的教学中，通过数与数量、运算结果观察等方面进一步培养学生的数感；学生用符号表示数、数量关系和变化规律，用符号进行运算并得到一般性的结果，进一步提高了符号意识.在性质验证的教学中渗透了从特殊到一般和整体的思想方法. 本节的重点是扩充范围后整数指数幂运算性质的应用，学生能够灵活选择各类性质进行简化计算. 二、目标和目标解析 1.目标 (1) 知识与技能： ①了解负指数幂的意义. ②举例说明扩充范围后整数指数幂性质的合理性. ③能够运用整数指数幂运算性质解决幂的运算问题. (2) 过程与方法： 学生经历观察、猜想、归纳、验证等数学活动，探索负整数指数幂的运算性质，进一步体会幂的意义，发展推理能力和运算能力. (3) 情感态度与价值观： 在数学法则中渗透简洁美、和谐美.学生围绕着扩大数的范围后性质是否成立的问题进行探究，感受数学充满着探索与创造，在师生、生生的交流活动中，学会合作学习，学会倾听、欣赏和感悟. 2. 目标解析 达成知识与技能目标①的标志是：学生知道负指数幂的意义，能从具体情境中辨认或举例说明负指数幂.达成目标②的标志是：学生能够举出具体的例子验证扩充范围后整数指数幂的性质仍然成立.达成目标③的标志是：在理解整数指数幂性质的基础上，学生能够应用性质解决整数指数幂的计算问题. 三、教学问题诊断分析 八年级的学生思维活跃，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇.针对学生的心理特征，本课时对于负整数指数幂的性质的推导适合设计探究活动，让学生感受到探索的乐趣. 在此之前，学生虽然已经学习了正整数指数幂和零指数幂，然而什么是负整数指数幂，为什么
15.2.3整数指数幂 第1课时 整数指数幂 一、新课导入 1.导入课题： 同学们还记得正整数指数幂的运算性质吗？由a m ÷a n =a m －n ，当m ②当n是正整数时，a－n=1 n a (n≥1), 即a－n(a≠0)是a n的倒数. ③试说说当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？ 当m是正整数时，a m表示m个a相乘.当m是0时，a0表示一个数的n次方除以这个数的n次方，所以特别规定，任何除0以外的实数的0次方都是1. 当m是负整数时，am表示|m|个1 a 相乘. 2.自学：请同学们结合自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：了解学生的自学情况，收集学生自学中存在的问题. ②差异指导：对学困生进行学习方法和认知方法的指导. （2）生助生：结合实例讨论如何得出a－n=1an（a≠0） 4.强化： （1）当n为正整数时，a－n=1 n a (a≠0），即a－n(a≠0)是a n的倒数. （2）a m的意义(m为正整数、0、负整数). （3）口答：4－1=1 4(1 4 )－1=4 (－1 4 )2=1 16 －2－2=-1 4(1 3 )－3=27 (－1 3 )3=-1 27 (3－2)0=1 1.自学指导： （1）自学内容：教材第143页“思考”到第144页例9上面的内容. （2）自学时间：5分钟. 八年级数学下册第 导学稿 课 题 16.2.3整数指数幂 课 型 预习课 执笔人 审核人 初三备课组 级部审核 讲学时间 第 周第 讲学稿 教师寄语 今日事，今日毕。不要把今天的事拖到明天。 学习目标 1．知道负整数指数幂n a -=n a 1（a ≠0，n 是正整数）. 2．掌握整数指数幂的运算性质. 3．会用科学计数法表示小于1的数. 教学重点 重点：掌握整数指数幂的运算性质. 教学难点 难点：会用科学计数法表示小于1的数. 教学方法 自主学习 合作探究 学生自主活动材料 一、前置自学（自学课本18-22页内容，并完成下列问题） 归纳:一般地,当n 是正整数时, ()0_______≠=-a a n ,这就是说, ()0≠-a a n 是n a 的倒数。 二、合作探究 1、.填空 （1）-22= （2）(-2)2= （3）(-2) 0= （4）20= ( 5）2 -3= ( 6）(-2) -3= 2.计算 (1) (x 3y -2)2 （2）x 2y -2 ·(x -2y) 3 (3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3 3、用科学记数法表示下列各数： ①0.00752=___________ ②0.000379=______________ ③378000=______________ ④576=______________ ⑤0.0523=________________ ⑥-0.576=______________ 三、拓展提升 1、计算： ①()___________232=--y x ②()___________32233=?---y x y x 一、选择题(30分) 1．下列各式运算正确的是( ) A ．2a 2＋3a 2＝5a 4 B ．(2ab 2)2＝4a 2b 4 C ．2a 6÷a 3＝2a 2 D ．(a 2)3＝a 5 2．若a m ＝2，a n ＝3，则a m +n 的值为 ( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 3．在等式a 3·a 2·( )＝a 11中，括号里填入的代数式应当是( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．a 6 D ．a 3 4．计算25m ÷5m 的结果为 ( ) A ．5 B ．20 C ．20m D ．5m 5．下列算式：①(－a )4．(－a 3c 2)＝－a 7c 2；②(－a 3)2＝－a 6；③(－a 3)3÷a 4＝a 2； ④(－a )6÷(－a )3＝－a 3．其中，正确的有 ( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6.下列运算正确的是（ ） A ．xy y x 532=+ B ．36329)3(y x y x -=- C ．442232)2 1(4y x xy y x -=-? D ．333)(y x y x -=- 7.下列等式中正确的个数是（ ） ①5510a a a += ②6310()()a a a -?-= ③4520()a a a -?-= ④556222+= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8.计算(ａ-ｂ)n ·(ｂ-ａ)n-1等于( ) A.(ａ-ｂ)2n-1 B.(ｂ-ａ)2n-1 C.＋(ａ-ｂ)2n-1 D.非以上答案 9.下列各式中计算错误的是（ ） A ．3422(231)462x x x x x x -+-=+- B ． 232(1)b b b b b b -+=-+ C ．x x x +-=-22)22（x 21- D ．342232(31)232 3x x x x x x -+=-+ 10．如图14－2是L 形钢条截面，它的面积为（ ） A ．ac+bc B ．ac+(b-c)c C ．(a-c)c+(b-c)c D ．a+b+2c+(a-c)+(b-c) 二、填空题(24分) 整数指数幂 导学案 学习目标： 1、掌握整数指数幂的运算性质，并能运用它进行整数指数幂的运算。 2、通过分式的约分与整数指数幂的运算方法对比经历探索整数指数幂的运算性质的过程，理解性质的合理性。 学习过程 【温故知新】 正整数指数幂的性质： （1）m a ·n a = （m 、n 是正整数） （2）()m n a = （m 、n 是正整数）， （3）（ab ）n = (n 是正整数)， （4）m a ÷n a = （a≠0，m 、n 是正整数，m>n ）， （5）()n a b = （n 是正整数） ， （6）a 0 = (a≠0) 【预习导学】预习P18-20 1、计算：5255÷＝ ；731010÷＝ 。 一方面：5255÷＝35255??= 731010÷＝()()1010= 另一方面：5255 ÷＝3525155= 731010÷＝()()()=1010 则()()==??4310,5 归纳：一般的，规定：())0(≠=?a a n n 是整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整 数）次幂，等于_____________________. 2、试一试：=?35 =?22 =?2)2(x 3、思考：当指数引入负指数后，对于1中幂的这些运算法则是否仍然适用？ 2a ·5a ?= 251a a =25a a =) (1=3?a )5(2?+=a ，即2a ·5a ?=)(2+a 2a ?·5a ?=2511a a = 71a =)(a )5(2?+?=a ，即2a ?·5a ?=)(2+?a 0a ·5a ?=1×5 1a =5?a )5(0?+=a ，即0a ·5a ?=)()(+a 归纳：当m 、n 是任意整数时，都有m a ·n a = 【精讲点拨】例题、计算 （1）233(2)x y ?? （2）231()3ab ??·3256 a b ? 八年级数学下册《1623整数指数幂》学案人 教新课标版 16、2、2 整数指数幂(1) 一、学习目标 1、经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力。 2、了解负整数指数的概念，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂。会进行简单的整数范围内的幂运算。 二、阅读思考 1、认真阅读课本第18-20页的内容，并完成其中的“思考”问题。 2、负整数指数的概念：一般地，当n是正整数时，a-n= （a≠0）。这就是说：a-n（a≠0）是an的。 3、整数指数幂的运算性质：（1）同底数幂相乘 am、an= （2）幂的乘方（am）n= （3）积的乘方（ab）n= （4）同底数幂相除、 aman= （5）商的乘方（a/b）n= （6）零指数幂的性质 a0= （） 三、尝试练习： 1、判断下列式子是否成立：（１）；（2）；（3） 2、下列运算正确的是（） A、 B、 C、 D、3、课本P21页练习第 1、2题；P23页习题 16、2第7题； 四、交流展示 1、正整数指数幂的运算性质有哪些？ 2、你还记得是怎么得到的吗？若有意义，则a≠ 3、请用整数指数幂验证（m、n是正整数） 五、当堂反馈 1、下列计算：①；②；③；④、其中正确的个数是（）、 A、4 B、3 C、1 D、02、计算：① ②③ ④⑤ ⑥ 3、化简：①＝；②＝六、反思小结n是正整数时，a-n （a≠0）表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？ 16、2、2 整数指数幂(2) 一、学习目标进一步理解负整数指数幂的性质，正确熟练的运用负整数指数幂运算性质进行有关计算；会用科学记数法表示绝对值较小的数； 指数幂与负整数指数幂 练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 零指数幂与负整数指数幂练习题1、计算：-1-（-1）0的结果正确是（） A．0 B．1 C．2 D．-2 2、芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0．00000201千克，用科学记数法表示为（）A．×10-6千克 B．×10-5千克 C．×10-7千克 D．×10-7千克 3、已知空气的单位体积质量为1．24×10-3克/厘米3，1．24×10-3用小数表示为（） A． B． C． D． 4、如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10-9米 B．×10-8米 C．×10-10米 D．×10-9米 5、计算的结果是( ) A．4 B．-4 C． D． 6、若(x-2)0=1，则( ) A．x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 7、若，则x=( ) A．10 B．1 C．0 D．以上结论都不对 8、下列运算正确的是( ) A．=0 B．(9-33)0=0 C．(-1)0=1 D．(-2)0=-2 9、化简(x≠-y)为（） A．1 B．0 C．x+y D．以上结论都不对 10、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅00000034米，将这个数用科学记数法表示为（） A．×10-9B．×10-9C．×10-10D．×10-11 11、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，已知1克=1000毫克,那么毫克可用科学记数法表示为（） A．×10﹣5克B．×10﹣6克 C．37×10﹣7克D．×10﹣8克 12、计算：． 13、某种原子直径为×10-2纳米，把这个数化为小数是_______纳米． 14、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为_______平方公里． 15、若（a-2）a+1=1，则a=______． 16、若，则x=______． 17、如果无意义，则=______． 《整数指数幂》八年级数学说课稿 作为一位无私奉献的人民教师，时常需要编写说课稿，说课稿有助于学生理解并掌握系统的知识。说课稿应该怎么写才好呢？以下是作者精心整理的《整数指数幂》八年级数学说课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。 一、本节课的亮点 1、教学流程安排符合学生的认知规律：教学的几个环节紧紧围绕自主预学忆旧知，由旧引新感新知，合作探究探新知，精讲导学用新知，变式训练固新知，小结评学理新知，拓展延伸深化新知的思路展开，由浅入深，步步深入，体现了低起点，小坡度，密台阶，多层次，高落点的设计，由以前学过的正整数指数幂的运算性质引入，让学生思考“当a≠0时，a3÷a5=？为什么？”这个问题，从而引入新课，这个过渡自然，设计巧妙。让学生通过合作学习得出a—n与an 互为倒数这个结论后，及时对指数的取值范围扩大到全体整数作了一个归纳，将所学新知及时纳入知识体系，使学生对旧知新知有一个整体把握，从而使学生对新知有一个更好的掌握和理解。 2、教学方法的’选择符合学生实际：整数指数幂是在学生以前学过的正整数指数幂基础上的进一步学习，所以本节课杨老师采用类比正整数指数幂的运算性质来学习整数指数幂运算性质就比较简单容易，可以说是水到渠成，顺理成章，同时让学生在合作互学中对新知的理解和把握也比较容易。特别是在对思考①的处理上，先让学生先利用同底数幂的除法算，然后再用分式的约分计算，通过比较两种方法计算的结果，让学生自己发现规律，得出结论，培养了学生善于观察、思考、归纳的习惯，这也充分体现了导学案的“导学”功能。 3、教学活动安排符合新课程理念要求：以生为本的理念贯彻课堂始终，同时按照“三学小组模式”要求组织教学，预学互学内容安排合理，本节课杨老师以七个活动为主线，以负整数指数幂的性质，整数指数幂的运算性质为核心展开，活动①让学生在动嘴说中有所想，活动②让学生在动脑想中有所思，活动③④让学生在对新知纳入知识系统中对新知有一个整体把握和升华，活动⑤让学生在动手算，观察思考中有所悟，活动⑥让学生在运用新知中有提高，让学生在练习反馈中有所巩固，活动⑦让学生在反思小结中对新知有所整理归纳。整节课通过活 15.2.3 整数指数幂 *学习目标*：1、能够理解负指数幂的性质，并能熟练的运用负指数幂公式进行计算；2、会用科学记数法表示绝对值较小的数； *学习重点*：能理解和运用负整数指数幂的性质，用科学记数法表示绝对值较小的数。*学习难点*：幂的运算公式中字母的取值范围的扩充与科学记数法中 10的指数与小数点的关系。 学习过程学法指导 一、*知识回顾* 1、我们以前学的幂的运算性质有哪些？ 2、我们学过0指数幂吗？ 1 0= a，ａ。 同底数幂除法公式 n m n m a a a- = ÷中，ｍ、ｎ有什么限制吗？ 二、*能力生成* 活动一运用所学的知识完成下面运算: 注意双色笔的使用 52 55 ÷＝ ； 一方面：52 55÷＝35 255--= 另一方面：5 255÷＝3 525 1 55= 则=-3 5( ) 73 1010 ÷＝ 。 一方面：731010÷＝()( ) 10 10= 另一方面：731010÷＝() ()() =1010 则4 10-=( ) 归纳：一般的，规定：() )0(≠=-a a n n 是整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于_____________________. 试一试：=-3 5 = -22 =-2)2(x 。 活动二 1、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？以前学过大于10以上的数的科学记数法，那么现在较小的数纳米直径也能用科学记数法来表示吗？ 2、（1）用科学记数法表示745000= ， 293000000= （2）绝对值大于10的数用n a 10?表示时，a 应满足什么条件？ （3）零指数和负整数指数公式中，a 有什么要求？ 3、（1）我们曾用科学记数法表示绝对值大于10的数，表示成n a 10?的形式，其中1《|a|<10，n 为正整数。如：257000=2.57?____________; （2）类似的用10的负整数指数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较 小的数，将他表示成(___________)的形式，其中1《|a|〈10,如： 0.0000257=________?________ 议一议：（1）当绝对值大于10的数用科学记数法表示时，n 的取值与整数位数有什么关系？ （2）当绝对值小于10的数用科学记数法表示时，a 、n 有什么特点呢？n 与什么有关？ 先独立思考，再合作讨论 北师大版七年级下册 1.1同底数幂的乘法 【学习目标】： １．经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，了解正整数指数幂的意义。 ２．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。 【学习重点】：正确理解同底数幂的乘法法则。 【学习难点】：正确理解和运用同底数幂的乘法法则。 【预习指导】 花6分钟时间认真阅读课本第2-4页，按顺序完成探究一、二、三、四，课外巩固训练请留到课后完成。 自主探究一：温习旧知 n a 的意义是表示 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂； 叫 做底数， 是指数． 自主探究二：探究新知 问题1：光在真空中的速度大约是3×108 m/s ，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×107 s 计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？ 3×108×3×107×4.22 =37.98×（108×107） 问题2：10 3 ×10 2 的结果是多少？ 探究：因为103 表示____个10相乘，102 表示____个10相乘， 所以231010? =（10×10×10）×（10×10）= 10×10×10×10×10= 10 5 仿照上面的探究计算： （1）851010? = = = （2）n m 1010? = = = 你发现了什么？108×107 =？ （3）n m 22? = = = （4）n 71m 71） （）（? = = = 自主探究三：新知应用 例1：计算 （1）（-3）7×（-3）6 （2）（1111）3×1111 （3）-x 3·x 5 （4）b 2m ·b 2m+1 想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？ p n m a a a ??=______________________. 例2：光的速度约为3×108米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒.地球距离太阳 大约有多远？ 计算：开头问题中比邻星与地球的距离约为 米？ 37.98×（108 ×107 ） 随堂练习1： （1）5 2 ·57 （2）7×73×72 《零指数幂与负整数指数幂》教案教学目标 1.使学生理解a0的意义，并掌握a0＝1(a≠0)； 2.使学生理解a-n（n是正整数）的意义，并掌握 1 n n a a -=（a≠0，n是正整数）； 3.使学生理解并掌握幂的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用． 教学重点、难点 重点：幂与负整数指数幂； 难点：幂与负整数指数幂的有意义的条件． 教学过程 一、创设情境. 问题1 在前面介绍同底数幂的除法公式a m÷a n＝a m-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＞n时，情况怎样呢？ 二、探究归纳. 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况．例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0)． 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100， a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0)． 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1．概括由此启发，我们规定： 50＝1，100＝1，a0＝1(a≠0)． 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1． 注零的零次幂没有意义． 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55，103÷107． 一方面，如果照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55＝52-5＝5- 3， 103÷107＝103-7＝10- 4． 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 3322525 2515555555=?==÷， 4433737 310110101010101010=?==÷． 概括 由此启发，我们规定 33515=-，4410110=-． 一般地，我们规定 n n a a 1=-（a ≠0，n 是正整数）． 这就是说，任何不等于零的数的-n （n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数． 三、实践应用. 1.判断正误： (1) a 6÷a 2＝a 3； (2)(-a )3÷(-a )2＝a ； (3)a 6÷a 2＝a 4； (4)a 3÷a ＝a 4； (5)(-c )4＋c 2＝-c 2； (6)(-c )4÷(-c )2＝c 2； (7)a 5÷a 4＝0； (8)54÷54＝0； (9)x 3n ÷x n ＝x 2n ； (10)x 3n ÷x n ＝x 3． （答案：3，6，9正确，其余错误．） 2.在括号内填写各式成立的条件： (1)x 0＝1； ( )(2)(x -3)0＝1； ( )(3)(a -b ) 0＝1； ( ) (4)a 3·a 0＝a 3；( )(5)(a n ) 0＝a n ·0； ( )(6)(a 2-b 2)0＝1． ( ) （答案：x ≠0；x ≠3；a ≠b ；a ≠0；a ≠0；a 2≠b 2或|a |≠|b |．） 例1 计算： (1)3-2；(2)10 1031-???? ??． 解：（1）22113.39 -== 人教版八年级数学幂的乘方练习题 一、填空 计算：（1）（x 4）3 = （2）a·a 5 = （3）x 7·x 9（x 2）3= 活动：参考（2a 3）2的计算，说出每一步的根据。再计算（ab ）n 。 （1）（2a 3）2 = 2a 3·2a 3 = 2·2·a 3·2a 3 =2( ) a ( ) （2）（ab ）2= = =a ( ) b ( ) （3）（ab ）3= = =a ( ) b ( ) (4) 归纳总结得出结论：（ab ）n =()() ()()()（ ）个 （ ）个 （ ）个 ?=????a b a b a b a a a a b b b b =a ( )b ( ) （n 是正整 数）． 用语言叙积的乘方法则： 同理得到：（abc ）n = （n 是正整数）． 二、范例学习 例1计算：（1）（2b ）3； （2）（－5a ）3 （3）（xy 3）2； （4）（－3x ）4． 例2计算：（1）（－8）2004·（－0.125）2005 三、学以致用 1、计算下列各式： （1）（－3 5 ）2·（－3 5 ）3= （2）（a －b ）3·（a －b ）4= （3）（－a 5）5= （4）（－2xy ）4= ； （5）（3a 2）n = ； （6）（x 4）6－（x 3）8= （7）；－p·（－p ）4= （8）；（t m ）2·t= ； （9）（a 2）3·（a 3）2= ． （10）积的乘方，等于 ．用公式表示：（ab ）n =_______（n 为正整数）． 2．下面各式中错误的是（ ）． A ．（24）3=212 B ．（－3a ）3=－27a 3 C ．（3xy 2）4=81x 4y 8 D ．（3x ）2=6x 2 3．下面各式中正确的是（ ）． A ．3x 2·2x=6x 2 B ．（1 3 xy 2）2=1 9 x 2y 4 C ．（2xy ）3=6x 3y 3 D ．x 3·x 4=x 12 4．当a=－1时，－（a 2）3 的结果是（ ）． A ．－1 B ．1 C ．a 6 D ．以上答案都不对 5、如果（a m b n ）3=a 9b 12，那么m ，n 的值等于（ ） A ．m=9，n=4 B ．m=3，n=4 C ．m=4，n=3 D ．m=9，n=6 6．a 6（a 2b ）3的结果是（ ） A ．a 11b 3 B ．a 12b 3 C ．a 14b D ．3a 12b 4． 7．（ab ）2=______，（ab ）3=_______． 15.2.3整数指数幂导学案（2课时） 学习目标： 1、掌握整数指数幂的运算性质，并能运用它进行整数指数幂的运算。 2、学会用科学技术法表示不同的数值。 【温故知新】 正整数指数幂的性质：（1）m a ·n a = （m 、n 是正整数） （2）()m n a = （ m 、n 是正整数）， （3）（a b ）n = (n 是正整数)， （4）m a ÷n a = （a ≠0，m 、n 是正整数，m>n ）， （5）()n a b = （n 是正整数） ， （6）a 0 = (a ≠0) 【预习导学】 1、计算：5255÷＝ ；731010÷＝ 。 一方面：5255÷＝35 255--= 731010÷＝()()1010= 另一方面：5255 ÷＝3525155= 731010÷＝()()()=1010 则()( )==--4310,5 归纳：一般的，规定())0(≠= -a a n n 是正整数，即任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，等于_____________________. 2、试一试：=-35 = -22 =-2)2(x 3、思考：当指数引入负指数后，对于1中幂的这些运算法则是否仍然适用？ 2a ·5a -= 251a a =25a a =)(1=3-a )5(2-+=a ，即2a ·5a -=)(2+a 2a -·5a -=2511a a = 71a =)( a )5(2-+-=a ，即2a -·5a -=)(2+-a 0a ·5a -=1×5 1a =5-a )5(0-+=a ，即0a ·5a -=)()(+a 归纳：当m 、n 是任意整数时，都有m a ·n a = 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面的运算性质也推广到整数指数幂 【精讲点拨】例题、计算 （1）52a a ÷- （2）223-???? ??a b （3）() 321b a - （4）32222)(---?b a b a 1 / 2 学 案 设 计 主备课人： 执教者： 执教时间 20 年 月 日 （第 周 星期 ） 累计 节 课 题： 1.3.3 整数指数幂的运算法则 节教完，本节为第 节 教学目标：1、通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则； 2 、会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算。 课型：新课 教学重点：用整数指数幂的运算法则进行计算。 教学难点：指数指数幂的运算法则的理解。 教学用具与教学方法： 教学准备： 个人调整与补充内容 一 创设情境，导入新课 1 正整数指数幂有哪些运算法则？ （1）m n m n a a a +?=（m 、n 都是正整数）；（2）()m n mn a a =（m 、n 都是正整数） （3） () n n n a b a b ?=， （4）m m n n a a a -=（m 、n 都是正整数，a ≠0） (5) ()n n n a a b b =（m 、n 都是正整数，b ≠0） 这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题. 二 合作交流，探究新知 1 公式的内在联系: 做一做 :（1) 用不同的方法计算：3 4 2 (1) 2 ， ()3 223?? ??? 通过计算你发现了什么？ 幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算。 ()m m n m n m n n a a a a a a -+--=?==()11n n n n a a a b a b a b b b --??=?=?=?= ??? 因此上面5个幂 的运算法则只需要3个就够了： 1）m n m n a a a +?=（m 、n 都是正整数）；（2）()m n mn a a =（m 、n 都是正整数） （3） () n n n a b a b ?=， 2 正整数指数幂是否可以推广到整数指数幂 课题：负整数指数幂 学习目标： 1．知道负整数指数幂n a -=n a 1（a≠0，n 是正整数）. 2．掌握负整数指数幂的运算性质. 学习重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学习难点：灵活运用负整数指数幂的运算性质 学习过程： 一、预习新知： 1、正整数指数幂的运算性质是什么? （1）同底数的幂的乘法： （2）幂的乘方： （3）积的乘方： （4）同底数的幂的除法： （5）商的乘方： （6）0指数幂，即当a≠0时，10=a . 2、探索新知： 在m n a a ÷中，当m =n 时，产生0次幂，即当a≠0时，10=a 。那么当m ＜n 时，会出现怎样的情况呢？如计算：252535555--÷== 225 53515555÷== 由此得出：33 155-= 当a≠0时，53a a ÷=53-a =2-a 5 3a a ÷=53a a =233a a a ?=21a 由此得到 ：2-a =21a （a≠0）。 因此规定负整数指数幂的运算性质：当n 是正整数时，n a -=n a 1（a≠0）. 如1纳米=10－9米，即1纳米=910 1米 填空：2 4-= 212-??- ???= ， ()01π+= ，()14--= ， 若m x =12，则2m x -= ()312a b -= ()2 32a bc --= 计算：01 1122-????--- ? ? ????? = ; 10322006--+-= 二、课堂展示： 1、将()()23 211232x yz x y ---?的结果写成只含有正整数指数幂的形式 分析：应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式. 2、用小数表示下列各数： ⑴ 53.510-? ⑵ 410- （3）0 112322-???+-÷- ??? 三、随堂练习：选择： 1、若20.3a =-，23b -=- ，213c -??=- ???，0 13d ??=- ??? A ．a ＜b ＜c ＜d B ．b ＜a ＜d ＜ c C ．a ＜d ＜c ＜ b D ．c ＜a ＜d ＜b 2、已知22a -=，)01b =，()3 1c =-，则a b c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞ c B ．b ＞a ＞ c C ．c ＞a ＞b D ． b ＞c ＞a东营市八年级数学上册《1623整数指数幂》学案
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