有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧． 1．作差法 比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b． 例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小． 解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2) ∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2) ＝m2+3m-m2-3m-2 ＝-2＜0。 ∴A＜B。 2．作商法 比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．
3．倒数法 比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小． 4．变形法 比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较． 分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较． 例6比较355、444、533的大小． 解∵ 355＝(35)11＝24311 444＝(44)11＝25611 533＝(53)11＝12511
∴ 444＞355＞533 5、利用有理数大小的比较法则 有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小． 例7 特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果． 例8 解： 6、利用数轴比较法 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小． 例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小． 解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：
一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1.计算：3＋50÷22×(51-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2.计算： () []23 2 3 1 5.0 1 1- - ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? - - ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）； 例3：计算： ?? ? ? ? ? - + ?? ? ? ? ? - ÷ ?? ? ? ? ? - - 3 8 8 7 12 7 8 7 4 3 1 二、应用四个原则： 1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。 例4.计算：-0.252÷(－1 2 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2
有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。 一、四个原则： ①整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。 二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) = (－0.5 + 2.75) + (3 41－721) = 2.25－4 41 =－2
解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) =－0.5 + 341+ 2.75－72 1 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －2 1)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例：计算：--+-+-116223445513116 38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。 解：原式=-++--+-()()(.)116116223513445 38 =-+=-81 7 例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．
有理数运算常用的技巧 一、归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 1 1 例1、计算：一(0.5) —( —3 — ) + 2.75 —(7—) 4 2 变式：计算：-2 3 1 ：〔：；：-3 - 2^1-4 二、凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题 效率. 例2、计算：19 + 299 + 3999+ 49999. 变式：计算：36.54 22 -82 63.46 三、变换顺序 在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算. 5 1 2 7 例3、计算：[4 - + (—丄)]+ [( —2) + 6 —]. 12 7 7 12 ’’ f 4) 变式：计算：-12.5 31 0.1 I 5丿 四、逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征, 妙地逆用分 对此加以灵活变形，便可巧配律，使解题简洁明快. 例4、计算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88. 3 3 2 3 3 25 12 3 3 3 3 3 变式1： (-一) 0.75 0.5 (-―)(1 )(—) 4 "(-一) 4 4 37 2 5 4 4 2 2 变式2：472634 +472635 - 472633X 472635 -472634X 472636 五、巧拆项(裂项相消) 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷. 常见的裂项相消： ①亠丄丄
精心整理 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。 例3 1234段呢?(1) (2) (3) (4)例 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例3计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。 例3计算：
(1)-32÷(-8×4)+2.52+(+－－)×24 (2)(－)×(－)－×(－)＋×(－) 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于我们抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式。 若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。 例4计算： 如果a 如果c 如果 例，试求x2 例计算：。 应分为三段：, 参加计算较为方便。 解：原式 “减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。 例2 计算：。 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。 解：原式
有理数简便运算技巧（十五法） 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? ()69=+- 3=-。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。 原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 009=++ 9=。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例4 计算：。 解：原式55511125210624918? ???=-+-- ? ????? 517 1386=- 13 524 =-。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：1111 2 5434236 -+-+。 原式()111125434236?? =-+-++- +-+ ?? ? 3642212121212?? =+- +-+ ???
11221212 =+ = 六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 6：计算：例 8 计算： ()()()412.5310.15?? -?+?- ?- ??? 解：原式412.50.1315? ? =-? ?? ?? ? 13131=-?=-。 11 221212 =+ = 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：()()()412.5310.15?? -?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 。 。 13131=-?=- 八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式88815 59158??=---? ?? ? 8158158155898158?? =-? -?-? ??? 5313??=--- ?? ? 13 =-。 九、逆用 正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算： 2283210.2555214???? ÷--?-- ? ????? 。 解：原式258715122144 ????= ?--?-- ? ????? 21811 34344 =-?+?- 1281433??= ?-+- ???
有理数运算的几种特殊方法 王尧兴 有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 一、倒序相加法 例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。 分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。 解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② \ 将①，②两式左右分别相加，得 从而有 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。 另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数 用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式： 来计算。 二、错位相减法 例2 计算的值。 分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。 解：设，① 所以②
【 ②－①，得，所以。 说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。 三、裂项相减法 例3 计算 分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋……＋100想到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。 解：原式 说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。 … 四、换元法 在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。 例4 计算： 分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。
有理数加减运算中的结合技巧 有理数的加减混合运算是七年级数学的重点，也是同学们难以掌握，常常出错的地方，如能根据题目特征选择适当的方法，则可简化运算过程，提高解题速度与准确度。现举例如下，供同学们学习参考。 一、把符号相同的加数相结合 计算：（+5）+（-6）+（+4）+（+9）+（-7）+（-8） 解：原式=[（+5）+（+4）+（+9）]+[（-6）+（-7）+（-8）] =（+18）+（-21） =-3 二、把和为零的加数结合 例2 计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5） 解：原式=[（-15.43）+（+15.20）+（+0.23）]+[（-4.15）+（+4.15）]+（-5） =0+0+（-5） =-5 三、把和为整数的加数相结合 例3 计算：（+6.4）+（-5.1）-（-3.9）+（-2.4）-（+4.9） 解：原式=（+6.4）+（-5.1）+（+3.9）+（-2.4）+（-4.9） =6.4-5.1+3.9-2.4-4.9 =（6.4-2.4）+（-5.1-4.9）+3.9 =4-10+3.9 =-2.1 四、把整数与整数，分数与分数分别相结合 例4 计算：-42 3 -3 1 3 +6 1 2 -2 1 4 解：原式=（-4-3+6-2）+（-2 3 - 1 3 + 1 2 - 1 4 ） =-3-1 4 =-33 4 点评：在分拆带分数时，要注意符号。如：-42 3 =-4- 2 3 ，而不是-4+ 2 3 。 五、统一形式后再结合 例5 计算：（-0.125）+（-0.75）+（3 4 ）+ 1 8 +1 解：原式=（-1 8 ）+（- 3 4 ）+（- 3 4 ）+ 1 8 +1 =[（-1 8 ）+ 1 8 ]+[（- 3 4 ）+（- 3 4 ）]+1 =0+（-6 4 ）+1 =-1 2 点评：当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。六、把分母相同或便于通分的加数相结合 例6 计算：（+ 3 7 ）+（- 5 13 ）+（+ 4 7 ）+（+ 15 26 ）+（- 1 7 ）+（+3）解：原式=[（+ 3 7 ）+（+ 4 7 ）+（- 1 7 ）]+[（- 5 13 ）+（+ 15 26 ）]+（+3）= 6 7 + 5 26 +3 = 737 182 七、分组后再结合 例7 计算：2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69 解：原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69） =0+0+0=0 八、巧添辅助数后再结合 例8 计算： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 解：原式= 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 64 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 32 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 16 - 1 64 = 1 2 + 1 2 - 1 64 =1- 1 64 = 63 64 九、先拆项后结合 例9 计算： 1 12 ? + 1 23 ? + 1 34 ? +…+ 1 9697 ? 解：原式=（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+（ 1 3 - 1 4 ）+…+（ 1 96 - 1 97 ） =1+（- 1 2 + 1 2 ）+（- 1 3 + 1 3 ）+…+（- 1 96 + 1 96 ）- 1 97 =1- 1 97 = 96 97 第 1 页共1 页
有理数简便运算技巧（十五法） 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? ()69=+- 3=-。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。 原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 009=++ 9=。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例4 计算：。 解：原式55511125210624918? ???=-+-- ? ????? 517 1386=- 13 524 =-。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：1111 2 5434236 -+-+。 原式()111125434236?? =-+-++-+-+ ??? 3642212121212??=+-+-+ ??? 11 221212 =+ =
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 6：计算：例 8 计算： ()()()412.5310.15?? -?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 13131=-?=-。 11221212 =+ = 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 。 。 13131=-?=- 八、约简 将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式88815 59158??=---? ?? ? 8158158155898158?? =-? -?-? ??? 5313??=--- ?? ? 13 =-。 九、逆用 正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算： 2283210.2555214???? ÷--?-- ? ????? 。 解：原式258715122144 ????= ?--?-- ? ????? 2181134344 =-?+?- 1281433??= ?-+- ??? 14 = 。
七年级数学：有理数计算技巧难题 例1．计算 11111111 1 2344950262750????-+-++-÷+++ ? ????? 例2．计算1998×19991999?1999×19981998 例3．已知a=1166+1267+1368+1469+1570 100 1165+1266+1367+1468+1569 ????? ? ????? ，问a的整数部分是多少？ 例4．比较S n＝1234 +++++ 248162n n 与2的大小。 例5．定义n!=1×2×3×?×n(n为正整数)，计算1×1!+2×2!+?+2007×2007!
A 卷 一、填空题 01．()()()231998 12111212411154????-?---÷--?? ?????????-÷-? ???＝___________。 02．211×555+445×789+555×789+211×445＝___________。 03．1?2+3?4+?+(?1)2003?2002＝___________。 04．224690123461234512347 -?＝___________。 05．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)＝___________。 06．2+4+6+?+2000+2002＝___________。 07．111112233420012002 ++++????＝___________。 08．1999×20002000?2000×19991999＝___________。
09．a 1＝111232+??＝23，a 2＝112343+??＝38，a 3＝113454+??＝415，a 4＝114565+??＝524 ??按上述规律a 999＝___________。 10．1 111+++133913402007的整数部分是___________。 二、解答题 11．求证：()()()11111323+++++1324354624212n n n n n +=-????+++ 12．计算21001111222 + +++
有理数简便运算与技巧 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
有理数简便运算与技巧 有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。 一、归类 将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? 3=-。 二、凑整 将和为整数的数结合计算。 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 40=。 三、对消 将相加得零的数结合计算。 例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。 解：原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 9=。 四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186 ---+。 解：原式555111252106 24918????=-+-- ? ????? 13524 =-。 五、分解 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形 式。 例5 计算：111125434236 -+-+。 解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ??? 11221212 =+=。 例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。 解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。 六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例7 计算：()23420.2534?????-+-÷- ? ????? 。 解：原式312844????=-+-÷- ? ????? 25=-。 七、变序 运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ???
有理数计算的技巧 1．倒序配式相加 解设原式的值为S，按各括号的例序构造配式： 则S＋S′=1＋2＋3＋4＋…＋59 显然S=S′ ∴ S=885． 2．拆项正负相消 例2 已知|a－1|＋（ab－2）2=0， 解由已知非负数性质，得a=1，b=2，故 3．添项配对加减 例3 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998=______．解添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2依次与原式各数配对，则 原式=20＋200＋2000＋...＋200000000－（9＋8＋ (2)
=222222220－44=222222176． 4．逐次分解计算 5．字母代替数 例5 计算：1993·19951995－1995·19931992． 解设1995=a，则 原式=（a－2）（a·104＋a）－a =a=1995 6．局部换元 例6 计算：2－22－23－24－…－218－219＋220=_______．解－22－23－24－…－218－219=x， 则2x=－23－24－…－219－220 =（－22－23－24－…－219）＋22－220 =x＋22－220， 即2x=x＋22－220，∴x=4－220． 故原式=2＋x＋220=2＋（4－220）＋220=6． 7．整体换元
解设所求式的值为x，则 8．分组配对 ___． 9．提取公因数 例9 计算17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88=________． 解原式=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44=17.48（37＋19＋44）=17.48×100=1748．10．交错约分
有理数混合运算的方法技巧 怀宁县独秀初中 汪邢志 有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，既复习旧知识，又为今后的学习打下基础，对这一单元的知识一定要学好，用活，切实掌握运算法则、运算律、运算顺序。 有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券。 单元学习目标 1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律。 2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算,并会用运算律简化运算。。 3．能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算,注意培养自己的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。 二、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 解：原式= ············(先算乘方) = ···············(化除为乘) = ···(先定符号，再算绝对值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[]232315.011--??? ??? ????? ? ??-- 解原式= ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：23)2 3 (942-?÷-
有理数混合运算的技巧 有理数的混合运算是在我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算的基础上进行的，是对前面所学的各种有理数运算的复习和巩固，也是学习其他运算的基础．因而是本章的重点，下面就有理数混合运算的三种常见形式进行分析． 一、算式中只含加减运算 例1 11323243--+． 分析 本题中的加减运算属于同一级运算，应从左至右运算，但考虑到加减运算可统一成加法运算，因此先将算式全部化为加法运算，然后再运用加法的交换律和结合律，将加数进行适当组合，进行简便计算． 解 原式＝1 21351()()1332444 +-+=-=-． 在有理数的混合运算中，若只含有加减运算，一般是先把减法变为加法，然后再运用加法的运算律，将加数进行组合，进行简便计算，在组合时可采用：①把正、负数分别相加；②把互为相反数相加；③把整数、小数、分数分别相加；④把分母有倍数关系的数相加． 二、算式中只含有乘除运算 例2 ()191520.8442????-÷-??÷- ? ??? ??． 分析 本题中的乘除运算属于同一级运算，应从左至右运算．但根据除法法则可将算式统一成乘法运算，然后再运用乘法的交换律和结合律，将因数进行适当组合，进行简便计算．
在有理数的混合运算中，一般是先把除法变为乘法，然后再运用乘法的运算律，将因数进行组合，以简便计算．在组合时可采用：①把互为倒数结合相乘；②乘积为整数的因数相乘；③便于约分的因数相乘，只含有乘除运算的计算中要优先注意不漏掉积的符号． 三、算式中含有不同级的混合运算 例3 775 82412 ?? +- ? ?? ×24＋5.65×18－6.15×18． 分析本题若按运算顺序进行计算，显得比较繁琐，观察算式的形式发现，算式中的第一部分可运用乘法的分配律较方便，结果为18，恰好与后面的都含有相同的因数18，故可再将乘法的分配律逆用，从而使复杂的运算变为简捷． 解原式＝775 242424 82412 ?+?-?＋5.65×18－6.15×18 ＝18＋5.65×18－6.15×18 ＝18×(1＋5.65－6.15) ＝18×0.5＝9． 在有理数的混合运算中，除遵守运算顺序的规定外，还应注意灵活运用运算律，使计算准确而快捷，乘法的分配律有两种用法： (1)把积的形式化为和的形式，即a(b＋c)＝ab＋ac； (2)逆用，把和的形式化为积的形式，即ab＋ac＝a(b＋c)． 灵活运用好这两种形式往往使运算变得简捷． 希望同学们通过以上的学习，在遇到有理数混合运算时要做到：一认真观察式子的形式；二巧用有理数的运算律，这样可以提高运算的速度和准确性．
有理数的计算方法与技巧 有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。 一、四个原则： ①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运 二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算, 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 1 1 例：计算：—(0.5) -( —3 — ) + 2.75 —(7—) 4 2 1 i 解法一：一(0.5) —( —3丄)+ 2.75 —(7 -) 4 2 1 1 =(—0.5 + 2.75) + (3 - —7 —)
4 2 1 =2.25 —4丄 4 解法二：- 1 1 -(0.5) —( —3丄)+ 2.75 — =-0.5 + 3 1+ 2.75 - 71 4 2 1 1 =(3 + 2 —7 ) + ( —0.5 + 丄+ 0.75 —1 )= —2 4 2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题?同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法. ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率. 例：计算：-11-2- 4- -5111-3.8 6 3 5 3 6 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。 11 2 1 4 解：原式=(-1 1—) (_ 2 5 —) (4 3.8) 6 6 3 3 5 一8 1 一7
有理数四则运算 综合作业报告 、 试验目的、试验环境、设计思路： 实验目的：掌握面向过程和面向对象程序设计的基本方法和编程技巧，巩 固所学理论知识，使理论与实际相结合。从而提高自我分析问题、解决问题的 能力。通过课程设计，进一步巩固《C++语言程序设计》的基本理论知识，理论 联系实际，进一步培养综合分析问题、解决问题的能力。 实验环境： VisuaiC++6.0 设计思路：定义一个有理数类 num() ，通过构造函数实现对数据的初始化； 然后将运算符 +、-、*、/ 重载为该类的成员函数，再在函数内按照上述方法将 两个有理数之间的加、减、乘、除运算实现， ；再同样通过重载运算符 ==实现判 定两个有理数是否相等，判定两个数是否相等的方法为判断一个数的分子与另 一个数的分母相乘的值是否与该数的分母与另一个数的分子相乘的值相等；再 定义一个可对有理数约分的函数 yuefen() ，在函数体中首先要找到分子与分母 的最大公约数，再将分子与分母同时除以这个最大公约数，优化函数在创建有 理数对象时应执行，在执行其它各种运算之后也需执行它，这样可保证所存储 的有理数随时都是最优的。 然后定义一个转换函数 realnum() ，将每一个有理数 都好转换成实数形式，且同样在执行各种运算后都执行它。最后定义一个函数 show() ，实现对数据的输出，同时为了避免分母为零的错误输入，当一个有理 数的分母输入为零时，提示输入错误，以保证数据的正确性，当分子输入为零 时，不管其分母多大，都显示输出为零，否则输出形式为：分子 / 分母。 二、 功能模块及结构描述(函数功能和数据结构类型的定义。 ) 设有两个有理数a/b 和c/d ，则有: 1) 有理数相加 分子 =a*d+b*c ； 分母 =b*d 2) 有理数相减 分子 =a*d-b*c ； 分母 =b*d
17-47 64-192824-40-24-192840-)24()19()28(40=+=++=++=-+++++-=2443.23.443.243.4)4()3.2()4(3.4=-+-=--+=-+-+++=46 10313255245353 1524325535)31()524()325(535=-=--+=-+-=-+++-+=有理数加减法的运算技巧 学生对于单独的两个有理数的加法或者减法比较容易掌握，计算时的准确率较高，但是当加减发混合在一起的时候，学生的思路就模糊不清了，所以有理数的加减混合运算是有理数运算的基础也是一大难点。小编根据有理数加减混合运算题目的特点，总结了有理数加减混合运算的五大运算技巧，由于个人经验所限，如有不到之处，还请大家不吝赐教。 大家都知道，有理数的加减混合运算的式子首先统一成有理数的加法运算，再利用加法的运算律进行简便运算。 一、符号相同的数可以先相加 例1：（－40）－（－28）－（－19）+（－24） 解：原式 （根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”将加减 法统一成加法） （省略加号和括号，改写成代数和的形式） （注意：运用加法运算律时，一定要连同前面的符号一起 交换位置） 【举一反三】 38－22－(－62)＋(－78) 【答案】解：原式=0 二、互为相反数的两个数，可以先相加得0 例2：(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4) 解：原式 （观察：4与－4互为相反数） 【举一反三】(－6.37)＋(－334)＋6.37＋2.75 【答案】解：原式=－1 三、同分母的分数可以先相加 例3：535－523－（－425）＋(－13)； 解：原式
人教版初中数学有理数的运算技巧及练习题附答案解析 一、选择题 1．已知|m+3|与（n﹣2）2互为相反数，那么m n等于（） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】 ∵|m+3|与（n﹣2）2互为相反数， ∴|m+3|+（n﹣2）2=0， ∴m+3=0，n﹣2=0， 解得m=﹣3，n=2， 所以，m n=（﹣3）2=9． 故选C． 【点睛】 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 2．下列说法中，正确的是（） A．在数轴上表示-a的点一定在原点的左边 B．有理数a的倒数是1 a C．一个数的相反数一定小于或等于这个数 D．如果a a =-，那么a是负数或零 【答案】D 【解析】 【分析】 根据实数与数轴的对应关系、倒数、相反数、绝对值的定义来解答. 【详解】 解：A、如果a<0，那么在数轴上表示-a的点在原点的右边，故选项错误； B、只有当a≠0时，有理数a才有倒数，故选项错误； C、负数的相反数大于这个数，故选项错误； D、如果a a =-，那么a是负数或零是正确. 故选D. 【点睛】 本题考查了数轴、倒数、相反数、绝对值准确理解实数与数轴的定义及其之间的对应关系.倒数的定义：两个数的乘积是1，则它们互为倒数；相反数的定义：只有符号不同的两个
数互为相反数；绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 3．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ） A ．63.153610? B ．73.153610? C ．631.53610? D ．80.3153610? 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【详解】 将31536000用科学记数法表示为73.153610?． 故选B ． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ?的形式，其中1<10a ≤，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4．9万亿1388900000000008.8910==?， 故选A ． 【点睛】 本题主要考查科学记数法，科学记数法是指把一个数表示成a×10的n 次幂的形式（1≤a ＜10，n 为正整数．） 5．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ） A ．10.9×104 B ．1.09×104 C ．10.9×105 D ．1.09×105 【答案】D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】 将10.9万用科学记数法表示为：1.09×105．
有理数混合运算的方法技巧 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键 例1：计算：3＋50÷22×(51-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[] 232315.011--??????????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行； 例3：计算：???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． 把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式