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江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳（数学应试笔记）
第I 卷 160分部分
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ． 如果C A C B B A ???，那么，． 【注意】：
①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）． 2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.
3、A B C A B A C A B C A B A C ==（）（）（）,（）（）（）；
A B C A B C A B C A B C ??=??=（）（）,（）（）
4、 De Morgan 公式:()U
U
U
C A B C A C B =；()U
U
U
C A B C A C B =. 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 A2.命题的否定与否命题
*1.命题p q ?的否定与它的否命题的区别：
命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.
命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：
全称命题p ：,()x M p x ?∈；全称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. 特称命题p ：,()x M p x ?∈；特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. A3.复数运算
*1.运算律：⑴m n m n z z z +?=； ⑵()m n mn z z =； ⑶
1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：
1x
⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122|||
|||
z z z z =； ⑶n
n z z =. *3.重要结论：
⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+；
⑵2
2
12z z z z ?==； ⑶()2
12i i ±=±； ⑷11i i i -=-+，11i
i i +=-； ⑸i 性质：T=4；1 , ,1,43
42414=-=-==+++n n n n i i i i i i .
【拓展】：()()
3
2
11101ω
ωωωω=?-++=?=
或122ω=-
±
.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸；
(3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类，它们的图像都经过一
个定点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.
(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同
点：每个个体被抽到的概率都相等（
n
N
）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图).
⑴频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=
样本容量
频数
.
②小长方形面积=组距×组距
频率=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ⑵茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数
数学应试笔记 第2页
字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 121
1
1()n
n i i x x x x x n
n ==++
+=∑
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据123,,,,n x x x x ? ①样本方差
2
222
121[()()()]n S x x x x x x n
=-+-+???+-222111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；
②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则
y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++的平均数
为ax b +，方差为22a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'x ax b =+，222()S a S '=. B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直
线l 的左边.
（2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直
线l 的下方.
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或
左右两部分）.
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；
若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲
线“外部”.
4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.
①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小；
②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；
5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线
在y 轴上的截距越大，z 越小. （2）
y m x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别y
x
表示过原点和()
,n m 的直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二
元方程的覆盖问题.
（4）
y =(),x y 到点()0,0的距离. （5）(cos ,sin )F θθ；
（6
）d =
；
（7）22a ab b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。 B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.
具体地： （1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，
还应注意一些配凑变形技巧，如下： 2=+ααα，22
αα=?；
22
αβ
αβ++=?
，()()2
22
αβ
β
ααβ+=-
--；
()()2
2
2
2
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβ
αβ
βα
βα
；
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；
2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；
154530,754530?=?-??=?+?；
()4
2
4ππαα
π+=--等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
数学应试笔记 第4页
利用二倍角公式2222cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形2cos 2sin 12
=-αα，2sin 2cos 12
=+αα，可以进行“升”与“降”的变
换，即“二次”与“一次”的互化. （3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角
函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值12.此外，对常值
“1”可作如下代换：
22221sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042
x x x x x x ππ=+=-=?=?====
等.
（5）引入辅助角
一般的，sin cos )sin()a b +=+
=+ααααα?，期
中cos tan b
a ===???.
特别的，sin cos )4
A A A +=+π
;
sin 2sin()3x x x +=+π，
cos 2sin()6
x x x +=+π
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例：22sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，22cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+??
可以通过12sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=--?两式和，作进一步化简.
（7）整体代换
举例：sin cos x x m +=22sin cos 1x x m ?=-
sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身
的特点．
(1)角的变换
因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总
互余.
锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边
的平方.
即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos sin A B C +=；2
2
tan cot A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理． 面积公式：11
sin 2
2
a S sh a
b C r p ===?=
其中
r
为三角形内切圆半径，p 为周长之
半．tan tan tan tan tan tan 12
2
222
2
A B B C C A ++=
(3)对任意ABC ?，； 在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ?中，熟记并会证明：
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．
*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等
比数列．
*3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan 2
2
3
A C =；
3
≤
B π
.
*4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3
≤B π.
(5)锐角ABC ?中,2
A B π+>?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
【思考】：钝角ABC ?中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：
在ABC ?中，sin sin a b A B A B >?>?>?cos2cos2B A >，… (7)若π=++C B A ，则2222cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥. B 4.三角恒等与不等式 组一
33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- ()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=-
32
3tan tan tan 3tan tan(
)tan(
)13tan 3
3
θθπ
π
θθθθθ
-=
=-+-
组二
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos 222A B C
A B C ++=
cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C
A B C ++=+
222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<；
数学应试笔记 第6页
(2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+
(3) |sin ||cos |1x x +≥；
(4)x
x x f sin )(=在),0(π上是减函数； B5.概率的计算公式： ⑴古典概型：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()()()
m card A p A n
card I ==；
②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )； ③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
()(1)k k
n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项).
⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
①直接法：位置分析法元素分析法
用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）
用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）
???
?
??? ②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。 ②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n .
B7.最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值；
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值21
4
s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.
（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.
③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有：
2
11
11()()by ax
ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥
④,,,R a x b y +∈，若
1a b x
y
+
=则有：()2
(
)ay bx x y x y a b x
y
+=++
=++=
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y x m n cx d
+=
∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
数学应试笔记 第8页
⑥不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征
解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+=k x
k x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.2
b
y k x =
+型，可直接用不等式性质； 2.2bx
y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式；
3.22x m x n y x mx n ''
++=++型，通常用判别式法；
4.2x m x n y mx n
''
++=+型，可用判别式法或均值不等式法；
?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.…… B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函
数，对号函数.
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈. (2)(2)cx d
y x ax b
+=
≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围.
(3)22232
61
x x y x x +-=--：
(21)(2)21
()(21)(31)312x x x y x x x x -++=
=≠-++ ，则1y 13
y ≠≠且且y R ∈.
(4)求2
21
1
x y x x -=
++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。 2
211
x y x x -=
++?2(2)10yx y x y +-++=，2
(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域. (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围. B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例 2.已知54x < ，求函数1
()4245f x x x =-+-的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数2710
()(1)1
x x f x x x ++=
≠-+的值域；
⑷变用公式：基本不等式
2a b
+≥有几个常用变形： 222a b ab +≥,
2()2a b ab +≥，2
a b
+≥
，222()22a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则不
易想到，应重视；例4.求函数15
()22y x =<<的最大值；
⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求216
()
y a b a b =+-的最小值；
⑹对数变换：例6.已知1
,12
x y >>，且xy e =，求ln (2)y t x =的最大值；
⑺三角变换：例7.已知2
0y x π
<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求1
1t a b
=+的最小值.
B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
⑴平方和为定值
若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设,,x y αα==，其中02απ<≤.
①(,))4
f x y x y π
ααα=+==+在15[0,],[,2)44
πππ上是增函数，在
15[,]44
π
π上是减函数；
数学应试笔记 第10页
②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444
πππππ上是增函数，在
1357
[,],[,]4444
ππππ上是减函数；
③11(,)x y m x y x y xy +=+==.
令sin cos )4t πααα=+=+，其
中
[,1)(1,1)(1,2]t ∈--.由2
12sin cos t αα=+，得22s i n c o s
1t αα=-
，从而
2
(,)1)m x y
t t
==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值
若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-
①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b
-∞上是增函数，在[,)2
b +∞上是减函数；
②211(,)x y b
m x y x y
xy x bx +=+=
=-+.当0b >时，在(,0),(0,]2
b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数.
③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2
b
-∞上是减函数，在[,)2
b +∞上是增函数； ⑶积为定值
若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x
=
①(,)c
f x y x y x x
=+
=+
.当0c
>时，在[
上是减
函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c
m x y x x y xy c x
+=+
=
=+.当
0c >时，在
[0),(
]上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③22
2
2
22(,)()2c c
n x y x y x x c
x x
=+=
+=+-在(,
-∞上是
减函数，在
()+∞上是增函数.
⑷倒数和为定值
若1
12x y d
+=（d 为定值，111
,,x d y ），则.c y x
=成等差数列且均不为零，可设公
差为z ，其中1z d ≠±，则1111
,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz
=
=-+. ①22
2()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11
[0,),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11
[0,),(,)d d
--+∞上减函数；
②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0
d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11
[0,),(,)d d
+∞
上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11
[0,),(,)d d
--+∞上是增函数；
③22222
222
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22
222(,)4(2)4
d t d n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.
B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，
则240b ac ?=-≥是方程[]2
()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ；
当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.
*5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x ''；
数学应试笔记 第12页
(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意2
,x x
D ∈1
的都有2
21
(
)[()()]22
x x f f x f x ++11≥，则称是
()
f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2
,x x
D
∈1
都有
2
2
1()[()()]2
2
x x f f x f x ++11≤
，则称()f x D 是上的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成
立）.
若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，那末在(,)a b 内至少有一点c ，使()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形，即：()()f b f a =的情形.描述如下：
若()x ?在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??=，那么在(,)a b 内至少有一点c ，使()0c ?'=成立. *2. 零点定理： 设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ． *3. 介值定理：
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）． *4. 夹逼定理：
设当00||x x δ-＜＜
时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x
x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则必有.)(lim 0
A x f x x =→
【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）
C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且1
2
PP PP λ=（或
P 2P
λ
1
P P ），则
12
1211x x x y y y λλ
λλ
+?
=??+?+?=?+?
?121OP OP OP λλ+=+?12
(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 推广
1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：
y x ?
???
?=??推广2λ
MB
则λ
λ++=1PB PA PM （λ对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：
12312333x x x x y y y y ++?
=???
++?=??
注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．
【公式理解】：
)
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0
(-1<λ<0)
若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合，λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远，λ=1- *2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例；
*3.始点终点很重要，如若P 分21P P 的定比λ=2
1，则P 分12P P 的定比λ=2； *4.12,,,x x x λ知三求一；
*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件. C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x f x a =?()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=+==≠.
③对数函数型：
O
A
?1
2
1
P 2
P P
?2
P 1
P P ?
数学应试笔记 第14页
()log a f x x =?()()(),()()(),()1(0,1)x
f f x f y y
f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.
④幂函数型：()f x x α=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()
x f x f y
f y =
.
⑤三角函数型：
()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==. ()f x tanx =,()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探
究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x
=-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性
性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有的图
像关于直线2
a b x +=
对称.
【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然. 【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然.
性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有
()()f a x f b x +=-()f x ?的图像关于点(
,0)2
a b +对称.
【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称. 【注】：()(2)f x f a x =--亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有
()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于直线2
a b x +=对称.(这
实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有
()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对称.(实
际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
f x 负号相异，如果把两个“f ”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.
2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.
3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.
4.函数()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x =对称.
5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m
-=
对称.
特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)
(1)若()()f x f x a =+，或()()22
a
f x f x a +
=-，则()f x 的周期T a =； (2)若()()0f x f x a ++=，或1()()1()f x
f x a f x -+=+，或()()22
f f a a x x =-+- ，或()()f x a f x a +=-，
或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠，或()()
()f a x
f a x f x +=-???
为偶函数，或()()()f a x f a x f x +=--??
?为奇函数， 或()()
()f a x f a x f x +=-???为偶函数
，或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈，则()f x 的周期2T a =；
(3)若1()1(()0)()
f x f x f x a =-
≠+，则()f x 的周期3T a =；
(4)若()()()f a x f a x f x +=--???为偶函数，或()()
()f a x f a x f x +=-???
为奇函数，或()()f x a f x a +=--，或
1()()1()f x f x a f x -+=-+，或1()
()1()
f x f x a f x ++=-，或121212()()()1()()f x f x f x x f x f x ++=-?且
1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则()f x 的周期4T a =；
(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ?+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ????=++++，则()f x 的周
期5T a =；
(6)若()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =.
【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明. C5.对称性与周期性的关系 定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是
周期函数，且2a b -是它的一个周期. 推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是以
2a b -为周期的周期函数.
数学应试笔记 第16页
定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()
f x 是周期函数，且4a b -是它的一个周期. 推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则()f x 是以
4a b -为周期的周期函数. 定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()f x 是
周期函数，且2a b -是它的一个周期. 推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()
f x 是以2a b -为周期的周期函数. C6.函数图象的对称轴和对称中心举例
C7.1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数. 2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数. 3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()
f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. 7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()
f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数. 【拓展】：
1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.
2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.
3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .
4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间
(),0-∞上也是递增的;
② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间
(),0-∞上是递减的;
【思考】：结论推导
C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何
性质.
1.在长方体(,,)a b c 中：
①体对角线长为222c b a ++，外接球直径2R = ②棱长总和为4()a b c ++；
③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1.
2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③
数学应试笔记 第18页
C
B
斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积2
S
；②体积312V a =
；③对棱间的距离2
d a =
；
④相邻面所成二面角13
arccos α=；⑤外接球半径4
R =；
⑥内切球半径12
r =；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值
3
h a =
.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为a ，则
①体对角线长为a 3，②全面积为2
6a ，③体积
3V a =，④内切球半径为1
r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则
12r a =,22r =,22r =,且1231r r r =::
【点拨】征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结
构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，
会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．
球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r =掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
⑴计算线段AB 的长；⑵计算球心角AOB ∠的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长.
【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”. 【补充】： 一、四面体．
1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质： ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°．
2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD ．
3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体．
（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有
①等腰四面体的体积可表示为2
2231
2
22222222c b a b a c a c b V -+?
-+?-+=；
②等腰四面体的外接球半径可表示为
2
224
2c b a R ++=
；
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相
等，且可表示为2
223
2
c b a m ++=
；
④h = 4r ．
二、空间正余弦定理．
空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠
CBD/sin ∠C-BA-D
空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠
A-BC-D
6.直角四面体的性质：
在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则 ⑴底面三角形ABC 为锐角三角形；
⑵直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；
⑶2
BOC BHC ABC S S S ???=?；
⑷2222
AOB BOC COA ABC S S S S ????++=；
⑸
2
2
2
2
1111OH
a
b
c
=
+
+
；
⑹外接球半径
R=R =7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的
体对角
线长．
(2)球与正方体的组合体:
asin α,)bsin α)
N 的轨迹是椭圆
O
A
B
C
D
免费下载站 2020-06-04原文 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果. 直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（或）、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项. 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法
2012年安徽省高考数学试卷分析与2013届高三复习建议一．近四年安徽高考考点分布（理科）
二．2012年安徽高考数学试卷分析 2012年高考安徽数学卷给人的第一感觉是“不难”、“常规”、“平稳”。应该说，今年的安徽卷是在前三年新课标自主命题基础上进一步深化课标理念，体现人文关怀的一套试题，让不同层次的考生在高考中一样能获得比较满意的分数，这样的成就感无疑成就他们心头的希望之火。我认为今年的这种命题理念是安徽高考命题发展的必然，也是在新一轮命题周期中的良好开端，进而坚持改革，坚持安徽特色，坚持深化素质教育。 课标高考安徽卷坚持的命题指导思想就是“稳定中逐步创新，不断深化新课标理念”，命题时强调依据新课标和考试说明，对于主干知识重点考查，不刻意追求覆盖，这些无疑是很好的。因为这实现了命题者、考生、教师在同一个平台上对话，容易实现双向沟通，也是稳定得以实现的前提。我们看到2012年的安徽卷很好地体现了这一指导思想，从题目上看，没有在客观题部分设置难度很大的试题，让考生以较平稳的心态进入到主观题的答题中去，同时在主观题部分，基本都是低起点，宽入口，设置多问，阶梯递进，让不同层次的学生都能在解答题中获得相应的分数，变一到两题把关为多题多问把关，即使最后一题的第一问多数学生还是可以拿下的。试卷整体难度比去年降低不少。 下面就今年年安徽高考数学主干知识考查题型略加分析： 1、三角函数：文理都设置了一大一小两题，重点考察三角函数的恒等变形、图像性质、解三角形等常规问题，理科第15题为多选题，结合余弦定理、均值不等式等知识点，难度很大。这已经是安徽省小题把关、小题创新的一大特色，正方体、四面体、概率、直线方程、函数、数列都可以入题，考查知识点全面、辩证思维、抽象思维能力要求都很高，稍有不慎就会整题丢分，这一直是学生一大薄弱环节。 15（理）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2 ab c >；则3 C π < ②若2a b c +>；则3 C π < ③若3 33a b c +=；则2 C π < ④若()2a b c ab +<；则2 C π > ⑤若2 2222()2a b c a b +<；则3 C π > 【解析】正确的是①②③ ①2222 21cos 2223 a b c ab ab ab c C C ab ab π +-->?= >=?<
数学必修一知识点大全 一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。 如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为： ；
二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是： （2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________
（第5题） 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 １.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为 . ２.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ． 3.双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 . ４．集合}1,0,1{-共有 个子集． 5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 6. 的那位运动员成绩的方差为 ． 方差为:25 )9092()9088()9091()9090()9089(2 22222 =-+-+-+-+-= S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n （7≤m ，9≤n )可以任意选取,则n m ， 都取到奇数的概率为 ． ８.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1 AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V . ９．抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 ． A B C 1A D E F 1B 1C
10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点,AB AD 21= ，BC BE 3 2 =, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数)，则21λλ+的值为 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解 集用区间表示为 ． １2.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为 F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 . １３.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 = （0>x )图象上一动点, 若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 . 1４．在正项等比数列}{n a 中,2 1 5= a ,376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分) 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0. (1)若2||= -b a ,求证:b a ⊥; （2）设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值． 16．(本小题满分14分) 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证: (1）平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥． A B C S G F E
高考数学考点解析及分值 分布 Prepared on 22 November 2020
高考数学考点解析1．集合与简易逻辑： 10-18分 主要章节：必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》 选修1-1（文）2-1（理）《常用逻辑用语》 考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数： 30分+ 主要章节：必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》 必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》 选修1-1（文）2-1（理）《圆锥曲线与方程》、《导数》 选修4-4《极坐标方程》《参数方程》 函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。以指数函数、对数函数、复合函数为载体，结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数生成考题，作为选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合的解答题，以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，结合不等式、数列综合成题，也是解答题拉分关键。
3．不等式：5-12分 主要章节：必修5第三章《不等式》 选修4-5全书 一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：20-28分 主要章节：必修5第二章《数列》 数列是高中数学的重要内容，是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，另外一个与其它知识的综合题。文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。证明题以考“错位相减法”比较多。 5．三角函数： 18-25分 主要章节：必修4第一章《三角函数》、第三章《三角恒等变换》必修5第一章《解三角形》
考点18 函数y=Asin（ωx+φ）的图像 1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）将函数 的图象向右平移个单位得到函数的图象，则以函数与的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________________． 【★答案★】 【解析】 解：函数的图象向右平移个单位得到函数＝，如下图所示， 点坐标为，之间为一个周期： 所以，三角形的面积为： 故★答案★为： 2．（江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试）将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______． 【★答案★】 【解析】 将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2?+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=， 故★答案★为：．
3．（江苏省南通市2019届高考数学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，将函数的图象向右平移个 单位得到 的图象，则 的值为______ 【★答案★】 【解析】 由题意得，将函数的图象向右平移个单位，得的图象， 所以 ． 4．（江苏省扬州树人学校2019届高三模拟考试四）若将函数（）的图象向左平 移 个单位所得到的图象关于原点对称，则 __________． 【★答案★】. 【解析】分析：先求得平移后图象对应的解析式，然后再根据函数为奇函数求得． 详解：将函数 的图象向左平移 个单位所得到的图象对应的解析式为 由题意得函数为奇函数， ∴， ∴， 又， ∴ ． 点睛：关于三角函数的奇偶性有以下结论： ①函数y ＝A sin ωx 是奇函数，y ＝A cos ωx 是偶函数． ②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)． ③若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ (k ∈Z)；若该函数为偶函数，则有φ＝kπ(k ∈Z)． 5．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π? ? =+ ?? ?
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数y 3sin （2x ）的最小正周期为 ______________ 4 2?设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________ 2 2 3 .双曲线- — 1的两条渐近线的方程为 16 9 （第5题） 6 ?抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 方差为：S 2 2 2 2 2 (89 90) (90 90) (91 90) (88 90) (92 90) 2 5 . 7?现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则 m , n 都取到奇数的概率为 ______________ . 8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是 AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________ 9 ?抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含 三角形内部和边界）?若 4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集. 5?右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 _____________
点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________
高考数学考点解析及分值分布 1．集合与简易逻辑。分值在5～10分左右（一道或两道选择题），考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数，函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。 3．不等式;一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，有时还有一个与其它知识的综合题。分值在20分左右，文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的工具，三者综合的求解题与求证题是对
2011年江苏省高考数学试卷
2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________．
11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题 参考公式： 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13 V Sh =， 其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ? ? =+ ?? ? 的最小正周期为__________． 答案：π 解析：函数π3sin 24y x ??=+ ?? ?的最小正周期2ππ2 T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________． 答案：5 解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i| 5=＝5. 3．(2013江苏，3)双曲线 22 =1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：3 4 y x =± 解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3 4 y x =±. 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8 解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________． 答案：3 解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3. 6．(2013江苏，6)
高考文科数学核心考点总结 导读：本文高考文科数学核心考点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 高考文科数学核心考点 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数 函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、幂函数)的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联
系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三：三角函数与平面向量 一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量 一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等(文科不
最新文科高考数学必考考点 文科高考数学必考知识点归纳 第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。 主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。 第二：平面向量和三角函数。 重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。 第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。 第四：空间向量和立体几何。 在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。 第五：概率和统计。 这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。 第六：解析几何。 这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 为高。 棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 若DE AB AC λλ=+(λ、5,0) (5,)+∞ 、在平面直角坐标系xoy
12n n a a a a ++>的最大正整数二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。 （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥； （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。 （1）证明：（方法一）由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即2 2 22a a b b -?+=。 又222 2||||1 a b a b ====，所以222a b -?=，0a b ?=，故a b ⊥。 （方法二）(cos cos ,sin sin ),a b αβαβ-=-- 由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即：2 2 (cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=， 化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=，
2014年河南高考数学考点分析 数学高考试题的命制按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。在能力要求上，着重对考生的五种能力（空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力）和两种意识（应用意识，创新意识）进行考查。试题基本保持大稳定小创新。 下面针对近6年课改区试题按模块进行分析： 模块一不等式（不含选考） 2008年 6. 不等式（恒成立） 2009年 6.线性规划（目标函数为线性）; 2010年 8.解不等式 2011年 13.线性规划（线性区域为四边形内部，目标函数为线性） 2012年14.线性规划线性规划（目标函数为线性）; 2013年 1．一元二次不等式解法，11分段函数恒成立求参数范围 该部分很少考查纯粹的题目，一般会和其他知识结合考查。单纯考查一般较简单，主要考查不等式性质、解法等和线性规划,最值。学生易忽视不等式性质，线性规划试题很常规,不易过难训练. 模块二函数与导数 2008年 10.定积分21.导数（切线，对称） 2009年12.由指数函数和两个一次函数构成的最小值函数的最值（作图解决）; 21.导数（涉及指数和积的导数，求单调区间，证明不等式） 2010年 3.一次分式函数的导数；8.函数（偶函数、不等式）；11.分段函数（考查图像）；21.指数函数导数（求单调求单调、参数范围） 2011年 2.函数性质判断（奇偶性、单调性）；9.求积分；12.函数性质的运用（反比例函数与三角函数的交点问题）；21函数解析式为包含对数的分式（根据某点处切线方程求参数，根据不等式求参数） 2012年10.函数图象及性质（涉及对数）；12.函数综合（涉及指数和对数）;21.导数综合（涉求单调求单调及指数） 2013年 16函数求最值，21函数求解析式，恒成立求参数范围 大题一般考查导数有关的综合问题，注意把导数与不等式证明联系起来，导数题目的难度是相当大的，函数类型涉及有对数型、指数型、三次函数、分式函数。三个二次间的关系,分段函数,三角函数型的要引起重视.学生易在起步求导出错.求导与求定积分要分清。 模块三三角函数与平面向量 2008年 1. 三角函数（周期）3. 三角形（余弦定理）7. 三角求值13. 向量（坐标运算） 2009年 9.根据向量关系式判断点在三角形中的位置）; 14. 三角（知图像求表达式）;17.三角（正余弦定理进行实际测量的步骤） 2010年 4.三角函数的实际应用；9.三角（涉及二倍角的化简求值）；16.解三角形(三角形面积，三角变换) 2011年 5.三角化简求值（二倍角、基本关系式）；10.求向量夹角的范围;11.三角函数化简及性质研究；2012年9.三角函数的性质;13.向量运算;17.解三角 2013年 13.向量数量积运算17解三角形 小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 为高。 棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相．．．．．应位置上．．．． 。 1、函数3sin(2)4 y x π =+ 的最小正周期为 ▲ 。 2、设2 (2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。 3、双曲线 22 1169 x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。 4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。 5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方 差为 ▲ 。 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92
7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。 8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。 9、抛物线2 y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三 角形内部与边界)。若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。 10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12 ,23 AD AB BE BC = =。若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。 11、已知()f x 是定义在R 上的奇函数。当0x >时，2 ()4f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为 ▲ 。 12、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，右 准线为l ，短轴的一个端点为B 。设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d 。若 216d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲ 。 13、在平面直角坐标系xoy 中，设定点A(a,a)，P 是函数1 (0)y x x = >图象上的一动点。若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为= ▲ 。 14、在正项等比数列{}n a 中， 5671 ,32 a a a =+=，则满足1212n n a a a a a a +++>的最大正整数n 的值为 ▲ 。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。 （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；
江苏省清江中学 2015届高三数学备课组工作计划 一、背景分析 学校层面，2008年到2014年我校高考数学一直是全市第二的好成绩，2014年的全市第二的含金量更高了，一是二本达线人数大幅提升，二是缩小了与第一的差距，拉大了与第三的差距，三是文科张堃同学一150分在强手如林的选手中夺得淮安市第一名。这给我们2015届的数学教学工作提出了更高的要求，也激发我们一年更比一年好的斗志。 学生层面，本届学生理科班共十个班，文科十个班，艺术班一个，经过高一高二的扎实教学，学生的学习习惯，知识储备都有了一定的积累，基本符合高三一轮的入门标准。但其中还有相当部分学生存在以下一些问题，学习数学的积极性不高，对数学学习的投入程度不够，解题的规范性不到位，基础知识掌握的不牢固。 教师层面，理科数学老师有韩怀兵、黄宝球两位老师，文科有嵇丽亚、卢闯两位老师是从上届高三留下来的，其余七位老师都是从高二升到高三的数学老师，有一位老师是第一次带高三。结构合理，由中青年组成的团队思想接近，易于沟通，团队意识强，既有利于团队间的协作，也有利于教师自身的成长。同时张阳、何军两位备课组长善于统筹安排、善于凝聚人心，有利于发扬高三数学组团队意识，能充分发挥每一位数学老师的个体优势，带领大家有针对性地制订复习策略，有信心、有决心脚踏实地、细致入微的做好本届高三的数学复习工作。 二、指导思想 根据高考的实际和我校的实际情况，清江中学的数学高考复习的指导思想确定为： 以考试说明、课程标准、教学大纲为指导，以近几年高考的命题风格为导向，以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材，全面实施高三数学复习。
2019高考数学复习：九大核心考点 九大核心的知识点：函数、三角函数，平面向量，不等式，数列，立体几何，解析几何，概率与统计，导数。这些内容非常重要。当然每章当中还有侧重，比如说拿函数来讲，函数概念必须清楚，函数图象变换是非常重要的一个核心内容。此外就是函数的一种性质问题，单调性、周期性，包括后面我们还谈到连续性问题，像这些性质问题是非常重要的。连同最值也是在函数当中重点考察的一些知识点，我想这些内容特别值得我们在后面要关注的。 再比如说像解析几何这个内容，不管理科还是文科，像直线和圆肯定是非常重要的一个内容。理科和文科有一点差别了，比如说圆锥曲线方面，椭圆和抛物线理科必须达到的水平，双曲线理科只是了解状态就可以了。而文科呢?椭圆是要求达到理解水平，抛物线和双曲线只是一般的了解状态就可以了。这里需要有侧重点。 拿具体知识来讲，比如说直线当中，两条直线的位置关系，平行、垂直的关系怎么判断应该清楚。直线和圆的位置关系应该清楚，椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，参数之间的关系，再比如直线和椭圆的位置关系，这是值得我们特别关注的一个重要的知识内容。这是从我们的一个角度来说。 我们后面有六个大题，一般是侧重于六个重要的板块，因为现阶段不可能一个章节从头至尾，你没有时间了，必须把
最重要的知识板块拿出来，比如说数列与函数以及不等式，这肯定是重要板块。再比如说三角函数和平面向量应该是一个，解析几何和平面几何和平面向量肯定又是一个。再比如像立体几何当中的空间图形和平面图形，这肯定是重要板块。再后面是概率统计，在解决概率统计问题当中一般和计数原理综合在一起，最后还有一个板块是导数、函数、方程和不等式，四部分内容综合在一起。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。 应当说我们后面六个大题基本上是围绕着这样六个板块