第七章实数的完备性
【教学目的】
1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；
2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
【教学重点】实数完备性的基本定理的证明
【教学难点】基本定理的应用。
【教学时数】14学时
§1 关于实数集完备性的基本定理
【教学目的】
1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；
2.明确基本定理是数学分析的理论基础。
【教学重点】实数完备性的基本定理的证明。
【教学难点】实数完备性的基本定理的证明。
【教学时数】2学时
一、确界存在定理
回顾确界概念．
Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .
二、单调有界原理
回顾单调和有界概念 .
Th 2 单调有界数列必收敛 .
三、Cantor闭区间套定理
1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ> 对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;
ⅱ> . 即当时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .
简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.
例如和都是区间套. 但、
和都不是.
2. Cantor区间套定理:
Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.
简言之, 区间套必有唯一公共点.
四、Cauchy收敛准则
——数列收敛的充要条件
1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.
例1 验证以下两数列为Cauchy列 :
⑴ .
⑵ .
解⑴
;
对，为使，易见只要 .
于是取.
⑵
.
为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有
当
,
又
.
为奇数时 ,
当
,
.
, 有
综上 , 对任何自然数
. ……
Cauchy列的否定
例2 . 验证数列不是Cauchy列.
, 取, 有
证对
.
因此, 取,……
2. Cauchy收敛原理:
Th 4 数列收敛是Cauchy列.
( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 )
五、致密性定理
数集的聚点
定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点
为的一个聚点.
数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设
是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.
1. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
六、Heine–Borel 有限覆盖定理
1. 覆盖: 先介绍区间族.
定义( 覆盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族
覆盖了, 或称区间族是数集的一个覆盖. 记为
若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为
.
定义( 开覆盖 ) 数集的一个开区间族覆盖称为的一个开覆盖, 简称为的一个覆盖. 子覆盖、有限覆盖、有限子覆盖.
例3 覆盖了区间, 但不能覆盖
;覆盖, 但不能覆盖.
2. Heine–Borel 有限覆盖定理
Th 7 闭区间的任一开覆盖必有有限子覆盖.
作业：P168 1 2 3 7
§2 实数基本定理等价性的证明
【教学目的】学会证明若干个命题等价的一般方法.
【教学重点】实数基本定理等价性的证明
【教学难点】实数基本定理等价性的证明
【教学时数】4学时
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明将按以下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理 Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限覆盖定理区间套定理 .
一、“Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).
1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:
Th 2 单调有界数列必收敛 .
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.
系1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时,
总有.
系2 若是区间套确定的公共点, 则有
↗
, ↘, .
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”
Th 4 数列收敛是Cauchy列.
引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )
Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.
4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：
Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .
证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然
有上确界 .下设
为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取
不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为
, 使
收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.
Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,
下证.用反证法验证的上界性和最小性.
二、“Ⅱ”的证明
1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证（突出子列抽取技巧）
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
证（用对分法）
2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：
Th 4 数列收敛是Cauchy列.
证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的
极限.
三、“Ⅲ”的证明
1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限覆盖定理”:
证
2. 用“Heine–Borel 有限覆盖定理”证明“区间套定理”:
证采用[3]P72例4的证明.
作业：P168 8 9
§ 3 闭区间上连续函数性质的证明
【教学目的】能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
【教学重点】基本定理的应用。
【教学难点】基本定理的应用。
【教学时数】4学时
一、有界性
命题1 , 在上.
证法一 ( 用区间套定理 ). 反证法.
证法二 ( 用列紧性 ). 反证法.
证法三 ( 用有限覆盖定理 ).
二、最值性
命题2 , 在上取得最大值和最小值.
( 只证取得最大值 )
证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ]后半段.
三、介值性
证明与其等价的“零点定理”.
命题3 ( 零点定理 )
证法一 ( 用区间套定理 ) .
证法二 ( 用确界原理 ). 不妨设.
令, 则非空有界, 有上确界. 设,有
且). 取>且
. 现证, ( 为此证明
. 由在点连续和, ,
.于是.由在点连续和,
. 因此只能有.
证法三 ( 用有限覆盖定理 ).
四、一致连续性
命题4 ( Cantor定理 )
证法一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P229—230 [ 证法一 ]
证法二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P229—230 [ 证法二 ]
习题课
（2学时）
一、实数基本定理互证举例
例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.
递增有上界. 取闭区间, 使不是的上界, 是的上
证设数列
界. 易见在闭区间内含有数列的无穷多项, 而在外仅含有的有限项.
对分, 取使有的性质.…….于是得区间套,有公共点.
易见在点的任何邻域内有数列的无穷多项而在其外仅含有的有限项,
.
例2 用“确界原理”证明“区间套定理”.
为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确
证
界原理 , 数列有上确界, 数列有下确界 . 设,
.
易见有和. 由，.
例3 用“有限覆盖定理”证明“聚点原理”.
证 ( 用反证法 ) 设为有界无限点集, . 反设的每一点都不是的聚
点, 则对, 存在开区间, 使在内仅有的有限个点. …… .
例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.
证设为有界无限点集. 构造数集中大于的点有无穷多个. 易见数集非
空有上界, 由确界原理, 有上确界. 设. 则对,由不是的上界,
中大于的点有无穷多个; 由是的上界,
中大于的点仅有有限个. 于是, 在内有的无穷多个点,即是
的一个聚点 .
二、实数基本定理应用举例
例5 设是闭区间上的递增函数, 但不必连续 . 如果,,则
,使.(山东大学研究生入学试题)
证法一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 )
设集合. 则, 不空 ; ,有界 .由
有上确界. 设, 则.下证.
确界原理 ,
, 有; 又, 得. 由递增
ⅰ> 若
和, 有, 可见. 由,. 于
是 , 只能有.
, 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列,
ⅱ> 若
↘,. 由递增, 以及, 就有式
对任何成立 . 令, 得于是有
.
证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当或时,或就
是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分点为
. 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现
这种情况 ) . 若, 取; 若, 取, 如此得一级区间
. 依此构造区间套, 对,有. 由区间套定理,
, 使对任何,
. 现证. 事实上, 注意到时↗和↘以及
有
递增, 就有
.
令, 得于是有.
例6 设在闭区间上函数连续, 递增 , 且有,.
试证明: 方程在区间内有实根 . （西北师大2001年硕士研究生入学试题）
证构造区间套,使.由区间套定理, , 使对
, 有. 现证. 事实上, 由在上的递增性和
↗和↘,, 有
的构造以及
.
注意到在点连续，由Heine归并原则, 有
,
, . 为方程在区间内的实
根.
例7 试证明: 区间上的全体实数是不可列的。
证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间上的全体实数是可列的,即可排成一列:
，记该区间为一级区间.
把区间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含
把区间
三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间
, 其中区间不含. 由区间套定
. …… .依此得区间套
理, , 使对, 有. 当然有.但对有而
, . 矛盾 .
作业：P172 1 3