大一高数试题及答案
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
√１－ ｘ2
_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）
３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ ───────────────
h→o h
＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是
____________。
ｘ
５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4
１
６．ｌｉｍ Ｘｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ
７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋ Ｙ2 ）ｄｙ 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
ｄ3ｙ ３ ｄ2ｙ
９．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。
ｄｘ3 ｘ ｄｘ2
∞ ∞
１０．设级数 ∑ ａn发散，则级数 ∑ ａn _______________。
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ）
ｘ
１ １ １
①１－ ── ②１＋ ── ③ ──── ④ｘ
ｘ ｘ １－ ｘ
１
２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１ 是 （ ）
ｘ
①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
３．下列说法正确的是 （ ）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续， 则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则
ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝ Ｇ'(x)，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数
③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
ｄ ｄ
④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝ ──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ
ｄｘ ｄｘ
1
６．∫ │ｘ│ｄｘ ＝ （ ）
-1
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）
①平行于ｘｏｙ面的平面
②平行于ｏｚ轴的平面
③过ｏｚ轴的平面
④直线
ｘ
８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ ｙ3 ＋ ｘ2 ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ）
ｙ
①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）
１
③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）
ｔ2
ａn＋１ ∞
９．设ａn≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ）
n→∞ ａ n=1
①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散
②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散
③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散
④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散
１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）
①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程
（二）每小题２分，共２０分
１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）
①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１
③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│
１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）
①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）
④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）
１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）
①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非
充分的条件
ｄ
１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，
则ｆ（ｘ）＝ （ ）
ｄｘ
①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ③１＋ｓｉｎｘ ④１－ｓｉｎｘ
１５．过点（１，２）且切线斜率为 ４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝ （ ）
①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１ ④ｘ4－１
１ x
１６．ｌｉｍ ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （ ）
x→0 ｘ3 0
１
① ０ ② １ ③ ── ④ ∞
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍ ｘｙｓｉｎ ───── ＝ （ ）
x→0 ｘ2＋ｙ2
y→0
① ０ ② １ ③ ∞ ④ ｓｉｎ１
１８．对微分方程 ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （ ）
① 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ'
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝ｐ───
ｄｙ
１ ｄｐ
④ 设ｙ'＝ｐ，则 ｙ"＝── ───
ｐ ｄｙ
∞ ∞
１９．设幂级数 ∑ ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛， 则 ∑ ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（ ）
n=o n=o
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａn有关
ｓｉｎｘ
２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝ （ ）
D ｘ
1 1 ｓｉｎｘ
① ∫ ｄｘ ∫ ───── ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √y ｓｉｎｘ
② ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 y ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
③ ∫ ｄｘ ∫ ─────ｄｙ
0 x ｘ
__
1 √x ｓｉｎｘ
④ ∫ ｄｙ ∫ ─────ｄｘ
0 x ｘ
三、计算题（每小题５分，共４５分）
___________
／ ｘ－１
１．设 ｙ＝ ／ ────── 求 ｙ' 。
√ ｘ（ｘ＋３）
ｓｉｎ（９ｘ2－１６）
２．求 ｌｉｍ ─────────── 。
x→4/3 ３ｘ－４
ｄｘ
３．计算 ∫ ─────── 。
（１＋ｅx ）2
t 1 ｄｙ
４．设 ｘ＝ ∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求 ─── 。
0 t ｄｘ
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。
___
６．设 ｕ＝ｅx＋√ｙ ＋ｓｉｎｚ，求 ｄｕ 。
x asinθ
７．计算 ∫ ∫ ｒｓｉｎθｄｒｄθ 。
0 0
ｙ＋１
８．求微分方程 ｄｙ＝（ ──── ）2ｄｘ 通解 。
ｘ＋１
３
９．将 ｆ（ｘ）＝ ───────── 展成的幂级数 。
（１－ｘ）（２＋ｘ）
四、应用和证明题（共１５分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（ 比例常数为ｋ〉０ ）求速度与时间的关系。
___ １
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ 〉３－ ── 。
ｘ
附：高数（一）参考答案和评分标准
一、填空题（每小题１分，共１０分）
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
３．５Ａ
４．ｙ＝ｘ2＋１
１
５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ
２
６．１
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
π/2 π
８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
0 0
９．三阶
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１．③ ２．③ ３．④ ４．④ ５．②
６．② ７．② ８．⑤ ９．④ １０．③
（二）每小题２分，共２０分
１１．④ １２．④ １３．⑤ １４．③ １５．③
１６．② １７．①
１８．③ １９．① ２０．②
三、计算题（每小题５分，共４５分）
１
１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分）
２
１ １ １ １ １
──ｙ'＝──（────－──－────） （２分）
ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３
__________
１ ／ ｘ－１ １ １ １
ｙ'＝── ／──────（────－──－────） （１分）
２ √ ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３
１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）
２．解：原式＝ｌｉｍ ──────────────── （３分）
x→4/3 ３
１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］
＝ ────────────────────── ＝８ （２分）
３
１＋ｅx－ｅx
３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分）
（１＋ｅx）2
ｄｘ ｄ（１＋ｅx）
＝∫─────－∫─────── （１分）
１＋ｅx （１＋ｅx）2
１＋ｅx－ｅx １
＝∫───────ｄｘ ＋ ───── （１分）
１＋ｅx １＋ｅx
１
＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋ ───── ＋ ｃ （１分）
１＋ｅx
４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）
ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －ｔｇｔ （２分）
ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ
５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）
ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２
所求直线方程为 ────＝────＝──── （２分）
１ ０ －３
__ __
６．解：ｄｕ＝ｅx +√y + sinzｄ（ｘ＋√ｙ ＋ｓｉｎｘ） （３分）
__
一、
D C A C A
B C C B A
D A B
A D
A D B D A
二课程代码：00020
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设函数 （ ）
A. B.
C. D.
2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ）
A.x+3 B.x-3
C.2x D.-2x
3. （ ）
A.e B.e-1 C. D.1
4.函数 的连续区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.设函数 在x=-1连续,则a=（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.0
6.设y=lnsinx,则dy=（ ）
A.-cotx dx B.cotx dx
C.-tanx dx D.tanx dx
7.设y=ax(a>0,a 1),则y(n) （ ）
A.0 B.1
C.lna D.(lna)n
8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ）
A. B.
C. D.
9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（ ）
A.单调减小 B.单调增加
C.不增不减 D.有增有减
10.如可微函数f(x)在x0处取到极大值f(x0),则（ ）
A. B.
C. D. 不一定存在
11. （ ）
A.f(x)+C B.
C.xf(x)+C D.
12.设f(x)的一个原函数是x2,则 （ ）
A. B.x5+C
C. D.
13. （ ）
A.0 B.
C. D.
14.下列广义积分中,发散的是（ ）
A. B.
C. D.
15.满足下述何条件,级数 一定收敛（ ）
A. B.
C. D.
16.幂级数 （ ）
A. B.(0,2)
C. D.(-1,1)
17.设 ,则 （ ）
A. B.
C. D.
18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（ ）
A.(1,2) B.(-1,2)
C.(-1,-2) D.(1,-2)
19. （ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
20.微分方程 满足初始条件y(0)=2的特解是（ ）
A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2
C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3
二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21.求极限
22.设
23.求不定积分
24.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.
25.用级数的敛散定义判定级数
三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
26.设
27.计算定积分 I
28.计算二重积分 ,其中D是由x轴和 所围成的闭区域.
29.求微分方程 满足初始条件y(1)=e的特解.
四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
30.已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+
(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?
(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品?
31.求由曲线 ,直线x+y=6和
10.设函数y=ln x,则它的弹性函数 =_____________.
11.函数f(x)=x2e-x的单调增加区间为______________.
12.不定积分 =__________________.
13.设f(x)连续且 ，则f(x)=________________.
14.微分方程xdy-ydx=2dy的通解
为____________________.
15.设z=xexy,则 =______________________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设函数f(x)= 在x=0处连续，试求常数k.
17.求函数f(x)= +x arctan 的导数.
18.求极限 .
19.计算定积分 .
20.求不定积分 dx.
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21.求函数f(x)=x3-6x2+9x-4在闭区间[0，2]上的最大值和最小值.
22.已知f(3x+2)=2xe-3x,计算 .
23.计算二重积分 ，其中D是由直线y=x,x=1以及x轴所围的区域.
五、应用题（本大题9分）
24.已知矩形相邻两边的长度分别为x,y，其周长为4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体（如图）.问当x,y各为多少时可使旋转体的体积最大？
21 -3/2
22 -e^-1
23 x- arctgx + C
24 3/2
25 y + 2 = 0
26 t^2f(x,y)
27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))
28 2pi/3
29 1/2
30 (c_1x + c_2 ) e^(4x)
三
四
一、
D C A C A
B C C B A
D A B A D
A D B D A
二
21 -3/2
22 -e^-1
23 x- arctgx + C
24 3/2
25 y + 2 = 0
26 t^2f(x,y)
27 -1/(2sqrt(x)sqrt(y))
28 2pi/3
29 1/2
30 (c_1x + c_2 ) e^(4x)
三
四