稳定性理论
5.1 外部稳定性和内部稳定性
运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。内容包括 外部稳定性 内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性关系
（1）外部稳定性
考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零，外部稳定性定义如下：
定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即 102(),[,]()u t t t y t ββ?≤<∞∈∞?≤<∞
外部稳定也称为BIBO 稳定。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是 0
1212(,),,,,;,,,t
ij t h t d i q j p
ττβ≤<∞==∫
L L
证明：先证SISO 情形。充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。由基于脉冲响应的输出关系式，有
τ
τβττττττd u d u t h d u t h t y t
t t
t t
t ∫∫∫≤?≤=0
00)()(),()(),()(
因此，对任意有界输入u (t ) ∞
<≤1β)(t u ∞
<≤≤?∫10
ββττβd u t y t
t )()(
即系统BIBO 稳定。再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得 ∞
=∫ττd t h t t 1
1),(
构造有界输入 ?????+==0
10
00
11111),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u
∞
===?∫∫τττττd t h d u t h t y t
t t t 10
10111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。 MIMO 情形：对输出的每一分量，有 p
j q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤∫∞
β
定理5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条件是，传递函数矩阵G (s )所有极点均具负实部。 证明：
可将G (s )任一元有理分式展开为相对于极点的部分分式的有限项和，不失一般性，表其一个部分分式为
其反拉氏变换为
l
k
l l
k m l s s σβ,,,;,,,,)(L L 2121==?l
t s k lk k m l e t l
σρ,,,;,,,,L L 21211==?
显然，当且仅当sl 均具有负实部时， l
t s k lk k m l e t l
σρ,,,;,,,,L L 21211==?
绝对可积，等价于 )
(t h ij
绝对可积，故由定理5.1，等价于系统BIBO 稳定。证毕。
（2） 内部稳定性
考虑连续时间线性时变系统，
000t t x t x x t A x
≥==,)(,)(&
称连续时间线性时变系统在时刻t 0为内部稳定，如果由任意非零初始状态x (t 0)=x 0引起的零输入响应x u (t )对所有t 有界，且满足渐近属性即成立
000=∞
→)(lim t x u t
内部稳定?Lyapunov 意义下渐近稳定。
对连续时间线性系统，内部稳定性可根据状态转移矩阵或系数矩阵直接判断。
定理5.3 线性时变系统t 0时刻内部稳定的充分必要条件为，状态转移矩阵Φ(t ,t 0)对所有t ≥t 0有界，且
00=∞
→),(lim t t t Φ
证明：
0000t t x t t t x u ≥=,),()(Φ
容易看出， x 0u (t )有界当且仅当Φ(t ,t 0) 有界，x 0u (t )趋于0
当且仅当Φ(t ,t 0)趋于0。证毕。
结论5.5/5.6 线性时不变系统内部稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数满足
0=∞
→At t e lim
{}0
对线性时变系统，不能由特征值来判断系统的内部稳定性。
（3） 内部稳定性和外部稳定性关系 限于讨论时不变连续系统： Du
Cx y t x x Bu Ax x
+=≥=+=000,)(,&
结论：线性时不变系统内部稳定，则必BIBO 稳定。 证明：脉冲响应矩阵为
)
()(t D B Ce t H At δ+=因为时不变系统内部稳定，故
=∞
→At t e lim p
j q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤?∫∞
β
故系统BIBO 稳定。证毕。
定理：线性时不变系统BIBO 稳定不能保证内部稳定。
证明：由系统结构的规范分解，传递函数矩阵仅反映系统中能控能观测部分，据此易知结论成立。证毕。
定理：线性时不变系统完全能控能观测，则系统BIBO 稳定当且仅当
系统内部稳定。 例：
已知离散时间系统
[])()(y )()(1019.0)1(2121k x c c k k u b b k x k x =??
????+?
??
???=+，请给出该系统满足BIBO 稳定的充分必要条件。
解：直接计算传递函数可得：
)1)(9.0()
9.0()()()(22112122111????++=
?=?z z b c b c b c z b c b c B A zI C z g
显然如果分母能消去z-1项,就可以保证系统BIBO 稳定。为此，分子中必须存在z-1项，此时有
22112122119.0b c b c b c b c b c ??=+ 2122.10b c b c ?= 由上式可知，有且只有
12.10c c ?=（对于任意）;
2b 或 （对于任意c ）
02=b 成立时，系统满足BIBO 稳定。
5.2 李亚普诺夫稳定性定理
Lyapunov 第一方法，也称为间接法，基本思想：将非线性自治系统运动方程在足够小邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化
系统，并据此线性化系统特征值分布，来推断非线性系统在邻域内的稳定性。
经典控制理论中对稳定性的讨论正是建立在Lyapunov 间接法思路 的基础上的。
Lyapunov 第二方法，也称为直接法，直接根据系统运动方程系数，判断系统稳定性。
物理意义清晰，方法具有一般性。 系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。
直观上，系统平衡状态的稳定性问题是，偏离平衡状态的
受扰运动能否只依靠系统内部结构因素，或使之限制在平衡状态的有限邻域内，或使之最终返回到平衡状态。 概念：
1)自治系统：即没有输入作用的动态系统。 自治系统的一般形式为
线性自治系统为
2)平衡状态：自治系统的平衡状态是指满足如下条件的状态 000t t x t x t x f x
≥==,)(),,(&000t t x t x x t A x
≥==,)(,)(&00t t t x f x
e e ≥==,),(&?
零平衡状态：
孤立平衡状态：状态空间中孤立的点，总可以通过坐标平移转换到原点；
3)受扰运动：自治系统由初始状态扰动引起的运动，即系统的零状态响应。
定义5.4 称自治系统的孤立平衡状态xe =0在t 0时刻为Lyapunov 意义下稳定，如果?ε>0， ?δ (ε,t
0)>0，s.t.满足 )
,(00t x x e εδ≤?
的任意初始状态x 0出发的受扰运动均满足 0
00,),,(t t x t x t x e ≥?≤?ε
上述Lyapunov 意义下稳定的几何解释见下图。 )
(εS
,(t x (S
Lyapunov 意义下一致稳定：Lyapunov 稳定定义中，若δ(ε)与
t 0无关，则称xe 一致稳定。
称自治系统的孤立平衡状态xe 在t 0时刻渐近稳定，如果xe 在t 0时刻为Lyapunov意义下稳定，
且对δ(ε,t 0)>0和任意μ>0，?T (μ,δ,t 0)>0，s.t.受扰运动满足 )
,,(,),,(0000t T t t x t x t x e δμμ+≥?≤?
渐近稳定的几何解释见下图
)
(εS
;(t x )(δS )
(εS
)
(δ
一致渐近稳定：在渐近稳定定义中，若对定义区间的任意初始时间t 0，
由任给的ε>0，都存在与初始时刻t 0无关的T (μ,δ) >0，使相应的受扰运动x(t ;x 0,t 0)相对于平衡状态有界，且满足 )
,(,),,(000δμμT t t x t x t x e +≥?≤?
则称平衡状态xe 一致渐近稳定。
小范围和大范围渐近稳定：小范围渐近稳定又称为局部渐近稳定。 大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。直观上，全局渐近稳定的
含义为：
? 0≠x 0∈ R n ，xe 为渐近稳定。
大范围渐近稳定的必要条件：平衡状态xe 为大范围渐近稳定的
必要条件是， R n 中不存在其它平衡状态。
称自治系统的孤立平衡状态xe =0在时刻t 0为不稳定，
如果不管取实)
,(00t x x e εδ≤?
数ε多大，都不存在对应实数δ(ε,t 0)>0，使得满足
的任意初始状态x 0出发的受扰运动均满足 0
00,),;(t t x t x t x e ≥?≤?ε
不稳定含义如图所示。
Lyapunov 直接法
物理直观：系统运动进程的变化总是伴随能量的变化， 如果系统能量变化的速率始终保持为负，即运动进程 中能量单调减少，则受扰运动最终将返回到平衡状态。 概念补充：
若函数V (x )不显含t ，当||x ||<Ω时，有V (x )≥0(≤0)， 则称V (x )为常正(常负)函数；当0<||x ||<Ω时，有V (x )>0(<0)， 则称V (x )为正定(负定)函数。
若t ≥t 0，||x ||<Ω时，有V (x,t )≥0(≤0)，则称V (x,t )
)
(εS )
0)(S δ不稳定的平衡状态
为常正(常负)函数；
若在||x ||<Ω，存在正定函数w (x )，使得对t ≥t 0， 成立V (x,t )≥w (x )，
则称V (x,t )为正定函数；若对t ≥t 0，成立V (x,t )?≤w (x )， 则称V (x,t )为负定函数。
不是常号和定号的函数，称为变号函数。 各类函数举例：
正定
2
2
1x x x V +=)(2 常正 2
21x ?+12
22x x x x V =)( 变号
2
1x x x V =)( 常正
稳定性判别定理：
考虑一般的连续时间非线性时变自治系统
即原点x =0是平衡状态点。
定理 5.9: 若可构造关于x 和t 具有连续一阶偏导数的标量函数
V (x ,t )，V (0,t )=0，且对状态空间R n
中所有非零状态x 满足如下条件
1) V (x ,t )正定且有界，即存在两个连续非减的标量函数， 使对t ≥t 0 和x ≠0成立
112
002
+=x x t
t x (),(0
00,)(),,(t t x t x t x f x
≥212
>≥+t t V ),=&=0
0=)(，t f ()()000==>≥≥)()(,),(βααβx t x V x 0
2) V (x ,t )对t 的导数负定且有界，即存在一个连续非减标量 函数，使对t ≥t 0和x ≠0成立 ()000=
&
()∞→?∞→,(..,x V e i x x α3)当 ∞→)t 则系统平衡点x =0为大范围一致渐近稳定。
对于非线性定常系统
定理5.10 对于非线性定常系统，如果存在一个具有连续一阶 导数的标量函数V(x),V(0)=0,并对状态空间中的一切非零点x 满足如下条件： （1） V (x)为正定函数
（2）
）（x V &为负定函数 （3） 当∞→X 时，∞→)x
（V 则系统平衡点x =0为大范围一致渐近稳定。
李亚普诺夫意义下的稳定性定理
对于非线性时变系统，若可构造关于x 和t 具有连续一阶偏导数的标量函数V (t，x )，V (t，0)=0，对?x ∈Ω和所有t ≥t 0满足如下条件 1) V (x ,t )正定且有界；
2) ； 0V
≤),x t （&则系统平衡状态x =0在Ω内一致稳定。
不稳定的判别定理
若可构造关于x 和t 具有连续一阶偏导数的标量函数V (x ,t )，V (t，0)=0，及围绕原点的区域Ω，使对所有非零x Ω∈和所有t ≥t 0满足如下条件
1) V(x ,t )正定且有界； 2) dV(x ,t )/d t 正定且有界； 则系统平衡状态x =0为不稳定。
问题：没有系统方法选取李亚普诺夫函数，限制了应用。
5.3 线性系统的稳定性判据
考虑线性时不变系统
000≥==t x x Ax x
,)(,&定理：对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x =0是Lyapunov 意义下稳定的充分必要条件是，矩阵A 的特征值具有非正实部，且零实部特征值只能是A 的最小多项式的单根。
对任定一个矩阵 ，总可以找到一个多项式
使 )(x f 0=)(A f n n
A P ×∈此时称多项式以A 为根.
)(x f 定义：设 在数域P 上的以A 为根的多项式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A 的最小多项式. ,n n
A P ×∈性质：矩阵A 的最小多项式是A 的特征多项式的一个因子
例 求
的最小多项式. 01A 1100001??
=??????
3
11
0()||010(001
x f x xE A x x x ??=?=?=?? 1)
又
0,
A E ?≠22()2A E A A E
?=?+ 1202201000100200100001002001??????
=?+??????????????????
=.
∴ A 的最小多项式为 2(1)x ?
定理：对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x =0渐近稳定的充分必要条件是，矩阵A 的特征值具有负实部。
线性定常系统的李雅普诺夫方法
对于线性定常系统，选取如下二次型Lyapunov 函数，即线性
Px x x V H =)(
式中P 为正定Hermite 矩阵（如果x 是实向量，且A 是实矩阵，则P 可取为正定的实对称矩阵）。 沿任一轨迹的时间导数为
V(x)x P x Px x x V
H H &&&+=)(
PAx x Px Ax H H +=)(
PAx x Px A x H H H +=
x PA P A x H H )(+= 由于V(x)取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有
(x)V
&Qx x x V H ?=)(&
式中
)(PA P A Q H +?=为正定矩阵。因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q 正定。为了判断n ×n 维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别V
时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由
(x)&Q PA P A H
?=+
确定的P 是否也是正定的。这可归纳为如下定理。
定理：对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x =0渐近稳定
的充分必要条件是，?Q>0，对于任意给定的正定对称矩阵Q ，Lyapunov 方程 Q
PA P A T ?=+
有唯一正定解P >0（P，Q 均为正定对称矩阵）
。
现对该定理作以下几点说明：
(1) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q 可取正
半定 矩阵。
Qx x x V H ?=)(& (2) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于
零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程
)(x V &Q PA P A H ?=+
以确定P，则对于在平衡点0=e
x 处的渐近稳定性，P
为正定是充
要条件。
注意，如果正半定矩阵Q 满足下列秩的条件
n A Q A Q Q rank n =??????
???????12/12/12/1M
则)(t V &沿任意轨迹不恒等于零（见例子）。
(3) 只要选择的矩阵Q 为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q 的不同选择无关。
(4) 在确定是否存在一个正定的Hermite 或实对称矩阵P 时，为方便起见，通常取，这里I 为单位矩阵。从而，P 的各元素可按下式确定
I Q =I PA P A H ?=+
然后再检验P 是否正定。
例1：设二阶线性定常系统的状态方程为
???????????
???=??????21211110x x x x
&& 显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。 解 不妨取Lyapunov 函数为
Px x x V T =)(
此时实对称矩阵P 可由下式确定
I PA P A T ?=+
上式可写为
??
?
?????=??????????????+???
???????????100111101110221212112212
1211
p p p p p p p p
将矩阵方程展开，可得联立方程组为
12201
2221222121112?=?=???=?p p p p p p
从方程组中解出、、，可得
11p 12p 22p ??????????=??????12
1212
32212
1211
p p p p
为了检验P 的正定性，我们来校核各主子行列式
01
2
121
23,02
3>>
显然，P 是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov 函数为
)
223(21)(2
22121x x x x Px x x V T
++==
此时
)()(2221x x x V +?=&
例2试确定如下图所示系统的增益K
的稳定范围。
[解] 容易推得系统的状态方程为
u
K x x x K
x x x
?????
?
????+???????????????????????=??????????001012001
0321321&&&
在确定K 的稳定范围时，假设输入u 为零。于是上式可写为
21x x
=& (1) 3222x x x
+?=& (2) 313x Kx x
??=& (3)
由式(1）到（2）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实
对称矩阵Q 为
???
???????=100000000Q
(4)
由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，
Qx x (x)V
T ?=&注意
23)(x Qx x x V T ?=?=&
取恒等于零，意味着也恒等于零。如果恒等于零，
)(x V &3x 3x 1x 也必恒等于零，因为由式(4.6）可得
001=?=Kx
如果1x 恒等于零，2x 也恒等于零。因为由式(4.4）可得
20x =
于是只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可
)(x V &
采用由式(4.7）定义的矩阵Q。
也可检验下列矩阵的秩
???
?
??
?????????????
????????????=??????????1000000100
0000100
0000
022/12/12/1K K
K A Q A Q Q
显然，对于0≠K ，其秩为
3。因此可选择这样的Q 用于
Lyapunov 方程。
现在求解如下Lyapunov 方程为
Q PA P A T
?=+
它可重写为
????
???????=???????????????????????+???????????????????????10000000010120010
11002100332313232212131211332313232212131211K p p p p p p p p p p p p p p p p p p K
对P 的各元素求解，可得
????
??
????
????
?
????????+=
K K K
K K K K K K K K K K K K P 212621202122123212602126212122
为使P 成为正定矩阵，其充要条件为
0212>?K 和0>K
或
60< 因此，当60<< K 时，系统在Lyapunov 意义下是稳定的， 也就是说，原点是大范围渐近稳定的。 5.5 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计 对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。 定义：衰减系数 考察线性定常自治系统 Ax x =&，0)0(x x =， 0≥t 系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某种“能 )(x V 第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。 二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则 系统稳定性意义以及稳定性的几种定义 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。 实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可以当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，从而使线性微分方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。 Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述 稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。 一， 稳定性的概念稳定性的概念 初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题 ax dt dx = ， x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e x at t x 0 )(= ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x 0|多小，只要 |x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e x at t x 0 )(= 。与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随 着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。 这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。 设微分方程 ),(x t f dt dx =， x(t 0)=x 0 , x ∈R n (2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件： f (t ，0)=0 (3) (3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。 这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。 稳定性 (stability) 系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。 状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。 有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。 稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。这种方法在应用上比较简便。其中按代数方法进行判 别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。 稳定性 (stability) 在一定条件下，物体在偏离平衡位臵后能恢复到原来平衡位臵的性能。如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。液压缸的活塞杆、压力机的丝杆、起重机钢结构的受压弦杆等细长杆，都要进行稳定性校核。焊接箱形结构的腹板存在薄板稳定性问题。薄壁压力容器受外压或抽真空时，需要考虑容器形状的稳定性，如失稳便会发生凹凸变形。 失稳及其形式物体偏离平衡位臵后不能恢复到原来位臵叫失稳。如细长杆或薄壁结构在过大的压应力作用下，原来的平衡形式突然改变，发生显著变形，杆变弯，容器的曲率半径发生显著变化，细长杆或薄壁结构就产生失稳。结构失稳的形式有：①压杆的载荷超过临界值时，原来的直线平衡形式失去稳定性，可能转为弯曲平衡形式，载荷逐渐加大时，实际弯曲变形也随之加大，但并未丧失承载能力。②受外压的球形薄壁容器失稳变形后所能承受的力已小于临界力，即结构丧失了原有的承载能力。③扁拱形薄板零件或扁壳形零件，其凸面承受压力时逐渐产生变形，当压力达到临界值时便失去稳定，其平衡位臵发生跳跃，突然变 系统的稳定性 系统能在实际生活中应用的必要条件是系统要稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分。经典控制理论对于判定一个线性定常系统是否稳定提供了多种方法。 一、系统稳定性的初步了解 了解不稳定现象发生的原因，对于建立系统的数学模型的建立稳定性概念是很有帮助的。线性系统的不稳定现象有如下几点值得注意。 首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。再次，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在与有初始状态不为零时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的，也可以说是讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛还是发散的。 二、稳定的定义和条件 若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是这两者之和）的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。 系统稳定的充要条件为：系统的全部特性根都具有负实部；反正若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。 三、关于稳定性的一些提法 1、李亚普诺夫意义下的稳定性 指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。 ① 稳定 用 S(ε)表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，S(δ)表示另一个半径为δ的球域。如果对于任意选定的每一个域S(ε),必然存在相应的一个域S(δ)，其中δ<ε，使得在所考虑的整个时间区间内，从域 S(δ)内任一点 x0出发的受扰运动φ(t；x0，t0)的轨线都不越出域S(ε)，那么称原点平衡状态 xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。 ② 渐近稳定 如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间t趋于无穷大时受扰运动φ(t；x0，t0)收敛到平衡状态xe=0,且此过程中，都不脱离S（ε），则称系统平衡状态是渐近稳定的。从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动x0的最大允许范围。 ③ 大范围渐近稳定 第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =。现在的问题是：当01x x -很小是，差0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量12(,,,)T n x x x x =L 的范数取12 21 n i i x x =??= ??? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>,使得只要01x x δ-<，就有0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε-< 对一切0t t ≥成立，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要011x x δ-< ，就有 0001lim((,,)(,,))0t x t t x t t x ?→∞-= ，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代换. 第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。 精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 （理论值 R3= 200K） C=1UF 精品 临界 稳定 （实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF 精品 临界 稳定 （理论 值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定 （实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF 精品 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师， 摘要 现今数字信号处理理论与应用已成为一门很重要的高新科学技术学科，通过功能强大的MATLAB软件与数字信号处理理论知识相互融合在一起，既使我们对数字信号处理的理论知识能够有更加深厚的解也提高了动手能力，实践并初步掌握了MATLAB 的使用。 根据本次课题要求，通过使用MATLAB，方便了对系统函数的繁琐的计算，并且直观形象的用计算机进行模拟仿真，通过观察图，由图像的特征从而进一步的对系统进行形象的分析。 本课题中给出了系统函数，对其稳定性进行分析我们可以通过MATLAB画零极图观察极点的分布，另外还可以通过MATLAB分析系统的单位阶跃响应、单位脉冲响应、幅频相频特性的图形更加具体的对系统进行分析。 关键字：离散系统函数、MATLAB、零极点分布、系统稳定性。 一、设计原理 1.设计要求 （1）：根据系统函数求出系统的零极点分布图并且判断系统的稳定性。 （2）：求解系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。（3）：求系统的单位脉冲响应，并判断系统的稳定性 （4）：求出各系统频率响应，画出幅频特性和相频特性图（zp2tf,zplane，impz等） 2、系统稳定性、特性分析 进行系统分析时我主要利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图、单位脉冲响应图、单位阶跃响应图等。采用MATLAB 软件进行设计时我调用了软件本身的一些函数来对课题进行绘图和分析。诸如zplane、impz、stepz、freqz等。 对系统函数的零极图而言：极点在单位圆,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。当极点处于单位圆，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。系统的单位阶跃响应若为有界的则系统为稳定系统。由以上的判据配合图形对系统的稳定性进行分析，达到我们的课程要求。 系统函数H（z）的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。 因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性： (1)系统单位样值响应h(n)的时域特性； (2)离散系统的稳定性； (3)离散系统的频率特性； 二、MATLAB绘图分析 MATLAB功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换；代数和超越方程的求解；数据处理和傅立叶变换；数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序 一、引言： 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。 在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。 二、稳定性定义： 1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。 稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。 绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。 （1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。 （2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因，实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。） （3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不 第五章 稳定性分析 5—1 解： （1） 系统的特征方程为020) 1(2 12=++?=++ s s s s 。 因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S 平面的左半面，所以此系统稳定。 （2） 系统的特征方程为030) 1(3 12=+-?=-+ s s s s 。 因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。 （注：BIBO 稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S 平面的左半平面。若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。） 5—2 解： （1） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又 三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（5011020?>?），满足稳 定的充分条件。 ∴ 该控制系统稳定。 （2） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh 故系统有两个特征根在S平面的右半部。 （3） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 又 三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（300 20? ?），不满足 < 8 1 稳定的充分条件。 ∴该控制系统不稳定。 （4） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 稳定。由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。 （5） 特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件； 不稳定。 由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程 012048402324,43324=+?=+?=++=s s s s s s k 利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。 5—3 解： （1）系统开环极点为-1、-2、-3，均在S 平面的右半平面，所以开环系统稳定； 闭环系统的特征方程为 0261160) 3)(2)(1(20 123=+++?=++++ s s s s s s 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件；又有内项系数乘积大于外项系数乘积，满足系统稳定的充分条件。所以该系统闭环稳定。 （2）系统开环极点为0、-1、-2、-3，有一个在原点处，所以开环系统不稳定； 闭环系统的特征方程为 02061160) 3)(2)(1(20 1234=++++?=++++ s s s s s s s s 特征方程的系数均大于零，满足系统稳定的必要条件； 列写 《结构的稳定性》教学设计 一、教学日期 2010年1月13日下午1：40 二、教学目标 知识与技能： 理解结构稳定的概念以及通过实验分析总结出影响结构稳定的主要因素。 过程与方法： 通过探究、讨论、分析等教学方法，使学生懂得应用相关的理论知识。 情感态度与价值观： 增强学生对结构稳定性的认识。培养创新品质，提高审美意识。渗透安全教育，德育教育。 三、教材分析 本节是“苏教版”《技术与设计2》第一章第二节《稳固结构的探析》中“结构的稳定性”内容。该章的总体设计思路是：认识结构、探析结构、设计结构、欣赏结构。“结构”与“设计”是该章的两个核心概念。是对结构认识的基础上作进一步深入的学习，而结构的稳定性是结构设计中需要考虑的重要因素之一，可使学生对结构的基本认识有一个更深入的认识与巩固，为后续的结构的强度，结构的设计等教学奠定良好的基础。利用探究，讨论，对比等方法提高学生创新的品质和分析能力。 四、学情分析 学生在前面的学习中已经初步掌握了结构的基本知识。因此在教学中尽量多列举些涉及结构的稳定性的生活实例，便于师生进行互动探讨，帮助学生加深对影响结构稳定因素的理解。基于学生对三角形结构的结实稳固和物体结构的重心越低越稳定相关知识已经通过其它学科在理论有所了解，本节课主要精力放在对具体实物结构稳定性的分析上，主要让学生了解影响结构稳定性的几个基本因素。 五、教学重难点 重点：影响结构稳定性的主要因素：重心位置，支撑面的大小和结构的形状难点：（1）接触面与支撑面（2）利用所学的知识解决生活中的有关现象六、教学策略 在教学中为了使学生掌握相关知识，教师切实的去创造环境，调动学生的各个方面的能力，如：表述的能力、思考的能力、发现问题的能力、解决问题的能力、合作学习的能力等。把课堂还给学生、让学生成为课堂的主体，让学生去说、去想、去做，以“影响结构稳定的主要因素”为主线，通过举例，图片和实物展示激发学生的学习兴趣和创造灵感，以达到应用知识的目的。 七、教学环境和资源 教学环境： 科技楼五楼通用技术实验室 教学资源： 多媒体、不倒翁、矿泉水瓶、纸、板条、屏风等 八、教学方法 讲授法、技术试验法、分析讨论、小组合作法、自主探究法、观察发现法、案 第五章 5. 1 轿车（每个）前轮胎的侧偏刚度为-50176N/ rad、外倾刚度为-7665N/rad。若轿车向左转弯，将使两前轮均产生正的外倾角，其大小为40。设侧偏刚度与外倾刚度均不受左、右轮载荷转移的影响.试求由外倾角引起的前轮侧偏角。 答: 由题意：F Y=^"k =■■ 故由外倾角引起的前轮侧偏角： :二- k k= _ ?0 5. 2 6450轻型客车在试验中发现过多转向和中性转向现象，工程师们在前悬架上加装前横向稳定杆以提高前悬架的侧倾角刚 度，结果汽车的转向特性变为不足转向。试分析其理论根据（要求有 必要的公式和曲线） 答: 稳定性系数：K=m b L g k J k、k2变化， 原来K兰0,现在K>0,即变为不足转向。 5. 3汽车的稳态响应有哪几种类型？表征稳态响应的具体参数有哪些？它们彼此之间的关系如何（要求有必要的公式和曲线）？答：汽车稳态响应有三种类型：中性转向、不足转向、过多转向。 几个表征稳态转向的参数： 1前后轮侧偏角绝对值之差 二转向半径的比R/R。； 3.静态储备系数S.M. 彼此之间的关系见参考书公式(5-13) (5-16) (5-17 )。 5. 4举出三种表示汽车稳态转向特性的方法，并说明汽车重 心前后位置和内、外轮负荷转移如何影响稳态转向特性？ 答：方法： 1. ：丄时为不足转向，：?.「-「? 时 为中性转向，二丘<0时为过多转向； 2. R/R0>1时为不足转向，R/R0=1时为中性转向， R/R0V1时为过多转向； 3 . S.M.>0时为不足转向，S.M.=O时为中性转向， S.M.vO时为过多转向。 汽车重心前后位置和内、外轮负荷转移使得汽车质心至前后轴距离a、b发生变化，K也发生变化。 5.5汽车转弯时车轮行驶阻力是否与直线行驶时一样？ 答：否，因转弯时车轮受到的侧偏力，轮胎产生侧偏现象，行驶阻力不一样。 5. 6主销内倾角和后倾角的功能有何不同？ 答：主销外倾角可以产生回正力矩，保证汽车直线行驶；主销内 倾角除产生回正力矩外，还有使得转向轻便的功能。 5. 7横向稳定杆起什么作用？为什么有的车装在前恳架，有 的装在后悬架，有的前后都装？ 答：横向稳定杆用以提高悬架的侧倾角刚度。 系统的稳定性以及稳定性的几种定义 一、系统 研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。 中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。 二、系统的稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 三、连续（时间）系统与离散(时间)系统 连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。 离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。 四、因果系统 因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。 判定方法 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 举例说明 函数：1.y(t)=x(sin(t)) 不是因果系统，因为y(-π)=x(0), 表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。 2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。 五、连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材） （1）连续系统稳定的充分必要条件 引言 稳定一词的字面意思为坚持或保持。形容词“稳定的”的英语和法语stable、德语stabil均来源于拉丁语stbilis。最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140页)： 因为水就是这样动的， 一受到最微小的影响就波动， 由于它是由会滚动的小形粒子所构成； 但是相反地密的本性则是更稳定， 它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓； 因为它的物质更牢结在一起， 因为，实在说，构成它的粒子， 不是这样地光滑，不是这样地小而圆。 在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定”。罕见的一个古代使用例子见于《清史稿·列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840)上疏，论证用烧砖筑堤的必要性----能在水流冲击下不动，上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定([2]11656页)。 传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳”，意思是平安稳妥。除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。南朝宋临川王刘义庆(403-444)所撰《世说新语·排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之(348-409)遇风浪后写信报平安，行人安稳，布帆无恙([3]438页)。这一故事也收入《晋书·列传第六十二》([4]2404页)。《宋史·志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲(1083-1140)的主张，水战之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。又习火攻，以焚敌舟([5]4869页)。。《清史稿·列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度(?-1740)上疏设关榷税事宜，九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳([6]10311页)。 除行舟外，安稳还用于说明人的体态步态。《庄子·应帝王》中说，泰氏其卧徐徐，其觉于于，司马彪(?-306)注：徐徐，安稳貌([7]289页)。《潜夫论·相列》说人的相法，手足欲深细明直，行步欲安稳覆载([8]310页)。也用于说明车辆行走安定平稳。《晋书·志第十五》解释天子车的五牛旗的含义，牛之为义，盖取其负重致远而安稳也([9]754页)。 稳定性是个重要而基本的科学概念，在其发展过程中已经有含义丰富。我们先从最基本的平衡的稳定性谈起，随后说明运动稳定性。 1 稳定性的概念 物理学中有平衡的概念，物体受合力为零，就处于平衡状态。在惯性系(满足牛顿第一运动定律的参考系)中，若物体原先没有运动，平衡就意味着静止。一支铅笔，末端用一根细线吊起来，就处于平衡状态，因为细线对铅笔的拉力与铅笔自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，因此合力为零。如果 DLVO理论和空间稳定性理论的异同点(第三次作业) DLVO理论 DLVO理论认为，溶胶在一定条件下是稳定存在还是聚沉，取决于粒子间的相互吸引力和静电斥力。若斥力大于吸引力则溶胶稳定，反之则不稳定。 1粒子间的相互吸引 胶粒间存在相互吸引的作用力，其本质为范德华力。由于胶粒是许多分子的聚集体，故胶粒间的吸引力是胶粒中所有分子引力的总和。胶粒间的吸引力与胶粒间的距离的3次方成反比，说明胶粒在比较远的距离时胶粒间仍有一定的吸引力，即有长程范德华力。 2粒子间的相互排斥 溶胶粒子具有双电层结构，粒子与其扩散层是电中性的，粒子所带电荷正好为扩散层的离子氛所中和，故后者如同一“屏蔽”层，将带电的粒子屏蔽起来，以致粒子间不发生静电排斥。可是，一旦粒子间的扩散层发生重叠时，情况便发生了变化。重叠不仅破坏了扩散层中的电荷分布，而且也影响到双电层的静电平衡和电势，从而使粒子的屏蔽遭到破坏，彼此间产生静电斥力。粒子间的静电斥力势能，除了与粒子和粒子间的几何因素有关外，还取决于表面电势ψ0和电解质的浓度及价型。 空间稳定理论： 质点表面上大分子吸附层阻止了质点的聚结，这一类作用称为空间稳定作用。空间稳定作用是高分子稳定水溶胶及非水溶胶的主要因素。两粒子的高分子吸附层靠近被压缩，压缩后高分子链可能采取的构象数减少，构象熵降低，熵的降低引起自由能增加，从而产生斥力势能。当两高分子吸附层重叠时可以相互渗透，重叠区高分子浓度增加，当溶剂为良溶剂时，因有渗透压而产生斥力势能。当溶剂为不良溶剂时，可产生引力势能。 空间稳定理论的基本要点： 1、带电聚合物被吸附以后，会影响胶粒间的静电斥力位能。这一点同吸附简单离子相同，同样可用DLVO理论处理。这是DLVO和空间稳定理论的相同点。 2、高聚物的存在通常会减小胶粒间的Hamaker常数，因而也减小了范德华吸引能。 3、由于聚合物的存在而产生一种新的斥力位能——空间斥力位能。 1为什么要研究稳定性？稳定性研究的是什么？ 首先，一个控制系统自身的结构性质一共有三个：即稳定性，能控性，能观性。 稳定性是保证控制系统正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统，其被控量偏离期望值时的初始偏差应随时间的增长逐渐减小并趋于零。具体来说，对于稳定的恒值控制系统，被控量因扰动而偏离期望值后，经过一个过渡过程时间，被控量应该恢复到原来的期望值状态；对于稳定的随动系统，被控量应能始终跟踪参据量的变化。反之，不稳定的控制系统，其被控量偏离期望值的初始偏差将随时间的增长而发散，因此，不稳定的控制系统无法实现预定的控制任务。《自动控制原理》 稳定性理论是研究动态系统的过程（包括平衡位置）相对干扰是否具有自我保持能力的理论。《稳定性理论》 自适应控制系统的稳定性是指系统的状态、输入、输出和参数等变量，在干扰的影响下，应当总是有界的，稳定性是对所有控制系统的基本要求。《自适应控制》 系统运动的稳定性实质上归结为系统平衡状态的稳定性。直观上，系统平衡状态的稳定性问题就是，偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，或者使之限制在平衡状态的有限邻域内，或者使之最终返回到平衡状态。 控制系统的稳定性是由系统的结构所决定的，与外界因素无关，因此，系统的稳定性研究的是自治系统的稳定性，自治系统可写为： ),(t x f x =&，00)(x t x =，],[0∞∈t t 其中x 为n 维状态向量。 对于连续非线性时变系统，为显含时间变量t 的n 维向量函数 ?????? ????????++++++=????????????M ΛΛΛM &&&4333222231321cos sin )(x t x t x x e t x tx x x x t 对于连续非线性时不变系统，),(t x f 中不再显含时间变量t ，即可写成)(x f x =&的形式 ?????? ????????+++++=????????????M ΛΛΛM &&&333 21223132153x x x x x x x x x x 对于连续线性时变系统，),(t x f 可进一步表示为状态x 的线性向量形式，并且显含时间t ?????? ????????+++++++=????????????M ΛΛΛM &&&3231 3213215cos sin 3x x t x t x x e x tx x x x t 对于连续线性时不变系统，),(t x f 表示为不显含时间t 状态x 的线性向量形式 稳定性理论 5.1 外部稳定性和内部稳定性 运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。内容包括 外部稳定性 内部稳定性 内部稳定性和外部稳定性关系 （1）外部稳定性 考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零，外部稳定性定义如下： 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即 102(),[,]()u t t t y t ββ?≤<∞∈∞?≤<∞ 外部稳定也称为BIBO 稳定。 定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是 0 1212(,),,,,;,,,t ij t h t d i q j p ττβ≤<∞==∫ L L 证明：先证SISO 情形。充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。由基于脉冲响应的输出关系式，有 τ τβττττττd u d u t h d u t h t y t t t t t t ∫∫∫≤?≤=0 00)()(),()(),()( 因此，对任意有界输入u (t ) ∞ <≤1β)(t u ∞ <≤≤?∫10 ββττβd u t y t t )()( 即系统BIBO 稳定。再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得 ∞ =∫ττd t h t t 1 1),( 构造有界输入 ?????+==0 10 00 11111),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u ∞ ===?∫∫τττττd t h d u t h t y t t t t 10 10111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。 MIMO 情形：对输出的每一分量，有 p j q i dt t h ij ,,,;,,,,)(L L 21210==∞<≤∫∞ β 定理5.2 对零初始条件线性时不变系统，BIBO 稳定的充分必要条件是，传递函数矩阵G (s )所有极点均具负实部。 证明： 可将G (s )任一元有理分式展开为相对于极点的部分分式的有限项和，不失一般性，表其一个部分分式为 其反拉氏变换为 l k l l k m l s s σβ,,,;,,,,)(L L 2121==?l t s k lk k m l e t l σρ,,,;,,,,L L 21211==?微分方程稳定性理论简介
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Lyapunov稳定性理论概述
稳定性
系统的稳定性
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控制系统的稳定性分析
判断系统稳定性
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