导数的综合应用
一、基本问题及求解方法与步骤 1.导数与切线
①求曲线C 在点(,)P a b 处的切线方程：()()y b f a x a '-=-； ②求经过点(,)P a b 的曲线:()C y f x =的切线方程
设切点为00(,)Q x y ，则先由00000()
()()y f x b y f x a x =??'-=-?
求切点坐标，再求切线方程。
2.导数与函数的单调性
由导数的符号确定单调区间。 3.导数与函数的极值、最值
求解步骤：①求导数；②求单调区间；③求极值；④求最值。 4.导数与方程
判定方程根的个数的方法：先求极值、最值；再结合图像判断。 5.导数与不等式
（1）解不等式：①把不等式化为[()][()]f g x f h x >；
②若()f x 递增，则化为()()g x h x >，若()f x 递减，则化为()().g x h x < ③解化简后的不等式。
（2）证明不等式的步骤：①适当变形，构造函数；②用导数求出最值（或值域）得证。 （3）不等式恒成立问题：最值法（可先分离参数）。 6.导数与数列
用导数求数列的和；
证明数列的不等式（构造相应的连续函数），和的不等式转化为先证项的不等式。 7.导数与优化问题
与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题。其求解步骤如下：审题——建模——解模——回归。
特别注意：在解决函数问题时，应先考虑定义域。
二、应用举例
1. （2007全国2）已知函数3
()f x x x =-．
⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
⑵如果过点(1)a ，可作曲线()y f x =的三条切线，求实数a 的取值范围. 解：⑴求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．
曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，
即
23(31)2y t x t =--． ⑵如果有一条切线过点(1)a ，，且切点是3(,)t t t -，则由（1）知切线方程是：
23(31)2y t x t =--，从而23(31)2a t t =--，即322310t t a -++=．
于是，若过点(1)a ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程3
2
2310t t a -++=有三个相异的实数根．
记
32()231g t t t a =-++，则 2()66g t t t '=-6(1)t t =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由g 有三个相
异的实数根，当且仅当100.
a a +>??
即 10a -<<．
2. （2009陕西）已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++
≥+，其中0a >. （I ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （II ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.
解：（I ）222
22
'(),1(1)(1)(1)
a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x =1处取得极值，∴2
'(1)0,120,f a a =+-= 即解得 1.a =
（II ）22
2
'(),(1)(1)
ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +> ①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞
②当02a <<
时，由'()0'()0f x x f x x >>
<<解得解得
∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为
当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x
在x =
(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞
3.已知函数432
()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,．
⑴当10
3
a =-
时，讨论函数()f x 的单调性； ⑵若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；
⑶若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，求b 的取值范围． 解：⑴3
2
2
()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．
当103
a =-
时，2
()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--． 令()0f x '=，解得10x =，21
2
x =，32x =．
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，(,2)2内是减函数． ⑵2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根．
为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立，即有29640a ?=-≤．
解此不等式，得3
838
a -≤≤．这时，(0)f
b =是唯一极值．
因此满足条件的a 的取值范围是88
[,]33
-．
⑶由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ?=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．
为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当1
11))1((f f ≤-≤???
，即
22b a b a
≤--≤-+??
?
，在[2,2]a ∈-上恒成立． 所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．
4. （2013北京理）已知函数ln ()x
f x x
=. （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若0a b e <<<(e 为自然对数的底数)，求证：b a a b <. （Ⅲ）L 为曲线:()C y f x =在点(1,0)处的切线，证明：除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解：（I ）2
1ln ()x
f x x -'=
. ()00,()0f x x e f x x e ''>?<<， 所以()f x 的单调递增区间是(0,)e ，()f x 的单调递减区间是(,)e +∞. （II ）由（I ）知，ln ()x
f x x
=
在(0,)e 单调递增， 所以当0a b e <<<时，()()f a f b <， 即
ln ln ln ln ln ln b a b a a b
b a a b a b a b a b
x x
=--=--
, 则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0g x >(0,1)x x ?>≠.
()g x 满足(1)0g =,且22
1ln ()1()x x
g x f x x
-+''=-=.
当01x <<时,2
10x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减; 当1x >时,2
10x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增. 所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠). 所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方. 解法二:()0g x >即ln 10x
x x
--
>变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)
()21x x x x h x x x x x
--+-'=--==
, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减; 当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增. 所以()(1)0h x h >=.
5.（2010全国I 理）已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2
'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 【解析】（Ⅰ）11
()ln 1ln ,(0)x f x x x x x x
+'=
+-=+>，()ln 1xf x x x '=+, 题设2
()1xf x x ax '≤++等价于ln a x x ≥-. 令()ln g x x x =-，则1
()1g x x
'=
- 当01x ＜＜，'
()0g x ＞；当1x ≥时，'
()0g x ≤，
1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤
综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.
当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤； 当1x ≥时， ()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1
ln (ln 1)x x x x
=++-11ln (ln 1)x x x x =--+0≥
所以(1)()0x f x -≥
6. （2010年全国新课标）设函数()21x f x e x ax =---．
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调性区间； （Ⅱ）若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．
方法一：（Ⅱ）()12x f x e ax '=--，由于1x e x ≥+，()2(12)f x x ax a x '≥-=-，（i ）若120a -≥，即1
2
a ≤
时，当0x ≥时，()0f x '≥，而(0)0f =，于是，有()(0)0f x f ≥=； （ii ）若1
2
a >时，由于0x ≠时，1x e x >+，可得1x e x ->-，1x e x -->-，所以，
22(1)x
ax a e --<-，()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --'<-+-=--，
当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x '<，而()00f =，于是存在(0,ln 2)x a ∈， 使得()(0)0f x f <=，即1
2
a >
时，()0f x ≥在[0,)+∞不恒成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞．
方法二（参变量分离法）：（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数； （ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()2
1x e x g x x
--=， 令21
()12
x K x e x x =--- ，()1x K x e x '=--，由于1x e x ≥+，()0K x '≥，
()K x 在(0,)+∞上是增函数，即在[0,)+∞上是增函数，且(0)0K =，
()(0)0K x K ≥=，即2112x
e x x ≥++，而()21x
e x g x x --=22
1122
x x >=， 即12
a ≤，综上所述：实数a 的取值范围是1(,]2-∞．
方法三（参变量分离法）：（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数；
（ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()2
1x e x g x x --=，由（Ⅰ）知1x e x ≥+ （仅0x =等号成立），所以()2
(1)0x
e x g x x -+=>， ()g x '3
(1)2(1)
x x e x e x +--= 因为0x >，要()0g x '>，只需(1)2(1)0x x e x e +-->，
现在设()(1)2(1)x x h x e x e =+--，即只需()22x x h x xe e x =-++0>（x 0>），又(0)0h =， 则只需()0h x '>（x 0>）， （1）当1x ≥时，
因为()21x x x h x e xe e '=+-+1x x xe e =-+(1)1x e x =-+(1)(1)1x x >+-+20x =>， 即()h x '0>
（2）当0 因为()21x x x h x e xe e '=+-+1x x xe e =-+(1)1x e x =-+ 此时，令()(1)1x t x e x =-+，则()x t x xe '=>0， 所以()(0)0t x t >=， 综上所述：()h x (0)0h >= 所以()3(1)2(1)2x x e x e x g x x ---+'=3 (1)2(1) x x e x e x +--=0>， 则()g x 在区间(0,)+∞上是增函数， 因此，0lim ()x a g x →≤201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x →-=01 lim 22 x x e →==（L.Hosipital 法则）， 综上所述：实数a 的取值范围是1 (,]2 -∞． 7. （2011浙江）已知函数()2ln(1)(0)f x a x x a =+->. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n e e e e e n n ++++???+>+*()n N ∈. 解：（Ⅰ）定义域为()1,-+∞， 2'()11a f x x =-+………2分 令'()0121f x x a >?-<<-，令'()021f x x a - 故()f x 的单调递增区间为()1,21a --，()f x 的单调递减区间为()21,a -+∞…………4分 ()f x 的极大值为2ln 221a a a -+…………………………………………6分 （Ⅱ）证：要证(1)lg lg lg 4lg lg (1)23n n n n e e e e e n n ++ ++???+>+ 即证(1)111lg (1) 423lg n n n n e n n e +++++???+> ， 即证(1)1114ln (1)23n n n n e n n ++++???+>+ 即证111113ln(1)(1)23n n n n +++???++>+++……………………8分 令1 2 a =，由（Ⅰ）可知()f x 在(0,)+∞上递减，故()(0)0f x f <= 即ln(1)x x +<，令* 1()x n N n =∈，故111ln(1)ln ln(1)ln n n n n n n ++==+-< 累加得，111 ln(1)123n n +<+++???+………………………………11分 1111 l n (1)l n (1)1(1)3 n n e n n n n + n n n +++???++>+++，得证………………14分 8.（2012年天津理）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明 =1 2 ln (2+1)<221n i n i --∑* ()n N ∈. 解答： (1)()f x 的定义域为(,)a -+∞ ()ln()f x x x a =-+11 ()101x a f x x a a x a x a +-'?=- ==?=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>?>- 得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-?-=?= （2）设2 2 ()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ?≥=（*） (1)1ln 200g k k =-+≥?> 1(221) ()2111x kx k g x kx x x +-'=-+ = ++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k -'≤?≤≤=?<=与（*）矛 盾 ②当1 2 k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥?==符合（*） 得：实数k 的最小值为1 2 （3）由（2）得：2 1ln(1)2 x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取2 (1,2,3,,)21 x i n i = =- ： 222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得： =12 ln (2+1)<221 n i n i --∑ 当2i ≥时， 2211(21)2321 i i i <- --- 得： 1 21[ ln(21)ln(21)]2ln 3122121 n i i i i n =-++-<-+-<--∑. 9 . （2010辽宁理）已知函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f ⑴讨论函数)(x f 的单调性； ⑵设1- 解：⑴()f x 的定义域为(0,)+∞. 2121 '()2a ax a f x ax x x +++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在(0,)+∞单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在(0,)+∞单调减少； 当1-＜a ＜0时，令'()0f x = ，解得x =. 则当x ∈时，'()f x ＞0 ；)x ∈+∞时，'()f x ＜0. 故()f x 在 单调增加，在)+∞单调减少. ⑵不妨假设12x x ≥，而a ＜1-，由⑴知()f x 在(0,)+∞单调减少，从而 12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥- 等价于12,(0,)x x ?∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ① 令()()4g x f x x =+，则1 '()24a g x ax x +=++ ①等价于()g x 在(0,)+∞单调减少，即1 240a ax x +++≤. 从而222 222 41(21)42(21)2212121 x x x x a x x x ------≤==-+++ 故a 的取值范围为(,2]-∞-. 10.（2008湖南理）已知函数2 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵若不等式1(1)n a e n ++≤对任意的n N * ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求a 的最大值. 解: ⑴函数()f x 的定义域是(1,)-+∞， 2222 2ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++ 设2 ()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11x h x x x -'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在(1,0)-上为增函数， 当0x >时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数. 所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0(0)g x x '<≠， 函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当0x >时，()(0)0.g x g <= 所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在(1,0)-上为增函数. 当0x >时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数. 故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞. ⑵不等式1(1)n a e n ++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由1 11n +>知， 1 .1ln(1)a n n ≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x = -∈+则 22 2222 11(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由⑴知，2 2 ln (1)0,1x x x +-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数. 故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1 (1) 1.ln 2 G =- 所以a 的最大值为1 1.ln 2 -、 11. (2013年江苏卷）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数. (1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论. 解: (1)由01)(' ≤-= a x x f 即a x ≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1?? ? ???≥x a 而由),1(+∞∈x 知 x 1 <1 ∴1≥a 由a e x g x -=)(' 令0)(' =x g 则a x ln = 当x x g <0,当x >a ln 时)(' x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln >1 ∴a >e 综上所述:a 的取值范围为),(+∞e (2)证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数 ∴0)(' ≥-=a e x g x 即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, ∴[] m in x e a ≤ 而当),1(+∞-∈x 时,x e > e 1 ∴e a 1 ≤ 分三种情况: (Ⅰ)当0=a 时, x x f 1)(' =>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅱ)当a <0时,a x x f -= 1 )(' >0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(a a a e a ae a e f -=-=<0且a f -=)1(>0 ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅲ)当0 =x f 得a x 1= ∵当0 1 ()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 1 1ln )1(--=-=a a a a a f ①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e a x ==1 ②当1ln --a >0时,0 ≤,)(x f 有两个零点 实际上,对于0 a 1 ≤, 由于e a e a e e f --=-=111ln )1(<0,1ln 1 1ln )1(--=-=a a a a a f >0 且函数在??? ??a e 1, 1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在?? ? ??a e 1,1上有存在零点 另外,当??? ??∈a x 1,0,a x x f -=1)('>0,故)(x f 在??? ??a 1,0上单调增,∴)(x f 在?? ? ??a 1,0只有一个零点 下面考虑)(x f 在?? ? ??+∞,1a 的情况, 先证)(ln ln )(1 1 1 1 1 21------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0 为此我们要证明:当x >e 时,x e >2 x ,设2 )(x e x h x -= ,则x e x h x 2)(' -=, 再设x e x l x 2)(-= ∴2)(' -=x e x l 当x >1时,2)(' -=x e x l >e -2>0,x e x l x 2)(-=在()+∞,1上是单调增函数 故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2 '-=e h >0 从而2 )(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数, 进而当x >e 时,2)(x e x h x -=>2 )(e e e h e -=>0 即当x >e 时,x e >2 x ,