2013级立体几何专题
一、知识整合：
（一）几个常用结论
1、若正三角形的边长为a，则任一边上的高h____，外接圆半径R=______，边心距
r=______，面积S=_____。
2、若长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则对角线长为____，全面积为
______，体积为______。
3、球内接长方体(或正方体)的对角线长等于球的直径。
4、直角三角形斜边上的高等于两条直角边的积除以斜边。
5、P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面 上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，
则O是△ABC的心；若P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的心；
若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的心．
二、常见题型：
（一）三视图及体积、面积
1、（2010年高考陕西卷理科7）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是【 】
()3
1
A
()3
2B
()1C
()2D
2、如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视
图所对应的三角形皆为边长为
2的正三角形，主视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（ ） A ．
324 B ．3
3
4 C ．
3
5
4 D ．不确定 3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别
是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
主视图
左视图
俯视图
4 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的
体积是
（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
5 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是
图 2
俯视图
侧视图
正视图 （ ）
A ．
16 B ．
13
C ．
23
D ．1
6 ．
（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,
的矩形
,则该正方体的正视图的面积等于______
（ ）
A
B ．1 C
D
7、正视图为一个三角形的几何体可以是___ （写出三种） 8、各棱长都为1的正四棱锥的体积V = 。
（二）证明问题：
1、空间平行关系的转化：
例1、如图：P 、Q 是单位正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心。
证明：PQ ∥平面AA 1B 1B ；
9、21、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O 面11AB D ；
10、如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是AB 、PC 的中点。求证：//EF 平面PAD 。
D 1
O D
B
A C 1
B 1A 1C
A
1
A 1
1
E
P
A
B F C
D
11、如图，四面体A BCD -中，点E 、F 、G 分别是ABC ?、ABD ?、ACD ?的重心。求证：平面EFG //平面BCD
2、空间垂直关系的转化：
12、如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC, ∠ABC = 90?, AN ⊥SB 于N, AM ⊥SC 于M 。求证: ①AN ⊥BC ； ②SC ⊥平面ANM ；
13、（2006年福建卷）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2,CA CB CD BD AB AD ======
求证：AO ⊥平面BCD ；
S A
B
C
N M
B D
A
E F G
B
E
14、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D.
15、在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心
求证:PH ⊥底面ABC
（三）与球有关的组合体
16．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,
若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）
A
．
2
B
．
C ．
132
D
．
17．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O
为球心,OA 为半径的球的表面积为________. 18．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥
_ B
_ A
_ B
_ A
平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.
三、综合应用
19、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为DD 1的中点， （1）判断BD 1和过A 、C 、E 三点的平面的位置关系，并证明你的结论。 （2）求?ACE 的面积。
20、在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥1
(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.
21如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1AC 的中点，
点D 在11B C 上，11A D B C
⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
C
B
A
D
A 1 D 1 C 1
B 1
E
22、如图：已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，,M N 分别是,AB PC 的中点。 （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若045PDA ∠=，求证：MN ⊥平面PCD ；
23、如图,.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点
(I)求证:BC PAC ⊥平面；
(II)设//.Q PA G AOC QG PBC ?为的中点，为的重心，求证：平面
24（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面
中心, A 1O ⊥平面ABCD
, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. Key ：1
M P
D C
A B
N
1
A B
25、如图在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,
3DC =,4AD =,60PAD ∠= .
(1)当正视图方向与向量AD
的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求
标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面;
(3)求三棱锥D PBC -的体积. Key ：D PBC V -=
26、（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是
,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿
AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中BC =
. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2
3
AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
27、（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,
2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,
求证:(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
28、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =
,
160BAA ∠= .
(Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==
,1
AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积. Key ：3
29、（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱
形,60BAD ∠= .
已知2,PB PD PA === .
(Ⅰ)证明:PC BD ⊥
(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.
C
1
B 1
A
A 1
B C
30、（2012年高考（山东文））如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角
形,,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =;
(Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,
求证:DM ∥平面BEC .
31、（2012年高考（课标文））如图,三棱柱111A B C A B C -中,侧棱垂直底面,∠
ACB=90°,AC=BC=1
2AA 1,D 是棱AA 1的中点.
(I) 证明:平面1BDC ⊥平面1BDC
(Ⅱ)平面1BDC 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
32、（2012年高考（广东文））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,AB ∥
CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且1
2
DF AB =
,PH 为PAD ?中AD 边上的高.
(Ⅰ)证明:PH ⊥平面ABCD ;
(Ⅱ)若1PH =,AD 1FC =,求三棱锥E BCF -的体积; (Ⅲ)证明:EF ⊥平面PAB .
33、（2012
年高考（福建文））如图,在长方体1
1
1A B C D A B C D
-中,11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点.
(1)求三棱锥1A MCC -的体积;
(2)当1A M MC +取得最小值时,求证:1B M ⊥平面MAC .
34、（2012年高考（湖北文））某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均
是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. (1) 证明:直线11B D ⊥平面22ACC A ;
(2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知1110,20,AB A B ==
230,AA =113AA =(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为
0.20元,需加工处理费多少元?
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
WORD文档 立体几何知识点整理 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。 若l ,m ，则l // m 。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l
l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交 且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：
l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α
3.面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。 三．夹角问题。 （一）异面直线所成的角： （1）范围：(0 ,90 ] （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）
-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ
二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o o 900≤<α； 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 （2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90； ③斜线与平面所成的角：范围o o 900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法； 注意：还可以用射影法：S S ' cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封 闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． EF平面P AD； （1）求证：// （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， EF平面PCD？ 直线 例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a， F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分
建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．