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中国石油大学华东期末高数题

第二十届高等数学竞赛试卷

专业年级: 学号: 姓名: 成绩:

说明:

1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.

2. 题目所在页背面为草稿纸.

3. 试卷正文共7页.

中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2006年6月4日

一、填空题(每小题5分,本题共50分):

1.若时,与是等价无穷小,则.

解题过程是:

2. .

解题过程是:

3. 设函数

在处连续,则.

解题过程是:

4.

.

解题过程是:

0→x 1)1(4

12--ax x x sin =a =

+→)

1ln(1

2)

(cos lim x x x 2

301sin d ,0,(),0,x t t x f x x

a x ?≠?=??=?? 0x =a ==??+??=y

z y x z x x y xy z 则设,sin

5.

.

解题过程是:

解题过程是:

7.

解题过程是:

8.

解题过程是:

9.

解题过程是: 0.设在上半平面

内,函数

具有连续偏导数,且对任意的都

. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,则 .

解题过程是:

二、计算题(每小题6分,本题共42分):

解题过程是:

2. 设是锥面

的下侧,计算曲面积分

..

解题过程是:

的解为:

满足微分方程91

)1(ln 2-==+'y x x y y x _______

)()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D

dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面,

而其他若设01

006.

d tan )cos (22

2

22005=

+?

-x x x x π

π.

sin 2sin sin 1lim

=

???

??+++∞→n n n n n n πππ .

,1222=

≤++Ω???Ω

dv e z y x z

计算所界定由设空间区域{}

(,)|0D x y y =>(,)f x y 0t >2(,)(,)f tx ty t f x y -=D L .

),(),(=-?dy y x f x x d y x f y L .

,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010

2='

==+'-''-<<===x x y y

y y x y x t t x π

∑1)

z z =≤≤d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y

++-??

解题过程是:

解题过程是:

解题过程是:

解题过程是:

三、证明题(本题8分):

中国石油大学(华东)

第二十届高等数学竞赛试卷参考答案

一、填空题(每小题5分,本题共50分):

1.若时,与是等价无穷小,则

.

.解当时,,.

于是,根据题设有,故a=-4.

.

,),(.的值和数图形有拐点,试确定常处函数的,且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=.

)(d d )()()(),()(.x f t y x y x f y x

t f t x f t y x 求函数满足下式:

上连续,且对任意的在设函数4

2222

2

222

4+++=∞-∞??≤+..之间的最短距离.与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z 要多少时间?

厘米的雪堆全部融化需问高为)系数侧面积成正比,(比例已知体积减少的速率与,

小时设长度为厘米,时间为其侧面满足方程

的雪堆在融化过程中,为时间设有一高为130,9.0)()

()

(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=.

86,)1,1,1(632.72

2222处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点计算函数处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P z

y x u P z y x n

+=

=++.

)()(022)(0)(22)()(4

2

42的表达式求函数;

,有简单闭曲线内的任意分段光滑证明:对右半平面的值恒为同一常数,曲线积分上,

单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数,在围绕设函数y II y

x xydy

dx y C x I y

x xydy

dx y L y C

L ????=++>++?

?0→x 1)1(4

12--ax x x sin =a 0→x 2

4

1

2

41

~1)1(ax ax ---2

~sin x x x 1

4141lim sin )1(lim 22

04

1

20=-=-=-→→a x ax x x ax x x

2. .

=

,

,故原式=

3. 设函数

在处连续,则.

解由题设知,函数在处连续,则,

又因为

. 所以

. 4.

.

5.

.

=

+→)

1ln(1

2)

(cos lim x x x )

1ln(1

2

)(cos lim x

x x +→x

x x e

cos ln )

1ln(1

lim

20+→212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02

020-=-==+→→→x x x

x x x x x x x .

12

1e

e

=

-2

301sin d ,0(),0x t t x f x x

a x ?≠?=??=?? 0x =a =()f x 0x =0lim ()(0)x f x f a →==220

3

20

0sin d sin 1lim ()lim

lim 33x

x x x t t x f x x x →→→===?1

3a ==

'+'??

?

??=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,.20sin 202,1,

:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y

x =+=+??

? ??='+'∴??

? ??'+??

?

??=??? ??'+??? ??=????

?

??'-??? ??=

??

? ??

-??? ??'+??? ??=??解的解为:

满足微分方程91

)1(ln 2-==+'y x x y y x ..

91

ln 3109

1

)1(191ln 31]ln [1

]ln [

ln 2

2

222

2

x x x y C y x C x x x C xdx x x C dx e

x e y x y x

y dx

x dx x -==-=+-=

+?=

+???=

=+'??-,故所求通解为:得,

由,于是通解为:解:原方程等价为:.

_______)()( ,,)()(,.=-=???≤≤==>??D

dxdy x y g x f I D x a x g x f a 则表示全平面,

而其他若设01

006

解:本题积分区域为全平面,但只有当

时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

7.

8.

9.

10,10≤-≤≤≤x y x ??

?+≤≤=-???

?≤-≤=-,

,0;

1)(,

,0;

10)(其他若其他若x y x a x y g x y a x y g ??

?

??+≤≤≤≤=-其他,0,

1,10)()(2x y x x a x y g x f .

])1[(0)()(21

21

012

2

2

1

a dx x x a dy

dx a dxdy dxdy a dxdy

x y g x f I x x

D D D

=-+==+

=

-=???

??????

+.

d tan )cos (222

22005=

+?

-x x x x π

π.

2

2212d sin 20d tan cos d d tan d tan )cos (2022

222

222

2005222

22005πππ

π

πππππ=??=+=+==+????---x x x

x x x x x x x x x x 解:.

sin 2sin sin 1lim

=

???

??++∞→n n n n n n πππ ?∑∑=?=?=?

?

?

??-+++=→∞=→∞→∞1

01

1d sin )(lim 1

sin lim )1(sin 2sin sin 1lim

x

x x f n n i n n n n n i n

i i n n

i n n πξππππ 解:n i n x n n n i n n n x x f i i =

=?<<<<<<=ξπ,1 ,210]10[, sin )(取等份,分点为分为,把区间看作 ().20cos cos 1

01cos d sin 1

`

πππππ=+-=

-=

=

∴?x x x 原式.

,1222=

≤++Ω???Ω

dv e z y x z

计算所界定由设空间区域

10.设在上半平面

内,函数

具有连续偏导数,

且对任意的都

. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,则 .

解两边对求导得

.

,.

,则

. 则由①可得

.

故由曲线积分与路径无关的定理可知,对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,都有

二、计算题(每小题6分,本题共42分):

.

2)1(22211

210

222ππ=-===-≤+??????????ΩΩ

dz e z dxdy dz e dv e dv e

z y x D z z D z z z

z z

法.

,故采用"先二后一"为圆域的函数,截面被积函数仅为解: {}

(,)|0D x y y =>(,)f x y 0t >2

(,)(,)f tx ty t f x y -=D L .

),(),(=-?dy y x f x x d y x f y L 2

(,)(,)f tx ty t

f x y -=t 3(,)(,)2(,)

x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-1

t =(,)(,)2(,)

x y xf x y yf x y f x y ''+=-11

(,)(,)(,)

22x y f x y xf x y yf x y ''=--(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-(,)(,),(,)(,)

x y Q P

f x y xf x y f x y yf x y x y ??''=--=+??11(,)(,)22y x Q P

yf x y xf x y x y ????''==- ?

????D L .0),(),(=-?dy y x xf x d y x yf L .

,)()(cos .的解,并求满足化简微分方程:用变量代换2101010

2='

==+'-''-<<===x x y y

y y x y x t t x π,解:dt dy

t dx dt dt dy y sin 1-=?=

',

代入原方程得

0),

sin 1

(]sin 1sin cos [2

2222=+-?-=?'=''y dt

y d t dt y d t dt dy t t dx dt dt y d y

2. 设是锥面的下侧,计算曲面积分

..

解设

:,取上侧,则

.

.

所以

.

代入,有把初始条件解此微分方程,得12211210

2

2121==='

=-+=+===C C y y

x C x C t C t C y x x ,,sin cos .

212x x y -+=为:故满足初始条件的特解

∑1)z z =≤≤d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y

++-??1∑221(1)z x y =+≤d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y

++-??1

1

d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y

∑+∑∑=

++--++-????1

d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y

∑+∑++-??

21

1

6d 6d d d 2r

V

v r r z π

θπ

==??????1

d d 2d d 3(1)d d 0

x y z y z x z x y ∑++-=??d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π

++-=??.

,),(.的值和数图形有拐点,试确定常处函数的,且在点处有极小值在设函数c b a x cx bx ax y 20012323=+++=.

3,0,102)1(,02)0(,23)1(,

26)(,23)(),()(,2)(223-====+++===''++='+=''++='+∞-∞+++=c b a c b a f b f c b a f b ax x f c bx ax x f x f cx bx ax x f 于是得,根据题意,二阶可导,

在解:.

)(d d )()(2

)(),()(.4422222

22x f t y x y x f y x t f t x f t y x 求函数满足下式:

上连续,且对任意的在设函数+++=∞-∞??

≤+,

sin cos ???==θθ

r y r x 解:令

[])

1(1)()1(1)(0,0)0(.1)(ln 141)()(41)()(,

1)(44)(4)(,

)(4)(2)(4

443333340

340

220

-=-=∴=+=+?=+'?=+'+=+='+=+=?????

x t t

t e x f e t f C f C t t f dt t dt t f t f t t f t f t f t t t t f t f t t dr r r f t rdr r f r d t f πππ

π

πππ

πππππθ,即,=知由,即求导:两边对..之间的最短距离.与平面求旋转抛物面22522=-++=z y x y x z .

2261

,022,

),,(22--+==--++=z y x d d z y x P y x z z y x P 的距离为到平面则上任一点为抛物面设解:),()(),,(2222261

y x z z y x z y x F --+--+=

λ令??

??????

???

+==+---+='=---+='=---+=')

4(,

)3(,

0)2)(22(31

)2(,02)22(31)1(,02)22(3122y x z z z y x F y z y x F x z y x F z y

x λλ),81

,41,41(.8

1

,41,41,即得唯一驻点解此方程组得===

z y x ..

647

241414161)

8

1

,41,41(min =--+=d 处取得最小值.点,故必在一定存在,且有唯一驻根据题意距离的最小值要多少时间?

厘米的雪堆全部融化需问高为)例系数与侧面积成正比,(比,已知体积减少的速率时间为小时设长度为厘米,

其侧面满足方程的雪堆在融化过程中,为时间设有一高为130,9.0)()()

(2)())((.622t h y x t h z t t h +-=).

(])()([)

(]

)()([)

(t h dz z t h t h dxdy

dz

V S V t h z t h t h y x t h 30

22

1

4

2

222π

π

=

-=

=

?

???-≤+为雪堆的侧面积,则

为雪堆的体积,解:设t h

t h t V d d )(d d 243π=?

三、证明题(本题8分):

解(I )

dxdy

t h y x dxdy z z S t h y x t h y x y x

??

??

+≤

+++

=

+

+

=

2

2

222

2222

2

22

2

1611)

()

()

()

().(d ])([d )

()

(t h r r r t h t h t h 2

20

2

1

2220

1213161πθπ

=

?+=

?

?)

(.d d )(d d )(d d ,.t h t h t h t h t h t V S dt dV 2

22121390434390πππ-=?=-=,由题义, ,)(,)(,)(13010130010131013+-=?=+-=?-=?

t t h h C t t h dt dh ,小时。得令1000=→t h ,.

,),,(.处的梯度的方向导数和在点处沿方向在点函数计算处指向外侧的法向量在点是曲面设P n P z

y x u P z y x n

22222861116327+=

=++.14

8146.7

1114

114143148142

146,1486,

14

88681,14

6862121,

141cos ,143cos ,1421322cos },1,3,2{|},3,2{2}2,6,4{},,,{:2

2

2222

22

2

k j i p gradu

l

u z y x z u y

x y

z

y

u y x x z x u

z y x z y x F F F n P

P

P

P

P

P

P z y x

++=

=?

-?+

?

=??∴

-=+-

=??=+=

??=

+=

??===

++===='''=γβα解.

)()(022)(0)(22)()(4

2

42的表达式求函数;

,有简单闭曲线内的任意分段光滑证明:对右半平面的值恒为同一常数,曲线积分上,单闭曲线原点的任意分段光滑简有连续的导数,在围绕设函数y II y

x xydy dx y C x I y

x xydy

dx y L y C

L ????=++>++?

?

l 2 C o X l 3

如图,将C 分解为:

,另作一条曲线围绕原点且与C 相接,则

.

(II )设

,在单连通区域内具有一阶连续偏导数,由(Ⅰ)知,

曲线积分

在该区域内与路径无关,故当时,总有

. ①

比较①、②两式的右端,得

由③得,将代入④得 所以,从而

中国石油大学(华东)

第二十一届高等数学竞赛试卷

专业年级: 学号:

1l 21l l C +=3l =

++?

C

y

x xydy

dx y 4

2

22)(?-

++?

+3

14

2

22)(l l y

x xydy

dx y ?0

22)(3

24

2

=++?

+l l y

x xydy

dx y ?24

24()

2,22y xy

P Q x y

x y ?=

=++,P Q 0x >24

()22L

y dx xydy

x y ?++?

0x >Q P

x y ??=??2425

2422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ?+-?-+==?++243243

242242

()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ?????'''?+-+-==?++435

()2,()4()2. y y y y y y y ???'=-??'-=? 2()y y c ?=-+()y ?535242,y cy y -=0c =2

().y y ?=-④

姓名: 成绩:

说明:

1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.

2. 题目所在页背面为草稿纸.

3. 试卷正文共7页.

中国石油大学(华东)教务处、学生工作处、数学学院主办 基础数学系承办 2007年6月10日

一、填空题(每小题5分,本题共50分): 1.若时,

与是等价无穷小,则.

解题过程是:

2. .

3.曲线

,渐近线的条数为:.

4. .

5.

分方程

.

6.

+

→0x x x

-+11ln

αx =

α=

-→3

sin arctan lim

x

x

x x )1ln(1

x e x y ++=

=??+??=y

z

y x z x

x y

xy z 则设,

tan 0

2='+''y y y ,

10==x y 满足初始条件:

21

0的特解是='=x y 的值为:

,则二重积分为若平面区域y x y x y x D D

d d )cos(2

0,2

0:??+≤

≤≤

≤π

π

.

7.

解题过程是: 8.

设函数

的一个原函数是

,则

= . 解题过程是:

9.

= .

解题过程是:

0. 设曲线

, .

解题过程是:

二、计算题(每小题6分,本题共42分):

解题过程是:

2.设,计算曲面积分

解题过程是:

解题过程是:

.

d )33(0

cos cos =

-?-x x x π

)

(x f 2

2

x x

x f x d )(?'???+--=+=Ω

ΩV

z x y x z y x z d )(,12222计算所围成与由设空间区域AnO 0)((0,0),0)(22>--=+a O a A ax y x 一段到的下半圆周自为()()=-+-?

y y e x y y e x AnO x d 3cos d 3sin 计算.

3

8

)2()1(),0()0)(,(),0,1(.1的值时,确定所围平面图形面积为与当直线的方程;

求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上,连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠.)0(12

2的上侧是曲面≥--=z y x z Σ.

d d )1(3d d 2d d 2233y x z x z y z y x I ??∑

-++=.01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x z y x ).

(4,0d ]2

1

(

[1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z V y x f z t f t t x f 确定,求由不等式其中满足下式:

上连续,且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>+∞???ΩΩ

解题过程是:

6. 设曲面

,计算曲面积分.

解题过程是:

解题过程是:

三、证明题(本题8分):

中国石油大学(华东)

第二十一届高等数学竞赛试卷参考答案 一、填空题(每小题5分,本题共50分):

1.若时,与是等价无穷小,则.

解题过程是: 若时,

与是等价无穷小,

则,故

.

2. .

解题过程是:

. 3.曲线

,渐近线的条数为:3 ..

解题过程是:

{}

.

0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y y x y x D y x y x y x f 1

:=++z y x ∑??+∑

S

y x d )().

,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u j y x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>).()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得,存在证明:相等的最大值,内具有二阶导数且存在上连续,在在设函数+

→0x x x

-+11ln

αx =

a +→0x x x

-+11ln

αx ()

)

()()(1ln )1ln(11ln

x o x x o x x o x x x x

x +=+++=--+=-++

→0x ,~)(αx x o x +21=

α=

-→3

0sin arctan lim

x

x

x x 61)]

(6[)](3[lim sin arctan lim 3

3333030-

=+--+-=-→→x x o x x x o x x x x x x x )1ln(1

x e x y ++=

曲线渐近线有3条:垂直渐近线,水平渐近线, 斜渐近线

.

4.

.

5.

.

解题过程是:

6.

. 解题过程是:

)

1ln(1

x e x y ++=

0=x )(0-∞→=x y )(+∞→=x x y =

'+'??

?

??=y x z y z x u f x y xyf z 则可导函数设,)(,.20t an 202,1,:22z x y xy x y xyf z y z x x y f y x y xf x x y f xy x y xf y z x y f x y x y yf x y x y f xy x y yf x z y x =+=+??

?

??='+'∴???

??'+??? ??=??? ??'+??? ??=????

? ??'-??? ??=???? ??-??? ??'+??? ??=??解0

2='+''y y y ,

10==x y 满足初始条件:

21

0的特解是='=x y .

1,1:,1,1,,d d 2,21d d .

2,1

21,21,1d d ,1ln ln ln ,d d ,d d d d 0,0d d ,d d ,),(220221101112+=+==?=+=?=?=∴

=?=?='=∴=?+-=-=?-=?-=≠=+='''='=''==??x y x y C y C x y x y y y

x y C C y y C x y y C P C y P y y

P P y y P P P y P y P P y

P

yP y P P y y P y y f y x x 或通解,

,时,代入型,令解: 的值为:

,则二重积分为若平面区域y x y x y x D D

d d )cos(2

0,2

0:??+≤

≤≤

≤π

π

7.

解题过程是:

解:令,是奇函数,得

=

8.

设函数

的一个原函数是

,则

= .

解题过程是:

=.

9.

=

解题过程是:

10. 设曲线

, .

2)1(cos )sin 1()cos()cos()cos()cos(.

2

20

20

2

2

20

2

020

212

1

-=---=+-+=+-+=

=+??????????--πππππ

ππππdx x dx x dy

y x dx dy y x dx dxdy

y x dxdy y x I D D D y x x

x

D D 两个区域、分为把区域解:用直线.

d )33(0

cos cos =

-?-x x x π

t

x -=

2

π

t t sin sin 33--x

x x d )33(0

cos cos ?--π

.

0d )33()d ()3

3

(22

sin sin 22

sin sin =-=--??---

-t t t t t

t

π

ππ

π

)

(x f 2

2

x x

x f x d )(?'x x f x d )(?'=-=??)()()(d x f x xf x f x C x x x +-2

222ln 222???+--=+=

Ω

ΩdV

)(,12222z x y x z y x z 计算所围成与由设空间区域.

8

sin cos )(.0),,(1

240

20

π

???θΩπ

π

Ω

Ω

Ω

=

?==+∴==???

?????????dr r r d d zdv dv z x xdv x x z y x f yoz 利用球面坐标系

的奇函数,有

为面为对称,关于 AnO 0).((0,0),0)(22>-=+a O -a A ax y x 一段到的下半圆周自为

.

解题过程是:

.

二、计算题(每小题6分,本题共42分):

解题过程是:

故曲线L 的方程为:

.

()()=-+-?

dy y e dx y y e x AnO x 3cos 3sin .计算()

,

8

3221333cos cos ,

2

2

a a dxdy dxdy y e y e dxdy y P x Q OA D

D x

x D AnO

OA AnOA

ππ=??? ????==+-=???? ????-??=+=????????

?,组成闭曲线解:补上线段()

????=?-+??-=-=∴a x

OA AnOA AnO a e dx e a 022******* ππ.

3

8

)2()1()0(,)0)(,(),0,1(.1的值时,确定所围平面图形面积为与当直线的方程;

求的斜率之差等于与直线的切线斜率其上点过点坐标平面上,连续曲线在a ax y L L a ax OP x y x P M L xoy =>≠,

),()1(ax x

y

y x f y L =-'=由题设得,

的方程为设曲线解:由通解公式,这是一阶线性微分方程.,Cx

ax C ax x C x axe e

y

x x x x +=+=

????

? ?

?

+??=?-2d 1d 1)(d ,

,0)1(a C f -=∴=)0(2

≠-=x ax ax y 围成的平面图形面积与直线)0()2(>=a ax y L ()

2

20

d D ax ax ax x ??=--???

()220

482d 33

a x x x a =-==?2.

a =故

2.设

,计算曲面积分

解题过程是:

解题过程是:

.)0(12

2的上侧是曲面≥--=z y x z Σ.

)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑

-++=.1122,组成闭曲面的下侧为平面圆域解:补充Σy x xoy =+.)1(322)1(3221

1

2

33233dxdy z dzdx y dydz x dxdy z dzdx y dydz x I ??

??∑∑+∑-++--++=

dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ???

??++=-++∑+∑Ω

)(6)1(322222331

.

2)]1()1(21

[12)(623221020

1

010

22

ππθπ

=-+-=+=??

??

-dr r r r r rdz r z dr d r ????≤+∑=--

=-++1

233

221

33)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x

π

.32πππ-=-=I .01232932.3222的切平面方程的平行于平面求椭球面=++-=++z y x z y x ),

,,(,932),,(:000222z y x M z y x z y x F 切点设解-++=,.},2,3,2{},2,6,4{},2,6,4{},,{000000n n n z y x n z y x F F F n z y x

∥由题意-==='''=,,2,2,223624000000λλλλ=-====-=z y x z y x .2,92322,

132),,(22

2202020000±==+???

??-+??? ??=++λλλλ解得在椭球面上z y x z y x M .),2,1,1(),2,1,1(代入得切平面方程切点---.9232,9232-=+-=+-z y x z y x 及

解题过程是:

等式两边对t 求导得

解题过程是:

解:(1)的驻点

内的驻点为:

.

(2) 构造拉格朗日函数:

).

(4,0d ]2

1

(

[1)()0(),0()(.4222222t f t y x h z V y x f z t f t t t f 确定,求由不等式其中满足下式:

上连续,且对任意的在设函数≤+≤≤+++=>∞???ΩΩ

dz

)]2

r

f([z rdr dθ1f(t)式可写为

解:在柱坐标系下,等2π

2t 0

h

2?

??++

=?++=2t

2)]dr

2

r

f(3h r[2πh 1即,f(t))],

(3[8)(2

t f h ht t f +='π??=+'8πhtdt

dt f(t)3

h (t)

f 分离变量并积分

2

C

4πht f(t))3h ln(得

22

+=+1),

3h ln(C 1,f(t)lim f(0)由原等式可得2

0t +=?==+→.

3h )e h 31(1f(t)2

4πht 22-+=∴{}

.

0,4),(2),(.5222222上的最大值和最小值在区域求函数≥≤+=-+=y y x y x D y x y x y x f ,24,2222y x y f xy x f y x

-='-='22222),(y x y x y x f -+=求函数?????=-='=-='024,02222y x y f xy x f y x {}

0,4),(22≥≤+=y y x y x D 区域)1,2(±.2),(2

222边界上的极值

在区域求函数D y x y x y x f -+=)

4(2),,(222222-++-+=y x y x y x y x L λλ

条件极值驻点为:

(3)比较

最小值为0。最大值为8.

6. 设曲面

,计算曲面积分.

解题过程是: 解:由曲面

的对称性和被积函数对称轮换性,

==,

==

=

===.

解题过程是:

?????????=-+=??=+-=??=+-=??040)2(240)2(22222

2

y x L y y x y y

L x xy x x L λλλ)23

,25(±

.2),(2

222在这些点的值的大小,函数y x y x y x f -+=1

:=++z y x ∑??+∑

S

y x d )(1

:=++z y x ∑,0d =??∑

S x ??∑

S y d ??∑

S x d ??∑

S

z d ??+∑

S

y x d )(??

S

y d )d d d (31??????++∑

S z S x S y ??++∑

S z y x )d (3

1

???∑S d 131

2338?334?).

,(,),()()(2),(0.724224y x u y x u j y x x i y x xy y x A x 并求的梯度为某二元函数上的向量使在右半平面确定常数 λλλ+-+=>,

,,),(),()(),(,)(2),(:24224y

u Q x u P y x u y x A y x x y x Q y x xy y x P ??=??=+-=+=则的梯度为某函数向量令解 λ

λ.

),(d d ,的全微分为某函数由判别法则y x u y Q x P y P

x Q +??=??1245243124224)(4)(24)()(2--+-+-=?+-+-=??λλλλλλy x x y x x x y x x y x x x Q

三、证明题(本题8分):

证:构造辅助函数则

证明思路使得

再用两次罗尔定理得到结论.

(1)

则使得

已知,用罗尔定理,与,

使得

,,进而,使得,即

(2)

与,

使得

由连续函数的零点定理,存在介于之间的使得

,由罗尔定理,与,

12422412424)(4)(22)(2)(2--+++=?+++=??λλλλλλy x xy y x x y y x xy y x x y P

,0)()(4)(4:2412424=++++??=??-y x y x x y x x x Q

y P λλλ得由

.10)1()(424-=?=++λλλy x x 即,),0,1(0作起点的半平面取点在>x .

arctan d d 02d d 2),(2

0242124),()0,1(242C x y C y y x x x y x x C y x y x x xy y x u y x y x +-=++-+?=++-=?

??).

()(),(),()(),()(),(],[)(),(ξξξg f b a b g b f a g a f b a b a x g x f ''=''∈==使得,存在证明:相等的最大值,

内具有二阶导数且存在上连续,在在设函数),()()(x g x f x h -=,0)(=a h ,0)(=b h ,存在),(0b a x ∈,0)(0=x h 取得,内同一点的最大值在若0),()(),(x b a x g x f ,存在),(0b a x ∈,0)(0=x h 内具有二阶导数在),()(),(b a x g x f ),(01x a x ∈?),(02b x x ∈?0)(1='x h 0)(2='x h ),(),(21b a x x ?∈?ξ0)(=''ξh ).()(ξξg f ''=''取得,内同一点的最大值不在若),()(),(b a x g x f ),(1b a x ∈存在),(1b a x ∈21x x ≠)

(max )()(max )()

,(2)

,(1x g x g x f x f b a x b a x ∈∈===0)()()(0)()()(222111<-=>-=x g x f x h x g x f x h 且21,x x ,),(0b a x ∈,0)(0=x h ,0)(=a h ,0)(=b h 内具有二阶导数在),()(),(b a x g x f ),(01x a ∈?ξ),(02b x ∈?ξ

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