2013年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1.设集合{2,0,1,3}A =，集合2{,2}B x x A x A =-∈-?.则集合B 中所有元素的和为 __________.
2.在平面直角坐标系xOy 中，点,A B 在抛物线2
4y x =上，满足4OA OB ?=-
.F 是抛物线
的焦点，则OFA OFB S S ???=______________.
3.在ABC ?中，已知sin 10sin sin ,cos 10cos cos A B C A B C ==，则tan A 的值为_______.
4.已知正三棱锥P ABC -的底面边长为1
，则其内切球半径为__________. 5.设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[0,1]x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值 为_________.
6.从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_________.
7.若实数,x y
满足x -=x 的取值范围是____________________. 8.已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{1,2,,8}i ∈ ，均有
11
{2,1,}2
i i a a +∈-， 则这样的数列的个数为_________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12,2,3,n n S S n -≥= .这里1n n S x x =++ . 证明：存在常数0C >，使得2, 1,2,n n x C n ≥?=
10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>，
12,A A 分别为椭圆的左、右顶点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点.P 为椭圆上不同于 12,A A 的任意一点.若平面中两个点,Q R 满足112211,,QA PA QA PA RF PF ⊥⊥⊥，
22,RF PF ⊥试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.
11.（本题满分20分）设函数2
()f x ax b =+，求所有的正实数对(,)a b ，使得对任意实数 ,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥