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立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结
立体几何与空间向量知识点归纳总结

立体几何与空间向量知识点归纳总结

一、立体几何知识点

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱的定义:有两个面是对应边平行的全等多边形,其余各面都是四边形,且相邻四边形的公共边都平行,由这些面围成的几何体叫棱柱。

棱柱的性质:侧面都是平行四边形;侧棱都平行,侧棱长都相等。

直棱柱:侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。

正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。

(2)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体叫棱锥。

棱柱的性质:平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。

(3)棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面的部分叫棱台。

棱台的性质:①上下底面平行且是相似的多边形;②侧面是梯形;③侧棱交于原棱锥的顶点。

(4)圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的性质:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。

圆锥的性质:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台的定义:以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。

圆台的性质:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇环形。

(7)球体的定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。

球的性质:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。

(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'

h 为斜高,l 为母线)

ch S =直棱柱侧面积

rh

S π2=圆柱侧

'2

1

ch S =

正棱锥侧面积 rl

S π=圆锥侧面积

')(2

121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13

V S h =锥 h r V 23

1π=圆锥

'1()3

V S S h =+台 '22

11()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台

(4)球体的表面积和体积公式:V 球=343

R π ; S 球面=24R

π

3、平面及基本性质

公理1 ααα??∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =?βα且α∈P

公理3 不共线三点确定一个平面(推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线)

4、空间两直线的位置关系

共面直线:相交、平行(公理4) 异面直线 5、异面直线

(1)对定义的理解:不存在平面α,使得α?a 且α?b (2)判定:反证法(否定相交和平行即共面) 判定定理:15P

★(3)求异面直线所成的角:①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角,再解三角形.

②向量法 |

||||,cos |cos b a =

><=θ (注意异面直线所成角的范围]

2

,

0(π

(4)证明异面直线垂直,①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明;

②向量法 0=??⊥

(5)求异面直线间的距离:大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.

6、 直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

A a a a =??ααα,//,

2、直线与平面平行的判定

(1)判定定理: ααα////b a a b b ???

?

??

?? (线线平行,则线面平行17P )

(2)面面平行的性质:

βαβα////a a ??

??

? (面面平行,则线面平行) 3、直线与平面平行的性质

b a b a a //,//??

??

=??βαβα (线面平行,则线线平行18P )

★4、直线与平面垂直的判定 (1)直线与平面垂直的定义的逆用

a l a l ⊥??

??

?⊥αα, (2)判定定理:αα⊥???

?

??

=??⊥⊥l A n m n m n l m l ,, (线线垂直,则线面垂直23P )

(3)

αα⊥??

??

⊥a b b a // (25P 练习 第6题) (4)面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥???

?

??

⊥?=?⊥a l a a l , (面面垂直,则线面垂直51P )

(5)面面平行是性质:βαβα⊥??

??

⊥l l // 5、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影?线垂斜

7、 两个平面的位置关系:空间两个平面的位置关系 相交和平行

8、两个平面平行的判定 (1)判定定理:βαβα

α//,,//,//??

??

=?P b a b a b a (线线平行,则面面平行19P )

(2)

βαβα//??

??

⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 (3)βαγβγα////,//? 平行于同一平面的两个平面平行 (21P 练习 第2题) 9、两个平面平行的性质

(1)性质1:βαβα//,//a a ??

(2)面面平行的性质定理: b a b a //,//??

??

=?=?γβγαβα (面面平行,则线线

平行20P )

(3)性质2:βαβα⊥?⊥l l ,// 10、两个平面垂直的判定与性质

(1)判定定理:βααβ⊥??⊥a a , (线面垂直,则面面垂直50P )

(2)性质定理:面面垂直的性质定理:βαβαβα⊥???

?

??

⊥?=?⊥a l a a l , (面面垂直,则线

面垂直51P )

12、 空间角:异面直线所成角(9.1);斜线与平面所成的角 )2

,

0(π

(1)求作法(即射影转化法):找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足. (2)向量法:设平面α的法向量为,则直线AB 与平面α所成的角为θ,则

||

|||,cos |sin n AB =

><=θ )2

,

0(πθ∈

(3)两个重要结论

最小角定理48P :21cos cos cos θθθ= ,,26P 例4 28P 第6题 13、空间距离:求距离的一般方法和步骤 (1)找出或作出有关的距离; (2)证明它符合定义;

(3)在平面图形内计算(通常是解三角形) 求点到面的距离常用的两种方法 (1)等体积法——构造恰当的三棱锥;

(2)向量法——求平面的斜线段,在平面的法向量上的射影的长度:d =

直线到平面的距离,两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解 异面直线的距离

① 定义:和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分(公垂线段) ② 求法:法1 找出两异面直线的公垂线段并计算,法2 转化为点面距离

向量法 d =

(A ,B 分别为两异面直线上任意一点,为垂直于两异面直

线的向量) 注意理解应用:θcos 22

2

2

2

mn d n m l ±++=

二、空间向量知识点 1、空间向量的加法和减法:

()1求两个向量差的运算称为向量的减法,

它遵循三角形法则.即:在空间任取一点

O ,作a OA =,b OB =,则a b BA =-.

()2求两个向量和的运算称为向量的加法:

在空间以同一点O 为起点的两个已知向量

a 、

b 为邻边作平行四边形C OA B ,则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则. 2、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,a λ与a 方向相同;当0λ<时,a λ与a 方向相反;当0λ=时,a λ为零向量,记为0.a λ的长度是a 的长度的λ倍.

3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.

4、向量共线充要条件:对于空间任意两个向量a ,()0b b ≠,//a b 的充要条件是存在实数λ,使a b λ=.

5、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

6、向量共面定理:空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有

序实数对x ,y ,使x y C A P =A B +

A ;或对空间任一定点O ,有x y C O P =O A +A

B +A ;或若四点P ,A ,B ,

C 共面,则

()1x y z C x y z O P =O A +

O B +O ++

=

. 7、已知两个非零向量a 和b ,在空间任取一点O ,作a O A=,b OB =,则∠AOB 称为向量a ,b 的夹角,记作,a b ??.两个向量夹角的取值范围是:[],0,a b π??∈.

8、对于两个非零向量a 和b ,若,2

a b π

??=,则向量a ,b 互相垂直,

记作a b ⊥.

9、已知两个非零向量a 和b ,则cos ,a b a b ??称为a ,b 的数量积,记作a b ?.即cos ,a b a b a b ?=??.零向量与任何向量的数量积为0. 10、a b ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b ??的乘积. 11、若a ,b 为非零向量,e 为单位向量,则有

()1cos ,e a a e a a e ?=?=??;()20a b a b ⊥??=; ()3()(

)

a b a b a b a b a b ???=?-??

与同向

与反向,2

a a a ?=,a a a =?; ()4c o s ,a

b a b a b

???=

()

5a b a b ?≤.

12、空间向量基本定理: 若三个向量a ,b ,c 不共面,则对空间任一向量p ,存在实数组{},,x y z ,使得p xa yb zc =++.

13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 14、设1e ,2e ,3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底),以1e ,2e ,3e 的公共起点O 为原点,分别以1e ,

2e ,3e 的方向为x 轴,

y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O .则

对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O

重合,得到向量p O P =

.存在有序实数组{},,x y z ,使得123p x e y e z e =++.把

x ,y ,z 称作向量p 在单位正交基底1e ,2e ,3e 下的坐标,记作(),,p x y z =.此时,向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z .

15、设()111,,a x y z =,()222,,b x y z =,则

()1()121212,,a b x x y y z z +=+++.()2()121212,,a b x x y y z z -=---. ()

3()111,,a x y z λλλλ=.

()4121212a b x x y y z z ?=++.()5若

a 、

b 为非零向量,则

12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=.

()

6若

b ≠,则

1

2/

/,,a b a b x

λ

λλλ?

=

?=

=

.()721a a a x =?=+ ()82

1

cos ,a b a b a b

x ???=

=

+.

()9()111,,x y z A ,()222,,x y z B =,则(d x AB =AB =

16、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向量分别为a ,b .P 为平面α上任意一点,存在有序实数对(),x y 使得xa yb OP =+,这样点O 与向量a ,

b 就确定了平面α的位置.

17、直线l 垂直α,取直线l 的方向向量a ,则向量a 称为平面α的法向量.

18、若空间不重合两条直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,则

////a b a b ??

()a b R λλ=∈,0a b a b a b ⊥?⊥??=.

19.0a n a n ?⊥??=,//a a a n a n ααλ⊥?⊥??=.

20、若空间不重合的两个平面α,β的法向量分别为a ,b ,则

////a b αβ??

a b λ=,0a b a b αβ⊥?⊥??=.

21、设异面直线a ,b 的夹角为θ,方向向量为a ,b ,其夹角为?,则有cos cos a b a b

θ??==

22、设直线l 的方向向量为l ,平面α的法向量为n ,l 与α所成的角为θ,l 与n 的夹角为?,则有sin cos l n l n

θ??==

23、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个面α,β的法向量,则向量1n ,2n 的夹角

(或其补角)就是二面角的平面角的大小.若二面角l αβ--的平面角为θ,则1212

cos n n n n θ?=.

24、在直线l 上找一点P ,过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ,则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n n

PA ?=PA ?PA ?=.

25、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算.

26、点P 是平面α外一点,A 是平面α内的一定点,n 为平面α的一个法向量,则点P 到平面α的距离为cos ,n d n n

PA ?=PA ?PA ?=

高中数学空间向量与立体几何测试题及答案

一、选择题 1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点,则这些向量的终点构成的图形是( ) A.一个圆 B.一个点 C.半圆 D.平行四边形 答案:A 2.在长方体1111ABCD A B C D -中,下列关于1AC 的表达中错误的一个是( ) A.11111AA A B A D ++ B.111AB DD D C ++ C.111AD CC D C ++ D.11111 ()2 AB CD AC ++ 答案:B 3.若,,a b c 为任意向量,∈R m ,下列等式不一定成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +=+··· C.()a b a b +=+m m m D.()()a b c a b c =···· 答案:D 4.若三点,,A B C 共线,P 为空间任意一点,且PA PB PC αβ+=,则αβ-的值为( ) A.1 B.1- C. 1 2 D.2- 答案:B 5.设(43)(32)a b ==,,,,,x z ,且∥a b ,则xz 等于( ) A.4- B.9 C.9- D. 649 答案:B 6.已知非零向量12e e ,不共线,如果1222122833e e e e e e =+=+=-, ,AB AC AD ,则四点,,,A B C D ( ) A.一定共圆 B.恰是空间四边形的四个顶点心 C.一定共面 D.肯定不共面 答案:C 7.如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ,点E F G ,,分别是AB AD CD ,,

的中点,则2a 等于( ) A.2BA AC · B.2AD BD · C.2FG CA · D.2EF CB · 答案:B 8.若123123123=++=-+=+-,,a e e e b e e e c e e e ,12323d e e e =++,且x y z =++d a b c ,则,,x y z 的值分别为( ) A.51122--,, B.51122 -,, C.51122 --,, D.51122 ,, 答案:A 9.若向量(12)λ=,,a 与(212)=-, ,b 的夹角的余弦值为8 9,则λ=( ) A.2 B.2- C.2-或 255 D.2或255 - 答案:C 10.已知ABCD 为平行四边形,且(413)(251)(375)A B C --,,,,,,,,,则顶点D 的坐标为( ) A.7412??- ???,, B.(241),, C.(2141)-,, D.(5133)-,, 答案:D 11.在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为AC BD ,的交点,则1C O 与1A D 所成角的( ) A.60° B.90° C.3arccos 3 D.3arccos 6 答案:D 12.给出下列命题: ①已知⊥a b ,则()()a b c c b a b c ++-=···; ②,,,A B M N 为空间四点,若BA BM BN ,,不构成空间的一个基底,那么A B M N ,,,共面; ③已知⊥a b ,则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底; ④若,a b 共线,则,a b 所在直线或者平行或者重合. 正确的结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 二、填空题 13.已知(315)(123)==-,,,,,a b ,向量c 与z 轴垂直,且满足94==-,··c a c b ,则c = . 答案:2221055?? - ??? ,,

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员: 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要:深入了解空间解析几何与向量代数的概念,一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律,还有空间直线与平面的关系。 关键词:向量;向量代数;空间几何 第一部分:向量代数 第一节:向量 一.向量的概念: 向量:既有大小,又有方向的量成为向量(又称矢量)。 表示法:有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小,记作|a |。 向径(矢径):起点为原点的向量。 自由向量:与起点无关的向量。 单位向量:模为1的向量。 零向量:模为0的向量,记作.0或0 若向量a 与b 大小相等,方向相同,则称a 与b 相等,记作a =b ; 若向量a 与b 方向相同或相反,则称a 与b 平行,记作a //b 规定:零向量与任何向量平行;与a 的模相同,但方向相反的向量称为a 的负向量, 记作-a ;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上,则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则: b a +b a 三角形法则: a + b b

a 运算规律:交换律a + b =b +a a 与b 结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +(a ) a b -a b b -a a 特别当b =a 时,有a -a =a (a )=0 ; 三角不等式:|b +a |; |a -b |; 3.向量与数的乘法是一个数,与a 的乘积是一个新向量,记作a 。 规定: a 与a 同向时,|a |=|a |; 总之:|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r (x,y,z ),作om r ,则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得: |r | |OM| B A 对两点A ()与B ()因AB OB OA () 得两点间的距离公式: |AB| |AB | 第二节:数量积 向量积

立体几何复习知识点汇总(全)

立体几何知识点汇总(全) 1.平面 平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (1).证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 (2).证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面,然后再证明其余的也在这个平面内,或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. (1). 空间直线位置关系三种:相交、平行、异面. 相交直线:共面有且仅有一个公共点;平行直线:共面没有公共点;异面直线:不同在任一平面内,无公共点 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(也可能两条直线平行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面,a平行于平面α,b与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一.点.向这个平面所引的垂线段和斜线段) ⑦b a,是夹在两平行平面间的线段,若 a,的位置关系为相交或平行或异面. a=,则b b ⑧异面直线判定定理:过平面外一点与平 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是

异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (2). 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 (直线与直线所成角]90,0[??∈θ)(向量与向量所成角])180,0[οο∈θ 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等. (3). 两异面直线的距离:公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. [注]:21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能 叫1L 与2L 平行的平面) 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1). 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2). 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) [注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内) ⑤平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑥直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交) (3). 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线

(三)立体几何与空间向量

(三)立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,P A⊥平面ABCD,P A=AB,M是PC上一点,且BM⊥PC. (1)求证:PC⊥平面MBD; (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC,由P A⊥平面ABCD, BD?平面ABCD,得BD⊥P A, 又BD⊥AC,P A∩AC=A, P A,AC?平面P AC, ∴BD⊥平面P AC,又PC?平面P AC,∴PC⊥BD. 又PC⊥BM,BD∩BM=B, BD,BM?平面MBD, ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD, 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A=1,则BC=1,PC=3,PB= 2. ∴PC2=PB2+BC2,∴PB⊥BC,又BM⊥PC, ∴sin∠PBM=cos∠BPC=PB PC=2 3 = 6 3, 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz(如图所示),

不妨设P A =AB =1, 则P (0,0,1),B (1,0,0),C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → =(1,1,-1), 而PB → =(1,0,-1). ∴cos 〈PB →,PC → 〉=(1,0,-1)·(1,1,-1)2×3=63, 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图,已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形,AC ∥DF ,四边形BCDE 为直角梯形,且DE ∥BC ,BC ⊥CD ,点G 为△ABC 的重心,N 为AB 的中点,AG ⊥平面BCDE ,M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证:GM ∥平面DFN ; (2)若二面角M -BC -D 的余弦值为 7 4 ,试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ,连接ON ,OF . 因为点G 为△ABC 的重心, 所以AG AO =2 3,且O 为BC 的中点. 又由题意知,AM →=23AF → , 所以AG AO =AM AF =23, 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点,

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络: 二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理); ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处

理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资P128页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二)、知识梳理,方法定位。(学生完成复资P128页填空题,教师准对问题讲评)。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率 说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意:当我们说a 、b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平行直线;当 我们说a 、b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理:对空间任意两个向量a (a ≠)、b ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b =λa (1)对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量。 (3)若直线l ∥a ,l A ∈,P 为l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导的表达式。

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.

(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|. (3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:

高中数学必背公式——立体几何与空间向量(供参考)

高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习: 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化: 线线平行 线面平行 面面平行,线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4.求角:(1)异面直线所成的角: 可平移至同一平面;也可利用空间向量:cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++(其中θ(090θ<≤)为异面直线a b ,所成角,,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量)。 (2)直线与平面所成的角: 在斜线上找到任意一点,过该点向平面作垂线,找到斜线在该平面上的射影,则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角;也可利用空间向量,直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). (3)二面角: 方法一:常见的方法有三垂线定理法和垂面法; 方法二:向量法:二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- (m ,n 为平面α,β 的法向量). 5. 求空间距离: (1)点与点的距离、点到直线的距离,一般用三垂线定理“定性”; (2)两条异面直线的距离:|| || AB n d n ?= (n 同时垂直于两直线,A 、B 分别在两直线上); (3)求点面距: || || AB n d n ?= (n 为平面α的法向量,AB 是经过面α的一条斜线,A α∈); (3)线面距、面面距都转化为点面距。 题型一:空间几何体的三视图、体积与表面积 例1:已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,

空间向量与立体几何知识点归纳总结52783

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1 )向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律:⑴加法交换律:a b b a +=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律:b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a //。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ,使a =λb 。 (3)三点共线:A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 (4)与共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使p xa yb =+。 (3)四点共面:若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一 个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。

空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求用标准基i , j , k 表示向量c ; A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下,从点A (1,2,0)移动到点B (3, 2,-1),求力F 所作的功是:( ) A )5焦耳 B )10焦耳 C )3焦耳 D )9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 21 3+=-=z y x 的距离是:( ) A )138 B 118 C )158 D )1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是:( ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( ) A ) 3 62 B ) 3 64 C )3 2 D )3 10. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:( ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结 1、 多面体(棱柱、棱锥)的结构特征 (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱; 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面

棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形;Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 (2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形,由这些面 围成的几何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比;

截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三 角形;通过四个直角三角形POH Rt ?,POB Rt ?, PBH Rt ?,BOH Rt ?实现边,高,斜高间的换算 2、 旋转体(圆柱、圆锥、球)的结构特征 A B C D O H P

(2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得 的圆叫大圆,不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆) ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 2d 2 =,其中R为球半径,r为截 r- R 面半径,d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

立体几何与空间向量

中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1.如图,在四棱锥P —ABCD 中,侧面P AD ⊥底面ABCD ,侧棱P A =PD =2,P A ⊥PD ,底面ABCD 为直角梯形,其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB =BC =1,O 为AD 的中点. (1)求证:PO ⊥平面ABCD ; (2)求B 点到平面PCD 的距离; (3)线段PD 上是否存在一点Q ,使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63?若存在,求出PQ QD 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明 因为P A =PD =2,O 为AD 的中点, 所以PO ⊥AD ,因为侧面P AD ⊥底面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点,OC ,OD ,OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O -xyz ,则B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0),P (0,0,1). PB →=(1,-1,-1),设平面PDC 的法向量为u =(x ,y ,z ),CP →=(-1,0,1),PD →=(0,1,- 1). 则????? u · CP →=-x +z =0,u · PD →=y -z =0,取z =1,得u =(1,1,1), B 点到平面PDC 的距离d =|BP →·u ||u |=33 . (3)解 假设存在,则设PQ →=λPD → (0<λ<1), 因为PD →=(0,1,-1),所以Q (0,λ,1-λ), 设平面CAQ 的法向量为m =(a ,b ,c ),

则????? m ·AC →=0,m ·AQ →=0,即????? a + b =0, (λ+1)b +(1-λ)c =0, 所以取m =(1-λ,λ-1,λ+1), 平面CAD 的法向量n =(0,0,1), 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 , 所以|m·n||m||n |=63 , 所以3λ2-10λ+3=0, 所以λ=13或λ=3(舍去),所以PQ QD =12 . 2.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB =2AD =2,E 为AB 的中点,F 为D 1E 上的一点,D 1F =2FE . (1)证明:平面DFC ⊥平面D 1EC ; (2)求二面角A —DF —C 的大小. (1)证明 以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2). ∵E 为AB 的中点, ∴E 点坐标为(1,1,0), ∵D 1F =2FE , ∴D 1F →=23D 1E →=23 (1,1,-2) =(23,23,-43 ), DF →=DD 1→+D 1F →=(0,0,2)+(23,23,-43 )

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //,则 B (A )、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){04404=--=--y x z x (D )?? ???==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

高考立体几何知识点总结(详细)

收集整理:宋氏资料 2016-1-1 2016高考立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 棱柱的分类 棱柱 四棱柱平行六面体 直平行 六面体长方体 正四棱柱正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S 直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h? 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形 图1-1 棱柱

所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积:1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 对棱间的距离为 a 2 (正方体的边长) 正四面体的高 a 6(正方体体对角线l 3 2 =) 正四面体的体积为 32a (正方体小三棱锥正方体V V V 3 1 4=-) 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1(正方体体对角线正方体体对角线:l l 2 1 61= ) 3 、棱台的结构特征 3.1 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台。 3.2 正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面也是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点。 4 、圆柱的结构特征 A B C D P O H

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 (一)基本知识梳理:见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . (二)要点梳理: 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质,特别注意:不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时,要注意讨论点在平面的同侧还是两侧,会根据不同的情况作出相应的图形. [例]已知线段AB 长为3,A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2,则AB 所在直线与平面α所成角的大小为_____; 解析:要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时,AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ;当A 、B 在平面α的两侧时,AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”;三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行,最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直,最终化归为线线垂直. [例]已知平面βα,,直线b a ,.有下列命题:(1) βαβα////a a ?????;(2)αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ (3)βαβα////??????⊥⊥b a b a ;(4)βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是______. 解析:立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点,基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及,要充分理解符号语言所体现的几何意义.(1)体现的是两平面平行的一个性质:若两平面平行,则一个平面的任一直线与另一平面平行.(2)要注意的是直线a 可能在平面α.(3)注意到直线与平面之间的关系:若两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.(4)根据两平面平行的判定知,一个平面两相交直线与另一个平面平行,两平面才平行.由此知:正确的命题是(1)与(3). 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ;两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下,求二面角往往是指定 的二面角,若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可. [例]设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围:(1)A 是直线倾斜角的取值围;(2)B 是锐角;(3)C 是直线与平面所成角的取值围;(4)D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到___. (答案:A C D B ???) 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解,也可以利用空间向量的方法,特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时,其所成角的大小应为||arccos a . [例]正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是AB 中点,则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为_____. (答案:515 arccos ) 特别需要注意的是:两向量所成的角是两向量方向所成的角,它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中,要抓住直线在平面上的射影,转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法,也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

高中文科数学立体几何知识点总结

γm βα l l α β立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关 系: 1. 线面平行 α l 符号表示: 2. 线面相交 α A l 符号表示: 3. 线在面内 α l 符号表示: 二. 平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实 现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二:用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三:用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 方法四:用向量方法: 若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合,则 m l //。 2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方 法二:用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n 为平面α的一个法向量, l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理: ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角): AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义:直线l 上任取一点P (交点除外),作PO ⊥α于O,连结AO ,则AO 为斜线PA 在面α内的射影,PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α

空间向量与立体几何知识总结(全国高考必备!)

y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目:数学 授课教师: 全国章 年级: 高二 上课时间: 教材版本:人教版 总课时: 已上课时: 课时 学生签名: 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系和向量a ,设,,i j k (单位正交基底)为坐标向量,则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++,有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作123(,,)a a a a =.在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 二、空间向量的直角坐标运算律 (1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =, 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++, 112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈, (2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量,我们把数量>

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