最优化方法上机实验3
求网络最大流及最小费用最大流问题的
Ford-Fulkerson标号算法
上机时间：2014.01.07
实验日期： 2014年1月7日
//标号法求网络最大流量 #include 北京联合大学 实验报告 项目名称：运筹学专题实验报告 学院：自动化专业：物流工程 班级： 1201B 学号：2012100358081 姓名：管水城成绩： 2015 年 5 月 6 日 实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题 一、实验目的： (1)使学生在程序设计方面得到进一步的训练;，学习Matlab语言进行程序设计求解最大流最小费用问题。 二、实验用仪器设备、器材或软件环境 计算机, Matlab R2006a 三、算法步骤、计算框图、计算程序等 1.最小费用最大流问题的概念。 在网络D(V,A)中,对应每条弧(vi,vj)IA,规定其容量限制为cij(cij\0),单位流量通过弧(vi,vj)的费用为dij(dij\0),求从发点到收点的最大流f,使得流量的总费用d(f)为最小,即mind(f)=E(vi,vj)IA 2.求解原理。 若f是流值为W的所有可行流中费用最小者,而P是关于f的所有可扩充链中费用最小的可扩充链,沿P以E调整f得到可行流fc,则fc是流值为(W+E)的可行流中的最小费用流。 根据这个结论,如果已知f是流值为W的最小费用流,则关键是要求出关于f 的最小费用的可扩充链.为此,需要在原网络D的基础上构造一个新的赋权有向图E(f),使其顶点与D的顶点相同,且将D中每条弧(vi,vj)均变成两个方向相反的弧(vi,vj)和(vj,vi)1新图E(f)中各弧的权值与f中弧的权值有密切关系,图E(f)中各弧的权值定义为： 新图E(f)中不考虑原网络D中各个弧的容量cij.为了使E(f)能比较清楚,一般将长度为]的弧从图E(f)中略去.由可扩充链费用的概念及图E(f)中权的定义可知,在网络D中寻求关于可行流f的最小费用可扩充链,等价于在图E(f)中寻求从发点到收点的最短路.因图E(f)中有负权,所以求E(f)中的最短路需用Floyd算法。 1.最小费用流算法的框图描述。 图一 1459:Power Network Time Limit: 2000MS Memory Limit: 32768K Total Submissions: 17697 Accepted: 9349 Description A power network consists of nodes (power stations, consumers and dispatchers) connected by power transport lines. A node u may be supplied with an amount s(u) >= 0 of power, may produce an amount 0 <= p(u) <= p max(u) of power, may consume an amount 0 <= c(u) <= min(s(u),c max(u)) of power, and may deliver an amount d(u)=s(u)+p(u)-c(u) of power. The following restrictions apply: c(u)=0 for any power station, p(u)=0 for any consumer, and p(u)=c(u)=0 for any dispatcher. There is at most one power transport line (u,v) from a node u to a node v in the net; it transports an amount 0 <= l(u,v) <= l max(u,v) of power delivered by u to v. Let Con=Σu c(u) be the power consumed in the net. The problem is to compute the maximum value of Con. An example is in figure 1. The label x/y of power station u shows that p(u)=x and p max(u)=y. The label x/y of consumer u shows that c(u)=x and c max(u)=y. The label x/y of power transport line (u,v) shows that l(u,v)=x and l max(u,v)=y. The power consumed is Con=6. Notice that there are other possible states of the network but the value of Con cannot exceed 6. Input There are several data sets in the input. Each data set encodes a power network. It starts with four integers: 0 <= n <= 100 (nodes), 0 <= np <= n (power stations), 0 <= nc <= n (consumers), and 0 <= m <= n^2 (power transport lines). Follow m data triplets (u,v)z, where u and v are node identifiers (starting from 0) and 0 <= z <= 1000 is the value of l max(u,v). Follow np doublets (u)z, where u is the identifier of a power station and 0 <= z <= 10000 is the value of p max(u). The data set ends with nc doublets (u)z, where u is the identifier of a consumer and 0 <= z <= 10000 is the value of 例题最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（q,f j）。. 解： ⑴首先，给V s标上（0,） ⑵检查v s,给v s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号（V s,l（V2））,其中其它点不符合标号条件。 （3）检查V2，给V2为终点的非零流弧的未标号的起点V3标号（V2,l（V3））,其中其它点不符合标号条件。 ⑷检查V3，给V3为起点的未饱和弧的未标号的终点V4、V标号（V4,l（V4））、 （V6,l（V6））其中，1他）min[?3）234 彳34】min[ 4,5 4] 1 其它点不符合标号条件。 ⑸检查V6，给V6为起点的未饱和弧的未标号的终点V t标号（V t,l（V t））其中， 其它点不符合标号条件。 由于V t已标号，反向搜索可得增广链｛（V s,V2）,（V3,V2）,（V3,V6）, （V6,V t）｝，在该增 广链的前相弧（V s,V2）,（V3, V6）,（V6, V t）上增加l（V t） 4，在后向弧（V3,V2）上减去l（V t）4，其它弧上的流量不变，则可得一流量v（f） 20的新的可行流如下图。 V3 (5,5) V6 重新开始标号： ⑹首先，给V s标上（0,） ⑺检查V s,给V s为起点的未饱和弧的未标号的终点V2标号（V s,l（V2））,其中其它点不符合标号条件。 (8)检查V2，没有以V2为起点的未饱和弧的未标号终点和以V2为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流，最大流的流量为v(f)=20。 事实上，可令V {V s，V2},V i {V3，V4,V5，V6，V t}，则最小截集(V i,V i)的截量 C(V i,V i) C s3 C25 C24 9 5 6 20 V( f)。 算法分析与设计题目：最大流算法 院系：软件工程 班级：软件11-2班 ：慕永利 学号： 23 号 目录 1算法提出背景........................................................... - 3 - 2 问题实例及解决......................................................... - 3 - 3算法论述............................................................... - 4 - 3.1、可行流.......................................................... - 4 - 3.2 最大流.......................................................... - 5 - 3.3最大流算法....................................................... - 6 - 3.3.1 增广路径................................................. - 6 - 3.3.2沿增广路径增广............................................. - 7 - 3.3.3样例：..................................................... - 8 - 3.3.4定理：.................................................... - 13 - 3.3.5算法的实现：.............................................. - 13 - 3.3.6 优化...................................................... - 16 - 4算法应用.............................................................. - 18 - 数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221 实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1) 首先,给v s 标上(0,) (2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。 (3) 检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。 (4) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(, )其中， 其它点不符合标号条件。 (5) 检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。 由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 重新开始标号： (6) 首先,给v s 标上(0,) (7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 ∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v ∞+)(2v l 最大流算法 clc,clear,M=1000; c(1,2)=3;c(1,4)=3; c(2,3)=1;c(2,4)=20; c(3,6)=3; c(4,5)=10; c(5,1)=4;c(5,3)=2;c(5,6)=13; n=length(u); list=[]; maxf=zeros(1:n);maxf(n)=1; while maxf(n)>0 maxf=zeros(1,n);pred=zeros(1,n); list=1;record=list;maxf(1)=M; while (~isempty(list))&(maxf(n)==0) flag=list(1);list(1)=[]; index1=(find(u(flag,:)~=0)); label1=index1(find(u(flag,index1)... -f(flag,index1)~=0)); label1=setdiff(label1,record); list=union(list,label1); pred(label1(find(pred(label1)==0)))=flag; maxf(label1)=min(maxf(flag),u(flag,label1)... -f(flag,label1)); record=union(record,label1); label2=find(f(:,flag)~=0); label2=label2'; label2=setdiff(label2,record); list=union(list,label2); pred(label2(find(pred(label2)==0)))=-flag; maxf(label2)=min(maxf(flag),f(label2,flag)); record=union(record,label2); end if maxf(n)>0 v2=n; v1=pred(v2); while v2~=1 if v1>0 最大流和最小费用流的作业 1.在下图中A 、B 为发点，分别有50和40单位物资往外发送，D 和E 是为收点，分别需要物资30和60单位，C 为中转站，各弧旁数字为（Cij ，Bij ），求满足上述收发量要求的最小费用流。 解：把问题转化为网络图： (20,90) (50,40) ( 10,20 ) (30,20) (10,30) (40,30) (80,10) 决策变量：设A 运到B 为L1, A 运到C 为L2， A 运到D 为L3，B 运到C 为L4， C 到E 为L5 D 到E 为L6， E 到D 为L7。 目标函数： Min Z=L1×20+L2×40+L3×90+L4×30+L5×10+L6×30+L7×20 约束条件： L1<=10,L2<=50,L3<=20,L4<=40,L5<=80,L6<=30,L7<=20 L1+L2+L3=50 L4=40+L1 L2+L4=L5 L3+L7=30 L5+L6=60 Li 为整数（i=1，2，3，4，5，6，7）； A D B E C 结果如下： 解得L1=0 L2=40 L3=10 L4=40 L5=80 L6=0 L7=20 Min Z=4900 2、下图是描述一个水渠系统，其中R1，R2，R3,代表三个水库，A,B,C,D,E,F,代表水渠的交汇点，T 表示水渠终点的一个城市，水渠各段每日允许通过的最大流量（1000m 3）分别见表6-10和6-11.城市水资源管理部门希望制定一个方案，使每天输送到城市的水流量为最大，请将此问题归结为求最大流问题。 表6-10 到 从 A B C R1 73 65 _ R2 40 50 60 R3 _ 80 70 R1 R2 R3 A D B E T C F 最短路径问题的研究 学生姓名：苏振国指导老师：王向东 摘要最短路径问题是研究线状分布的地理事物中最常用的方法。其中迪克斯查1959年提出的标号法在最短路径问题的研究中应用最为广泛，尤其在交通选址方面。根据迪克斯查标号法的基本思想及应用现状，本文以其在城市消防站选址问题上的应用为例，详细介绍了迪克斯查标号法的应用、原理及其步骤。展现了最短路径法的突出优点：不仅求出了起点和终点的最短路径及其长度，而且求出了起点到图中其他各点的最短路径及其长度。 关键词最短路径步骤原理应用分类 1引言 在实际中常提出这样的问题，比如说，在交通网中，问A，B两地是否有道路可通?如果有通路且不止一条的话，那么最短的是哪条?所谓最短，可理解为里程数最少，也可理解为旅差费最省，还可理解为道路的建造成本最低等等。总之，这类问题都可归结为在一个有向图中求最短路径的问题。本论文研究的主要目的就是为了详细介绍关于最短路径问题的标号法，及其在实际生活中如何应用。下面我将展开论述。 2最短路径的现状分析及其研究发展方向 2.1现状分析 最短路径问题一直是计算机科学、运筹学、地理信息科学等学科的一个研究热点。国内外大量专家学者对此问题进行了深入研究。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。它们在空间复杂度、时间复杂度、易实现性及应用范围等方面各具特色。针对串行计算机的最短路径算法,已经几乎到达理论上的时间复杂度极限。现在的研究热点,一是针对实际网络特征优化运行结构,在统一时间复杂度的基础上尽可能地提高算法的运行效率;二是对网络特征进行限制,如要求网络中的边具有整数权值等,以便采用基数堆等数据结构设计算法的运行结构;三是采用有损算法,如限制范围搜索、限定方向搜索及限制几何层次递归搜索;四是采用拓扑层次编码路径视图,对最短路径进行部分实例化编码存储;五是采用并行算法,为并行计算服务。 2.2研究发展方向 2.2.1最短路径算法的实时性 目前,静态的最短路径算法已经十分完善。但是,在实践中,网络特征可能时刻会发生变化,要求最短路径算法必须能够实时地自动更新。这类问题主要集中在交通网络的实时导航、通勤、调度和计算机互联网的数据传递路由等方面。在动态最短路径问题中,弧段权值、节点耗费等均为时间t的函数,既可以是连续的,也可以是离散的。在假定网络路径权值服从FIFO原则的一致性假设前提下,任何静态的LS和LC算法均可扩展为时间依赖的最短路径算法。 2.2.2最短路径算法的并行化 随着计算机处理数据量的逐渐增多,传统的串行计算机的负荷也逐渐加重。运行在服务 案例BMZ公司的最大流问题 背景 BMZ 公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商。它因为提供优质的服务而获得很好的声誉，保持这个声誉一个很重要的秘诀就是它有着充裕的汽车配件供应，从而能够随时供货给公司众多的经销商合授权维修店。 这些供应件主要存放在公司的配送中心里，这样一有需求就可以立即送货。卡尔（BMZ 公司的供应链的经理）优先考虑的是改进这些配送 中心的不足之处。 该公司在美国有几个配送中心。但是，离洛杉机中心最近的一个配送中心却坐落离洛杉机1000 多英里的西雅图。保证洛杉机中心良好的供应是尤为重要的。因此，现在那里的供应不断减少的现状成为了公司高层管理真正关心的问题。 大部分的汽车配件以及新车是在该公司坐落于德国的斯图加特的总 厂和新车一起生产的。也就是这家工厂向洛杉机中心供应汽车配件。每月有超过300000 立方英尺的配件需要运到。现在，下个月需要多得多的数量以补充正在减少的库存。 问题 卡尔需要尽快制定一个方案，使得下个月从总厂运送到洛杉机配送中心的供应件尽可能多。他认识到了这是个最大流的问题——一个使得从总厂运送到洛杉机配送中心的配件流最大的问题。因为总厂生产的配件量远远要大于能够运送到配送中心的量，所以，可以运送多少配件的限制条件就是公司配送网络的容量。 这个配送网络如下图1 。在图中，标有ST 和LA 的节点分别代表斯图加特的工厂和洛杉机的配送中心。由于工厂所在地有一个铁路运转点，所以首先通过铁路把配件运输到欧洲的三个港口：鹿特丹（RO ）波尔多（BO ）和里斯本(LI) ；然后通过船运到美国的港口纽约（NY ）或新奥尔良（NO ）；最后用卡车送到洛杉机的配送中心。 图1 网络模型 分类号 密级 编号 2015届本科生毕业论文 题目基于AHP决策分析法和Dijkstra 算法的最短路径 学院资源与环境工程学院 姓名杜玉琪 专业地理科学 学号20111040205 指导教师王荣 提交日期2015年5月8日 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文（设计）作者签名： 指导老师签名： 签名日期: 2013 年 5 月18 日 目录 0 引言 (3) 1 研究区概况 (4) 2.数据来源与研究方法 (4) 2.1数据来源 (4) 2.2研究方法 (5) 2.2.1AHP决策分析方法 (5) 2.2.2Dijkstra算法 (6) 3实例分析 (7) 3.1 基于AHP对3A级景区决策分析 (7) 3.1.1层次结构模型的构造 (7) 3.1.2模型计算过程 (8) 3.1.3结果分析 (10) 3.2基于Dijkstar算法对3A级景点旅游路线的设计 (10) 3.2.1旅游路线模型构造 (10) 3.2.2模型计算与分析 (13) 4结语 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15) 基于AHP决策分析法和Dijkstar算法的最短路径分析 ——以天水市3A级旅游景点为例 杜玉琪 (天水师范学院资源与环境工程学院甘肃天水741000） 摘要：随着西部旅游业的发展，旅游最佳路线的选择变得越来越重要。本文运用AHP决策分析的方法进行综合评价分析天水市众多旅游景点中的麦积石窟、伏羲庙、玉泉观、南郭寺、大象山、武山水帘洞、清水温泉，这7个3A级景点各自的旅游价值。再通过Dijkstar算法，对上述旅游景点的最短旅游路线的选择进行研究，最终为不同要求的游客提供出最佳的旅游路线。 关键字：AHP决策分析；Dijkstar算法；最短路径分析；天水市 Based on the AHP decision analysis method and the analysis of Dijkstar algorithm of the shortest path ——in tianshui 3 a-class tourist attractions as an example Abstract：With the development of the western tourism, tourism optimal route choice is becoming more and more important.This article applies the method of AHP decision analysis on comprehensive evaluation analysis of the numerous tourist attractions tianshui wheat product, yuquan view, nanguo temple grottoes, fu xi temple, the elephant, wushan waterfall cave, water hot springs, the seven aaa scenic spot tourism value. Again through the Dijkstra algorithm, the choice of the tourist attractions of the shortest travel route, finally for different requirements of the best travel route for tourists. Key words: Analytic hierarchy process; Dijkstar; Shortest path; tianshui city 0 引言 随着西部旅游业如火如荼的发展，天水市自驾旅游开始被越来越多的人选择。自驾车旅游者追求以最少的花销走更远的路，看更优美的风景。因此设计出一条多景点间距离最短（或费用，时间最少）的旅游线路是自驾车游客的现实需求[1]。而对于旅游景点的评价及旅游线路的选择问题,是旅游学术界一直关注的课题。众多学者所采用的方法，大体可归纳为主观定性评价和客观定量评价。景点评价方法在我国开展的时间并不长，主要侧重定性描述，较缺乏定量 例题最大流的标号法集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1)首先,给v s 标上(0,) (2)检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,),其中 其它点不符合标号条件。 (3)检查，给为终点的非零流弧的未标号的起点标号(,),其中 其它点不符合标号条件。 (4)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)、(,)其中， 其它点不符合标号条件。 (5)检查，给为起点的未饱和弧的未标号的终点标号(,)其中， 其它点不符合标号条件。 由于已标号，反向搜索可得增广链，在该增广链的前相弧上增加，在后向弧上减去 ，其它弧上的流量不变，则可得一流量的新的可行流如下 图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 ∞+)(2v l 2v 2v 3v 2v -)(3v l 3v 3v 64v v 、4v )(4v l 6v )(6v l 1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 6v 6v t v t v )(t v l t v )},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ),(),,(),,(6632t s v v v v v v 4)(=t v l ),(23v v 4)(=t v l 20)(=f v 例题 最大流的标号法 例2用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ,f ij ）。 . v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,7） v s （4,4） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,5) v 3 (5,1) v 6 解： (1) 首先,给v s 标上(0,∞+) (2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。 (3) 检查2v ，给2v 为终点的非零流弧的未标号的起点3v 标号(2v -,)(3v l ),其中 其它点不符合标号条件。 (4) 检查3v ，给3v 为起点的未饱和弧的未标号的终点64v v 、标号(4v ,)(4v l )、(6v ,)(6v l )其中，1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l 其它点不符合标号条件。 (5) 检查6v ，给6v 为起点的未饱和弧的未标号的终点t v 标号(t v ,)(t v l )其中， 其它点不符合标号条件。 由于t v 已标号，反向搜索可得增广链)},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ，在该增广链的前相弧),(),,(),,(6632t s v v v v v v 上增加4)(=t v l ，在后向弧),(23v v 上减去4)(=t v l ，其它弧上的流量不变，则可得一流量20)(=f v 的新的可行流如下图。 v 2 （5,5） v 5 （6,6） (2,2) （12,7） （15,11） v s （4,0） (4,4) v t (5,4) v 4 (4,4) （9,9) (10,9) v 3 (5,5) v 6 重新开始标号： (6) 首先,给v s 标上(0,∞+) (7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号(v s ,)(2v l ),其中 其它点不符合标号条件。 下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”，其基本思路为：把各条弧上单位流量的费用看成某种长度，用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路；再将这条最短路作为可扩充路，用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值；而这条最短路上的流量增加后，其上各条弧的单位流量的费用要重新确定，如此多次迭代，最终得到最小费用最大流。本源码由GreenSim团队原创，转载请注明 function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t) %%MinimumCostFlow.m %最小费用最大流算法通用Matlab函数 %% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法 % GreenSim团队原创作品，转载请注明 %% 输入参数列表 %a单位流量的费用矩阵 %c链路容量矩阵 %V最大流的预设值，可为无穷大 %s源节点 %t目的节点 %% 输出参数列表 %f链路流量矩阵 %MinCost最小费用 %MaxFlow最大流量 %% 第一步：初始化 N=size(a,1);%节点数目 f=zeros(N,N);%流量矩阵，初始时为零流 MaxFlow=sum(f(s,:));%最大流量，初始时也为零 flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住 for i=1:N for j=1:N if i~=j&&c(i,j)~=0 flag(i,j)=1;%前向边标记 flag(j,i)=-1;%反向边标记 end if a(i,j)==inf a(i,j)=BV; w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性，以一个有限大数取代无穷大 end end end if L(end) 数据通信与计算机网络大作业 Dijkstra 最 短 路 径 算 法 【摘要】 摘要:最短路径分析在地理信息系统、计算机网络路由等方面发挥了重要的作用, 对其进行优化很有必要。本文分析了传统 的最短路径算法(即Dijkstra 算法)的优化途径及现有的优化算法, 然后在Dijkstra 算法的基础上, 采用配对堆结构来实现路 径计算过程中优先级队列的一系列操作, 经理论分析与实验测试结果对比, 可以大大提高该算法的效率和性能。 【关键词】 最短路径; Dijkstra 算法; 【正文】 随着计算机网络技术和地理信息科学的发展, 最短路径问题无论是在交通运输, 还是在城市规划、物流管理、网络通讯等方面, 它都发挥了重要的作用。因此, 对它的研究不但具有重要的理论价值, 而且具有重要的应用价值。研究最短路径问题通常将它们抽象为图论意义下的网络问题, 问题的核心就变成了网络图中的最短路径问题。此时的最短路径不单指“纯距离”意义上的最短路径, 它可以是“经济距离”意义上的最短路径, “时间”意义上的最短路径, “网络”意义上的最短路径。关于最短路径问题, 目前所公认的最好的求解方法, 是由F.W.Dijkstra 提出的标号法, 即Dijkstra 算法。 1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是求最短路径的最基本和使用最广泛的算法。在求从网络中的某一节点(源点)到其余各节点的最短路径时, 经典Dijkstra 算法将网络中的节点分成三部分: 未标记节点、临时标记节点和最短路径节点(永久标记节点)。算法开始时源点初始化为最短路径节点, 其余为未标记节点, 算法执行过程中, 每次从最短路径节点往相邻节点扩展, 非最短路径节点的相邻节点修改为临时标记节点, 判断权值是否更新后, 在所有临时标记节点中提取权值最小的节点, 修改为最短路径节点后作为下一次的扩展源, 再重复前面的步骤, 当所有节点都做过扩展源后算法结束。具体算法描述如下: 设在一非负权简单连通无向图G= 从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法 福建师大附中江鹏 1. 引论 A. 对网络流算法的认识 网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，模型更加复杂，编程复杂度也更高，但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的，看似NP的问题。 B. 具体问题的应用 网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。这没用现成的模式可以套用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。 2. 例题分析 【问题1】项目发展规划（Develop） Macrosoft?公司准备制定一份未来的发展规划。公司各部门提出的发展项目汇总成了一张规划表，该表包含了许多项目。对于每个项目，规划表中都给出了它所需的投资或预计的盈利。由于某些项目的实施必须依赖于其它项目的开发成果，所以如果要实施这个项目的话，它所依赖的项目也是必不可少的。现在请你担任Macrosoft?公司的总裁，从这些项目中挑选出一部分，使你的公司获得最大的净利润。 ●输入 输入文件包括项目的数量N，每个项目的预算Ci和它所依赖的项目集合Pi。格式如下：第1行是N； 接下来的第i行每行表示第i个项目的信息。每行的第一个数是Ci，正数表示盈利，负数表示投资。剩下的数是项目i所依赖的项目的编号。 每行相邻的两个数之间用一个或多个空格隔开。 ●输出 第1行是公司的最大净利润。接着是获得最大净利润的项目选择方案。若有多个方案，则输出挑选项目最少的一个方案。每行一个数，表示选择的项目的编号，所有项目按从小到大的顺序输出。 ●数据限制 0≤Ｎ≤1000 -1000000≤Ci≤1000000 ●输入输出范例 关于最小费用最大流的解题 这是课本235页的一道习题 题目是：求如下图中网络的最小费用最大流。弧旁数字（Cij,Rij）。 根据之前的例题14 解题过程如下： （1）构造一个对偶网络，按狄克斯屈标号法找到最短路，得到相应的增广链，调整; （2）再次构造一个对偶网络，如下图。在书中曾提到在含负权的的网络中不能运用狄克斯屈标号法，只能用距离矩阵摹乘法。 可是距离矩阵摹乘法做起来确实是比较复杂，因此我在研究已经做过的几个题中发现，我们在计算最小费用最大流的时候，可以用如下方法来解该题。 解: 从S点出发，有三条路，分别到1和2，由于标号为-1的路是反向的，排除。因此，我们选标号比较小的S—1这条路……依次类推，得到一条最短路:S—1—2 —4—3—T。再按之前的解题思路解题。 再得到S—2—4—3—T； 不存在从S到T的最短路，故最大流为f(X*)=4+1=5，c（X′）=3×1+4×2+1×2+2×5+1×4+3×3+1×1=37； （3）重复上面的动作； （4）得到最小费用最大流。 我不喜欢复杂的做题的方法，因此，在做这个题的时候，由于之前提到过的狄克斯屈标号法不能用于含负权的网络图中，所以必须用到距离矩阵摹乘法，而距离矩阵摹乘法确实是很麻烦，又得画表，又得计算。所以，我通过书上的图列推出这样来做这个题。虽然并不一定这种做法是不是对的（我目前只在几个题目 中运用，结果是对的），但我相信这样一个方向是对的，以前的运筹学方法也是前辈们研究出来的。 另外，我还在维普中文网上看到了一篇题为《含负权最短路问题的一个改进标号法》的论文，载要：在不出现负回路的情况下，给出了在赋权的网络图中求两点之间的最短路问题的一个改进标号法，该方法对于网络图中出现负权的情况也有效。最后给出了该算法的数值实验结果。 这篇文章中，提到了对狄克斯屈标号法的在负权网络不能运用的缺陷的改进。 这让我体会到了运筹学学习当中的另一个重要方面：我们不能拘泥于课本上一层不变的解题方法，应多了解运筹学发展的最新动态，掌握有关运筹学的最新知识。通过对其的研究，从而找到更好的方法来解决相关的问题。 这是我在这次作业当中，所获得的心得体会。实验三：使用matlab求解最小费用最大流算问题
最大流的增广路算法(KM算法).
例题最大流的标号法
算法分析与设计(最大流问题)
实验四-图的最短路径(弗洛伊德算法实现)
例题最大流的标号法
图论算法 最大流算法和最大匹配算法
最大和最小费用流问题模型
最短路径问题
运筹学-最大流- 案例
最短路径分析
例题最大流的标号法
例题最大流的标号法
最小费用最大流问题matlab程序
dijkstra最短路径算法
从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法
关于最小费用最大流的解题
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