1、（本题满分7分）
如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．
求证：（1）CG AE =；
（2）.MN CN DN AN ?=?
2、(本题满分7分)
如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．
（1）求四边形CEFB 的面积；
（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若
15=∠BEC ，求AC 的长．
3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC
(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边A D C D 、上的点，
1
4
A E E D
D F D C ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ．
（1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长．
A E D F
B
C 图（4）
5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从
点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中
一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长；
（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；
（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分）
一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）
B
图（5）
图１
Ｅ G Ｂ
A
C
F D
Ｃ
D F 图２
第6题图
7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF=2OA ，OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）． （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； （2）当α=30°时，求证：△AOE1为直角三角形．
8、（本题满分12分）
将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′= °．
图1 图2
C'A'B A D C
A
B
C
D
B
C
D A (A')C'
问题探究
如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸
如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数
量关系，并说明理由.
图4
M
N
G
F
E
C
B
A
H
图3
A
B C
E
F
G
P
Q
9.（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将
你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
（1）、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；
（2）、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？
若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。
参考答案
1、 证明：（1） 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形
,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=
,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△， 3分
AE CG ∴= 4分
（2）由（1）得 ，又CND ANM DCG DAE CDG ADE ∠=∠∠=∠∴???,, ∴?AMN ∽?CDN
AN MN
AN DN CN MN CN DN
∴
=?=?，即
2、解：（1）由平移的性质得
//3EFA BAF ABC AF BC AF BC EFA ABC AFBC S S S ???=∴∴===且，△≌△，四边形为平行四边形，，
9EFBC ∴四边形的面积为． ·········································································· 3分
（2）AF BE ⊥．证明如下：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形
////BF AC BF AC AE CA BF AE BF AE EFBA AB AC AB AE ∴==∴=∴=∴=且，又，且，四边形为平行四边形又已知，，
EFBA BE AF ∴∴⊥平行四边形为菱形，·························································· 5分
分为正数且则设中在，，，，于作7......................32,3,,3,22
1
21,
3,2,.2,,3021515)3(22=∴=∴=∴=??=?=
=====?∴=∠=∠∴=∠=∠∴==∠⊥??AC x x x x x x BD AC S S x AB AC x BD BD AB BAD Rt BEC BAC BEC EBA AB AE BEC D AC BD ABC ABC 3、（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC AB ∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥
BC CD=AB=4
又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD 在Rt △ADE 中，DE=63)33(2222=+=+AE AD
∵△ADF ∽△DEC ∴
CD AF DE AD = ∴4
633AF
= AF=32 4、
（1）证明：ABCD 为正方形，
90AD AB DC BC A D ∴===∠=∠=，°． 1分
1
2AE AE ED AB =∴= ，． 3分
又11
42DF DF DC DE =∴= ，． AE DF ABE DEF AB DE ∴=∴．△∽△． 5分 （2）解：ABCD 为正方形，
ED DF
ED BG CG CF ∴∴=∥．． 7分
又1
4
DF DC = ，正方形的边长为4．
26ED CG ∴==，． 9分 10BG BC CG =+=．
5．解：（1）作CE AB ⊥于点E ，如图（3）所示，则四边形AECD 为矩形． 46AE CD CE DA ∴====，． ························· 1分
又3
3
44
CE i EB ∴=∴=∶，． 812EB AB ∴==，． ······································· 2分 在Rt CEB △
中，由勾股定理得：10BC =． ··································································· 3分
（2）假设PC 与BQ 相互平分． 由DC AB ∥，
则PBCQ 是平行四边形（此时Q 在CD 上）． 4分
图（3）
A
B
即310122CQ BP t t =∴-=-，．
5分 解得225t =
，即22
5
t =秒时，PC 与BQ 相互平分． 7分 （3）①当Q 在BC 上，即10
03
t ≤≤时，
作QF AB ⊥于F ，则CE QF ∥．
QF BQ CE BC ∴
=，即396105
QF t t
QF =∴=．． 8分 119(122)225
PBQ t
S PB QF t ∴==-△··
=2
981(3)55
t --+． 9分
当3t =秒时，PBQ S ∴△有最大值为2
815
厘米． 10分
②当Q 在CD 上，即1014
33
t ≤≤时， 11
(122)622
PBQ S PB CE t ∴==-?△·
=366t -． 11分 易知S 随t 的增大而减小．
故当103t =秒时，PBQ S ∴△有最大值为2
10366163
-?=厘米．
29541055381165101463633t t t y t t ???
+< ???
??>=?
???-+ ?????
，0≤，．≤≤ 综上，当3t =时，PBQ S △有最大值为281
5
厘米． 12分 6、（本题满分9分）
解：由 1.5AB =m ， 1.5ABC S =△m 2，可得2BC =m ． 由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为x m ， 由DE AB ∥，得CDE CBA Rt △∽Rt △， 21.52
x B C x x x A B B C --∴==，即， 36
3 1.52 3.57
x x x ∴-===，m ． 4分
由图2，过点B 作ABC Rt △斜边AC 上的高 BH 交DE 于P ，交AC 于H ．
由 1.5AB =m ，BC =2m ，
得 2.5AC =
=（m ）
． 图１
Ｃ
ＢD
F
由AC BH AB BC = 可得， 1.52
1.2
2.5
AB BC BH AC ?=
== m ． ··················· 6分 设乙设计的桌面的边长为y m ，
D E A C ∥，BDE BAC ∴Rt △∽Rt △，
B P D E B H A
C ∴
= 即1.21.2 2.5
y y -=，解得30
37y =m ．
2263030
73537x y =>> ，，
∴甲同学设计的方案较好
7、答案：（1）用边角边证明△AOE ’和△BOF ’全等，即可证得AE ’=BF ’
(2)取OE ’的中点G,得到等边△AOG ，等到∠AGO=60°，又由AG=E ’G 得到∠AE ’O ＝30°，从而得到∠OAE ’是90°，即为直角三角形。
8.解：情境观察 AD （或A′D ），90 问题探究 结论：EP =FQ .
证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB =AE ，∠BAE =90°. ∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP .
∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EP A =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △EAP . ∴AG =EP .
同理AG =FQ . ∴EP =FQ .
拓展延伸 结论： HE =HF .
理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q . ∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE =90°，
∴∠BAG +∠EAP =90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP .
∵∠AGB =∠EP A =90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴AG EP = AB EA
.
同理△ACG ∽△F AQ ，∴AG FP = AC
F A .
∵AB =
k AE ，AC =k AF ，∴AB EA = AC F A =
k ，∴AG EP = AG
FP
. ∴EP =FQ .
Ｅ
G Ｂ
A
C
F D
图２
H
P
y
9．解：①结论：能．
设AP=xcm，则PD=(10-x)cm．
因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP．
所以△ABP∽△DPC．
则AB/PD=AP/DC，即AB·DC=PD·AP．所以4×4=X(10-X)，
即 x2-10x+16=0．
解得 x1=2，x2=8．
所以AP=2cm或8 cm．
②结论：能．
设AP=Xcm，CQ=y cm．
由于ABCD是矩形，∠HPF=90°，
所以△BAP∽△ECQ，
△BAP∽△PDQ
所以AP·CE=AB·CO，AP·PD=AB·DQ，所以2x=4y，即y=x/2，①
x(10-x)=4(4+y)．②
消去y，得x2-8x+16=0，
解得x1=x2=4，即AP=4cm．
一、选择题（每小题6分，共48分）
1．在△ABC 中，D 、F 是AB 上的点，E 、H 是AC 上的点，直线DE//FH//BC ，且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC 的长为（ ） A ．15
B ．10
C.
62
15
D ．
153
2
2．在△ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，交AC 于E ，且S △ADE ：S 四边形DBCE =1：2，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为（ ）
A ．1：2
B ．1：)12(-
C ．1：)13(-
D ．)13(-：3
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高，AC=5，BC=8，则S △ACD ：S △CBD
为（ ） A ．
8
5 B ．
64
25 C ．
39
25 D ．
89
25 4．如图1—5—1，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，
△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是（ ）
A.
29
，16 B. 9，4 C. 2
9，8
D.
4
9
，16
5．如图1—5—2，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：
（1）∠B+∠DAC=90°； （2）∠B=∠DAC ； （3）
AB
AC
AD CD =； （4）AB 2=BD ·BC 。
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ） A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6．如图1—5—3，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
3
1
AC AD =，AE=BE ，则有（ ） A. △AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD
D ．△BAD ∽△BCD
7．如图1—5—4，PQ//RS//AC ，RS=6，PQ=9，SC 3
1
QC =，则AB 等于（ ）
A. 4
15
B. 4
36
C. 2
17
D. 5
8．如图1—5—5，平行四边形ABCD 中，O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点，连接AO 1，并延长交BC 于E ，连接EO 2，并延长交AD 于F ，则FD
AD
等于（ ）
A ．3：1
B ．3：1
C ．3：2
D. 7：3
9．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ）
A ．等腰三角形 B. 任意三角形 C ．直角三角形
D ．直角三角形或等腰三角形
10．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ： AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（ ） A ．相似，但不全等 B ．全等
C ．一定相似
D ．无法判断是否相似
11．如图1—6—1，正方形ABCD 中，E 是AB 上的任一点，作EF ⊥BD 于
F ，则
BE
EF
为（ ） A ．2
2
B ．21
C ．
3
6
D ．2
12．如图1—6—2，把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置，它们的
重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若2AB =
，
则此三角形移动的距离AA'是（ ）
A ．12-
B ．
2
2
C ．1 D
2
1
13．如图1—6—3，在四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，
AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）
A ．24
B ．34
C ．4
D ．6
14．如图1—6—4，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6
对
15．在直角三角形中，斜边上的高为6cm ，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）
A.
2
6
5cm B ．64cm C ．65cm
D ．
32
5
cm
16．AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，作DE ⊥AC 于E ，
45AC AB =，则EA
CE
=（ ） A ．
25
16 B ．
5
4 C ．
4
5
D ．16
25
17．如图1—6—5，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，已
知AB=m ，BC=n ，求CD 的长。甲同学求得CD=m －n ，乙同学求得m
n CD 2
=,
下列判断正确的是（ ） A ．甲、乙都正确 B ．甲正确、乙不正确 C ．甲不正确、乙正确
D ．甲、乙都不正确
18．如图1—6—6，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有（ ）
A ．1个
B ．2个
C. 3个
D ．4个
二、填空题（每小题4分，共16分）
20．如图1—5—6，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，
则BC=_______________。
21．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是____________________。
22．在△ABC 中，BD ，CE 分别为AC 、AB 边上的中线，M 、N 分别是BD ，
CE 的中点，则MN ：BC=_______________________。
23．在△ABC 中，DE//BC ，D 、E 分别在AB 、AC 边上，若AD=1，DB=2，那么
DE
BC
DE +=_______________________。
24．平行于△ABC 的边AB 的直线交CA 于E ，交CB 于F ，若直线EF 把△ABC 分成面积相等的两部分，则CE ：CA=__________________。
25．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x=________________________。
26．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC=∠ADC ，AC=8，BC=16，则CD=_______________________。
三、计算题（本大题共86分） 27．如图1—5—7，△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，以AB 为边向外作正方形ABDE ，连接EC 交AB 于P 点，过P 作PQ//BC 交AC 于点Q 。证明PQ=PB 。
28．如图1—5—8，已知DE//AB ，EF//BC 。求证：△DEF ∽△ABC 。
29．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，S 2△BCD =S △ABC ·S
△ADC 。
求证：BD=AC 。
30．如图1—5—9，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在AD 上取一点F ，使
21FD AF =，连接FE 交CB 的延长线于H ，交AC 于G ，求证AC 5
1
AG =。
34．如图1—5—10，已知AD 是△ABC 的中线，过△ABC 的顶点C 任作一直线分别交AB 、AD 于点F 和点E ，证明：AE ·FB=2AF ·ED 。
32．如图1—5—11，在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c 。点P 是AB 上一个动点（P 与A 、B 不重合）。连接PC ，过P 作PQ//AC 交BC 于Q 点。
33．如图1—6—7，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BE=AB,且AE 与BD 交于F 点，求证：
AF
EF
BC AB 。
34．如图1—6—8，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD ，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。
35．如图1—6—9，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证DF2=FG·FH。
36．如图1—6—10，AP是△ABC的高，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，（1）设DG=x，S矩形DEFG=y，试用a、h、x表示y；（2）按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于△ABC 的面积？
选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试
【试题答案】
一、选择题（每小题6分，共60分） 1. A 2. D 3. B 4. A 解析：如图D —1—24所示，
∵D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点 ∴BC 2
1
//EF ，∴ABC AEF ?~?
且
2
1
BC EF = ∴
9l ,2
1
BC EF l l ABC ABC DEF ===???
∴2
9l DEF =
?
又4S ,4
1BC EF S S DEF 2
2ABC DEF ===??? ∴16S ABC =? 故16S ,2
9
l ABC DEF ==??
∴选A
5. A
解析：验证法：（1）不能判定△ABC 为直角三角形 ∵∠B+∠DAC=90°，而∠B+∠DAB=90°， ∴∠BAD=∠DAC
同理∠B=∠C ，不能判定∠BAD+∠DAC 等于90°；
（2）中∠B=∠DAC ，∠C 为公共角，∴△ABC ∽△DAC 。 ∵△DAC 为直角三角形， ∴△ABC 为直角三角形；
在（3）中，
AB
AC
AD CD =可得△ACD ∽△BAD ， ∴∠BAD=∠C ，∠B=∠DAC ，
∴∠BAD+∠DAC=90°； （4）中AB 2=BD ·BC ，即
BC
AB
AB BD =，∠B 为公共角， ∴△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形。 ∴正确命题有3个 选A 。 6. B
解析：直接法。注意到∠A=∠C=60°
可设AD=a ，则AC=3a ，而AB=AC=BC=3a
所以AE=BE=
a 2
3， 所以3
2a 2
3a AE AD ==。
又
32
a 3a 2BC CD ==， 所以CB
CD
AE AD =，∠A=∠C=60°， 故△AED ∽△CBD ，选B 。 7. A 8. B 9. D 10. D 11. A 12. C
13. C 解析：由∠B=∠D=90°，于是设想构造直角三角形，
延长BA 与CD ，它们的延长线交于E ，则得到Rt △BCE 和Rt △ADE 由题目条件知，△ADE 为等腰直角三角形， ∴DE=AD=2， ∴S △ADE =
2
1
×2×2=2. 又可证Rt △EBC ∽Rt △EDA ，
4
S S S S 3S 3232AD BC S S ADE EBC ABCD EDA
EBC 2
2
EDA EBC =-=∴=∴=???
? ??=??? ??=∴??????四边形 选C
14. D
解析：由AB//CD ，可得△CGF ∽△BGA ，△ABE ∽△FDE 又由AD//BC ，
可得△CGF ∽△DAF ，△AED ∽△GEB
还可得△DAF ∽△BGA ，△ABD ∽△CDB ，故共有6对。 15. A 16. A 17. A 18. C
解析：直接法。假设有一点P ，连接PD 、PC 设AP=x ，则PB=7－x
图D —1—26
（1）若△PAD ∽△PBC ，则BC PB AD PA =，即3
x
72x -= 得75
14
x <=
符合条件。
（2）若△PAD ∽△CBP ，
即
06x 7x ,x
732x 2=+--=， 解得6x ,1x 21==也符合条件 故满足条件的点P 有3个。
二、填空题（每小题4分，16分） 19.
5
3 解析：设三边长a －d ，a ，a+d （d>0）， 则（a+d ）2=a 2+（a －d ）2，∴a=4d ． ∴三边之比为3：4：5． 20. 8 21. 48 22. 1：
4 23. 4
24.
2
2
25. 2
解析：△ACD ∽△ABC ，△CBD ∽△ABC 26. 4
解析：由△BAC ∽△ADC 可知
CD
AC
AC BC = 三、解答题（本大题共74分）
27. 证明：∵PQ//BC ，BC//AE ，∴PQ//AE ∴∠CPQ=∠CEA ，∠CQP=∠CAE ． ∴△CPQ ∽△CEA ．
∴
CE
CP
EA PQ = 同理可得CE CP ED PB =，ED
PB
AE PQ =
【最新整理，下载后即可编辑】 第一讲 相似三角形 1、已知432z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若55432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长 为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若 13=DB AD ,则 =OH AO
7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证： PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿 AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若 四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
相似三角形分类提高训练 令狐文艳 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的 面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q 从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从 点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出 发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
(3题图）E D C B A D B C A N M O 相似三角形练习题 1、如图1，当四边形PABN 的周长最小时，a = ． 2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ） A ．只有1个 B ．可以有2个 C ．有2个以上但有限 D ．有无数个 3、如图3，等腰ABC ?中，底边BC=a ,A ∠=0 36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设k = DE=( ) A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 a k 4、如图4，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接 OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 5、如图5将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB =30°，∠B =90°，AB =1，则B′点的坐标为( ) A ．3)22 B ．3(22 C ．1(22 D ．1)22 x （1题图） 图 4 图 5
F E D C B A E F A D C B 6、如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与AB C △相似的是（ ） 7、如图7，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥， 若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为 A ． 1 C. 2.5 D. 2.3 (7题图) 8、如图8，在ABC △中，AB AC =，点E F 、分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE CF D =，为BF 的中点，AE AF :的值为___________. 9、如图9，已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD=BC 取AB 的中点F,连接FD 交AC 于点E 。 （1）求AE AC 的值；（2）若AB=a ，FB=EC ，求AC 的长。
九年级培优试题(五） 一．选择题： 1.下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A.a=4,b=6,c=5,d=10 B 、a=3,b=9,c=5,d=12 C 、a=2,b=2,c=6,d=3 D 、a=2,b=3,c=4,d=5 2.如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ．AD BC DF CE = B ．B C DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是 （ ） （A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9 ︰4． 4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 6.等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、23:21 D 、1：3 7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 . 8（2013?牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ， CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点， 连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ） A,1个 B.2个 C.3个 D.4 9如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（ ） A 、 AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC = 10.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（） D B C A N M O B C A D E
相似三角形培优题 1、如图,在正方形ABCD 中，点P 是ＡＢ上一动点(不与A,B 重合),对角线AC ，ＢD 相交于点O,过点Ｐ分别作A Ｃ，BD 的垂线，分别交AC,BD 于点E ，F ，交ＡＤ,BC 于点M,Ｎ.下列结论: ①△A ＰE ≌△AM Ｅ；②PM+ＰＮ=AC ；③PE 2+PF ２ =PO 2;④△POF ∽△BN Ｆ；⑤当△PMN ∽△A ＭP 时,点P 是A Ｂ的中点. 其中正确的结论有( ）A ．5 Ｂ.４ C ．３ Ｄ.2 2、如图，Rt △AB Ｃ中，∠A ＣB=90°，∠ＡB Ｃ=60°,BC=2ｃm ，D 为BC 的中点，若动点Ｅ以１c ｍ/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →Ａ的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t<6),连接D Ｅ，当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ） 3、如图，△ABC 中，ＤE ∥BC ，DE=１,AD=２,DB ＝３，则BC 的长是（ ) 4、如图，在?ABC Ｄ中,E 为ＣＤ上一点，连接A Ｅ、ＢD ，且AE 、BD 交于点Ｆ，S △DEF ：Ｓ△ABF =4:25,则D Ｅ:EC ＝( ） A ． 2:5 Ｂ． 2：3 C . 3:5 Ｄ． 3：2 5、如图，在平行四边形A ＢCD 中,AB=6,AD=９，∠BAD 的平分线交ＢＣ于E ，交ＤC 的延长线于F ，B Ｇ⊥AE 于G ，ＢG=,则△EFC 的周长为( ） A ． 1１ B ． 10 C ． 9 Ｄ． ８ 6、如图,在?ABCD 中，Ｅ在AB 上，CE 、ＢD 交于F ，若AE:BE=4:3,且BF ＝2，则DF= .. 7、如图,DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使E Ｆ=DE ，连接CF,则S △ＣＥF ：S 四边形BCED 的值为( ) A . 1:3 B ． 2:3 C ． １：4 D ． ２:5 8、如图,D 是△ABC 的边BC 上一点,已知ＡB=4,A Ｄ=２.∠ＤAC=∠B,若△ＡBD 的面积为ａ,则△ＡCD 的面积为( ) Ａ．a ? B. ? C. D ． 9、如图，边长为６的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S ２的值为( ）A ．16 B ．1７?C ．18?D ．19 １0如图,在△ABC 中,ＡB ＝ＡC=a ，BC=ｂ（a ＞ｂ).在△ABC 内依次作∠ＣBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠E ＤＦ=∠DC Ｅ．则E Ｆ等于（ ) １1、如图,点A ，Ｂ,C ，D 的坐标分别是(1，7）,（1,１），(4，1),（6,1）,以C,D,Ｅ为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ) A ． (6，0） B ． （6，3) C . （6，５） D ． （4,２) 1２、如图,正方形ＡB ＣD 是一块绿化带,其中 阴影部分EO ＦＢ,GHM Ｎ都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为（ ） A . B ． 12 C ． D ． １3、如图所示,在平行四边形ABCD 中,ＡＣ与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交ＤＣ于点F,则ＤＦ：F Ｃ＝（ ） A.２ B ． ２.5或３．5 C. 3．5或4.５ D ． ２或3．5或４.５ A ． B ． C . D ．
1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长. 4、如图（4），在正方形ABCD 中，E F 、分别是边 AD CD 、上的点，1 4AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） 7、如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OE=2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E1OF1（如图2）． （1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； A E D F B C 图（4） C B Q P 图（5） Ｅ Ｂ D Ｃ E
相似三角形求值问题难点突破 题一：（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（） A．B．C．﹣1 D．+1 题二：（2012年四川省德阳市）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点 P、E在直线AB的同侧），如果AB BD 4 1 ，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（） A. 4 1 B. 5 3 C. 5 1 D. 4 3 P G F E D C B A 题三：如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF． 题四：如图所示．△ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的长． 题五：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）
A B E F D C A. 2 B. 32 C. 512+ D. 512 - 题六：（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF ，求CD CG 的值. （1）尝试探究 在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CD CG 的值是 （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 )0( m m EF AF =则CD CG 的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程. （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若 ,(0,0)AB BC a b a b CD BE ==>>，则AF EF 的值是（用含,a b 的代数式表示）. 题七：（2010 武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点． （1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求 PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4 1时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．
相似三角形的培优试题 一、填空题： 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4、Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’, ∠C=∠C ’=90°,若AB=3，BC=2，A ’B ’=6, 则B ’C ’=__________, A ’C ’=______________ 5、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’, AB =6, BC=8,B ’C ’=4,则当A ’B ’=______时， △ABC ∽△A ’B ’C ’，当A ’B ’=________时，△ABC ∽△C ’ B ’ A ’ 6、如图；在△ABC 中，DE 不平行BC,当_____=AE AB 时，△ABC ∽△AED ，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=___________ 7、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AF=4，EF ⊥AC 交AB 于E ，CD ⊥AB ，垂足D ，若CD=6，EF=3，则ED=________,BC=_________,AB=_______ 8、如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连AD 、AE ，若∠BAB=20°， AE AC DE BC AD AB ==， 则∠EAC=_________ 9、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=3.6，则BC=____ 10、已知；CA ⊥DB ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC=3，FC=1， 则AC=_______ 二、选择题； 11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------（ ） A 、任意两个等腰三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 12、如图；∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD ，那么下列结论正确是------（ ） A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODA C 、△BAC ∽△BDA D 、以上结论都不对 第8题第7题第10题D
相似三角形练习题 一、填空题： 1. 如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（ ） A ． AD BC DF CE = B ． BC DF CE AD = C ．CD BC EF BE = D ．CD AD EF AF = 2、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。 3、已知6 53z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。 4、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。 5、（2008，上海）如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，?AE?交BD 于点F ，如果BE BC =2 3 ，那么 BF FD =______． 6、已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______． 10题 11题 12题 7、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 二、选择题： 1、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ） A 、1:3 B 、2:3 C 、2 3:21 D 、1：3 2、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ） A 、27 B 、12 C 、18 D 、20 3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） A .
文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 第一讲 相似三角形 1、已知 4 32z y x ==，且1032=+-z y x ，则z y x ++= 。 2、已知△ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°，求AB:BC 的值。 3、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10， 23==BQ AQ BP AP ,求线段PQ 的长。 4、若5 5432+==+c b a ，且2132=+-c b a ，试求a:b:c 。 5、△ABC 为等边三角形，点E 在BA 的延长线上，点D 在BC 边上，且ED=EC 。若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD 的长为 。 6、点D,E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，点G 在边BC 上，AG 交DE 于点H ，点O 是线段AG 的中点，若13=DB AD ,则=OH AO 7、在正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长交BC 的 延长线于点E ，连接DE ，取DE 的中点Q ，连接PQ ，求证：PQ=PC. 8、四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，相似比为2:3，四边形 A 1 B 1 C 1 D 1与四边形A 2B 2C 2D 2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD 与 四边形A 2B 2C 2D 2相似且相似比为 。 9、已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 处。若四边形EFDC 与矩形ABCD 相 似，则AD= 10、已知∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE 11、点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形 （1）当AC,CD,DB 满足什么关系时，△ACP 与△PDB 相似？ （2）当△ACP 与△PDB 相似时，求∠APB 的度数。 12、在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°， 点E 为AB 的中点 （1）求证:AD AB AC ?=2 （2）求证：CE ∥AD （3）若AD=4，AB=6，求AF AC 的值。 13、在△ABC 中，3 231==ED AE CD BD ，,试求FC AF 的值。 14、一条直线与△ABC 的三边BC ，CA ，AB （或其延长线）分别交 于 点D ，E ，F 求证：1=??FB AF EA CE DC BD 15、在△ABC 中，三条角平分线交于点O ，过点O 作BO 的垂线， 分别交AB ，BC 于M ，N 两点 求证：△AMO ∽△AOC ∽△ONC
相似三角形培优题 1、如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论： ①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2； ④△POF ∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点． 其中正确的结论有（ ）A.5 B.4 C.3 D.2 2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ） 3、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE=1，AD=2，DB=3，则BC 的长是（ ） 4、如图，在?ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ） A ． 2：5 B ． 2：3 C ． 3：5 D ． 3：2 5、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G ，BG=，则△EFC 的周长为（ ） A ． 11 B ． 10 C ． 9 D ． 8 6、如图，在?ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= .. 7、如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则S △CEF ：S 四边形BCED 的值为（ ） A ． 1：3 B ． 2：3 C ． 1：4 D ． 2：5 8、如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ） A ．a B ． C ． D ． 9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 10如图，在△ABC 中，AB=AC=a ，BC=b （a ＞b ）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A ，∠DCE=∠CBD ，∠EDF=∠DCE ．则EF 等于（ ） 11、如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ） A ． （6，0） B ． （6，3） C ． （6，5） D ． （4，2） 12、如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB ，GHMN 都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ） A ． B ． 12 C ． D ． 13、如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ） 14.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 A ．2 B ． 2.5或3.5 C ． 3.5或 4.5 D ． 2或3.5或4.5 A ． B ． C ． D ．
相似三角形判定提高 相似三角形中几个基本图形 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若∥∥，则 定理2 平行于三角形一边的直线截得的对应线段成比例或截得的三角形与原三角形形似. 如图，若∥,则,还有： . 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若∥,则 定理4（角平分线性质定理）如图，分别是 的内角平分线与外角平分线， 则.
定理5 射影定理 直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角 形与原三角形相似. 练习1．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ． 3、如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18 4、如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点 E，若AC=8，BC=6，AE=4，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5、如图，△中，、分别为、边上的点，∥，为边上的中线，若 =5，=3，=4，则的长为（ ） A. B. C. D. 6、（2011?河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中 点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（ ） A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm 7．（2013?雅安）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= . 8．2013年河北）如图4， 菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，
相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC 交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； （2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值． 2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速 度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出 发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设 移动的时间为t秒． （1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值． 3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB 上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD， 垂足为N．
（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC； （2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似 4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出 发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC （2）△APQ与△CQB能否相似若能，求出AP的长；若不能说明理由． 5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始 向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。 （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形 （2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的 夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
2019年江苏中考相似三角形培优汇编 1.（2019扬州）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 解：∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC ∴ CB CD AB E D 111= BC BD AC F D 1 1= ∵AB=5 AC=4 ∴ CB CD E D 1115= BC BD F D 1 14= ∴ 14511111==+=+BC BC BC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20 有2019组，即2019×20=40380 2.（2019扬州）如图，平面内的两条直线l 1、l 2,点A 、B 在直线l 2上，过点A 、B 两点分别作直线l 1的垂线，垂足分别为A 1、B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，l 2）,特别地，线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C 请依据上述定义解决如下问题 （1）如图1，在锐角△ABC 中，AB=5，T （AC ，AB ）=3，则T （BC ，AB ）= ； （2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，求△ABC 的面积； （3）如图3，在钝角△ABC 中，∠A=60°，点D 在AB 边上，∠ACD=90°， T （AB ，AC ）=2，T （BC ，AB ）=6，求T （BC ，CD ）.
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥ AB于D． 求证：(1) △ ACD ∽△ ABC； 2 (2)AC2＝AD?AB； 2 (3)CD 2＝AD ?DB ． 证明：(1)∵∠ ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ CDA＝90°＝∠ ACB，∵∠A＝∠A， ∴△ ACD ∽△ ABC. (2)∵△ ACD ∽△ ABC， ∴AC AD ， AB AC ， 2 ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ ADC ＝∠ BDC ＝90°， ∴∠ A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠ A+∠B＝90° ∴∠ ACD＝∠B ∴△ ACD ∽△ BCD， ∴CD AD ， ∴BD CD ， 2 ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D 在线段AB上，△PCD 是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：(1)△ACP ∽△ PDB， 2 (2)CD 2＝AC ?BD ． 证明：(1)∵△ PCD 是等边三角形，∴∠ PCD ＝∠ PDC ＝∠ CPD ＝60°，∴∠ ACP＝∠PDB ＝120°，∵∠ APB＝120°， ∴∠ APC+∠BPD＝60°， ∵∠ CAP+∠APC＝60° ∴∠ BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△ PDB ；(2)由(1)得△ACP∽△ PDB， ∵△ PCD 是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， 2 ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D、G 分别在边AB、AC 上，已知 △ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ ABC；(2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG 是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG ∽△ ABC； (2) 如图，高AH 交DG 于M，设正方形DEFG 的边长为x，则DE＝MH ＝x，∴AM＝AH﹣ MH＝10﹣x， ∵ ADG ∽△ ABC， ∴DG AM ， BC AH ， ∴x 10 x ∴15 10 ， ∴ x ＝6， 2 ∴x2＝36． 答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36． 4. 如图，有一块三角形的余料△ ABC，它的高AH ＝40mm，边BC＝80mm，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边EF 落在BC 上，其余两个顶点D、G 分别在AB、AC 上．
D E ， = ， = 第十二讲：相似三角形培优专题 【知识梳理】 1、比例线段的有关概念： 在比例式 a = b c (a ：b = c ：d )中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项， d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果 b ＝ c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。 2、平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 AB = DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论： （1） 如图 1，当 时， ?ABC ∽?ADE （2） 如图 2，当 时， ?ABC ∽ ?AED 。 （3） 如图 3，当 时， ?ABC ∽ ?ACD 。 A A A E B C B C B C ∽ 1 ∽ 2 ∽ 3 （4） 如图 4，如图 1，当 AB ∥ED 时，则△ ∽△ 。 （5）如图 5，当 时，则△ ∽△ 。 D D ，…
相似三角形培优试题 1、（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =； （2）.MN CN DN AN ?=? 2、(本题满分7分) 如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ． （1）求四边形CEFB 的面积； （2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长． 3、如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B. (1) 求证：△ADF ∽△DEC (2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.
4、如图（4），在正方形ABCD 中， E F 、分别是边AD CD 、上的点，14 AE ED DF DC ==，，连结EF 并延长交BC 的延长线于点G ． （1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求BG 的长． 5．如图（15），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，° ，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． （1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是 多少？ 6．（本题满分9分） 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2． 你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） A E D F B C G 图（4） A B 图（5） Ｅ Ｂ A C D Ｃ D