渐开线直齿圆柱齿轮的测绘
刘玉美 刘旭民
（平顶山工业职业技术学院， 河南 平顶山 467000）
摘 要：齿轮测绘无论在机械修配还是在机械设备的技术改造中，都是一个常见的非常具有实际意义的问题。本文就具有实用价值的公法线齿厚测绘方法作了详细的介绍。
关键词： 渐开线；变位直齿圆柱齿轮；公法线长度；变位系数；测绘
在冶金、矿山、车辆、机床等众多工程中，齿轮测绘不仅用于机械修配时，而且在机械设备技术改造中，也需要测绘现有设备上的齿轮；有时，在仿制一台机器时，也经常会遇到原机械上齿轮参数的测绘工作。通过测绘确定它的原设计的基本参数：齿数Z 、模数m 、齿顶高系数*
a h ，顶隙系数*
c ，变位系数x 和压力角α，达到比较准确地描绘出齿轮副原设计的本来面目，为修配、改造或制造齿轮提供准确可靠的技术参数。因此，齿轮测绘具有很大的实际意义。
测绘工具可使用游标卡尺和公法线千分尺。测绘的原理及步骤是：
1 测定齿数Z 1、Z 2、齿宽b 、齿顶圆直径a
d '、齿根圆直径f d '和全齿高h ' （1） 测定齿数Z 和齿宽b 齿数Z 1、Z 2可直接从被测齿轮上数出；齿宽b 可用游标卡尺测出。
（2）测定齿顶圆直径a
d ' 和 齿根圆直径f d ' 为减少测量误差，同一数值应在不同位置上测量三次，然后取其平均值。当齿数为偶数时，a
d '和f d '可用游标卡尺直接测量，如图1（a ）所示。当齿数为奇数时，直接测量得不到a
d '和f d '的真实值，而须采用间接测量方法，如图1(b)所示，先量出齿轮安装孔值径D ，再分别量出孔壁到某一齿顶的距离H 1，和孔壁到
某一齿根的距离H 2，则a
d '和f d '可按下式求出 齿根圆直径
a
d ' =D + 2 H 1 (mm) ；齿根圆直径 f d '=D + 2 H 2 (mm)
奇数齿全齿高 h ′=H 1—H 2 (mm)；偶数齿全齿高 h ′=21(a d '—f d ') (mm) 2 测定公法线长度k W '和1+'k W
第一作者简介：刘玉美（1948—）河南叶县人, 平顶山工业职业技术学院副教授，主要从事机械现代设计方法理论研究和教学工作。
由图2可知 b
b k b b k S kP W S P k W +='+-='+1,)1(
所以，基圆齿距k
k b W W P '-'=+1，而又由 απcos b m P = 可知，基圆齿距P b 与齿轮是否变
位无关。b S 为实测基圆齿厚，与变位量有关。由此可见，只要测定公法线长度k W '和1+'k W 后就可求出基圆齿距P b ，进而可确定出齿轮的压力角α、模数m 和变位系数x 。因此，准确测定公法线长度是齿轮测绘中的关键环节。
因为所跨齿数的多少关系到所测定的部位能否保证卡尺的卡脚卡在分度圆附近，跨齿数过多将卡在齿廓的上部，过少时则卡在齿廓的根部，两者都会造成测量的不正确。因此，首先要按下列公式计算跨齿数
5.0180+?
?
=
Z a k 式中：α —压力角；z —被测齿轮的齿数
我国采用模数制齿轮，其分度圆标准压力角是20°或15°。若压力角为20°可直接从《机械设计手册》中查表确定跨齿数k 。
公法线长度测量按图2所示方法进行，用公法线千分尺（或刻度值为0.02mm 的精密游标卡尺）首先测出跨k 个齿时的公法线长度k W '；再用同样方法测出跨k+1齿时的公法线长度1+'k W 。
测定时公法线时应注意
（1）、应使千分尺的卡脚与齿面相切，其接触点最好在齿面工作段的中部附近，不要接触齿顶或齿根园角 ，以保证卡脚与齿面相切在分度圆附近。
（2）、由于公法线长度有变动量误差，为减少测量误差，应在齿轮一周的三个均分位置（即相隔1200）各测量一次，取其平均值，即
3
1
（1k W '+2k W '+3k W '）。另外，当测量K 个齿，或（K+1）个齿的公法线时，应在相同的几个齿内进行。
（3）测量时应在磨损较少的齿面进行，以免因磨损而影响测量的准确度。 3 计算基圆齿距P b
P b = 1+'k W －k W ' 4 确定模数m 和分度圆压力角α
方法一：计算法 根据求得的基圆齿距P b ，可按下式计算出模数：m=P b /(πcos α)。
由于式中α可能是15°也可能是20°，故分别代入计算出两个相应模数，取其最接近于标准值的一组m 和α。
方法二：查表法 由计算出的基圆齿距P b 值，直接查“基圆齿距απcos b m P =数
值表”，即可同时求出压力角α和模数m
但应注意：在按基圆齿距值确定压力角α时，应同时考虑被测齿轮是模数制还是径节制。不要把二者混淆。当齿面磨损严重时，不能用测量基圆齿距的方法来确定压力角时（特别是成对更换齿轮时），可先假定压力角α=20°，在计算出其它参数后，核对齿轮副的中心距，如能满足要求，即可使用。
5 测量齿轮副的啮合中心距a '
为了确定配对齿轮的传动类型、啮合参数及检查测绘计算的准确性，必须测量齿轮副的中心距，这一点对于变位齿轮尤为重要。但中心距多数都不能直接测出，一般可通过测量两齿轮轴或对应的两齿轮孔间的距离A 1、A 2和两轴或两孔的直径d 1、d 2、D 1、D 2，如图 3所示，并用下式计算出中心距：
时）
图或3a (;222
12211d d A a d d A a +-='++
=' 时）
（图或3b ;2
22
12211D D A a D D A a +-='++=' 其中， d 1、d 2为齿轮轴的直径 ；而D 1、D 2为齿轮轴孔的直径。
在测量之前，应注意要检查一下 孔（轴）的圆度、圆柱度及两轴线间的平行度，它们对换算中心距都有影响。在利用齿轮轴测量时，还应注意检查轴与孔间的间隙。同时，要使内卡钳或游标卡尺或内（外）径千分尺先在水平面及垂直面内摆动一下，使测头与被测表面正确接触，如图3(c )所示，才能测得较准确的数值。
6 计算齿轮传动的标准中心距a 和标准齿顶园直径a d
标准中心距：a =)(2
121Z Z m + ； 标准齿顶园直径：)2(*
+=a a h z m d
7 确定变位齿轮传动类型和变位系数x （1）确定变位齿轮传动类型 根据变位齿轮的原理可知，若a a ='，且a
d '=a d ，为标准齿轮传动，此时021=+x x ，且021==x x ；若
a a ='， 但a
d '≠a d 为等变位齿轮传动，此时021=+x x ，21x x -=。若a a >'，且a
d '≠a d ， 021>+x x ，则为正角变位齿轮传动。若a a <'，且a d '≠a d ，021<+x x ，，则为负角变位传动。因此，可以用比较中心距的方法来判别变位齿轮传动类型。
为此，用实测的中心距a '与标准中心距a 比较、实测的齿顶园直径a
d '与标准齿顶园直径a d 比较即可解决。
（2）计算实测的变位系数1x '、2x ' ①若为等变位齿轮传动： 则
)(4121211
z z m
d d x a a
+-'-'=' （b ）
图 3 测量齿轮副的啮合中心距
（a ）
（c ）
或*
--'='
a
a h z m d x 2
2111
； 故12x x '-=' ②若为角变位齿轮传动：
计算啮合角 )c o s (c o s 1ααa a '
='-
计算两轮变位系数和 )(221ααi n v i n v t g a Z Z x -'+='∑
计算齿顶高变动系数σ m
a a x x -'-'+'=2
1σ
用齿顶圆直径计算变位系数 ]2[41212
11
∑'++-'-'='x z z m
d d x a a
； 12
x x x '-'='∑ (3) 确定变位系数1x 、2x
由于实测变位系数1x '、2x '中含有由加工误差所引起的齿厚减薄量的影响，所以1x '、
2
x '值比原设计的变位系数1x 、2x 的值要小。因此，必须同时考虑将1x '、2x '加大一定量的值（也可以采用圆整的方法，一般情况可圆整到小数点后3位），并使21
x x '+'满足于无侧隙啮合方程，此时就可将其确定为原设计的变位系数1x 、2x 。
8．确定h *a 、C *
由于按实测计算所得的a d '，f d '，h ′值中包含有（h *a 、C *），σ和加工误差三部分的影
响，而加工允差又为负值，所以原齿轮的a d ，f
d
，h 的设计值大于实测值。
∴ h =h '+(加工误差)＝（2h *a ＋C *－σ ）m 由实测h ′，m ，σ，且因h *a ，C * 为标准值
正常齿：h a *=1， C *=0.25；短齿 ： h * =0.8， C *=0.3，就可判定h a *,C *的值 9．计算核对齿轮的几何尺寸
至此，就可以根据确定的Z ，m ，α，h a *，C *，x ，σ计算出被测齿轮原设计的几何尺寸了。
直齿圆柱齿轮的测绘步骤可参照表1进行。
表1 直齿圆柱齿轮的测绘程序
参考文献：
[1] 齿轮手册编委会﹒齿轮手册（上册）[M]﹒北京：机械工业出版社,2002
[2] 孙桓﹒机械原理[M]﹒北京：高等教育出版社，1996