2011年高三一模试卷数 学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项. 1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B e等于 （A ）{1,2,3,4}
（B ）{1,3}
（C ）{2,4,5}
（D ）{5}
2.
函数lg y x =的定义域是 （A ）(]0,2
（B ）(0,2)
（C ）[]0,2
（D ）[]1,2
3.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点
（A ）向左平移
4π
个单位长度 （B ）向右平移
4π
个单位长度 （C ）向左平移2
π
个单位长度
（D ）向右平移2
π
个单位长度
4. 设2log 3a =，4log 3b =，1
2
c =，则 （A ）a c b <<
（B ）c a b <<
（C ）b c a <<
（D ）c b a <<
5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6 （B ）12 （C ）24 （D ）36
6．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α?m ，α?n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α
7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过
正(主)视图 俯视图
侧(左)视图
乙的平均成绩的概率为 （A ）
5
2 （B ）
10
7 （C ）
5
4 （D ）
10
9 8．某次测试成绩满分为150分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），
k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则
（A ）12150b b b M n +++= （B ）12150
150b b b M +++=
（C ）12150b b b M n +++> （D ）12150
150
b b b M +++>
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 10.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若3
5
?=
a b ，则θ2sin =______. 11.双曲线22
:
12
x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同 的焦点，则a =______. 12. 设不等式组22,
22
x y -≤≤??
-≤≤?表示的区域为W ,
圆:C 22
(2)4x y -+=及其内部区域记为D .
若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.
13. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____. 14. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有
1135,2n n n n
n n k
k a a a a a a +++??
=???为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；
当11=a 时，1220S S S +++= ______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）
设ABC ?的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4
cos 5
B =
,2=b .
（Ⅰ）当o
30=A 时，求a 的值；
（Ⅱ）当ABC ?的面积为3时，求c a +的值.
16. （本小题满分13分）
如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=
，
DE AF //，22===AF DA DE .
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.
17. （本小题满分13分）
已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且12323a a a +=. （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）设{}n b 是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为n T . 当2n ≥时，试比较
n b 与n T 的大小.
18. （本小题满分14分）
已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅱ）若直线l 过点(0,1)-，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；
（Ⅲ）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最小值.（其中e 为自然对数的底数）
已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M . （Ⅰ）若点F 到直线l
l 的斜率；
（Ⅱ）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴重合，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.
20.（本小题满分13分）
将n ,,3,2,1 这n 个数随机排成一列，得到的一列数n a a a ,,,21 称为n ,,3,2,1 的一个排列.
A C
D
F
E
定义=),,,(21n a a a τ||||||13221n n a a a a a a -+-+-- 为排列n a a a ,,,21 的波动强度.
（Ⅰ）当3=n 时，写出排列321,,a a a 的所有可能情况及所对应的波动强度； （Ⅱ）当10=n 时，求1210(,,,)a a a τ 的最大值，并指出所对应的一个排列； （Ⅲ）当10=n 时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列1210,,,a a a ，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.
北京市西城区2011年高三一模试卷
参考答案及评分标准
数学（文科） 2011.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 1 10. 45- 2 12.
8
π
13.31 14. 5，910 注：11题，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =
B ，所以53
sin =B . …………………2分 由正弦定理B b A a sin sin =，可得10
sin 303a =
. …………………4分 所以3
5
=a . …………………6分
（Ⅱ）因为ABC ?的面积1sin 2S ac B =，5
3
sin =B ，
所以3
310
ac =，10=ac . …………………8分
由余弦定理B ac c a b cos 22
2
2
-+=， …………………9分
得165
8
4222
2-+=-
+=c a ac c a ，即2022=+c a . …………………10分 所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=， …………………12分 所以，102=+c a . …………………13分
16.（本小题满分13分）
(Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=
，
所以DE ⊥平面ABCD ， …………………2分 所以AC DE ⊥. …………………3分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，
所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，
所以，OG //=
12
DE . …………………5分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=
OG ， …………………6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. …………………7分 因为FG ?平面BEF ,AO ?平面BEF , ……………………8分
所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . …………………9分 （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,
所以AB ⊥平面ADEF . …………………11分
因为DE AF //,90ADE ∠=
,22===AF DA DE ，
所以DEF ?的面积为1
22
ED AD ??=， …………………12分 所以四面体BDEF 的体积=?=?AB S DEF 314
3
. …………………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=， …………………2分
因为{}n a 是等比数列，所以2
3210q q --=. …………………3分 解得1q =或1
3
q =-
. …………………5分 （Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232
n n n
T +=， …………………7分
A C
G
F
E
D
O
所以，当2n ≥时，22
02
n n n n T b +--=
>. 即当1q =时，(2)n n T b n >≥. …………………8分 ②当13q =-时，72(1)()33
n n
b n 1-=+--=
， …………………9分 2
132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， …………………10分
(1)(14)
6
n n n n T b ---=-
， …………………12分
所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；
当214n ≤<时，n n T b >. …………………13分 综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当1
3
q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，n n T b >. 18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，0x >， …………………2分
由()0f x '=得1
e x =
， …………………3分 所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1
(,)e
+∞上单调递增. ……………4分
所以，1
e
x =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. ………………5分
（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， ………………6分
切线的斜率为0ln 1x +， 所以，000
1
ln 1y x x ++=
， ………………7分 解得01x =，00y =， …………………8分
所以直线l 的方程为10x y --=. ………………9分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，
则()ln 1g x x a '=+-， …………………10分 解()0g x '=，得1
e a x -=，
所以，在区间1
(0,e
)a -上，()g x 为递减函数，
在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. …………………11分 当1
e
1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，
所以()g x 最小值为(1)0g =. ………………12分
当1
1 当1 e e a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数， 所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ……………14分 综上，当1a ≤时，()g x 最小值为0；当12a <<时，()g x 的最小值1 e a a --；当2 a ≥时，()g x 的最小值为e e a a +-. 19.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-， 由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， ………………1分 因为点F 到直线l = ………………3分 解得2k =± ，所以直线l 的斜率为2 ± . ………………5分 （Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ， 因为AB 不垂直于x 轴， 则直线MN 的斜率为 004y x -，直线AB 的斜率为0 4x y -， ………………7分 直线AB 的方程为0 000 4()x y y x x y --= -， ………………8分 联立方程000024(),4,x y y x x y y x -? -=-???=? 消去x 得22 00000(1)(4)04 x y y y y x x - -++-=， ………………10分 所以0 120 44y y y x += -， ………………11分 因为N 为AB 中点，所以 1202y y y +=，即0 00 24y y x =-， ………………13分 所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. ………………14分 20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）3=n 时，排列321,,a a a 的所有可能为1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1. …………2分 2)3,2,1(=τ；3)2,3,1(=τ；3)3,1,2(=τ； 3)1,3,2(=τ；3)2,1,3(=τ；2)1,2,3(=τ. ……………4分 （Ⅱ）1210(,,,)a a a τ= 1223910||||||a a a a a a -+-++- 上式转化为1223910a a a a a a ±±±±±±± ， 在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中110,a a 出现一次，239,,,a a a 各出现两次. …………6分 所以1210(,,,)a a a τ 可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使1210(,,,)a a a τ 最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以1210(,,,)a a a τ 最大为： (10109988776)(112233445)49++++++++-++++++++=. …………8分 所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分） ……9分 （Ⅲ）不可以. 例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变. ………11分 所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6. 对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字. 如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ………13分
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