?的图象的一部分，则此
函数的周期T 可能是（ ）
A ． π4
B ．π2
C ．π
D ．
8
11π
巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，
EF 2
3=
，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
D
E F
C
O
x
y
2-
2
4
3π
（A ）
2
9 （B ）5
（C ）6 （D ）2
15
十一、参数法
在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。
【例1】（2008年，安徽卷）设椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>过点(2,1)M ，且左焦点为
1(2,0)F -
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段A B 上取点Q ，满
足AP Q B AQ PB ?=?
，证明：点Q 总在某定直线上。
【巧解】(1)由题意：2222222211c a
b c a b ?=??+=???=-?
，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22
142x y +=
(2) 由AP Q B AQ PB ?=? 得：|
||
|||||QB AQ PB AP =
设点Q 、A 、B 的坐标分别为11
22(,),(,),(,)x y x y x y 。由题设知,,,AP PB AQ Q B 均不为零，记AP AQ PB Q B λ==
,则0λ>且1λ≠，又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ Q B λλ=-=
，
于是 1241x x λλ
-=
-， 1211y y λλ
-=
-， 121x x x λλ
+=+， 121y y y λλ
+=
+
从而
2
2
2
122
41x x x λλ
-=-， ① 2
2
2
122
1y y y λλ
-=-， ②
又点A 、B 在椭圆C 上，即
221124,x y += ③ 22
2224,x y += ④
①+②2?并结合③，④得424x y +=,即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上。
【例2】（2004年，辽宁卷）设椭圆方程为14
2
2
=+y
x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点
A 、
B ，O 是坐标原点，点P 满足)(2
1OB OA OP +=，点N 的坐标为)2
1
,21(
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程；
【巧解】直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y
记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组
??
???=++=14122y
x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以 ???
???
?+=++-=+.48,42221221k y y k
k x x 于是 ).44,
4(
)2
,
2
(
)(2
12
2
2
12
1k
k
k y y x x OB OA OP ++-=++=+=
设点P 的坐标为),,(y x 则
???
???
?
+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得042
2=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程
为.042
2
=-+y y x
巧练一：（2008年，全国I 卷）直线1=+
b
y a
x 通过点)sin ,(cos ααM ，则有
（ ）
A ．12
2
≤+b a
B ． 12
2
≥+b a C ．
1112
2
≥+
b
a
D ．
1112
2
≤+
b
a
巧练二： 如图，已知直线l 与抛物线y x 42
=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐
标原点，定点B 的坐标为（2，0）.
① ②
（I ）若动点M 满足0||2=+?AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E
在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。
【例1】已知椭圆C ：12
22
2=+
b
y a
x 3
6)0(的离心率为
>>b a ,短轴一个端点到右焦点F 的距离
为3.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 经过椭圆的焦点F 交椭圆C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作椭圆的两条切线，
A 、
B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。
【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意6
33c a a ?=?
??
=?，，
解之得2=
c
1b ∴=，∴所求椭圆方程为
2
2
13
x
y +=．
（Ⅱ）由（I ）知)0,2(F ，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，对椭圆
2
2
13
x
y += 求导：
023
2='+y y x ，即y
x y 3-
='，则过A 点的切线方程PA 为)(311
11x x y x y y --=-
整理得3311=+y y x x ① 同理过B 点的切线方程PB 为3322=+y y x x ②，又
),(00y x P 在两切线PA 、PB 上，∴330101=+y y x x
330202=+y y x x ，因此，),(11y x A ，),(22y x B 两点在均在直线3300=+y y x x 上，
又∵)0,2(F 在直线3300=+y y x x 上，∴303200=?+y x ，即2
230=
x 为交点P 的
轨迹方程
【例2】过抛物线C ：2x y =上两点M ，N 的直线l 交y 轴于点P （0，b ）. （Ⅰ）若∠MON 是钝角（O 为坐标原点），求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）若b=2，曲线C 在点M ，N 处的切线的交点为Q.证明：点Q 必在一条定直线上 运动.
【巧解】（Ⅰ）设点M ，N 坐标分别为).,(),,(),)(,(),,(22221121222211x x ON x x OM x x x x x x ==≠则由题意可设直线l 方程为
y=kx+b,?????-=?=+>+=?∴=--???+==b
x x k x x b k b kx x y b kx y x y 2
12122
2
4,0得消去由
分
的取值范围是
不成立三点不共势此时得由且是钝角6).1,0(.1cos ,,,.10,0.
1cos ,0|
|||cos ,2
2
22
121 b MON N M O b b b x x x x ON OM MON ON OM ON OM MON MON ∴-=∠<<<+-=+=?-≠∠
∠∴∠
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知???-=-=?=+,
2,2121b x x k x x
∵函数y=x 2的导数y ′=2x ，
抛物线在),(),,(2
22211x x N x x M 两点处切线的斜率分别为,2,221x k x k N M ==∴在点M ，N 处
的切线方程分别为
.
2,
2,2,,2),(),()(2),(2).
(2:),(2:212121222
2112
12222112
1上运动点在定直线
即满足
的坐标解得交点由-=∴?????
-==??
??
??=+=
≠??
???-=--=--=--=-y Q y k x x x y x x x y x Q x x x x x x y x x x x y x x x x y l x x x x y l N M
巧练一：已知定点A （1，0）和定直线1-=x 上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中O 为坐标原点）.
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 经过点)0,1(M 与轨迹C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作轨迹C 的两条切线，
A 、
B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。
巧练二：如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30°. 曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 分别过E 、F .作轨迹C 的两条切线，E 、F .为切点，
求两条切线的交点Q 的轨迹方程。
十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。
【例1】(2008年，浙江卷)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足||,0)()(c c b c a 则=-?- 的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2
【巧解】不妨设以a 、b 所在直线为x 轴，y 轴，且)0,1(=a ，)1,0(=b ， ),(y x c =由已知0)()(=-?-c b c a 得0||)(2
=+?+-?c c b a b a ，
整理得02
2=--+y x y x 即2
1)
2
1()
21(2
2
=
-
+-
y x ，所以向量c 的坐标是以)2
1
,21(为圆心，
2
2为半径的一个圆且过原点，故||c 的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C ）
【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=ABC S BC ?则,2的最大值 . 【巧解】建立如图平面直角坐标系，设),(y x C ，)0,0(A ，)0,2(B ，由BC AC 2=
即||2||BC AC =
，∴
2
22
2
)2(2y
x y
x
+-=+，
O
x
y C ||c
),(y x C y
化简得08822=++-y x x
配方得8)4(22=+-y x ，所以C 点轨迹是以)0,4(D 为圆心，
22为半径的一个圆（除去与x 轴的两个交点）
，所以当C 点纵坐标绝对值为22，即22||=y 时，ABC S ?有最大值为
222
2
22=?，所以答案为22
巧练一：已知)1,1(m
m m
m A -
+
，)0,1(B ，其中0巧练二：已知实数x 、y 满足6)2()2(2
222=++++-y
x y x ，则y x +2的最大值等
于 .
十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。
【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为)0,1(F ，直线
l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 .
【巧解】由)0,1(F 知抛物线C 的方程为x y 42=，设),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程则有：12
14x y =，22
24x y =，两式相减有)(4212
22
1x x y y -=-， 即4)(4)(21212
121=+?=+--y y k y y x x y y ，又
21=
+y y ，∴44=k ，即1=k 。
故AB l ：22-=-x y ，即x y =，∴本题应填x y = 【例2】椭圆12
2
=+by
ax
与直线x y -=1交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的
直线的倾斜角为0
30，则
b
a 的值为 （ ）
（A ）4
3 （B ）3
3 （C ）2
3 （D ）3
【巧解】设AB 的中点为),(00y x M ，),(11y x A ，),(22y x B ，则0212x x x =+ 0212y y y =+，又???=+=+11
2
222
2121by ax by ax ，两式相减，得
0))(())((21212121=-++-+y y y y b x x x x a ，
即0)(2)(2210210=-+-y y by x x ax ，∴10
02
121-=-
=--by ax x x y y
∴10
0=by ax ，又
3
330
tan 0
0=
=x y ，∴
3
3=
b
a ，故选（B ）
巧练一：若椭圆12
2
=+ny
mx
与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中
点的直线的斜率为2
2，则
m
n 的值为 .
巧练二：若椭圆
19
36
2
2
=+
y
x
的弦被点)2,4(P 平分，则此弦所在直线的斜率是为 .
十五、比较法
现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量a 和b ，若0=-b a ，0>-b a ，0<-b a ，则它们分别表示b a =，b a >，b a <，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据
1=b a ，
1>b a 或
1a 来判断
b a =，b a >，b a <，这个方法叫做商
式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。
（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。 （3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。
【例1】已知数列{}n a 中，11=a ，且点))(,(*
1N n a a P n n ∈+在直线01=+-y x 上
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若函数)2,(1...11)(2
1
≥∈++
+++
+=
n N n a n a n a n n f n
，求函数)(n f 的最小值.
【巧解】（1） 点),(1+n n a a P 在直线01=--y x 上，即11=-+n n a a 且11=a ∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列
n n a n =?-+=∴1)1(1
n a n =∴
（2）n n n n f 212
111)(+
++++=
，
221121
213
1
21
)1(++++
++++
+=
+n n n n n n f
01
12
21
221
1
12
211
21
)()1(=+-
++
+>
+-
++
+=
-+∴n n n n n n n f n f
)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是12
7)2(=f 【例2】（Ⅰ）已知函数n S x x x f .263)(2-+-=是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N*），在曲线2)(+=x f y 上，求a n .
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若6
,)21(1
n n n n n b a c b ?==-，且T n 是数列{c n }的前n 项和.试问T n
是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值，若不存在，请说明理由.
【巧解】（Ⅰ）点（n ，S n ）在曲线()2y f x =+上，所以2
36.n s n n =-+
当n =1时，a 1= S 1=3，当n ≥2时，a n = S n - S n -1=9-6n ，
96.n a n ∴
=-
（Ⅱ）11119611(),()(32)(),26622
n n n
n n n n n b c a b n ---====-
2111
11()(32)().222
n
n n T c c c n ∴=+++=
-++- 利用错位相减法，1(21)() 1.2n
n T n ∴=+-
1
1111(21)()0,1(23)()0,22
n n n n T n T n +++=+>+=+>
111(21)()
121,11
(23)()
2
n
n n n n T T n ++++=>++
巧学高中物理 动力学叠加系统
高中物理巧学妙解王 第二章 高频热点剖析 ---84--- 一、动力学中的叠加系统 在动力学中常会遇到两个或两个以上物体叠放在一起的问题，这类问题具有知识容量大、研究对象不单一、物理过程比较复杂、几何条件隐蔽等特点，以致许多考生甚至教师对其求解感到困惑.下面就针对这类问题的求解思路作一总结. 一、无相对运动的叠加问题 这类问题因物体之间无相对运动，所以一般用整体法与隔离体求解，若系统内力已知，则用隔离法求加速度，再用整体法求外力；若系统外力为已知，则用整体法求加速度，再用隔离法求内力. 【例1】如图1所示，在光滑水平桌面上放着质量为3kg 的小车A ,小车A 上又放着质量为2kg 的物体B ,现施加一水平推力F 在物体B 上，当F 逐渐增大到4N 时B 恰好在小车A 上相对于小车滑动；如 果将水平推力作用在A 上，且不使B 在A 上有相对滑动，则施加的最大推力max F 是多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）. 〖解析〗当推力F 小于4N 时，作用在A 上的静摩擦力使A 和B 一起加速运动；当F 增大到4N 以后，因最大静摩擦力不足以提供A 的加速度，故B 和A 之间将发生相对滑动.设A 、B 间的最大静摩擦力为max f ，当F 作用于B 时可用整体法求加速度，再用隔离法求内力max f .由牛顿第二定律可列出： 1()A B F m m a =+ ① max 1A f m a = ② 当外力F 作用在A 上时，则用隔离法求加速度，再用整体法求最大推力max F ，故由牛顿第二定律可列出： max 2B f m a = ③ max 2()A B F m m a =+ ④ 联立①②③④得：max 6N F = 【例2】如图2所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，质量为m 的 物块A 叠放在物体B 上，B 的上表面水平;当A 随B 一起沿斜面下滑时，A 、B 保持相对静止，求B 对A 的支持力和摩擦力. 〖解析〗 当A 随B 一起沿斜面下滑时，A 受竖直向下的重力mg 、B 对A 竖直向上的支持力N 和水平向左的摩擦力f 而加速运动，如图3所示. 设B 的质量为M ，以A 、B 整体为研究对象，根据牛顿第二 定律有:()sin ()M m g M m a θ+=+，解得: sin a g θ=. 再将A 隔离出来作为研究对象，将加速度沿水平方向和竖直方向进行分解如图3所示，则有： cos sin cos x a a g θθθ==，2sin sin y a a g θθ== 所以有：sin cos x f ma mg θθ== 又2sin y mg N ma mg θ-== 得：2s N mgco θ=. 二、叠加系统所受合外力不为零且有相对运动 这类情况中，叠加系统因受外力作用且加速度不同而存在相对运动，具体求解时一般采用隔离法，即“锣当锣打，鼓作鼓敲”，认真分析系统内每个物体在不同阶段的受力和运动情况，建立清晰的物理图景，然后由牛顿定律与匀变速直线运动公式、动量定理或动能定理列方程，同时抓住叠加体之间的位移关系或几何条件列式，再联立求解. 【例3】如图4所示，一木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为 4kg M =，长为 1.4m L =，木板右端放一小滑块，滑块质量为1kg m =，其尺寸远小于L ,滑块与木板之间的动摩擦因数为0.4μ=(210m/s g =). (1)用恒力F 作用在M 上，为使m 能从M 上滑落，F 大小的范围如何? (2)其他条件不变，若恒力22.8N F =始终作用在M 上，且最终使m 从M 上滑落，则m 在M 上面滑动的时间多长？ 〖解析〗（1）取滑块m 为研究对象，m 与木板M 间的滑动摩擦力为：f N F F mg μμ== m 在滑动摩擦力f F 作用下向右运动的加速度为： 214m/s f F a g m μ= == 取木板M 为研究对象，M 在拉力F 和滑动摩擦力f F 作用下向右运动的加速度为：2f F F a M -= 使m 从M 上面滑落的条件是21a a >,即 f f F F F M m ->. 联立以上四式可解得：()20N F M m g μ>+= (2)设m 在M 上面滑动的时间为t ，恒力22.8N F =时M 的加速度为：22 4.7m/s f F F a M -= = 小滑块在时间t 内运动位移为：2111 2x a t = 木板在时间t 内运动位移为：2221 2 x a t = 则有：21x x L -=,由以上各式可解得：2s t = 【例4】物体A 的质量 1kg m =， 静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为0.5kg M =、长1m L =，如图5所示. 某时刻A 以04m/s v =向右的初速度滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力。忽略物体A 的大小，已知A 与B 之间的动摩擦因数0.2μ=，重力加速度取210m/s g =.试求: （1）若5N F =，物体A 在小车上运动时相对小车滑行 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5
高中数学学考公式(大全)
高中数学学考常用公式及结论 必修1： 一、集合 1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系： 子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ， 偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
高中数学公式大全(学考简化版)
高中数学公式大全（学考简化版） 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2．集合运算 全集U 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I ，并集：}{B x A x x B A ∈∈=?或，补集：}{A x U x x A C U ?∈=且 3．集合关系 （可以数形结合---文氏图、数轴） 空集A ?φ； 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 4. 包含关系A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个。 6. 函数的单调性 设[]2121,,x x b a x x ≠∈?，0 12>-=?x x x ， 若0)()(12>-=?x f x f y ?[]b a x f ,在) (上是增函数； 若0)()(12<-=?x f x f y ?[] b a x f ,在) (上是减函数. 对于复合函数的单调性：()f g x ???? 单调性满足：同增异减。即：()f x 与()g x 的增减性相同，那么符合函数就是增函数（同增）；()f x 与()g x 的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））。 7．函数的奇偶性 判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。 f(x)偶函数?()()f x f x -=?f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数?()()f x f x -=-?f(x)图象关于原点对称 注：（1） f(x)奇函数,在x=0有定义?f(0)=0 （2）对于复合函数：()f g x ???? ：有偶则偶，两奇为奇 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么， 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 8．二次函数解析式的两种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; 二次函数在闭区间上的的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[] q p ,上的最值只能在
数学高中巧学巧解大全
《高中数学巧学巧解大全》目录 第一部分高中数学活题巧解方法总论 第一篇数学具体解题方法 代入法直接法定义法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法 综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法“1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法 回代法（验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法阅读理解法信息迁移法 类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法 第二篇数学思想方法 函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想整体思想 第三篇数学逻辑方法 比较法综合法分析法反证法归纳法抽象与概括类比法 第二部分部分难点巧学 一、看清“身份”始作答——分清集合的代表元素是解决集合问题的关键 二、集合对实数说：你能运算，我也能！——集合的运算（交、并、补、子等） 三、巧用集合知识确定充分、必要条件 四、活用德摩根定律，巧解集合问题 五、“补集”帮你突破——巧用“补集思想”解题 六、在等与不等中实现等价转化——融函数、方程和不等式为一体 七、逻辑趣题欣赏 八、多角度、全方位理解概念——谈对映射概念的掌握 九、函数问题的灵魂——定义域 十、函数表达式的“不求”艺术 十一、奇、偶函数定义的变式应用 十二、巧记图象、轻松解题 十三、特殊化思想 十四、逆推思想 十五、构造思想 十六、分类思想 十七、转化与化归思想 十八、向量不同于数量、向量的数量积是数量 十九、定比分点公式中应注意λ的含义 二十、平移公式中的新旧坐标要分清 二十一、解斜三解形问题，须掌握三角关系式 二十二、活用倒数法则巧作不等变换——不等式的性质和应用 二十三、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 二十四、“抓两头，看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法 二十五、巧用均值不等式的变形式解证不等式 二十六、不等式中解题方法的类比应用 二十七、吃透重点概念，解几学习巧入门 二十八、把握性质变化，解几特点早领悟 二十九、重点知识外延，概念的应用拓展 三十、把握基本特点，稳步提高解题能力 三十一、巧记圆锥曲线的标准方程——确定圆锥曲线方程的焦点位置 三十二、巧用圆锥曲线的焦半径公式 三十三、直线与圆锥曲线位置关系问题 三十四、求轨迹的常用方法 三十五、与圆锥曲线有关的最值问题、定值问题、参数范围问题 三十六、空间问题向平面转化的基础——平面的基本性质 三十七、既不平行，也不相交的两条直线异面 三十八、从“低（维）”到“高（维）”，判定线面、面面的平行，应用性质则相反 三十九、相互转化——研究空间线线、线面、面面垂直的“利器” 四十、找（与所求角有关的线）、作（所缺线）、证（为所求）、算（其值）—— 解空间角问题的步骤 四十一、作（或找垂线段）、证（为所求）、算（长度）——解距离问题的基本原则 四十二、直线平面性质集中展示的大舞台——棱柱、棱锥 四十三、突出球心、展示大圆、巧作截面——解有关球问题的要点 四十四、排列、组合问题的巧解策略 四十五、二项式定理的要点透析 四十六、正确理解频率与概率的联系与区别 四十七、要正确理解事件、准确判定事件属性
解缙巧对
解缙巧对 解缙，字大绅，洪武二年十一月初七日（1369年12月6日）出生在吉水鉴湖的一个书香门第之家。洪武二十一年进士，官至翰林学士。洪武三十五年至永乐五年（1402－1407年）任内阁首辅。 解缙生在一个文化氛围浓厚的家庭。父亲解开，一心从事著述、办学，培养人才；母亲高妙莹，不但贤良淑慧，而且通书史、善小楷、晓音律。解缙生长在这样的家庭，从小就受到良好的教育。传说他自幼颖敏绝伦，有“神童”之称。他的母亲画地为字，于腿盖中教之，一见不忘。5岁时，父教之书，应口成诵；7岁能述文，赋诗有老成语；10岁，日数诵千言，终身不忘；12岁，尽读《四书》《五经》，贯穿其义理。洪武二十一年廷试与兄纶、妹夫黄金华同登进士第。当时解缙一家一门三进士，被当地人传为佳话。 解缙在吉水鉴湖留下了很多有趣的故事，其中最让当地人耳熟能详的就是他和李尚书的故事。 这年春节，解缙在家门上贴了一副春联：“门对千竿竹，家藏万卷书。”对门住着告老还乡的李尚书，看了这副对联很不高兴，心想：这小子倒是很有才华，只是未免太狂妄了。于是故意刁难他，就命仆人把竹子砍了一半。不一会，家人来报，解缙的春联改成了：“门对千竿竹短，家藏万卷书长。” 李尚书听罢，很是惊奇，令人把竹子连根挖出，不料解家的春联又改为：“门对千竿竹短无，家藏万卷书长有。”李尚书目瞪口呆。 这一天，李尚书大宴宾客，请了吉水所有的士绅名流，文人雅士。大家玩到兴致高的时候，便开始吟诗作对。李尚书有心借此机会考考解缙的才学，便叫仆人去把解缙请来，并吩咐如此如此。解缙来到李府，只见大门紧闭。仆人说主人吩咐要他从小门进入，他站在大门口硬是不走小门，仆人不开，他便转身就走。李尚书闻情走来大声说：“小犬无才嫌路狭。”解缙即答：“大鹏展翅恨天低。”李尚书听了大吃一惊：我骂他小狗，他竟敢自诩为大鹏。于是赶紧开门迎接，谁知刚刚下完雨，脚下路滑，解缙刚进门就滑倒了，旁边的人都哈哈大笑。谁知他随口吟诗回敬：“春雨贵如油，下得满地流。滑倒一君子，笑杀一群牛。” 正所谓人怕出名猪怕壮，权贵们见他狂妄，便有心刁难。刚入席，一权贵便想借题嘲笑他母亲在家纺织，父亲挑担上街叫卖的贫寒身世，对他说：“听说才子能出口成对，今日请你以你父母职业为题如何？”解缙听了，明知是奚落自己，不慌不忙地吟道：“严父肩挑日月，慈母手转乾坤。”众人听了，无不拍案叫绝。 另一显贵见解缙身穿绿袄，便也出一上联讥讽他：“井里哈蟆穿绿袄。”解缙见那人身穿红袄，灵机一动说出下联：“锅中螃蟹着红袍。”众人哈哈大笑。那显贵听了不悦：我只是把他比作活哈蟆，他却把我咒死了。但又无理发泄，只好自认倒霉。 酒过三巡，尚书想要压住解缙的口气，用手往天上一指，自鸣得意地说：“天作棋盘星作子，谁人敢下？”解缙听罢，用脚在地上一顿，说：“地作琵琶路作弦，哪个能弹！”口气比他还高。尚书奈何不了，哭笑不得。
高中数学教学微课应用
高中数学教学微课应用 概要：微课是现阶段教育过程中一种崭新的教学资源，为课堂教学提供了一定 的便利，微课主要体现了学生的主体性。教师要融合多媒体技术，创造自主学习的良好环境，让学生自主地融入到数学环境中去，创设情境，将抽象化的知识逐渐立体化，降低学习难度，拉进学生和数学课程之间的距离，突破高中数学教学中的重难点，促进教学质量的提升。 概要：综上所述，微课是现阶段教育过程中一种崭新的教学资源，为课堂教学 提供了一定的便利，微课主要体现了学生的主体性。教师要融合多媒体技术，创造自主学习的良好环境，让学生自主地融入到数学环境中去，创设情境，将抽象化的知识逐渐立体化，降低学习难度，拉进学生和数学课程之间的距离，突破高中数学教学中的重难点，促进教学质量的提升。 近年来，随着我国新课改的不断深入，高中数学教师已经对自身的教学模式以 及教学方法进行了更新与改革，以达到提高学生学习积极性的目的，在此基础上促进学生学习效率的提升。在对具体的教学模式进行更新与探索时，部分教师早已认识到微课运用在高中数学教学过程中的优势与作用，微课的应用不仅能够促进学生学习效率的提升，还能为学生提供一个良好的课堂氛围。因此，对微课在高中数学教学过程中的应用和反思进行分析势在必行。 一、微课在高中数学教学中的应用 （一）利用微课创设教学情境 对于高中数学教学来说，数学教师要按照学生自身的学习需求，结合学生本身 的认知层次以及理解能力，运用针对性的、合理化的教学方式，从而能够在一定程度上促进学生学习积极性的提高。如果只是依靠微课教学还是不能满足大多数学生对数学知识的需求，这就需要教师运用有效地教学方式，例如情境创设，可以让学生更好地参与到高中数学教学过程中，还可以在具体的情境创设过程中，激发学生的自主学习意识，促进学习效率的提升。在对教学情境进行创设时，教师要按照学生能够接受的方式，对学生进行一定的引导，让其自行研究并对数学知识进行分析，让学生自己掌握数学知识。例如，在利用微课对教学情境进行创设的过程中，以空间四边形的教学为例子，数学教师要在具体的教学中，引导学生感悟空间四边形的立体特性，利用微课呈现的动态效果让学生对空间四边形进行感受，进而对其进行理解和掌握。在这之后，教师还要引导学生在黑板中画出自己所想的各种空间四边形，促进学生理解能力的提升。 （二）利用微课开展数学活动
2020高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。
高中期末考试高效复习的方法
高中期末考试高效复习的方法 高中期末考试复习的方法每个人的学习情况不一样，复习会有不同的侧重面，但有一点应该是要共同注意的。 就是期末复习应该抓住重要的内容、主要的规律和基本的方法，而不是去把很多精力和时间化在解决、攻克一些疑难问题上，或者去作尽可能多的不必要的记忆，期望考试时候能够用上(有相当一部分同学是存在着这种心理的)。 要抓住学科的重点内容，它决定了以下两个方面的要求。 一是专题复习，形成体系。 围绕专题复习，那往往要打破章节之间的界限，搞清楚章节之间内在的联系，把所学的知识“串起来，使之成为一个有机的整体。 或者说，在头脑中形成一个学科知识的总体框架和主线索。 根据自己的回忆和理解对所学内容进行整理，列出诸如《学科知识系统表》是一个好的办法。 对理科科目来说，可以围绕专题适当做些综合题或进行一题多解的练习。 复习不是简单的重复，温古而知新这一目的，很大程度上是在专题复习的过程中达到的。 二、梳理方法、突出重点。 要搞清楚问题解决的全过程，而少追求一些特殊的巧解;不在不理解或一知半解的记忆上化工夫、浪费时间。
最基础最一般的思路和方法往往也就是最重要的、适用性最广泛的，这是首先要掌握好的。 目前的考试形式主要还是书面笔试，在复习中离不开做一定数量的练习。 做练习(作业、试卷)本身就是学习活动中的一种实践。 听课听懂了，看书理解了，一定要多动动笔。 “不动笔墨不读书，不完成一定数量的书面练习，是绝不能达到知识的消化和掌握的。 提高知识掌握的准确性记忆能力是关键。 记忆水平的高低，主要看能不能再认，能不能回忆再现和能不能复做，以及再认、再现、复做的质量。 在理解基础上，将知识系统归纳的方法，它使所要记忆的内容纳入知识的体系之中，成为整体的一部分，这样就更容有时要记忆的事物实在无法找到有意义的必然联系。 掌握最基本的东西，是大多数同学的基本任务。 掌握最基础的知识，分析、解决问题的最基本思路、规律和方法是取得优秀学习成绩的基础。 因为所有的知识、技能，包括试卷内容的百分之七十都属于这部分。 因此对于三分之二的同学来讲，这些内容是你的重点所在，不要在旁支末节知识上、特殊性的巧解上投入你的精力。
提高物理成绩的利器——巧学妙解王
第一章、方法与技巧讲解 1、整体法 整体法是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。灵活运用 整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，整体法的思维特点就是本着整体观念，对系统进行整体分析，是系统论中的整体原理在物理中的具体应用，它把一切系统均当作一个整体来研究，从而揭示事物 的本质和变化规律，而不必追究系统内各物体的相互作用和每个运动阶段的细节，因而避免了中间量的繁 琐推算，简捷巧妙地解决问题。整体质量等于它们的总质量；整体电量等于它们电量代数和。 整体法适用于求系统所受的外力，作为整体的几 个对象之间的作用力属于系统内力不需考虑，只需考 虑系统外的物体对该系统的作用力，故可使问题化繁为简。 【例1】在粗糙的水平面上放着一个三角形木块abc ， 在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为12m m 、的两个 物体，且12m m >，如图1-1所示，若三角形木块和两 个物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块 （ ） A 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右； B 、有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左； C 、有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因 12m m 、、12θθ、的数值均未给出； D 、以上结论都不对； 〖解析〗由于三角形木块和斜面上的两个物体都是静止的，可以把它们看作一个整体，如图1-2所示，竖直方向上受到重力12()m m M g ++和地面的支持力N F 作用处于平衡状态，水平方向无任何滑动趋势，因此 不受地面的摩擦力作用，所以D 正确. 【例2】如图1-3所示，人和车 的质量分别为m 和M ，人用水平力F 拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦，如果人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为 . 〖解析〗要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看作一个整体，对整体用牛顿第二定律求解即可. 将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。在竖直方向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F ，所以有：2()F M m a =+,解得：2F a M m =+ 【例3】有一个直角架AOB ，OA 水 平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，OA 上套有小环P ，OB 上 套有小环Q ，两个环的质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如 图1-4所示。现将P 环向左移动一段距离，两环再次 达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的 变化情况是（ ） A ．N 不变，T 变大 B ．N 不变，T 变小 C ．N 变大，T 变小 D ．N 变大，T 变大 〖解析〗先把P Q 、看成一个整体，受力如图1-5所示， 则绳对两环的拉力为内力，不必考 虑，又因OB 杆光滑，则杆在竖直 方向上对Q 无力的作用，所以整体在竖直方向上只受重力和OA 杆对它的支持力，所以N 不变，始终等于P Q 、的重力之和。再以Q 为研究 对象，因OB 杆光滑，所以细绳拉 力的竖直分量等于Q 环的重力，当P 环向左移动一段距离后，发现细绳和竖直方向夹角 α变小，所以在细绳拉力的竖直分量不变的情况下， 拉力T 应变小。由以上分析可知应选B. 【例4】在水平光滑桌面上放置两个物体A B 、如图 1-6所示，1kg A m =，2kg B m =，它们之间用不可伸长 的细线相连，细线质量忽略不计， A B 、分别受到水平向左拉力110N F =和水平向右拉力240N F =的作用，求A B 、间细线 的拉力. 〖解析〗由于细线不可伸长，A B 、有共同的加速度， 则共同加速度为：2214010 10m/s 12 A B F F a m m --===++ 对于A 物体：受到细线向右拉力F 和1F 拉力作用，由 牛顿第二定律得：1 A F F m a -= 即11011020N A F F m a =+=+?= 【例5】 如图1-7 示，质量为M 的 图1-1 图1-2 O P A Q B 图1-4 图1-5 A F 1 B F 2 图1-6
微课在高中数学教学中的运用初探
微课在高中数学教学中的运用初探中山市古镇高级中学一一５２８４２２一一张一平 一一随着时代的发展，人类生活节奏的日益加快， 微时代 早已悄悄来临．微博二微信二微电影 这些名词纷纷进入到我们的生活中，成为生活不可缺少的一部分．而这些在教育领域不断地酝酿发酵，移动学习二泛在学习二翻转课堂等学习方式成为教育发展的新理念，引发教育工作者的思考与实践，微课也成为 微时代 语境下一种新探索． １一微课的概念 微课又名微型课程，最早由美国新墨西哥州圣胡安学院的高级教学设计师二学院在线服务经理戴维四彭罗斯（ＤａｖｉｄＰｅｎｒｏｓｅ）于２００８年秋首创．戴维四彭罗斯把微课程称为 知识脉冲 （ＫｎｏｗｌｅｄｇｅＢｕｒｓｔ）． 微课程 是运用建构主义方法二以在线学习或移动学习为目的的教学．从教学上来说，就是将重点二难点二考点二疑点等精彩片段录制下来给教师，整合成微教案二微课件二微练习二微反思二微点评五个配套资源，共同组成微课．五个部分可以根据实际应用，任意组合．这一概念引入国内之后，国内的一些专家学者将这一概念进行改造与完善．率先提出微课程概念的是广东佛山教育局的胡铁生，他对微课程在教与学两个方面的革新提出建设性观点．深圳市龙岗区教师进修学校的李玉平老师带领其他教师成立微学时代工作室，开发一系列微课程，以数字故事的形式讲述教学中一个又一个非常有意义的变化，受欢迎的程度完全超出他们的想象． 微 关键就是短而精，内容小而作用大． ２一微课和传统课堂的区别 传统课堂，一节课为４０分钟或者４５分钟．目前学校教育实施的班级集体教学的组织方式与基本单位．学校的主要工作和教学活动是以上课作为主体，上课是学校日常教学工作的核心．在经典教学论的学术专著中，对 课 的定义是： 课时有时间限制二有组织的教学过程的单位，其作用在于达到完整二然而又是局部性的教学目的． 微课程是把教学中某个知识点以视频的形式呈现给学生．一个微课程只讲一个点，可以是某个重点二难点，一道题目或者一个实验．学生借助电脑二手机二ｉｐａｄ等设备下载后，可以随时拿出来学习．对比这两种教学方式，可以发现，传统课堂传授知识快，集中，知识连贯性好．但对于个体的学生，接受能力有差异，势必会出现部分学生无法理解当堂课的知识．而微课程在传统课堂不能满足的情况下，正好可以弥补．学生在课余时间，对于自己不清楚的知识点，打开相应微视频再学习一遍即可． ３一微课教学对数学学习的影响 ３．１一微课教学促进数学认知结构的形成． 数学认知结构，是学生头脑中的数学知识按照自己的理解深广度，结合自身的感觉二知觉二记忆二思维二联想等认知特点组合成的具有内部规律的整体结构．微课建立在学生认知水平的最近发展区内，作为知识传授的载体，使学生从以往知识的被动接受者转变为主动探索者，根据自己的理解程度反复观看视频内容促进认知结构的形成．教师则成为学生学习中的指导者和促进者，有更多的时间与学生互动，解答疑问，引导学生逐步形成稳定的数学认知结构．３．２一微课教学激发数学学习兴趣． 微课教学以建构主义理论为基础，强调学生学习的主体性二主动性．借助于现代信息技术微课教学为学生创设自主及协作学习环境，使学生充分地参与到数学活动中，切身体会自主探索及与其他学生合作交流的快乐，获得求知的满足与成功的体验．因此数学微课教学成为激发学生数学学习兴趣的金钥匙．３．３一微课教学更新数学学习方式． 微课的发展为数学教学开辟了多元化的学习方式，其中一种先进的学习方式为Ｅ－Ｌｅａｒｎｉｎｇ，被翻译成 数字化学习 ．通过Ｅ－Ｌｅａｒｎｉｎｇ学生学习的数学知识不仅来源于书本，还来源于网络中丰富的数据库资源，学生通过手持移动终端随时随地进行微课学习，并为师生与生生之间提供了一个交互式的学习环境．４一微课该在什么时候使用 教师制作微课，在数学教学的很多环节中，微课程可以起到辅助作用．一般模式不固定，针对不同的时段和不同的内容对教学有不同的要求．４．１一课前预习 课本中有很多知识，凭高中生的能力完全可以自学，或者只需要老师稍微点拨就可以明白．学生在预习的时候老师加以指导，将这一过程录制下来，配上醒目的提醒语，利用视频剪辑软件制作成五分钟左右的微课程，传到校园网或班级ＱＱ群，供学生点击或下载观看．通过这类微课的学习，学生逐渐学会如何预习， ３ 中学数学杂志一２０１５年第３期一一一一一一一一一一一一一一一ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 一
高中数学学业水平考试必备公式
高中数学学业水平考试必备公式
一、 1、定义域： （1）根号： （2）分母： （3）对数： 2、对数与指数互换：725log 8x a =? =? ()a b a b a b x x x x x =÷==g 3、奇函数：f(x)与f(-x)_____ 偶函数：f(x)与f(-x)_____ 二、 1、诱导公式： sin ()πα+= cos ()πα+= tan ()πα+= sin () πα-= cos () πα-= tan () πα-= sin ()2πα+= cos ()2 π α+= sin ()2πα-= cos ()2 πα-= sin 2) (πα+= cos 2) (πα+= tan 2) (πα+= sin (2)πα-= cos (2)πα-= tan (2)πα-= sin ( )α-= cos ( )α-= tan ( )α-= log log log log a a a a M N M N +=-=
2、两角和与差公式： Sin: Cos: Tan: 3、二倍角： sin2α= cos2α= = = tan2α= 4、正弦定理： 余弦定理： 5、特殊角三角函数值 α 0 6π 4π 3π 2π 23 π 34 π 56 π 2π Sin cos tan 6 、 sin() y A x ω?=+的 周 期 是 ： cos()y A x ω?=+的周期是： tan() y A x ω?=+的周期是： 7、同角三角函数关系：（1）
（2） 三、 等差数列 通项公式： 前n 项和公式： 等差中项：（a,b,c ） 等比数列 通项公式： 前n 项和公式： 等比中项：（a,b,c ） 四、 直线： 1.（k 与倾斜角）k= 两点的斜率公式k= 2. 3.直线Ax+By+C=0的斜率： 4.点到直线距离公式： 5.平行线间的距离公式： 6.圆的标准方程： 圆心： 半径： 7. 圆 的一般方程： （方程表示圆的条件： ） 圆心： 半 12//l l ?12l l ⊥? 220 x y Dx Ey F ++++=
高中数学巧学巧解大全
高中数学巧学巧解大全 第一部分 高中数学活题巧解方法总论 一、代入法 若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。 【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点 ),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围 成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程； 【巧解】联立2 x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)2 5 ,21(Q ， 设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则2 2 5,2 21 t y s x +=+=， 即2 52,2 12- =-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2 )2 12(2 52-=- x y 化简可得8 112 + -=x x y ，又点P 是L 上的任一点， 且不与点A 和点B 重合，则221 21<-<-x ，即4 541<<-x ， ∴中点M 的轨迹方程为8 112 + -=x x y （4 54 1<<- x ）. 【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双 曲线12 2 =-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1 m 。 过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ?的重心G 所在的曲线方程。 【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22 221x y -=，（1）垂 线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+??-=? 得垂足1111 (,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y
高中数学教学中运用微课的措施
高中数学教学中运用微课的措施 数学学科是高中教学的重点课程，其内容相对较难，有效的高中数学教学方法一直是我国教育工作者所追求的目标，微课作为一种全新的教学资源，在教学中的优势是众所周知的，不仅能将教学内容以精简的方式呈现，而且教学的针对性极强。为此，本文先對高中数学教学中运用微课的优势进行了分析，然后对其具体措施进行了探讨，仅供相关教育研究参考。 标签：高中数学；微课；措施 微课在近些年的教育教学中运用的极为频繁，非常符合信息化社会的发展趋势。为此，在新时期的高中数学教学之中，老师想要跟上时代教育的步伐，就需要加强对其的深入分析与研究，将之合理运用到教学的各环节之中，以此来激发与保持学生的学习兴趣，更好的提升学生的学习能力及素质，为学生的全面发展奠定扎实基础。 一、高中数学教学中运用微课的优势分析 （一）提高课堂教学效率 高中数学的抽象理论知识较多，教学内容较为枯燥无趣，学生难以长时间保持学习注意力。而微课不仅内容较短，并且内容较为清晰易懂，教学目的较为明确。将之合理运用到高中数学教学之中，能够充分把握学生注意力集中的时间来教学，能使知识的吸收达到最大化，能显著提高高中数学课堂教学效率。 （二）提高教育者教学水平 高中数学教学过程中，老师在制作微课的过程中，能对教学内容进行全面与深入的分析，并结合学生及其他老师对自己教学方法的反馈，发现自己微课教学中的弊端，并不断对之反思与优化，能显著提高高中数学老师的教学水平，为教与学的共同发展奠定扎实基础。 （三）提高学生的自主学习能力 微课制作过程中，常围绕一个知识点来进行，学生只需要花少许时间对老师制作的微课进行观看即可，微课的此种教学特点，能使学生的课后自主学习更为方便，学生可以更加随时随地的学习。如上学、放学路上等，能在提高学生自主学习能力的同时，更好的提高学生的学习水平。 二、高中数学教学中运用微课的具体措施 （一）预习环节
高考数学巧解：非线性目标函数---平方和型(含详解答案)
试卷第1页，总3页 高考数学巧解：非线性目标函数---平方和型 1．若实数x ，y 满足2x y +≥，则222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2- B ．0 C ．12- D ．12 - 2．已知,x y 满足250250350x y x y x y -+≥??+-??+-≥? ?，则()()2212x y -+-的最大值与最小值的和是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3．设变量x ，y 满足约束条件1,22,10,x y x y x y +≥??-≤??-+≥? 则()223=-+z x y 的最小值为（ ） A ．2 B C ．4 D ．165 4．设集合{(,)|||||1},{(,)|()()0},A x y x y B x y y x y x M A B =+≤=-+≤=?，若 动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ） A ．1 [2 B ．[2 C ．15 [,]22 D ．5,]22 5．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥??-+≥??--≤? ，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的 最大值为（ ） A ．40 B ．9 C ．8 D ．72 6．已知x ，y 满足约束条件10230 x y x y --≤??--≥?当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值 a 2＋ b 2的最小值为（ ） A ．4 B ．3 C D ．2 7．记不等式组2020360x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ，表示的平面区域为D .下面给出的四个命题： 1:(,),0P x y D x y ?∈+… ；2:(,),210P V x y D x y ∈-+? ；
高中数学微课教学方法
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/9e11353362.html, 高中数学微课教学方法 作者：丁江 来源：《文理导航》2017年第35期 【摘要】在高中数学教学改革的过程中，“微课”教学方式逐渐产生，并引起了教育界的广泛关注。微课的核心是教学的微视频，一般只讲授一两个知识点，相比传统的教学方式，时间短、内容少是它的主要特点。它的出现，为高中的教学改革提供了新的思路和方式，也提供学生自主学习。当然，作为新生事物，微课在运用中必定会出现一些问题，下面本文将结合个人多年教学经验，结合实际谈一谈如何在课堂中有效的使用微课教学。 【關键词】微课；高中数学；方法 “微课”是教师为了让学习者更好的自主学习所精心设计的教学视频，它围绕着某个知识点或者是某个教学内容而展开的简短的、完整的教学活动。虽然微课短小，但是它对于很多学习者来说是一个十分重要的学习资源。因此教师在教学时，需要做好微课设计工作，在学习微课的过程中获得提升。下面我将结合自身对于微课的学习和研究经验，谈一谈在制作为微课是需要注意的几个方面。 一、微课的本质与效用 数学是高中教学过程中容易受到多种因素干扰的一门学科，因此教师想要在高中数学教学中保证良好的教学效果，就要利用有利的教学活动以及正确的学生的学习方式和方法。通过教学方式的改革突出学生在课堂上的主体地位，引导学生和帮助学生自主学习，从而达到教学效率的提升。 微课作为学生学习高中数学良好的教学资源，教师需要阅读相关资料，制作出能让同学在自主学习模式下掌握更多知识的课程，从而不断提高学生的学习积极性。为了能够让学生达到良好的教学效果，教师需要在课下做好相关微课以及提纲，针对教学的重点，利用设备进行微课的录制，达到满足学生课堂所需要的教学资源，让学生们自主的学习以及巩固知识。例如在高一教师在引导学生学习“认识函数”等相关理论知识的时候，教师可以通过视频对相关的知识进行录制教学，视频中可以重点解释什么是函数以及函数的作用。教师还可以利用一些具体的生活中的例子对知识点进行讲解，让学生更好的了解函数的具体作用从而达到更好的学习。比如在学校购买某种零食，每袋3元，那么购买的袋数x与应付金额y之间存在一种一一对应的关系，即y=3x，我们可以利用这个对应关系进行方便的运算。 从而可见，微课这种具有针对性且目的性很强的教学活动，可以让学生们更加轻松的理解掌握教学内容以及教学重点，并达到令人满意的教学效果。
