问题44算法与其他知识的交汇问题
一、考情分析
算法是高考每年必考内容,多以客观题形式出现,难度为中等或中等以下,考查方式多为程序框图,按题型划分主要有求结果、填补过程、求输入参量三类,并且此类问题常和其他知识交汇,其中与函数、三角、不等式、数列、概率与统计的交汇是高考热点. 二、经验分享
1.应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构
利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足． 2.与循环结构有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果．
(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断． 三、题型分析 一、算法与函数的交汇
【例1】执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈[－1,3],则输出的s 属于( )
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5]
【分析】由程序框图得分段函数s ＝?????3t ，t <1，
4t －t 2
，t ≥1.所以当－1≤t <1时,s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时,s
＝4t－t2＝－(t－2)2＋4,所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[－3,4],即输出的s属于[－3,4]．
【答案】A
【点评】含有条件结构的程序框图用在需要对条件进行判断的算法程序中,这一点与分段函数相关问题恰好结合在一起,体现了分类讨论思想的应用.含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系,对于分段函数求值,一定要首先判断输入的x的值, 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式求值.
【小试牛刀】【山东潍坊市2019届高三下学期一模】执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）
A．0 B．C．0或D．0或1
【答案】C
【解析】程序对应的函数为y，
若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．
若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．
综上x＝0或e，
故选：C．
二、算法与三角的交汇
【例2】执行如图所示的程序框图,若输入的x∈[0,2π],则输出y的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[－1,1]
C ．[－
2
2
,1] D ．[－1,
22
] 【答案】C
【分析】解决本题的关键是读懂程序框图,知道输出的y 为sin x ,cos x 中的较大值
【解析】根据程序框中判断框内的条件,得知y 为sin x ,cos x 中的较大值．在同一个坐标系中画出y ＝sin
x ,y ＝cos x 的图象,可知y 的取值范围为[－
2
2
,1]． 【点评】本题是条件结构的程序框图,条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中,故条件结构常与比较大小及分段函数相结合.
【小试牛刀】【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】执行如图所示的程序框图，输出的值为
A ．0
B ．
C ．1
D ．－1 【答案】A
【解析】第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1+1＝2，k ＞4不成立，
第二次循环，k ＝2，S ＝1+cos 1=，k ＝2+1＝3，k ＞4不成立；
第三次循环，k ＝3，S ＝cos ，k ＝3+1＝4，k ＞4不成立； 第四次循环，k ＝4，S cos
，k ＝4+1＝5，k ＞4成立
退出循环，输出S ＝0， 故选：A ．
三、算法与不等式的交汇
【例3】执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【分析】当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1,当条件x ≥0,y ≥0,x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋
y ,下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组????
?x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1
表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大,其最大值为2×1＋0＝2,故输出S 的最大值为2.
【答案】C
【点评】本题是算法与不等式的交汇,以算法为载体,考查了线性规划问题．在知识交汇处设计问题,是高考算法的一大特点．
【小试牛刀】执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为____________.
【答案】3
【解析】运行程序：12
－4×1＋3＝0,x ＝2,n ＝1；22
－4×2＋3<0,x ＝3,n ＝2；32
－4×3＋3＝0,x ＝4,n ＝3；42
－4×4＋3>0,退出循环,输出的n 的值为3.故填3. 四、算法与数列的交汇
【例4】阅读如图所示的程序框图,若输入的9
19
a =
,则输出的k 值是（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 【答案】C
【解析】由程序框图知, S 为数列)())((1
21
1212112121+--=+-=k k k k a k 的前k 项和,由裂项法
得,)(S 121121+-=
k ,然后由19
9
121121>
+-=)(S k 得9>k ,所以当10≥k 时程序运行结束,此时11=k ．故选C ．
【点评】解决本类问题先从宏观理清框图是解决什么具体问题的,然后严格按照步骤执行其流程要求．关键是每次循环过后,将每个变量一一列出,如果循环次数较多就要总结规律,如等差、等比数列通项、周期等；如果循环次数较少,可以全部列出．也可直接由程序运行的实质得到一般性的结论,如本题实为裂项法求数
列的和,然后求解即可． 【小试牛刀】如图给出了计算
1111
246
60
++++
的值的程序框图,其中①②分别是（ ）
（A ）30i <,2n n =+ （B ）30i =,2n n =+ （C ）30i >,2n n =+ （D ）30i >,1
n n =+
【答案】C
【解析】因为2,4,6,8,…,60构成等差数列,首项为2,公差为2,所以2＋2(n －1)＝60,解得n ＝30,所以该程序循环了30次,即i >30,n ＝n ＋2,故选C ． 五、算法与概率统计的交汇
【例5】下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图,则图中空白框内应填入（ ）
A ．M q N = C ．N q M N =+ D ．M
q M N
=+
【答案】D
【解析】由程序框图可知,M 为及格的人数,N 为不及格人数,所以及格率M
q M N
=+,故选D ．
【点评】解决循环结构的程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和,如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积,如p ＝p ×i .
【小试牛刀】如果执行如图所示的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12N a a a ，，，,输出A B ，,则（ ）
A ．A
B +为12N a a a ，，，的和 B ．
2
A B
+为12N a a a ，，，的算数平均数 C ．A 和B 分别是12N a a a ，，，中最大的数和最小的数 D ．A 和B 分别是12N a a a ，，，中最小的数和最大的数 【答案】C
【解析】据程序框图可知,,A B 分别为12,,,N a a a 中的最大数和最小数,故选C.
六、算法与数学文化的交汇
【例6】若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为()mod N n m =,例如()102mod 4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的n 等于（ ）
A ．20
B ．21 C.22 D ．23 【答案】C
【解析】由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①被3除余1,②被5除余2,最小为两位数,所输出的22n =,故选C. 【点评】数学文化与程序框图的交汇是近几年高考热点. 【小试牛刀】公元263年左右,我国数学家刘徽发现,
当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘 徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计程
序框图,则输出的n 值为（ 1.732,sin150.2588?≈,sin7.50.1305?≈．
A ． 12
B ． 24
C ． 48
D ． 96 【答案】B
【解析】由程序框图,,n S 值依次为：6, 2.59808n S ==；12,3n S ==；24, 3.10583n S ==,此时满足
3.10S ≥,输出24n =,故选B ．
四、迁移运用
1．【2019届广东省数学模拟试卷（一)】设x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）
A ．S ＝2，这5个数据的方差
B ．S ＝2，这5个数据的平均数
C ．S ＝10，这5个数据的方差
D ．S ＝10，这5个数据的平均数
【答案】A
【解析】根据程序框图，输出的S 是x 1＝18，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝22这5个数据的方差，因为
，
∴由方差的公式S ＝．
故选：A ．
2．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟】某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）
A ．为了计算
B．为了计算
C．为了计算
D．为了计算
【答案】A
【解析】运行程序，，，判断是；，判断是，，……，以此类推，表达式的最后一项的指数比下一个要少，故，退出程序，输
出的值.所以程序框图是为了计算，故选A.
3．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】秦九韶是我国宋时期的数学家，他在所著的
数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用
秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】一次循环，，，成立，则，，
第二次循环，，成立，则，，
第三次循环，，成立，则，，
第四次循环，，成立，则，，
第五次循环，，成立，则，，
第六次循环，，不成立，输出，
故选：C．
4．【陕西省榆林市2019届高三第二次模拟】为计算，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+ (100)
（﹣2）99，i＝100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜100．
故选：A．
5．【晋冀鲁豫名校2019届高三上学期期末】若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意结合流程图可知流程图输出结果为，
，
.
本题选择C选项.
6．【山东省日照市2018届高三4月校际联考】条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成,用
来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“”通用代码,它是由从左到右排列的个数字（用
表示）组成,这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码,其中是校验码,用来校验前个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序框图,框图中符号表示不超过的最大整数（例如）.现有一条形码如图（2）所示（）,其中第个数被污损,那么这个被污损数字是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析由流程图可知,S表示的结果为前12项中所有偶数项之和,
T表示的结果为前12项中所有奇数项之和,则：
S=7+7+4+1+9+1=29,T=9+a3+0+0+1+9=19+a3,
M=3×29+19+a3=106+a3,检验知,,可知,
结合选项进行检验：
若,则,不合题意；
若,则,符合题意；
若,则,不合题意；
若,则,不合题意.
本题选择B选项.
7．【2018年4月高三第二次全国大联考】我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示,已
知为良马第天行驶的路程,为驽马第天行驶的路程,为良马、驽马天行驶的路程和,若执行该程序框图后输出的结果为,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,得良马天的行程为,驽马天的行程为
,所以良马、驽马天
的总路程为
,当
时,
；当
时,
.因为输出
,所以
．故选C.
8.考拉兹猜想又名31n +猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i =（ ）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7 【答案】D
【解析】模拟算法：开始：10,1a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,5,2a i ==,1a =不成立； a 是奇数,成立,16,3a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,8,4a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,4,5a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,2,6a i ==,1a =不成立；a 是奇数,不成立,1,7a i ==,1a =成立；输出7i =,结束算法.故选D.
9．执行如图所示的程序框图,若输出3-=y ,则输入角=θ（ ）
A ．
6π B ．-6π C ．3π D ．-3π
【答案】D
【解析】对于选项A ,当
6π
θ=
时,所以
1sin sin
6
2y π
θ===
,则输出1
2y =
,不符合题意；对于选项B ,当
6π
θ=-
时,所以
1sin sin()6
2y π
θ==-
=-
,则输出12y =-,不符合题意；对于选项C ,当3πθ=
时,
所以
tan tan
3
y π
θ===,则输
出y =,不符合题意；对于选项D ,当
3π
θ=-
时,所
以
t a n t a n (
3
3
y π
θ==-
则输出y =符合题意；故应选D ．
10.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间1,42
??????
内,那么输入的实数x 的取值范围是(
)
A. []2,2-
B. []1,2-
C. ()[),21,-∞--+∞
D. ()(),22,-∞-+∞
【答案】C
【解析】该程序框图的作用是计算分段函数()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ?∈-?=?∈-∞-+∞??
的函数值．当[]
2,2x ∈-
时,由12,42x ??∈????
得[]1,2x ∈-,当()
(),22,x ∈-∞-+∞时,()12,22f x ??
=∈?
???
,所以输入的实数x 的取值范围是()
[),21,-∞--+∞,故选C.
11.某班有24名男生和26名女生,数据a 1,a 2,…,a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0),如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ,男生平均分：M ,女生平均分：－W .为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用正数,女生的成绩用其成绩的相反数,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的( )
A ．T >0？,A ＝M ＋W
50
B ．T <0？,A ＝M ＋W
50 C ．T <0？,A ＝M －W 50 D ．T >0？,A ＝
M －W
50
【答案】D
【解析】 依题意得,全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数,注意到当T >0时,输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T <0时,输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数．因此结合题意得,选D.
12.如图所示,算法框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数( )
A ．y ＝x ＋1的图象上
B ．y ＝2x 的图象上
C ．y ＝2x
的图象上 D ．y ＝2
x －1的图象上
【答案】D
【解析】 由算法框图可知输出的实数对(x ,y )为(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),这些点都在函数y ＝2x －1
的图象
上,故选D.
13.如图,若4n =时,则输出的结果为 .
【答案】
9
4 【解析】开始,1,0k S ==,
故11
0(211)(211)3
S =+
=?-??+,因为14<,故进入循环.
第二次计算,112k =+=,111123(221)(221)3355
S =+=+=?-??+?； 因为24<,故进入循环. 第三次计算,213k =+=212135(231)(231)5577
S =
+=+=?-??+?； 因为34<,故进入循环,第四次计算,314k =+=,
313147(241)(241)7799S =
+=+=?-??+?；因为44<不成立,所以输出S ,即输出49
14.如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为
A 1,A 2,…,A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图．那么输出的结果是
________．
【答案】10
【解析】从程序框图可知,该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10. 15.已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋n －1,若利用如图所示的程序框图进行运算,则输出n 的值为________．
【答案】11
【解析】由数列递推关系可得a n ＋1＋(n ＋1)＝2(a n ＋n ),故数列{a n ＋n }是首项为1＋1＝2,公比为2的等比数列,a n ＋n ＝2×2
n －1
＝2n
,a n ＝2n
－n ,所以S n ＝(2＋22
＋ (2)
)－(1＋2＋…＋n )＝2（1－2n
）1－2－n （n ＋1）2
＝2
n
＋1
－2－
n （n ＋1）
2
,当n ＝11时,S 11＝212－2－66＝4 028>2 015,当n ＝10时,S 10＝211
－2－55<2 015,结合程序
框图可知输出的n ＝11.
高三数学一模考试总结3篇 高三数学一模考试总结篇一： 一、试卷分析 作为高三开学后的第一次一模考试，本试卷整体结构及难度分布合理，贴近全国卷试题，着重考查基础知识、基本技能、基本方法(包括基本运算)和数学基本思想，对重点知识作了重点考查，主要检测学生对基本知识的掌握以及解题的一些通性通法。试题力求创新。理科和文科试题中有不少新题。这些题目，虽然素材大都源于教材，但并不是对教材的原题照搬，而是通过提炼、综合、改编新创为另一个全新的题目出现，使考生感到似曾相似但又必须经过自己的独立分析思考才能解答。 二、答卷分析 通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点： 1、客观题本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，送分题几乎没有，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考察，对于我们这类学生答题比较吃力，客观题得分较低，导致总分低。 2. 基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练. 3. 审题不到位，运算能力差，书写不规范. 审题不到位在的第18题表现的较为明显。这是一道概率题，由于审题不到位致使将概率模型搞错、在(Ⅰ)问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题到处可见. 4. 综合能力不够，运用能力欠佳. 第21题为例，这道题是导数问题(Ⅰ)求单调区间，(Ⅱ)求
恒成立问题(Ⅲ)最值问题由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。绝大部分学生几乎白卷。 5. 心态不好，应变能力较弱. 考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到 三、教学建议 后阶段的复习，特别是第二轮复习具有承上启下，知识系统化、条理化的作用，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，如何才能在最后阶段充分利用有限的时间，取得满意的效果?从这次的检测结果来看： 1、研读考纲和说明，明确复习方向 认真研读考试大纲和考试说明，关注考试的最新动向，不做无用功，弄清了不考什么后，还要弄清考什么，做到有备无患。 2、把所学知识和方法系统化、网络化 (1)注重基础知识，整合主干内容，建构知识网络体系。专题训练和综合训练相结合，课本例习题和模拟试题都重视，继续查漏补缺，归纳总结，巩固和深化一轮复习成果。 (2)多思考感悟，养成良好的做题习惯。分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。做到审题三读：一读明结构，二读抓关键，三读查缺漏;答题三思：一思找通法，二思找巧法，三思最优解;题后三变：一变同类题，二变出拓展，三变出规律。以此总结通性通法，形成思维模块，提高模式识别的能力，领悟数学思想方法，从而提高解题能力 3、合理定位，量体裁衣
高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---
高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
高三数学一模质量分析 淄博十七中高三数学组 一、试卷分析 1、试卷质量高 这次一模试卷质量很高，试题设计相对平稳，没有十分难的试题，整卷区分度较好。选择题有新颖、填空题有创新，解答题入口宽，方法多，在解题流程中设置关卡，试卷保持了和2008年山东高考数学试题的相对一致。 2、试题知识点分布 试卷涵盖高中数学五本书的所有章节的主干知识，符合山东卷的特点，不仅考查了学生的基础知识和运用知识解决问题的能力，而且对培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力有一定的指导和促进作用。 二、得分分析 我校实际参加考试人数理科107人，文科420，其中最高分105分，平均分33.8分,及格人数为7人。 高三数学一卷(满分60)均分25.8 , 得分率0.43 二卷填空题(满分16) 均分4分,得分率0.25, 解答题17是三角题(满分12分), 18题是概率题(满分12分),19题(满分12分)是立体几何题均分4分, 得分率只有0.11，后面20、21、22题得分很低，得分率约0.02。 三、存在问题 1、备课组层面 从目前的教学情况看，“学案导学”教学模式虽然有了很好的推广,但艺术学生（十七中大部分是艺术生）大部分都专注于艺术课,用于数学学习的时间太少，致使他们没有及时完成课后练习及课前预习；学生的情绪不稳定，很多人的心思还在艺术上；学生自主学习的能力没有得到进一步的提高；高三复习时间紧张，教学内容较多，相对化在课本上的时间较少，本来他们的基础就比较薄弱，因此，一定要高度重视教材，针对教学大纲所要求的内容和方法，把主要精力放在教材的落实上。 2、教师层面 教学中应关注每一位学生，尤其是中下游学生，对中下游学生的关注度不够；对艺术生的关注和了解还不够;课堂教学中应落实双基，以基础为主；课堂教学和课后反思不到位；教师之间的相互听评课还有代于进一步提高。在高三数学复习中，对概念、公式、定理等基础知识落实不够，对推理、运算、画图等基本技能的训练落实不够，对数学思想方法的总结、归纳、形成“模块”不够，考生在考试中反映出的问题，不少是与基本训练不足与解题后的反思不够有关。在高三数学复习中，大部分复习工作是由教师完成的，复习中，在学生的解题思路还末真正形成的情况下，教师匆匆讲解，留给学生独立思考的时间和动手、动脑的空间太少．数学高考中，学生的思维跟不上，解题速度跟不上，与我们在平时的复习中，不够注意发挥学生的主体作用，留给学生思考的空间，自已动脑、动手的时间太少有较大的关系。 3、学生方面 1、基础知识不扎实，对公式、定理、概念、方法的记忆、理解模糊。 2、计算能力薄弱，知识的迁移能力差，综合运用知识的能力差。 3、审题不清，答题不全面、不完整、不规范。
1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
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第一章：实数重要复习的知识点： 一、实数的分类：
?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根
一、理科数学试卷分析： （1）从试卷的内容分布来看：理科试卷主要考查集合与简易逻辑，函数，导数，数列，三角这5部分内容，这些都是我们复习过的内容，但这只是我们复习过内容的三分之二，近期复习的内容没有考。（2）从试卷的难度方面来看，理科试卷总体难度适中，但有四道题难度较大，其中有两道题难度很大。其中这四道题均为陈题，陈题中的数字，字母，符号，文字一点都没有改。这四道题的出错率很高，. （3）从试卷分值情况来看，分值分布比较合理, 均分分，分值偏底，高分不多，没有满分，最高分为155 分。没有满分，是一个缺憾。主要原因是上面列出来的第8题和第19 题太困难。这两道题让我们教师做，也不容易做出来。难倒了我们许多数学高手。而这样的题目就出现在38 套试卷中的第一份试卷中。（4）总体来说，试卷考查着主干知识，各块知识在试卷中分布合理。试卷总体难度适中，只是个别题目偏怪，影响了平均分。试卷有很好的区分度，各个不同类别的班级的均分存在着合理的差距。因为我们的学生没有做过陈题，这样的试卷对我们的学生还具有考查能力的目的。二、一轮复习以来的教学情况回顾：（1）做得好的地方：我们早已制定了高三数学一轮复习计划，计划详实，具体，周密。计划内分工明确合理操作性强，大家现在就是按照计划在一步一步地做着我们的事情。备课组成员能团结协作，能步调一致地开展工作．大家工作积极性都比较高，工作都比较认真，分配的工作大家都能按时或提前完成。具体地说：每个成员能按照我们计划中分工的任务能及早地把教案备出来，在集体备课时我们能按照学校的要求积极研究教案和讨论与教学相关的事情，绝不是流于形式，编写的教案、各种周练、各种练习都经过多人审核修改，可以说质量较高，出错率很低。备课组正常开展听课活动，我在每次听课活动时，都点名，缺席人员都被记载下来。课堂教学方面：重视学生先做教师后讲，教师要讲学生不会的东西而不是会的东西，教师上复习课的模式是从问题出发，引出基本知识和基本方法，而不是要花很长时间先去梳理知识。我们重视课堂练习与课后练习：每周二的周练，周四的双课中的一节单课练，周六的一份综合性的滚动练习。在“五严”的背景下与“数学学科的重要性”的前提下，我们要求老师对学生要求采取“适度从严”和对学生作业“适度从多”原则。我们能及时发现教学中薄弱环节，能做到及时的弥补，如数列，导数内容在一轮复习时不到位，附加题在高二教得不到位，这些内容在我们平时的滚动练习中就经常出现，以强化这些重要内容。到目前为止，我们所有的学生讲义，练习都是自编的。都是在研习考试说明的前提下编制的。本学期以来，我们自认为我们的一切工作已是比较实在，特别是近期工作。 高三四月数学调研考试质量分析（武汉卷）一、试题评价调考数学试卷，总的说来，试卷遵循“两纲”，立足教材，强调基础，注重思维，突出能力，特色鲜明，在传承中折射创新，在平和中不乏亮点，有坡度，有难度，有较好的区分度，具有很好的选拔功能，充分表现出武汉市当好湖北省文化教育、教学研究和高考备考的领头羊的特点。 1 ．深化能力立意思想、展现创新意识空间试卷在讲究整体谋篇布局的同时，立意创新和推陈出新，尤其是选择题、填空题，标高与高考题相当。试题既考察学生的基础知识，同时着眼于学生能力的思维品质，在传统内容上创
高三数学知识点总结大全 高中数学重难点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。 必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容) 理科：选修2—1、2—2、2—3 选修2--1：1、逻辑用语 2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化) 选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数 选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。高考必考，10分2、随机变量及其分布：不单独命题3、统计： 高考的知识板块 集合与简单逻辑：5分或不考 函数：高考60分：①、指数函数②对数函数③二次函数④
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
2019届高三数学一模考试质量分析 一、试题总体评价：注重基础、突出能力、难度稍大 本试题紧扣教材、《考试大纲》和《考试说明》，在注重基础的同时更加突出了对考生(运算、迁移、应变等)能力的考查，符合当前高考命题基本原则与发展趋势。试题比较全面地考查了学生通过一轮复习后对基础知识与基本能力的掌握情况，充分体现了既注重基础又突出能力的特点。试题在全面覆盖了高中数学绝大多数高考考点的同时，对高中数学主干知识进行了重点考查，但由于我校一轮复习没有结束，而本试题有37分的试题学生没有复习到，对他们来说难度就大，且大部分题目来源于各省高考试题，难度较大。 二、学生答题情况分析：基础不牢,能力不强, 缺乏策略 1、学生基础知识不牢，解题能力较差：如试卷的第1题、第5题、第6题、第8题、第13题、第17题都是一些常规题，解题思路存在一定问题。 2、运算能力不强：具体表现在试卷第15、20题的运算，尤其是解题思路和方法对的学生由于计算复杂而没有结果，很让人遗憾。 3、审题不清：如试卷第1题、第12题均存在审题不清的问题。 4、推理归纳能力和数形结合解决问题能力差：如试卷第11、12、13、16、19、22题等题尤为明显。 5、解答策略缺乏，抓分意识不强：根据学生考卷，考后教师与部分学生交谈，了解到部分学生心理素质较差，情绪不够稳定，考试
过程中有些心慌意乱，碰到某些棘手题乱了阵脚，在一些选择题，填空题上花费了较长时间，致使后面某些有能力做出的解答题因无时间而白白丢掉。 三、下阶段的教学措施 1、要认真回顾和反思“一轮”复习中各个环节的得失，认真分析和总结“一模”测试中学生存在的不足，科学规划和严密组织后阶段的各项备考工作。 ⑴高三第一轮复习将于3月底结束，这轮复习主要是：梳理知识、构建网络、训练技能和兼顾能力。根据学生实际与教学要求精心设计练习引领学生主动参与知识构建和技能训练，并把课前、课堂和课后进行有机整合，使学生对数学的基本知识、基本技能和重要的数学思想方法能经历恢复记忆、加深理解到巩固熟练的过程。通过“一模”测试，我们要研究以前的各项工作和措施哪些是有效的，哪些还存在着不足，还应采取何种策略加以改进和弥补等等，都要有思考、有措施、有策略，努力使我们的复习教学工作有较强的科学性和针对性，进一步提高实效性。 ⑵高三第二轮复习于4月份开始，这轮复习是：强化基础、完善网络、熟练技能和培养能力。我们采取的措施是以知识块为载体，组织专题复习，要求做到：使学生能理清块内的知识、方法和相关的数学思想方法，熟悉解决问题的方法与途径，了解相关知识与其它数学知识的区别与联系等。即根据高考要求，把高中数学的主干知识和重要内容予以重点关注，并穿插数学思想方法。从“一模”测试情况看，
高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。
第一部分《数与式》知识点 2a a π????????????????????????定义：有理数和无理数统称实数.有理数：整数与分数分类无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数运算运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（，单项式：系数与次数分类多项式整式数与式()01;;(),();();1;m m n m n m n m n m n mn m m m m p m p a a a a a a a a a a ab a b a a b b a +--??????=÷====== ? ???????? ?÷÷??：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项幂的运算:单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先22222()()()2;(a b a b a b a b a ab b a a m a a m b b m b b m ???????????????+-=-???±=±+????????÷??== ??÷??平方差公式：乘法公式完全平方公式：分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零分式分式的性质：通分与约分的根据）通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式 化简求值20).0.(0)(0)a a a a a a ??????????????????????≥??=???-≤????????的通分、符号变化）整体代换求值≥叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次 二次根式的运算222222()()2()()()()a b a b a b a ab b a b x a b x ab x a x b ???????????????????????-=+-???±+=±???+++=++??根式定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）平方差公式：分解因式公式法方法完全平方公式：十字相乘法：分组分解法：（对称分组与不对称分组）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试题 数学试题卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为虚数单位，则（） A. B. C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】由题意可得：. 本题选择A选项. 2. 集合的子集的个数为（） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】集合含有3个元素，则其子集的个数为. 本题选择C选项. 3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大； ③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D. 4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C 【解析】因为等差数列中，，所以，有 ，所以当时前项和取最小值.故选C...................... 5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（） A. 95，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91 【答案】B 【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B. 6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为 或者.故选D. 7. 已知，且，则的最小值为（） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】由题意可得：，则： ， 当且仅当时等号成立， 综上可得：则的最小值为9. 本题选择B选项. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的
? ? n - 2 上海市杨浦区 2018 届高三一模数学试卷 2017.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 计算lim(1 - 1 ) 的结果是 n →∞ n 2. 已知集合 A = {1, 2, m } ， B = {3, 4}，若 A I B = {3} ，则实数 m = 3. 已知cos θ= - 3 ，则sin(θ+ 5 π ) = 2 4. 若行列式 2x -1 4 = 0 ，则 x = 1 2 ? 1 -1 2 ? 5. 已知一个关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是 0 1 2 ? ，则 x + y = 6. 在(x - 2 )6 的二项展开式中，常数项的值为 x 7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）， 先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 8. 数列{a } 的前 n 项和为 S ，若点(n , S ) （ n ∈ N * ）在函数 y = log (x + 1) 的反函数的图像上，则 a n = 9. 在?ABC 中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角 B 的最大值为 10. 抛物线 y 2 = -8x 的焦点与双曲线 x 2 a 2 y = 1 的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近 线的夹角为 11. 已知函数 f (x ) = cos x (sin x + 为奇函数，则α的值为 x 2 2 3 cos x ) - 3 ，x ∈ R ，设 a > 0 ，若函数 g (x ) = f (x +α) 2 12. 已知点C 、 D 是椭圆 + y 4 = 1 上的两个动点，且点 M (0, 2) ，若 MD = λMC ，则实 数λ的取值范围为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 在复平面内，复数 z = 2 - i 对应的点位于（ ） i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广：an=am+n-mdn，m∈N_. 2若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aqm，n，p，q∈N_. 3若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…k，m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中中间项. 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=na1+an/2
两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法：验证2an-1=an+an-2n≥3，n∈N_都成立; 3通项公式法：验证an=pn+q; 4前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的， 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外，若b>0，则有>1?;=1?;<1?. 概括为：作差法，作商法，中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性：a>b?; 2传递性：a>b，b>c?; 3可加性：a>b?a+cb+c，a>b，c>d?a+cb+d;
中考第一轮复习-数学知识网络(1) 实 数 一、 实数的有关概念 1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数 和为0. 2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为 a 1 .注意:0没有倒数. 3、 绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=?? ?≤-≥) 0() 0(a a a a 4、 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小 6、 无理数：无限不循环小数 7、 实数分类：实数? ???????数）无理数（无限不循环小 小数）（有限小数或无限循环 分数 整数有理数 8、 科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数） 9、 非负数：指 a ≥0，非负数有|a|，2 a ，a .注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数为0. 二、 实数的有关计算 1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方 2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号；同级运 算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。 3、 运算律： （1） 加法交换律：a+b=b+a （2） 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3） 乘法交换律：ab=ba （4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc) （5） 乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc 中考第一轮复习-数学知识网络（2） 整 式 一、整式 1、 整式定义：没有除法运算，或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。 2、 整式运算： （1）整式的加减法：实质是去括号后合并同类项 ①同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫同类项 ②合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。注意：不是同类项不能合并。 ③去括号法则： a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c ④添括号法则：a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) (2)整式的乘、除法： ①幂的运算法则：
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1