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八年级下册数学分式分式方程知识点整理

八年级下册数学分式分式方程知识点整理
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分式方程

一、本节学习指导

解分式方程和我们前面学习的解方程有很多相似之处,期间会运用到很多分式的计算方式,就这一节来说并不难。做适当练习即能掌握。

二、知识要点

1、分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

(1)、分式方程的解法:

解分式方程的基本思想方法是:分式方程

转化

去分母

整式方程.

解分式方程的一般方法和步骤:

①去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;

②解这个整式方程;

③检验:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解是原方程的解,使最简公分母等于0的解不是原方程的解,即说明原分式方程无解。

注意:①去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项;

②解分式方程必须要验根,千万不要忘了!

(2)、解分式方程的步骤:

(1)能化简的先化简;

(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;

(3)解整式方程;

(4)验根.

(3)、分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。

(4)、含有字母的分式方程的解法:

在数学式子的字母不仅可以表示未知数,也可以表示已知数,含有字母已知数的分式方程的解法,也是去分母,解整式方程,检验这三个步骤,需要注意的是要找准哪个字母表示未知数,哪个字母表示未知数,还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数,不要混淆。

2、列分式方程解应用题

(1)列分式方程解应用题的步骤:

①审:审清题意;

②找: 找出相等关系;

③ 设:设未知数;

④ 列:列出分式方程;

⑤ 解:解这个分式方程;

⑥ 验:既要检验根是否是所列分式方程的解,又要检验根是否符合题意;

⑦ 答:写出答案。

(2)应用题有几种类型;基本公式是什么

常见的有以下五种:

①行程问题 基本公式:路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题. ②数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法.

③工程问题 基本公式:工作量=工时×工效.

④顺水逆水问题 v v v v v v =+?=-顺水静水水逆水静水水

3、科学记数法:把一个数表示成的形式10n a ?(其中101<≤a ,n 是整数)的记数方法

叫做科学记数法.

(1)、用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为10n a ?的形式,其中1≤︱a ︱<10,n 为原整数部分的位数减1;

(2)、用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -?的形式,其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0),1≤︱a ︱<10.

三、经验之谈:

这一节考点比较多的应该是分式方程的应用题和科学计数法,但应用题基本不会单独命题,步骤虽繁琐,但是难度并不大。科学计数法有两种情况,不要混淆了,填空题中还是比较容易被考到的,并且这一点在物理中用得也比较多,希望同学们掌握好。

八年级数学下册分式的概念教案新人教版

河南省洛阳市下峪镇初级中学八年级数学下册《分式的概念》教案 主持人: 时间 参加人员 地点 主备人 课题 分式的概念 教学 目标 知识与技能:经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式 2、过程与方法:使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3.情感态度与价值观:。能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。 重、难点 即考点 分析 重点:探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 难点:能通过回忆分数的意义,探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 分析:分式的混合运算的关键是掌握异分母分式的通分以及因式分解的熟练程度 课时安排 1课时 教具使用 彩色粉笔 教 学 环 节 安 排 备 注 (一)复习与情境导入:填空 (1)面积为2平方米的长方形一边长为3米,则它的另一边长为 米。 (2)面积为S 平方米的长方形一边长为a 米,则它的另一边长为 米。 (3)一箱苹果售价p 元,总重m 千克,箱重n 千克,则每千克苹果的住售 价是 元。 (4)根据一组数据的规律填空:1,16 1,91,41…… (用n 表示) 观察你列出的式子,与以前学过的有什么不同?像这样的式子叫分式。 先根据题意列代数式,并观察出它们的共性:分母中含字母的式子。 (二)实践与探索 例1、下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? (1)x 1; (2)2 x ; (3)y x xy +2; (4)33y x -.

例2、探究: 练习 讨论探索 当x 取什么数时,分式 2||24x x -- (1)有意义 (2)值为零? 例3、已知分式 b ax a x +-2,当x=3时,分式值为0,当x=-3时,分式无意义,求a,b 的值。 可类比分数来解。 讨论探索 (四)小结与作业 分式的概念和分式有意义的条件。 作 业 布 置 本章复习B 组题

八年级数学上册 知识点总结

《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算

(完整word版)苏教版八年级数学下册分式测试题

八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名: 班级: 学校: 一、选择题:(每小题2分,共20分) 1.下列各式: 2b a -,x x 3+,πy +5,()1432+x ,b a b a -+,)(1y x m -中,是分式的共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列判断中,正确的是( ) A .分式的分子中一定含有字母 B .当B =0时,分式 B A 无意义 C .当A =0时,分式 B A 的值为0(A 、B 为整式) D .分数一定是分式 3.下列各式正确的是( ) A .11++=++b a x b x a B .22x y x y = C .()0,≠=a ma na m n D .a m a n m n --= 4.下列各分式中,最简分式是( ) A .()()y x y x +-8534 B .y x x y +-22 C .222 2xy y x y x ++ D .() 222y x y x +- 5.化简2 293m m m --的结果是( ) A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6.若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( )

A .扩大3倍 B .不变 C .缩小3倍 D .缩小6倍 7.A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆 流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时,则可列方程( ) A .9448448=-++x x B .9448448=-++x x C .9448=+x D .94 96496=-++x x 8.已知230.5 x y z ==,则32x y z x y z +--+的值是( ) A .17 B.7 C.1 D.13 9.一轮船从A 地到B 地需7天,而从B 地到A 地只需5天,则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是( ) A .12 B.35 C.24 D.47 10.已知226a b ab +=,且0a b >>,则a b a b +-的值为( ) A .2 B .2± C .2 D .2± 二、填空题:(每小题3分,共24分) 11.分式392--x x 当x _________时分式的值为零,当x ________时,分式x x 2121-+有意义. 12.利用分式的基本性质填空: (1)())0(,10 53≠=a axy xy a (2)() 1422=-+a a 13.分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时,两边都乘以 .

八年级数学下册分式测试题

八年级数学下册《分式》测试题 一、填空题:(每小题2分,共26分) 1、分式3 92--x x 当x __________时分式的值为零。 2、当≠x 时,分式 x -13有意义。当________________x 时,分式8x 32x +-无意义; 3、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 4、约分:①=b a a b 2205__________,②=+--96922x x x __________。 5、若分式231 --x x 的值为负数,则x 的取值范围是__________。 6、已知a+b=5, ab=3,则 =+b a 11_______。 7、一项工程,甲单独做x 小时完成,乙单独做y 小时完成,则两人一起完成这项工程需要__________小时。 8、要使2415--x x 与的值相等,则x =__________。 9、若关于x 的分式方3 132--=-x m x x 无解,则m 的值为__________。 10、已知a + a 1=6,则(a -a 1)2 = 。 11.用科学记数法表示:-0.00002005= . 12.已知311=-y x ,则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 . 13. 计算: a b b b a a -+-= . 二、选择题:(每小题3分,共30分)

1、下列各式y x +15、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、6 5xy :其中分式共有( ) 个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列判断中,正确的是( ) A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时,分式B A 无意义 C 、分式B A 的值为0,则A=0或 B =0即可 D 、分数一定是分式 3、下列各式正确的是( ) A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中,最简分式是( ) A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2 2 C 、2222xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 5、关于x 的方程4 332=-+x a ax 的解为x=1,则a=( ) A 、1 B 、3 C 、-1 D 、-3 6、小明通常上学时走上坡路,通常的速度为m 千米/时,放学回家时,沿原路返回,通常的速度为n 千米/时,则小明上学和放学路上的平均速度为( )千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mn n m + 7、若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 8、若0≠-=y x xy ,则分式 =-x y 11( ) A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 9、A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时,则可列方程( ) A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 9448=+x D 94 96496=-++x x

最新八年级下册数学知识点整理

最新八年级下册数学知识点整理 八年级下册数学知识点整理:第一章分式 1 分式及其基本性质 分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式,分式的只不变2 分式的运算 (1)分式的乘除 乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 (2) 分式的加减 加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减; 异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减3 整数指数幂的加减乘除法

4 分式方程及其解法 八年级下册数学知识点整理:第二章反比例函数 1 反比例函数的表达式、图像、性质 图像:双曲线 表达式:y=k/x(k不为0) 性质:两支的增减性相同; 2 反比例函数在实际问题中的应用 八年级下册数学知识点整理:第三章勾股定理 1 勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中,有两个边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 八年级下册数学知识点整理:第四章四边形

1 平行四边形 性质:对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论:三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形 (1) 矩形 性质:矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等;

矩形具有平行四边形的所有性质 判定:有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2) 菱形 性质:菱形的四条边都相等; 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 菱形具有平行四边形的一切性质 判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 四边相等的四边形是菱形。

八年级数学下册分式加减法教案

授课内容: 分式的加减法 教学目标: 1、掌握同分母分式的加减运算法则,会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念,能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则,会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点:通分 授课内容: 1、同分母分式的加减(这是重点) 法则: 同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减. 用式子可以表示为: c b a c b c a ±=± 注意:同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的,但分式的分子常常是一个多项式,“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减,各分子都应加括号,尤其是相减时,要注意避免符号错误,分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分(这是重点、难点) 根据分式的基本性质,异分母的分式可化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.为了计算方便,异分母分式通分时,通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法: 先对分式的分母进行分解因式,如果分母中含有相同字母,则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式,如果只在一个分母中出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明: ab a 3,22 最简公分母:b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母: (x+4)(x -4) 3、异分母分式的加减(这是重点、难点) 法则: 异分母分式相加减,先通分化为同分母的分式,然后再加减. 注意:异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减,然后按照同分母分式加减法的法则进行计算,转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强,运算时要用到前面的一系列知识,如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为: ①通分:将异分母的分式化成同分母的分式; ②写成“分母不变,分子相加减”的形式; ③分子去括号,合并同类项; ④分子、分母约分,将结果化成最简分式的形式.

人教版数学八年级下册——分式练习题

第十六章分式练习题 一、选择题: 1、下列式子:,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有( )个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是( ) A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是( ) A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是( ) A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是( ) A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是( ) A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是( ) A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是( ) A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解,那么k 的值应为( ) A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程,如果两人合作,6天可以完成,如果单独工作,甲比乙少用5天,两人单独工作各需多少天完成?设乙单独工作x 天完成,则根据题意列出的方程是( ) A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题: 11、分式a a -2,当a______时,分式的值为0;当a______时,分式无意义,当a______时,分式有意义

八年级数学下册第十六章分式知识点总结

第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π,11x +,15 x+y ,22a b a b --,-3x 2,0?中,是分式的有( )个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零;【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式,当x 取何值时有意义。(1)2132 x x ++; (2)2323x x +-。 例3.下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( )。 A .121x + B .21x x + C .231x x + D .2221x x + 例4.当x______时,分式2134 x x +-无意义。当x_______时,分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3,求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不 变。 (0≠C ) 四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值,使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(? )。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,则是(? )。 例8.分式434y x a +,2411x x --,22x xy y x y -++,2222a ab ab b +-中是最简分式的有( )。 例9.约分:(1)22699x x x ++-; (2)2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=

初二上册数学知识点汇总完整版!!!

初二上册数学知识点汇总完整版!!! 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 3、高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 11、正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质: (1)三角形的内角和:三角形的内角和为180°(2)三角形外角的性质:性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。(3)多边形内角和公式:边形的内角和等于·180°(4)多边形的外角和:多边形的外角和为360°(5)多边形对角线的条数:①从边形的一个顶点出发可以引条对角线,把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形

【K12学习】八年级数学下册《分式》知识点归纳北师大版

八年级数学下册《分式》知识点归纳北 师大版 第三章分式 一、分式 1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零. 2、整式和分式统称为有理式,即有: 3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变. 4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二、分式的乘除法 1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 2、分式乘方,把分子、分母分别乘方. 逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三、分式的加减法 1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2、分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是: 异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是: 3、概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四、分式方程 1、解分式方程的一般步骤: ①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

初中八年级数学知识点总结

八年级数学(上)知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一.知识框架 二.知识概念 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为180° 三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形的外角和:多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。

初二下册数学分式计算题题目

一、分式方程计算: (1) 21)2(11+-?+÷-x x x x (2)32232)()2(b a c ab ---÷ (3)2323()2()a a a ÷- (4)0142)3()101( )2()21(-++-----π (5)222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- (6 )(3103124π--????-?-÷ ? ????? (7)2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、(1)3513+=+x x ; (2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. (6) (7) (8) 三、1、先化简,再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ,其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++

2、若使 互为倒数,求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ,求m 的值。 2 3223+---x x x x 与

四、二元一次方程组 解方程组:

五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25=0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+

初二数学下册分式知识点-精选文档

初二数学下册分式知识点 (一)运用公式法: 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有: a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 (二)平方差公式 1.平方差公式 (1)式子:a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解 1.因式分解时,各项如果有公因式应先提公因式,再进一步分解。 2.因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 (四)完全平方公式 (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:

a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点 ①项数:三项 ②有两项是两个数的的平方和,这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 (3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。 (4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 (5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (五)分组分解法 我们看多项式am+an+bm+bn,这四项中没有公因式,所以不能用提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式. 如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式. 原式=(am+an)+(bm+bn)

初二数学知识点总结

苏教版《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中,大角对大边,大边对大角。 第二章勾股定理、平方根

一、勾股定理: 1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2+ b 2= c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么 ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。) *附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角 三角形。(经典直角三角形:勾三、股四、弦五) 其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c ); (2)若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形; 若a 2+b 2<c 2,则此三角形为钝角三角形(其中c 为最大边); 若a 2+b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边) 4.注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质

八年级下册数学分式练习题及答案

八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选(每小题3分,共24分) 1.计算223)3(a a ÷-的结果是( ) (A )49a - (B )46a (C )39a (D )49a 2.下列算式结果是-3的是( ) (A )1)3(-- (B )0)3(- (C ))3(-- (D )|3|-- 4.下列算式中,你认为正确的是( ) A . 1-=---a b a b a b B 。11=?÷b a a b C . D . b a b a b a b a +=--?+1) (1222 5.计算??? ? ??-÷???? ??-?24382342y x y x y x 的结果是( ) (A )x 3- (B )x 3 (C )x 12- (D )x 12 6.如果x >y >0,那么x y x y -++11的值是( ) (A )0 (B )正数 (C )负数 (D )不能确定 7.如果m 为整数,那么使分式 13++m m 的值为整数的m 的值有( ) (A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个 8.已知1 22432+--=--+x B x A x x x ,其中A 、B 为常数,则4A -B 的值为( ) (A )7 (B )9 (C )13 (D )5 二、细心填一填(每小题3分,共30分) 9.计算:-1 6-= . 10.用科学记数法表示:-0.00002004= . 11.如果32=b a ,那么=+b a a ____ . 12.计算: a b b b a a -+-= . 13.已知31=-a a ,那么221a a += . 14.一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u ,像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式:1u +1v =1f . 若f =6厘米,v =8厘米,则物距u = 厘米. 15.若54145=----x x x 有增根,则增根为___________.

人教版八年级数学上册知识点汇总(框架图)

人教版八年级上册数学知识点汇总 第十一章全等三角形 全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定, 这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等。 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 画法:课本第48页。 性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 1、明确命题中的已知和求证。 基本方法2、根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证。 3、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这 个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重 合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。 基本概念线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的 垂直平分线。 等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰,另 一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底 角。 等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

初二数学知识点总结

初二数学知识点总结 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像2 一次函数和正比例函数,及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。形如y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量,数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义:一般的,在一个变化过程中如有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。(3)用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量

的取值范围。(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。 2、描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。 3、连线:按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式(1)列表法(2)图像法(3)解析式法七、正比例函数与一次函数的概念:一般地,形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 一般地,形如y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象:正比例函数y= kx (k 是常数,k≠0) 的图象是经过原点的一条直线,称之为直线y= kx 。 性质:当k>0时,直线y= kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y= kx经过二,四

八年级下册数学分式练习题+答案

初中数学 8 八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选(每小题 3 分,共 24 分) 1.计算 ( 3a 3 ) 2 a 2 的结果是( ) ( A ) 9a 4 ( B ) 6a 4 ( C ) 9a 3 ( D ) 9a 4 2.下列算式结果是- 3 的是( ) (A )( 3) 1 (B ) ( 3)0 (C ) ( 3) (D ) | 3| 4.下列算式中,你认为正确的是 ( ) A . b a 1 B 。 1 b a 1 b b a a b a C . D . 1 a 2 b 2 1 (a b) 2 a b a b 5.计算 8x 2 y 4 3x x 2 y 的结果是( ) 4 y 3 2 ( A ) 3x ( B ) 3x 6.如果 x > y > 0,那么 y 1 y x 1 x ( C ) 12x ( D ) 12 x 的值是( ) (A )0 (B )正数 (C )负数 ( D )不能确定 7.如果 m 为整数,那么使分式 m 3 的值为整数的 m 的值有( ) m 1 (A )2 个 (B )3 个 (C )4 个 (D )5 个 8.已知 3x 4 2 A B ,其中 A 、 B 为常数,则 4A - B 的值为( ) x 2 x x 2 x 1 (A )7 (B )9 ( C )13 (D )5 二、细心填一填(每小题 3 分,共 30 分) 9.计算:- 6 1 = . 10.用科学记数法表示:- 0.00002004 = . a 2 a 11.如果 b 3 ,那么 a b ____ . 12.计算: a b = . b b a a 13.已知 a 1 3 ,那么 a 2 1 = . a a 2 14.一根蜡烛在凸透镜下成一实像,物距u ,像距 v 和凸透镜的焦距 f 满足关系式: 1 + 1 = 1 . 若 f =6 厘米, v =8 厘米,则物距 = 厘米 . u v f u 15.若 x 5 4 1 5 有增根,则增根为 ___________. x 4 x

新人教版八年级数学知识点总结归纳

第十一章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 ~ 三角形有下面三个特性: (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”,读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下: 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 ' 等边三角形

三角形按角的关系分类如下: 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 】 (2)三角形三边关系定理及推论的作用: ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时,可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 & 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

初二数学知识点归纳总结

初二数学知识点归纳总结 初二数学知识点归纳总结 (一)运用公式法: 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有:a2-b2=(a+b)(a- b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2。如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用 公式法。 (二)平方差公式: (1)式子:a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的 差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解: (1).因式分解时,各项如果有公因式应先提公因式,再进一 步分解。 (2).因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 (四)完全平方公式: (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说,两个 数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个 数的和(或者差)的平方。把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子 叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点

①项数:三项 ②有两项是两个数的的平方和,这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 (3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。 (4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 (5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (五)分组分解法: 我们看多项式am+an+bm+bn,这四项中没有公因式,所以不能用 提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分 成两组(am+an)和(bm+bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别 分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n),做到这一步不 叫把多项式分解因式,因为它不符合因式分解的意义.但不难看出 这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以原式 =(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)?(a+b). 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一 个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. (六)提公因式法: 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个 多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这 个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公 因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直 到可确定多项式的公因式. 运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:

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