2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-等价无穷小,则 (A)11,6
a b ==-
(B)11,6a b == (C)11,6a b =-=- (D)11,6a b =-= (2)如图,正方形
(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为
四个区域()1,2,3,4k D k =,cos k k D I y xdxdy =??,则{}14max k k I ≤≤=
(A)1I
(B)2I
(C)3I
(D)4I
(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为 则函数()()0x
F x f t dt =?的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞=,则
(A)当1
n n b
∞=∑收敛时,1n n n a b ∞=∑收敛. (B)当1n n b ∞=∑发散时,1n n n a b ∞=∑发散.
(C)当1n n b
∞=∑收敛时,221n n n a b ∞=∑收敛. (D)当1n n b ∞=∑发散时,221n n n a b ∞=∑发散.
(5)设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基,则由基1231
1,,23
ααα到基12233
,,+++αααααα的过渡矩阵为 (A)101220033?? ? ? ??? (B)120023103?? ? ? ??? (C)111246111246111246??- ? ? ?- ? ? ?- ??? (D)111222111444111666??- ? ? ?- ? ? ?- ???
(6)设,A B 均为2阶矩阵,**
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==A B ,则分块矩阵O A B O ?? ???
的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ?? ???
(B)**23O B A O ?? ??? (C)**32O A B O ?? ???
(D)**23O A B O ?? ??? (7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -??=Φ+Φ
???,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX =
(A)0
(B)0.3 (C)0.7 (D)1
(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====
,记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数,则函数()Z F z 的间断点个数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z x y
?=?? . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x
y C C x =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .
(11)已知曲线(2:0L y x
x =≤≤,则L xds =? . (12)设(){}222,,1x y z x y z Ω=++≤,则2z dxdydz Ω
=??? .
(13)若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值
为 .
(14)设12,,,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样
本均值和样本方差.若2X kS +为2np 的无偏估计量,则k = .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分9分)
求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.
(16)(本题满分9分)
设n a 为曲线n y x =与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记
122111
,n n n n S a S a ∞∞-====∑∑,求1S 与2S 的值.
(17)(本题满分11分)
椭球面1S 是椭圆22
143
x y +=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. (1)求1S 及2S 的方程.
(2)求1S 与2S 之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0
lim x f x A +→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.
(19)(本题满分10分)
计算曲面积分()3
2222xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=
∑++??,其中∑是曲面222
224x y z ++=的外侧.
(20)(本题满分11分)
设11111
1042--?? ?=- ? ?--??
A ,1112-?? ?= ? ?-??ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ.
(2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.
(21)(本题满分11分)
设二次型()()222
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-. (1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值.
(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1)求{}
10p X Z ==.
(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布.
(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-?>=??
其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.
(1)求参数λ的矩估计量.
(2)求参数λ的最大似然估计量.
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)极限2
lim ()()x x x x a x b →∞????-+??
= (A)1
(B)e (C)e a b - (D)e b a -
(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z F x x
=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x y x y
??+??= (A)x
(B)z (C)x -
(D)z -
(3)设,m n 为正整数,
则反常积分
0?的收敛性 (A)仅与m 取值有关
(B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关
(D)与,m n 取值都无关 (4)2211
lim ()()n n x i j n n i n j →∞==++∑∑=
(A)1
2001(1)(1)x dx dy x y ++?? (B)1
001(1)(1)
x dx dy x y ++?? (C)11001(1)(1)dx dy x y ++?? (D)1
1
2001(1)(1)dx dy x y ++?? (5)设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则
(A)秩(),m =A 秩()m =B
(B)秩(),m =A 秩()n =B
(C)秩(),n =A 秩()m =B
(D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于
(A)1110?? ? ? ? ??? (B)1110?? ? ? ?- ???
(C)1110?? ?- ? ?- ???
(D)1110-?? ?- ? ?- ??? (7)设随机变量X 的分布函数()F x = 00
101,2
1e 2
x x x x -<≤≤->则{1}P X == (A)0
(B)1 (C)11e 2
-- (D)11e -- (8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,
()f x =
12()()af x bf x 00x x ≤> (0,0)a b >> 为概率密度,则,a b 应满足
(A)234a b +=
(B)324a b +=
(C)1a b +=
(D)2a b +=
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设2
0e ,ln(1),t t x y u du -==+?求220t d y dx == .
(10)2
0π?= .
(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),
则曲线积分2L xydx x dy +?= .
(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .
(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .
(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!
C P X k k k ===则2EX = .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求微分方程322e x y y y x '''-+=的通解.
(16)(本题满分10分)
求函数221()()e x
t f x x t dt -=-?的单调区间与极值.
(17)(本题满分10分) (1)比较1
0ln [ln(1)]n
t t dt +?与10ln (1,2,)n t t dt n =?的大小,说明理由. (2)记10ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =+=?
求极限lim .n x u →∞ (18)(本题满分10分) 求幂级数1
21
(1)21n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数. (19)(本题满分10分)
设P 为椭球面222
:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 的切平面与xoy 面垂直,求P 点的轨迹,C
并计算曲面积分,I ∑=其中∑是椭球面S 位于曲线
C 上方的部分.
(20)(本题满分11分)
设11010,1,111a λλλ???? ? ?=-= ? ? ? ?????
A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.
(1)求,.a λ
(2)求方程组=A x b 的通解.
(21)(本题满分11分)
设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为2212
,y y +且Q 的第三
列为.T (1)求.A
(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
(22)(本题满分11分)
设二维
随机变量()X Y +的概率密度为2222(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞求常数及A 条件概率密度|(|).Y X f y x
(23)(本题满分11 分)
设总体X
其中(0,1)θ∈未知,以i N 来表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3),i =试求常数123,,,a a a 使3
1i i i T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.
2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1、 曲线4
32)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）
A （1，0）
B （2，0）
C （3，0）
D （4，0）
2、设数列{}n a 单调减少，且0lim =∞→n n a 。∑==n i i n a S 1无界，则幂级数n n n x a )1(1-∑∞=的收敛
域为（ ）
A ]11-（
B )11[-
C )20[
D ]20(
3、 设函数)(x f 具有二阶连续的导数，且0)(>x f .0)0(='f 。则函数)()(ln y f x f z =在
点)0,0(处取得极小值的一个充分条件是（ ）
A 0)0(1
)0(>''>f f B 0)0(1)0(<''>f f C 0)0(1
)0(>'' xdx J ?=40c o s ln πxdx K ，则 K J I 的大小关系是（ ） A K J I << B J K I << C K I J << D I J K << 5、设A 为3阶矩阵，把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B 的第二行与第3行得 到单位阵E ，记????? ??=1000110011P ，???? ? ??=010*******P ，则A=（ ） A 21P P B 211P P - C 12P P D 11 2P P - 6、设)(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为（ ） A 31 αα B 21αα C 321ααα D 432ααα 7、设)()(21x F x F 为两个分布函数，且连续函数)()(21x f x f 为相应的概率密度，则必为概率密度的是（ ） A )()(21x f x f B )()(212x F x f C )()(21x F x f D )()(21x F x f +)()(12x F x f 8、设随机变量Y X ,相互独立，且EY EX ,都存在，记{}Y X U ,m ax ={}Y X V ,m in =，则=EUV （ ） A EV EU ? B EY EX ? C EY EU ? D EV EX ? 二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。 9、曲线)40(tan 0π≤≤=?x tdt y x 的弧长为_____________ 10、微分方程x e y y x cos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________ 11、设函数dt t t y x F xy ? +=021sin ),(，则______________|2022=??==y x x F 12、设L 是柱面方程122=+y x 与平面y x z +=的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分_________2 2=++?dz y xdy xzdx L 13、若二次曲面的方程42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为 42 221=+y y ，则_______=a 14、设二维随机变量)0,,,,(~),(22σσμμN Y X ，则____________)(2=XY E 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、（本题满分10分） 求极限11 0))1ln((lim -→+x e x x x 16、（本题满分9分） 设函数))(,(x yg xy f z =，其中f 具有二阶连续的偏导数，函数)(x g 可导且在1=x 处取得极值1)1(=g .求1 12|==???y x y x z 17、（本题满分10分） 求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。 18、（本题满分10分） ①证明：对任意的正整数n ，都有 n n n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n n a n ，证明数列{}n a 收敛. 19、（本题满分11分） 已知函数),(y x f 具有二阶连续的偏导数，且??===D a dxdy y x f x f y f ),(, 0)1,(),1(，其中{}10,10|),(≤≤≤≤=y x y x D 计算二重积分 ??''D xy dxdy y x f xy ),( 20、（本题满分11分） 设向量组T )1,0,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T )1,1,1(1=β，T )3,2,1(2=β，T a ),4,3(3=β线性表示； （1） 求a 的值； （2） 将321,,βββ用321,,ααα线性表示； 21、（本题满分11分） A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且???? ? ??-=????? ??11001111-0011A 求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵A 22、（本题满分11分） 设随机变量X 与Y 的概率分布分别为 且{} 122==Y X P 求（1）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布； （2）XY Z =的概率分布 （3）X 与Y 的相关系数XY ρ 23、（本题满分11分） 设n X X X 21,是来自正态总体),(20σμN 的简单随机样本，其中0μ已知，02>σ未知.2,S X 为样本均值和样本方差. 求（1）求参数2σ的最大似然估计Λ2 σ (2) 计算E Λ2σ和D Λ2σ 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0) f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限2200(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 (B) I 2< I 2< I 3. (C) I 1< I 3 （5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-???????? ? ? ? ?===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? 其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -?? ?= ? ??? ，()123,,P ααα=， ()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121?? ? ? ??? （B ）112?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ??? （D ）221?? ? ? ??? （7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}= 1 124() () () () 5355A B C D （8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(2 1)(21 )(1)(--D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则)(x f =________。 （10 ）2 0? ________。 （11）(2,1,1) grad z xy y ? ?+ ??? ________。 （12）设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则??∑ =ds y 2________。 （13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。 （14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3 P C =,则()P ABC - =________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 证明：2 1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<- （16）（本题满分10分） 求()22 ,2 x y f x y xe +=-的极值。 （2）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解。 （21）（本题满分10分）三阶矩阵10101110A a ?? ?= ? ?-?? ，T A 为矩阵A 的转置，已知()2T r A A =，且二次型T T f x A Ax =。 1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。 （22）（本题满分10分） 已知随机变量,X Y 以及XY 的分布律如下表所示， 求：（1）()2P X Y =； （2）()cov ,X Y Y -与XY ρ. （23）（本题满分11分） 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ，其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-, (1) 求z 的概率密度()2,f z σ； (2) 设12,, n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ； (3) 证明2σ为2σ的无偏估计量。 2013硕士研究生入学考试数学一真题及解析 1. 已知极限0arctan lim k x x x c x →-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c == 答案（D ） 解析：用洛必达法则 2221121000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c x kx kx x k x ---→→→→--+-+====+ 因此1 12,k c k -==，即13,3k c == 2.曲面2 cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 答案（A ） 解析：法向量(0,1,1)(,,)(2sin()1,sin(),),|(1,1,1)x y z n F F F x y xy x xy z y n -==-+-+=- 切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0x y z ---++=，即2x y z -+=-。 3.设1()2 f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?，令1()s i n n n S x b n x π∞==∑，则（ ） A .34 B. 14 C. 14- D. 34 - 答案（C ） 解析：根据题意，将函数在[1,1]-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓： 1||,(0,1)2()1||,(1,0)2x x f x x x ?-∈??=??-+∈-?? ，它的傅里叶级数为()s x ，它是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()s x f x =。91111()()()()44444 s s s f -=-=-=-=-。 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33 ()(2)(1,2,3,4)63i i L y x I y dx x dy i =++-=?，则{}1234m a x ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 答案（D ） 解析：由格林公式，22(1)2i i D y I x dxdy =--?? 14D D ?,在4D 内2 2 102y x -->，因此14I I < 2424222 2 222\(1)(1)(1)222D D D D y y y I x dxdy x dxdy x dxdy =--=--+--?????? 在4D 外22 102y x --<，所以24I I < 3cos 2 222223[0,1][0,2]21 21/2/22323220000001(1)(12cos sin )22 111122cos sin 224cos sin 2424 1!!111!!22442!!2422!!2x y D r y I x dxdy r r rdrd d r dr d r dr d d θθθπππππθθθπθθθπθθθθπππ∈∈=--=--=--=-??-?=-????-??????????????11124288ππππ=--= 3 cos 22222224[0,1][0,2]2121/2/2232322000000(1)(1cos sin )2112cos sin 24cos sin 441!!11!!1324422!!242!!24442 x r y r D r y I x dxdy r r rdrd d r dr d r dr d d θθθπππππθθθπθθθπθθθθπππππππ=∈∈=-- --=--=-? -?=-???-???=--=?????????? 34I I < 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为（ ） A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数 7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}122(1 ,2,3)i P P X i =-≤≤=，则（ ） A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >> 8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则 {}2P Y c >=( ) （9）设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01lim [()1]n n f n →-＝ 。 (10)已知y 1=e 3x –xe 2x ，y 2=e x –xe 2x ，y 3= –xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解， 则该方程的通解y = 。 （11）设224 sin ()sin cos t x t d y t y t t t dx π==?=?=+?为参数，则 。 （12）2 1ln (1)x dx x +∞ =+? 。 （13）设A=(a ij )是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i ，j=1,2,3），则｜A ｜＝ 。 （14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a}= 三．解答题： （15）（本题满分10分） 计算dx x x f ) (10?，其中f(x)＝.)1ln(1dt t t x +? 解：使用分部积分法和换元积分法 101 022 22()|224ln(1)4ln(14ln(1)4ln 244ln 24214ln 284ln 28(1)4ln 28(arctan )11x x x x tdt t dt dt t t t t '==-=-=-+=-+++=-+=-++=-+=-+-=-+-++?????? ????1 111100010021100f (x)f(t t 110|4ln 282π=-+- (16)(本题10分) 设数列｛a n ｝满足条件：0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥＝ ，＝S （x ）是幂级数 0.n n n a x ∞ =∑的和函数 （1）证明：()()0;n S x S x -= （2）求().S x 的表达式 (I)证明：由题意得 ()11n n n s x n a x ∞-='=∑ ()()()()2220112n n n n n n s x n n a x n n a x ∞∞-+==''=-=++∑∑ ()()()()()+2120,1,2, n n a n n a n s x s x =++=''∴= 即 ()()0s x s x ''-= (II) 解：()()0s x s x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为2 10,λ-=从而 1λ=±，于是 ()12 x x s x C e C e -=+， 由()()0103,01s a s a '====，得121212 31,21C C C C C C +=??==?-+=? 所以()2x x s x e e -=+ （17）（本题满分10分） 求函数的极值y x e x y y x f ++=)3 (),(3 . 解答：先求驻点，令 2331()031(1)03x y x x y y f x y x e f y x e ++?=++=????=++=??，解得112433x x y y =-=??????=-=-????或 为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数 232331(22)31(1)31(2)3x y xx x y xy x y yy f x x y x e f x y x e f y x e +++?=+++???=+++???=++?? 在点2(1,)3 --处，555333222(1,),(1,),(1,)333xx xy yy A f e B f e C f e ---=--=-=--==--= 因为20,0A AC B <-<,所以2(1,)3--不是极值点。 类似的，在点4(1,)3-处，111 333444(1,)3,(1,),(1,)333xx xy yy A f e B f e C f e ---=-==-==-= 因为2 230,20A AC B e ->-=>，所以4(1,)3-是极小值点，极小值为1133441(1,)()333f e e ---=-+=- (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在[]1,1-上具有二阶导数，且f (1)=1，证明： （I ）存在.1)(1,0='∈ ξξf ），使得（ （Ⅱ）存在1,1() 1.f f ηηη'''∈ -+=（），使得（） 19.(本题满分10分) 设直线L 过A （1,0,0），B （0,1,1）两点将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω。
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