第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空白试验，扣 除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误差是否因试剂、 蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002，则d 6为-0.0002。 （提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±= E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±= E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(-124=??=?=M M w %06.20%4 05 .2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%4 01 .002.003.004.0=+++= =d 平均偏差 %2.0% 06.20%03.0=== x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0% 06.20%03.0-=-== x Ea E r %03.01 401.002.003.004.02 222=-+++=S
一、 选择题 1、用同一NaOH 滴定相同浓度和体积的两种弱一元酸，则a K Θ 较大的弱一元酸（B ） A 消耗NaOH 多；B 突跃范围大；C 计量点pH 较低；D 指示剂变色不敏锐。 2、滴定分析要求相对误差±0.1%，万分之一的分析天平绝对误差为±0.0001g ，则一般至少称取试样质量为（B ） A0.1g ；B0.2g ；C0.3g ；D0.4g. 3、以HCl 溶液滴定某碱样，滴定管的初读数为0.25±0.01ml ，终读数为32.25±0.01ml ，则用去HCl 溶液的准确体积为（D ） A32.0ml ；B32.00ml ；C32.00±0.01ml ；D32.00±0.02ml 。 4、指示剂的变色范围越窄，则（A ） A 滴定越准确； B 选择指示剂越多； C 变色敏锐； D 滴定越不准确。 5、溶液pH 降低，EDTA 的配位能力会（B ） A 升高；B 降低；C 不变；D 无法确定。 6、用KMnO 4法测定Ca 2+离子，所采用的滴定方式是（B ）法 A 直接滴定法；B 间接滴定法；C 返滴定法；D 置换滴定法。 7、不同波长的电磁波，具有不同的能量，其波长与能量的关系为（B ） A 波长愈长，能量愈大；B 波长愈长，能量愈小；C 波长无能量无关。 8、在酸性条件下，莫尔法测Cl -，其测定结果（B ） A 偏低；B 偏高；C 正好；D 无法确定。 9、下列有关配体酸效应叙述正确的是（B ） A 酸效应系数越大，配合物稳定性越大；B 酸效应系数越小，配合物稳定性越大；CpH 越高，酸效应系数越大。 10、酸性介质中，用草酸钠标定高锰酸钾溶液，滴入高锰酸钾的速度为（B ） A 同酸碱滴定一样，快速进行；B 开始几滴要慢，以后逐渐加快； C 始终缓慢；D 开始快，然后逐渐加快，最后稍慢。 11、酸碱滴定中，选择指示剂可不考虑的因素是（D ） ApH 突跃范围；B 要求的误差范围；C 指示剂的变色范围；D 指示剂的结构。 12在硫酸—磷酸介质中，用17221.06 1 -?== L mol O Cr K c 的K 2Cr 2O 7滴定121.0)(-+?≈L m o l Fe c 硫酸亚铁溶液，其计量点电势为0.86V ，对此滴定最适合的指示剂 为（C ） A 邻二氮菲亚铁V 06.1=' Θ ?； B 二苯胺V 76.0=' Θ ? ； C 二苯胺磺酸钠V 84.0=' Θ ?； D 亚甲基蓝V 36.0=' Θ ? 13、在1mol·L -1HCl 介质中，用FeCl 3(V Fe Fe 77.023/=+ +Θ ?)滴定SnCl 2(V Sn Sn 14.024/=++Θ?) 终点电势为（D ）
中国数学史 数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。 中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。 商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。 公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，
《定量分析简明教程》 第三章习题答案 3-1 EDTA 在水溶液中是六元弱酸（H 6Y 2+），其p K a1~p K a6分别为0.9、1.6、2.07、2.75、6.24、10.34、则 Y 4-的pK b3为： p K b3=p K w －p K a4=14－2.75=11.25 3-2解： 99.010 8.110 108.1/)H ()Ac (5 7 5 - =?+?= += ---Θ + a a K c c K x x (HAc) = 1－0.99 = 0.01 c (Ac －) = 0.99?0.1mol·L －1 = 0.099 mol·L － 1 c (HAc) = 0.01?0.1mol·L －1 = 0.001 mol·L －1 3-3 (1) H 3PO 4 的PBE ：c (H +)=c (H 2PO 4－)+2c ([HPO 42－]+3c ([PO 43－]+c (OH － ) (2) Na 2HPO 4的PBE ：c (H +)+c (H 2PO 4－)+2c ([H 3PO 4]= c ([PO 43－]+c (OH － ) (3) Na 2S 的PBE ：c (OH -)=c (HS － )+2c (H 2S)+c (H +) (4) NH 4H 2PO 4的PBE ：c (H +)=c (NH 3)+2c (PO 43－)+c (HPO 42－) +c (OH － ) － c (H 3PO 4) (5) Na 2C 2O 4的PBE ：c (OH －)=c (HC 2O 4－ )+2c (H 2C 2O 4)+c (H +) (6) NH 4Ac 的PBE ：c (H +)+c (HAc)=c ( NH 3) +c (OH － ) (7) HCl+HAc 的PBE ：c (H +)=c (OH －)+c (HCl)+ c (Ac － ) (8) NaOH+NH 3的PBE ：c (OH － )=c (NH 4+)+c (H +)+c (NaOH) 3-4解： 一元弱酸HA 与HB 混合溶液的PBE ：c (H +)=c (A －)+c (B －)+c (OH － ) （1） 将有关平衡关系式代入质子等衡式中得到计算c (H +)的精确式： w /H B )()HB (/HA)()HA (/)H (/)H (/)H (/(HB))HB (/)H (/HA)()HA (/)H (K c c K c c K c c c c K c c c c K c c c c K c c w +?+?= + ?+ ?=Θ Θ Θ + Θ + Θ + Θ Θ + Θ Θ + (1) 由PBE ：c (H +)=c (A － )+c (B － )+c (OH － ) ，若忽略c (OH － ),则：c (H +)=c (A － )+c (B － )，计算c (H +)的近似公式为： Θ Θ + ?+?= c c K c c K c /H B )()HB (/HA)()HA ()H ( (2) 再若{c (HA)/c }/K Ha ，{c (HB)/ c }/K HB 均较大，则c eq (HA)≈c 0(HA)， c eq (HB)≈c 0(HB)，计算[H +]的近似公式为： )H B ()H B ()H A ()H A ()H (00c K c K c ?+?= + 3-5计算下列溶液的pH 值： (1),c (H 3PO 4)= 0.20mol ?L － 1 因为K a1/K a2>10，(c /c )/K a2>102.44，∴只考虑H 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K a1>10-12.61, (c /c )/K a1=29<102.81，∴用近似式计算： 034 .02 2 .010 9.64)10 9.6(10 9.62 /4/)H (3 23 3 1211=???+?+?-= ++-= ---Θ Θ + c c K K K c c a a a pH=1.47 (3) c (Na 3PO 4)=0.1mol ?L － 1 Na 3PO 4 K b1=2.1?10－2， K b2=1.6?10－7 , K b3=1.4?10－ 12 因为K b1 /K b2>10，(c /c )/ K b2>102.44，∴只考虑Na 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K b1>10－ 12.61，(c /c )/K b1<102.81，∴用近似式计算：
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为
《数学史概论》读书报告 数学源自于人类早期的生产活动，早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的运用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。 一、《数学史概论》简介及其特点 《数学史概论（第2版）》以重大数学思想的发展为主线，阐述了从远古到现代数学的历史。书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析；同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革，尤其是20世纪数学的概观，内容新颖。《数学史概论（第2版）》中西合炉，将中国数学放在世界数学的背景中述说，更具客观性与启发性。《数学史概论（第2版）》脉络分明，重点突出，并注意引用生动的史实和丰富的图片。 本书共分十五章，其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要，逐渐形成了数与形的概念，从最早的手指计数到石头计数，再到结绳计数直到距今大约五千多年前，出现了书写计数以及相应的计数系统。在灿烂的“河谷文明”中，重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。第二章“古代希腊数学”，介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学，其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。第三章“中世纪的中国数学”，从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”，殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数，到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。介绍的著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《算经十书》，介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就，祖冲之父子推算“圆周率”，在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”；第四章“印度与阿拉伯的数学”；第五章“近代数学的兴起”，讲述了中世纪的欧洲，从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡，以至解析几何的诞生；第六章“微积分的创立”，分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理；第七章“分析时代”；第八章至第十章，分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索，介绍了19世纪数学的发展；第十一章至十三章是“20世纪数学概观”，分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例；第十四章“数学与社会”，第十五章“中国现代数学的开拓”。 本书有以下几个特点：1、与同类书相比，有着最大的空间跨度和时间跨度，从上古的巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界，到中世纪的欧洲，以至20世纪的近代数学、当代数学，遍及世界各地对于数学的贡献地位与影响，都有中肯的评论。2、本书不仅对史实有详尽而忠实的介绍，而且兼有史评史论的作用，更有精辟的历史观。例如作者认为古希腊的数学是一种论证数学，而说中国的古代数学，在南北朝三国时期，也进入到论证数学，刘徽即为其杰出代表之一。至于中世纪欧洲数学的崛起，微积分的创立以及近代数学的诞生史，对于它们的历史背景与社会根源，作者都有敏锐的评论。作者对整个数学的发展有着明确的数学史观。3、本书不仅对数学家和他们的学术成就作了概括的介绍，而且对于一些重要成就，不惜花费篇幅，作了较详细的忠实于原始创造的说明。例如阿基米德对于球体积与抛物线弓形面积的计算，刘徽对于 的计算原理和方法，牛顿与莱布尼茨关于微积分的发现过程，以至较近代如康托关于非可数集合的发现等等，都作了较详细的介绍。这让读者不仅可以了解历史的发展，而且还能深入体会数学大师们原始创造的艰苦历程与来龙去脉。4、本书除了数学家们的传统故事外，还介绍了许多有趣的奇闻轶事。 二、对数学的认识有了进一步的提高
论述中国古代数学史存在互相矛盾的结论 【内容提要】 中国古代数学史的研究结论中，在数学的思维方式、理论构造、珠算评价等方面存在互相矛盾的结论，造成这些矛盾的原因既有方法论层次上的问题，也有中西古代数学比较标准方面的问题，中国古代数学应当在运演工具、建构模式、价值走向方面建立起自己的理论框架。 【论文正文】 中国古代数学的研究，目前存在着一些彼此对立的研究结论；正确地分析存在着的矛盾结论，无疑会有助于人们深入地了解中国古代数学，同时也会使人们对数学史研究的方法和评价标准有新的认识。 一、几个有代表性的矛盾结论 如何评价中国古代数学，如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论，这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。 1.关于古代数学运用的思维方式问题 中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题，目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素，因为在人们的认识和理解中，数学如果没有严格的逻辑思维形式，那就
很难成为真正的数学理论，袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反，他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式，“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同，中国数学则是以非逻辑思维为主，即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实现推理的。”[1] 郭书春先生通过对《九章算术》的研究，得出相反的结论，他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系，“刘徽注中主要使用了演绎推理，他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明，从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。”[2] 巫寿康先生与郭书春先生的观点相同，他认为：“刘徽《九章算术注》中的每一个题，都可以分解成一些首尾相接的判断，如果仔细分析这些判断之间的联系，就会发现这些判断组成若干个推理，然后由这些推理再组成一个证明，因此可以说，《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构，就大多数注文来说，这其中的推理都是演绎推理，大多数证明也都是演绎证明。”[3] 中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”，还是“主要是演绎证明”，这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论，还没有得到统一认识的问题。
教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修
比较详细的数值分析课后习题答案
0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根；使用二 分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.
由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71， 718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε；
《定量分析简明教程》 第二章习题答案 2-2 （6） 答：分析纯NaCl 试剂若不作任何处理就用以 标定AgNO 3溶液的浓度，结果会偏高，原因是NaCl 易吸湿，使用前应在500~600?C 条件下干燥。如不作上述处理，则NaCl 因吸湿，称取的NaCl 含有水分，标定时消耗AgNO 3体积偏小，标定结果则偏高。 H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，标定NaOH 浓度时，标定结果会偏低。因H 2C 2O 4?2H 2O 试剂较稳定，一般温度下不会风化，只需室温下干燥即可。若将H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，则会失去结晶水，标定时消耗NaOH 体积偏大，标定结果则偏低。 2-3 （1） H 2C 2O 4?2H 2O 和KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O 两种物质分别和NaOH 作用时， －△n (H 2C 2O 4?2H 2O):－△n (NaOH)=1:2 ； －△n (NaOH): －△n (KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O)=3:1 。 （2）测定明矾中的钾时，先将钾沉淀为KB(C 6H 5)4，滤出的沉淀溶解于标准EDTA —Hg(II )溶液中，在以已知浓度的Zn 2+标准溶液滴定释放出来的 EDTA ： KB(C 6H 5)4+4HgY 2-+3H 2O+5H +=4Hg(C 6H 5)++4H 2Y 2-+H 3BO 3+K + H 2Y 2-+Zn 2+=ZnY 2-+2H + K +与Zn 2+的物质的量之比为1:4 。 2-4解： m (NaOH)=c (NaOH)v (NaOH)M (NaOH)=0.1mol ·L -1?0.500L ?40g ·mol -1=2g 1-1-142424242L mol 8.17mol g 9895%L 1840)SO (H )SO H ()SO H )SO H (?=???==?g M w c （浓ρ c (H 2SO 4稀)v (SO 4稀)=c (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓) 0.2mol ?L -1?0.500L=17.8mol ?L -1? V (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓)=5.6mL 2-5解： 2HCl+Na 2CO 3=2NaCl+H 2O+CO 2 －△n (Na 2CO 3)=－(1/2)△n (HCl) S s m M V c w m V T w V m T ) CO Na ((HCl)HCl)(2 1)CO Na (%30.58g 2500.0mL 00.25mL g 005830.0HCl)(HCl)/CO Na ()CO Na (mL g 005830.0mL 1mol 106.0g L 001.0L mol 1100.021HCl)()CO Na (HCl)/CO Na (32321-32321 -1-13232==??==?=?????==?或：
第六章 不定积分 在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下： 22 22 2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ; 4.ln ; 5.ln ; 26.arcsin . 2dx x a C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+? ? 这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。 第一节 不定积分的概念 1.求下列不定积分： 33 5 3 64642 2112111(1)(. 4643*4646 x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+? 3341 (2)(5)(5)(5)(5). 4 x dx x d x x C -=---=--+?? 11421131 3333222223 (3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++?? 2242 4242 422 311111(4)()()(1)1111 arctan . 3 dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++??????
22 233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++?? 113 2222 (6)().3x x dx x C -=+=+? (7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+? 22 1 (8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x -=- =-+?? 222 22sin 3cos 1 (9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++??? 22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x +-==-+?? 2 22sin tan 11 cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22 x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-??? 22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos . cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--??? 2221 (13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2 dx dx dx x C x x x x ===+++-? ?? 22 252(14)(51)(52*51)5. 2ln 5ln 5x x x x x dx dx x C +=++=+++?? 121(15)(2()). 35ln 2ln 335 x x x x x x e e dx C +-=--+? (16)(1( . x x x x e dx e dx e C -=-=-?? 221 (17)(cos sin 2arctan arcsin . 14 x dx x x x C x - =--++? 1 137 2 4 4 44(18). 7x x dx x dx x C ===+ ?? 2 12(19)2312.ln12 x x x x dx dx C ==+?? 3 (20)sin )sin )arcsin cos .2 x dx x dx x x C +=+= -+??
数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2
因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42
浅析中国数学发展史 摘要：数学发展史就是数学这门学科的发展历程。人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。本文围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。 关键词：中国数学史、数学思想、数学历史 一、中国古代数学 数学在中国历史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；据说《易经》还包含组合数学与二进制思想。2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现了距今大约2200多年的九九乘法表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十分相似。 算筹是中国古代的计算工具，它在春秋时期已经很普遍；使用算筹进行计算称为筹算。中国古代数学的最大特点是建立在筹算基础之上，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的"孙子算经"(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。"孙子算经"用十六字来表明它，"一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。"和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书"九章算术"(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，"九章算术"的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 中国数学发展繁荣时期大约在西汉末期至隋朝中叶。这是中国数学理论的第一个高峰期。这个高峰的标志就是数学专著<九章算术>的诞生。至少有1800年的《九章算术》，其作者是谁？由谁编纂？至今无从考证。史学家们只知道，它是中国秦汉时期一二百年的数学知识结晶，到公元1世纪时开始流传使用。中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。在
第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当 1+=k n 时，有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111．
第一章 系统误差的性质：由固定原因造成的，有单向性特征，通过数理统计的方法不能除去。 系统误差的来源：仪器、试剂、实验方法、实验操作 系统误差的解决办法：针对仪器的要校准仪器；针对试剂的要做空白试验，因实验方法而带来系统误差的要改进实验方法或重新选定实验方法。 随机误差具有偶然性，随机性，也是必然存在的，随机误差只能通过多次平行实验来减小随机误差 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的平均值等于真值。 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的随机误差遵循正态分布规律，有限次的采用 n ts x ± =μ 来处理。 为了检验两组数据之间的精密度是否有显著性差异，用F 检验 为了检验平均值和真值或标准值之间是否显著性差异，用t 检验。 为了考察两组数据之间显著性差异，先用F 检验，后用t 检验。F 检验不合格就不用t 检验，只有F 检验合格了才可以进行t 检验。 处理数据要注意四舍六入五成双 计算平均值时要注意可疑值的取舍，取舍有两种方法，Q 值检验法和4d 法。会计算标准偏差 以及置信区间。 第二章 酸碱滴定法 要会计算溶液酸碱度，针对具体情况选用不同的公式；一元酸、二元酸、一元碱、二元碱、两性物质等 要会写质子平衡方程，这是计算pH 值的基础。
要会运用平衡常数，在分析化学中，几乎所有的问题都可以用平衡常数来解决，分布系数是由平衡平常推导而来的，更为方便一些。 会计算滴定曲线化学计量点前、后及化学计量点时溶液的pH 值。首先要会判断化学计量点前、后及化学计量点时溶液的性质，然后采取相应的公式计算。并且要了解pH 的变化方向。 酸碱指示剂的变色原理，变色点及变色范围公式要记牢：1±=HIn pK pH 要知道其根本依据依然是平衡常数 不只酸碱指示剂其它类型的指示剂的变色点、变色范围也是都有其相应公式的，例如：氧化还原反应的氧化还反应类型指示剂、配位滴定的金属指示剂的变色点及变色范围，要按照对照模式来学习其它类型的指示剂的变色点及变色原理，如果都弄明白就OK 了 在这章中关于计算就是要会计算酸碱度还有一个重要的应用混合碱滴定，求其两种成分。 在整个分析化学中重要的是滴定误差的分析，要会判断是正误差还是负误差，正误差就是过量了，负误差就是不足量。 指示剂的选择，要考虑滴定突跃，因为指示剂变色范围要在滴定突跃范围之内，并且要考虑好滴定曲线的变化趋势及指示剂的颜色如何变化，最后判断大致在哪个具体的点变色，如果低于计量点则是负误差，高于计量点则正误差。必须会判断。 影响滴定突跃的因素：酸碱、沉淀、配位、氧化还原 第三章沉淀滴定法 重点掌握指示剂的变色原理及以莫尔法沉淀滴定时要注意的几点。介质酸度控制在中性或弱碱性的原因，以及沉淀吸附的现象、还有在滴定过程中指示剂用多了或用少了会产生什么样的误差、溶液是酸性或是碱性会产生什么样的后果造成什么样的误差。 第四章配位滴定法 了解EDTA 的结构及具体化学名称
第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a +++≤+++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111． 3．求证 2 2),max (b a b a b a -++=；
2 2),min(b a b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有 22),max (b a b a a b a -++==，2 2),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有 22),max (b a b a b b a -++==，2 2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立． 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域． 解 θθs i n 2 1)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域． 解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为42 2 x r r -='，因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ， 定义域为开区间)2,0(r ． 6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形． 解 设路程为x ，票价为y ，则 函数图形见右图． 7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形． 解 ? ??≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示． 8．判别下列函数的奇偶性：