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多元函数

学校代码：____11059 _

学号:0907021032

Hefei University

毕业论文（设计）BACHELOR DISSER T ATI O N

论文题目：多元函数求极限方法的研究

学位类别：理学学士

学科专业：数学与应用数学（师范）

作者姓名：

导师姓名：

完成时间：____________________________ _____________________

多元函数求极限方法的研究

中文摘要

与一元函数的极限类似，多元函数极限理论是多元微积分理论的重要基础，但在现有的高等数学教材中涉及多元函数极限求解的篇幅却很少。

本文首先介绍了多元函数极限的概念和多元函数极限不存在的五种判定方法；然后以二元函数或三元函数为例介绍了多元函数极限的若干种求解方法，具体包括：利用多元函数的定义、换元法、初等函数的连续性、多元函数的四则运算、多元函数的洛必达法则、等价无穷小量、夹逼定理等方法，并且进一步研究一题多解的情况；最后归纳多元函数极限相关内容的后续研究方向。

关键词: 多元函数；极限；存在性；方法；一题多解

The Research of Methods of Solving the Limit of Multivariate Function

ABSTRACT

The theory of limit of multivariate function is the significant basis of multivariable calculus which is similar to the limit of function of one variable, but now in the existing textbooks of higher mathematics involved, there is very rare length of solving multivariate function limit.

This paper will introduce the concept of the limit of multivariate function and five kinds of methods to judge whether the limit of multivariate function limit exists or not. Then according to the examples of binary or ternary function, several methods of solving the limit of multivariate function will be introduced, including the method of useing the concept of multivariate function, changeing element method, the continuity of the elementary functions, the four operations of multivariate function, the L'hospital rule of multivariate function, the equivalent infinite small, clamp force theorem and so on. And then, the further study of the situation of one problem with more solutions will be discussed. Finally, this paper will summarize the further research of the related content of the limit of the multivariate function.

KEYWORD: multivariate function；limit；existence；methods；one problem with more solutions.

第一章绪论 (1)

1.1问题的提出 (1)

1.2研究现状 (1)

1.3本文的研究内容与目标 (2)

第二章多元函数极限的概念及其存在性 (3)

2.1多元函数极限的概念 (3)

2.2不存在的判定 (5)

第三章多元函数极限的求法 (10)

3.1利用定义 (10)

3.2利用换元法 (12)

3.3 利用函数的连续性 (14)

3.4利用四则运算 (16)

3.5利用洛必达法则 (17)

3.6 利用无穷小量 (20)

3.7利用两个重要极限 (21)

3.8利用夹逼定理 (22)

3.9幂指函数取对数 (24)

3.10一题多解和常见错误分析 (25)

第四章结术语 (28)

参考文献 (29)

致谢 (30)

第一章绪论

1.1问题的提出

极限概念是高等数学中最基本、最重要的概念，是微积分理论的基础。由于高等数学中的许多重要概念，如连续，导数微分和积分等都要用极限概念来表达，有些运算方法也是建立在极限概念的基础上，因此掌握极限概念和求极限的方法，对学习高等数学来说是非常重要的。

在数学分析与微积分学中，函数极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现，函数极限的有关内容贯穿于数学分析和微积分学的全部内容之中，因此掌握好极限的概念和极限的若干求解方法是学好数学分析和微积分的基础。本文针对多元函数求极限的方法和技巧做一个比较全面的概括、综合，力图在方法的正确灵活运用方面，对读者有所助益，并且为研究多元函数极限相关内容的读者提供一篇综合性的参考文献。

1.2研究现状

数学分析中我们已经学习了有关多元函数求极限计算的一些常用的方法，但是由于多元函数的自变量比较多，以及高维度空间几何性质的复杂性，多元函数求极限较之一元函数复杂的多是初学者的一个难点，并且及其容易出现错误。

近年来许多专家学者对多元函数极限的计算方法和存在性做了很多的研究，并且都取得了一定的突破。现阶段学者大多数都是从某一方面或者几个方面去研究这一课题。如：旷伟平，孙勇老师利用多元函数的定义研究了一类把多元函数极限的判断及求法转化为一元函数极限的判断及求法的方法[2]；李云霞老师从多元函数的柯西定理出发建立多元函数求极限的洛必达法则进而对多元函数求解[1]；赵志芳，马艳春，罗志明，汪琳，郭俊杰,罗志敏，汪琳老师等归纳出求解多元函数的几种常用的方法如：夹逼定理、极限的四则运算、利用两个重要极限、无穷小量代换、特殊函数取对数等的方法求解多元函数极限[3-5,11] ，每位老师都有不同的侧重点；梁小林、郭乔老师通过具体的例子研究多元函数不存在的情况以具体的例子给出极限不存在的五种判定方法和三种不存在极限的多元函数[7-9]；赵春翔老师以二元函数为例介绍了在求解多元函数极限中容易出现的错误[12]。其他的学者大体上也都是从上述的几个方向去研究多元函数的，多元函数极限问题目前尚缺少综合性的文献研究。

1.3本文的研究内容与目标

本文首先给出多元函数的概念和多元函数极限的概念，在此基础上，以二元函数和三元函数为例，研究多元函数极限的存在性，给出了多元函数极限不存在的五中判别方法，最后在极限存在的情况下，给出了求解多元函数极限常用的几种方法，并进一步的探究一题多解的类型。

通过对本课题的研究掌握了数学编辑器的使用方法；通过对本课题的研究拓展巩固了所学知识，提高了分析和研究问题的能力；通过对本课题的研究掌握了数学学习研究中比较常用的方法：类比法和归纳法；本课题的研究成果为高等数学中有关于多元函数极限的相关问题服务。为有意愿研究多元函数极限相关问题的人提供一篇较综合的文献。

第二章多元函数极限的概念及其存在性

2.1多元函数极限的概念

在科学技术和日常生活中，常常遇到的是因变量的变化与几个自变量有关，例如一定量的理想气体的压强P 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系

P V

(R 是普适气体常量)，即压强的变化同时依赖于V 和T 。再如圆台的体积和它的两个底半径R , r 及高h 之间有关系

22()3

V R Rr r π=

++。

即体积V 的变化同时依赖于和R , r 和h 。

这种例子举不胜举，它们表示的是因变量随多个自变量的变化而相应变化的某种规律，这是一元函数的推广，即多元函数。 2.1.1基本概念多元函数的概念

定义2.1[13]：设D 是n R 上的点集，D 到R 的映射

:f D R →，x

称为n 元函数，记为()z f x =。这时，D 称为f 的定义域，()|,f D z R z f x x D =∈=∈（）｛｝称为()f x 的值域。多元函数极限的概念

定义2.2[13] ：设D 是n R 上的开集，()00

012

x =,,,n x x x D ∈为一定点，()z f x =是定义在

0\x D ｛｝

上的n 元函数，A 是一个实数。如果对于任意给定的0ε>,存在0δ>,使得当0(0x )x x δ?<-<时，成立：

()f x A ε-<,

则称当x 趋于0x 时f 收敛，并称A 为f 当x 趋于0x 的 (n 重)极限，记为

lim ()x x f x A →=（或()f x A →0()x x →，或011

12lim (,,

,)n n

n x x x x x x f x x x A →→→=）。

注：在上面的定义中，“0(0x )x x δ?<-<”也可以用下面的条件

11220,,

,,n n x x x x x x x x δδδ-<-<-<≠

替代。

根据多元函数极限的定义，我们可以解决一些求解多元函数极限的证明问题，以二元函数为例。

例2.1 设22

(,)()sin y

f x y x y x y =++，证明(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=。

证明：由于

(,)0()sin

f x y x y x y x y x y -=+≤+≤++，

所以，对于任意给定的0ε>，只要取2

δ=

，那么当0x δ-<，0y δ-<，且(,)0x y ≠时，

(,)02

f x y x y ε

δδε-≤+<+=

=；

这说明了

(,)(0,0)

lim (,)0x y f x y →=。

例2.2证明14)23(lim 2

2=+→→y x y x 。

证明：因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ，有

54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ，|22123||1423|22-+-=-+y x y x

|1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-

0>?ε，要使不等式ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2y x y x 成立，取}1,30

min{

δ=，

于是0>?ε，0}1,30

min{

>=?ε

δ，,x y ?(|2|,|1|)x y δδ-<-<，且)1,2(),(≠y x ，有

ε<-+|1423|2y x ，即证。

2.2不存在的判定

对一元函数而言，只要在0x 的左、右极限存在且相等，那么函数在0x 处的极限就存在。而多元函数就没有这样简单。根据极限存在的定义，要求当x 以任何方式趋于0x 时，函数值都趋于同一个极限。这就为我们判断函数极限的不存在提供了方便，因为若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时，函数的极限不同或不存在，那么这个函数在该点的极限一定不存在。

一般地若函数()f x 是定义在区域D 上的多元函数，0x 是D 的聚点，可以用以下方法证明

()f x 在D 上当0x x →时的极限不存在。

2.2.1累次极限不相等

一般地，判断多元函数极限不存在，可以分别计算多元函数的累次极限，若累次极限不相等的话则，则表示多元函数极限不存在，以二元函数为例。

例2.3 证明：33

(,)(0,0)lim +x y x y x y x y

→-++不存在

证明：因为333

20000limlim lim lim(1)=-1+y x y y x y x y y y y x y y →→→→-++-+==-+，

而333

20000+limlim lim lim(1)1+x y x x x y x y x x x x y x →→→→-++==+=，由于两个累次极限不相等，所以33

(,)(0,0)lim +x y x y x y x y

→-++不存在。

例2.4证明：y

x y

x y x f +-=

),(在(0,0)处的极限不存在。证明：因为1lim

lim 00=+-→→y x y x y x ， 1l i m l i m 00-=+-→→y

x y

x x y ，

由于两个累次极限不相等，所以y

x y

x y x f +-=

),(在(0,0)处的极限不存在。 2.2.2 特殊路径逼近

一般地，在求证多元函数极限不存在的时候，我们可以在该多元函数的定义域内找出一条特殊的路径即找出一条连续曲线C ，并且只需证明当x 沿着连续曲线C 趋于0x 时，多元函数极限不存在即可，以二元函数为例。

例2.5证明：33

2(,)cos x y f x y x y

+=+在(,)(0,0)x y →时极限不存在。

证明：33

2(,)cos x y f x y x y

+=+中当(,)x y 沿着曲线22(1)y x x =-趋于(0,0)时由于

222231

(,(1))cos((1))f x x x x x x

-=+-

而2

223

001lim (,(1))limcos((1))x x f x x x x x x →→-=+-极限不存在不存在，所以332(,)(0,0)lim cos x y x y x y

→++不存在。

2.2.3 双曲线逼近

一般地，若当x 分别沿着D 中的两条连续曲线1C 和2C 趋于0x 时，()f x 的极限都存在，但不相等，则0

lim ()x x f x →不存在，以二元函数为例。

例2.6 证明：333

(,)(0,0)lim x y x x y →+不存在。

证明：当y x =时33312x x y =+，所以当(,)x y 沿着y x =趋于(0,0)时，3

x x y +以12为极限；当2y x =时，33319x x y =

+所以，当(,)x y 沿着2y x =趋于(0,0)时3

x x y +以19为极限；所以3

(,)(0,0)lim x y x x y →+不存在。

例2.7证明y

x y x y x f ++=23

3),(在(0,0)处的极限不存在。

证明：当(,)P x y 沿着y x =趋于(0,0)时，02lim ),(lim 2

00=+=→=→x

x x y x f x x

y x ；当(,)P x y 沿着3

x x y +-=趋于(0,0)时，

1)(lim ),(lim

23303

20=-+-+=→+-=→x x x x x x y x f x x x y x ；

所以 ),(lim 0

0y x f y x →→不存在。

例2.8证明22

(,)x y f x y x y -=+在(0,0)处的极限不存在。

解：取(,)x y 沿不同方向趋于(0,0)时，观察(,)f x y 的变化，令y kx =，则有：

222222

222222(,)(0,0)

(,)(0,0)01lim

(,)lim lim 1x y x y x y kx

x y x k x k f x y x y x k x k →→→=---===+++，

当k 取不同值时，函数有不同的极限，所以函数在(0,0)的极限不存在。 2.2.4一点列逼近

若在D 中存在一个点列{}n x ，0lim n n x x →∞

=，且0n x x ≠，1,2

,n =使得：lim ()n n f x →∞

不存在，

则lim ()n f x →∞

不存在。

例2.9 证明233

(,)(0,0)lim 32x y x y

x y →+不存在。

证明：取：(1)1

,,,n n n n n n x y p x y n n

-==为（）则当n →∞时，(,)(0,0n n n p x y 趋于所以233(,)(0,0)lim

32x y x y

x y →+不存在。 2.2.5 两点列逼近

若D 中存在两个点列{}n Q ，{}n P ,0lim lim n n n n P Q P →∞

→∞

==且00,,1

,2,n n P P Q P n ≠≠=使得：

lim ()lim ()lim ()n n n n p p f P f Q f p →∞

→∞

→与都存在，但不相等，则不存在。

例2.10证明：2233

(,)(0,0)lim x y x y x y →+不存在

证明：'

'''''''''''

10,,(,)(,)n n

n n n n n n n n x y P x y x y Q x y n ====设为为, n →∞则当时，

''''''(,)(),()n n n n n n P x y Q x y →→0,0,（）0,0,且：''''''

(,)(),()1,2,n n n n n n P x y Q x y n ≠≠=0,0，（）

0,0,

233

()0,()(1)lim ()0,lim ()1n n n n n n f P f Q n f P f Q -

→∞→∞==-==而则，2233

(,)(0,0)lim x y x y x y →+所以，不存在。

注：现在给出极限不存在的3类多元函数[6]。

220,0(1)lim (,)m n m n x y x y m n Z x y

→→∈+； 0,0(2)lim (,,3)()m n l x y x y m n l Z m n l x y +→→∈+<-且； 0,0(3)lim (,,3)()m n l

x y x y m n l Z m n l x y +→→∈+<+且。事实上，多元函数极限与一元函数的极限从定义到性质有许多相似之处，只是对于一元函数()y f x =而言，动点x 是从左、右两侧趋于0x ，而对于多元函数()y f P =而言，动点P 可以沿着任何一条曲线趋于0P ，这是多元函数与一元函数的极限的最根本的区别，也是多元函数极限不存在的原因。解题中充分考虑到这一点，根据题目的具体情况具体分析，才能真正

掌握多元函数极限的求法。

第三章多元函数极限的求法

多元函数极限的求法是数学分析中一个重要的内容，由于多元函数的自变量多，所以其在求法上比起一元函数极限就显得比较困难，从下章开始我们接触到多元函数的若干求法，并且以二元函数或三元函数为例，探究多元函数极限的求法。

3.1利用定义

多元函数极限的定义在上一章中已经给出，从其定义可知，这里0x x →表示点

12(,,,)n x x x x =以任何方式趋于点12

0000(,,,)n

x x x x =，也就是两点之间的距离趋于零，即

00.xx =→

此时我们设一个特殊的变量0r xx =,则对多元函数极限0

lim ()x x f x →的讨论转化为只对一个特殊

变量0r xx =的一元函数极限进行讨论。下面以三元函数为例有以下定理。

定理3.1[2]：设D 是3R 上的开集，0000(,,)P x y z D ∈为一定点，(,,)f x y z 是定义在0\{}D P 上的三元函数，A 是一个确定的实数.一一变换T ：

(,,),(,,),(,,)x x r u v y r u v z r u v ===

将D 变为'D ，0000(,,)P x y z D ∈变为''

0000

(,,)P x y z D ∈,(,,)f x y z 变为(,,)F r u v ，如果0

l i m (,,)r F r u v A →=,则：

(1)A 是与变量,u v 取值无关的常数时，

000(,,)(,,)

lim (,,)x y z x y z f x y z A →=； (2)A 是与变量,u v 取值有关的常数时，

000(,,)(,,)

lim

(,,)x y z x y z f x y z →不存在。

其中，r =，,u v 为满足变换的任意变量。

例3.1 求222222(,,)(0,0,0)sin()

lim

()

x y z x y z x y z →++++。

分析：本题中r =

只对特殊的r 的一元函数求极限，符合上述定理的条件。

解：因为000(,,)(0,0,0)x y z =

，则r =

对任意的一一变换T ：

(,,),(,,),(,,)x x r u v y r u v z r u v ===，

有：2

200sin lim (,,)lim 1r r r F r u v r

→→==与变量,u v 取值无关，则由定理可知：

000222222(,,)(0,0,0)sin()

lim 1()

x y z x y z x y z →++=++ 该定理对于二元函数和三元以上多元函数的情形有类似的结论。例3.2 求

22(,)(0,0)lim

()x y xy

x y →+的值。

解：这里00(,)(0,0)x y =,

则r =

此时做一一变换T :cos ,sin ,x r u y r u ==则2200sin cos lim (,)lim sin cos r r r u u

f r u u u r

→→==与变量u 有关所以由定理知

22(,)(0,0)lim

()x y xy

x y →+不存在。

例3.3 求2222

0,0()

lim x y xy x y x y →→-+的值。

解：2222

()

cos ,sin (,)xy x y x y f x y x y

ρθρθ-===+令，,则： 2222222

2sin cos (cos sin )11(cos ,sin )sin 2cos 2sin 424

f ρθθρθρθρθρθρθθρθρ-===，

所以：2211

0,()0()(cos sin )0sin 444

f εδερδερθρθρθρε?>?=<<--=

≤<当时，，所以：222

220,00()1lim lim sin 404

x y xy x y x y ρρθ+→→→-==+。

注：该类型的例子也可看成是一类多元函数经过换元后后再求极限，只是需要区别的是该种类型的例子要求函数必须趋于函数区域上的一个定点。而多元函数利用换元法后再求极限则不完全尽然。

3.2利用换元法

3.2.1利用极坐标

对于函数(,)f x y ,设0

cos sin x t x y t y θθ=+??=+?,t 为变量，[0,2]θπ∈,为参数量，把函数则(,)

f x y 的极限为t ，θ的函数为极限。

例3.4

求解00

x y →→的值。

解：2000

sin cos lim x t y t t θθ→→→=，又2sin cos t t t θθ≤，0lim 0t t →=，所以：0t →，2sin cos t t θθ关于θ在[0,2]π上一致收敛于0

，从而00

0x y →→=。

这种方法处理二元函数极限问题时，若能推得(,)()f x y A t ?-≤，而()t ?仅与t 有关，与θ无关，且在考虑极限过程中()0t ?→，则(,)f x y 的极限是A 。但若(,)()f x y A t ?-≤且对每个固定的θ有(,)0t ?θ→，仍不能说明(,)f x y 极限为A 。

例3.5求极限2

2400

lim x y xy x y →→+。

解：若令cos ,sin ,x t y t θθ==t 为变量，[0,2]θπ∈则2224224

cos sin 0cos sin xy t x y t θθ

θθ

-=++,当(,)0x y →时，0t →对任以固定的θ。上式均趋于0，但不能下结论说2

400

lim =0x y xy x y →→+。事实上2

2400

lim x y xy x y →→+不存在，由上章中介绍的极限不存在的特殊路径法可知,让(,)

x y 沿路径x ky =趋于(0,0),此时22420

lim 1x k y y xy k

x y k →→=++,极限值与k 有关，所以该极限不存在。

例3.6计算42

42(,)(0,0)lim x y x y x y →-+的值。

解：令cos ,sin x y ραρα==,

则：原式 42442242442200(cos )(sin )cos sin lim lim (cos )(sin )cos sin ρρραραραραραραραρα→→--==++ 1,()1,()k k z k k z απαπ=∈?=?-≠∈? ，所以极限不存在。 3.2.2球面坐标变换

设(,,)f x y z 在点000(,,)x y z 的某去心邻域内有定义,在球面坐标变换T :

00sin cos sin sin cos x r x y r y z r z

φθφθφ=+??

=+??=+?

若：000

lim(sin cos ,sin sin ,cos )r x r y r z r A φθφθφ→+++=。则：

(1) A 是与变量,φ?取值无关的常数时000(,,)()

lim (,,)x y z x y z f x y z A →++=； (2) A 是与变量,φ?取值有关的常数时

000(,,)(,,)

lim

(,,)x y z x y z f x y z → 不存在。

例3.7 求222

555

(,,)(2,3,4)(2)(3)(4)lim

(2)(3)(4)x y z x y z x y z →----+-+-的值。解：令2

555

(2)(3)(4)(,,)=(2)(3)(4)x y z f x y z x y z ----+-+-,做球面坐标变换T :sin cos 2

sin sin 3cos 4

x r y r z r φθφθφ=+??

=+??=+?

，则有：222

55500(sin cos )(sin cos )(cos )lim (sin cos ,sin cos ,cos )lim (sin cos )(sin cos )(cos )r r r r r f r r r r r r φθφθφφθφθφφθφθφ→→=++

4222555

0sin cos sin cos lim 0(sin cos )(sin cos )(cos )r r φθθφ

φθφθφ→==++，与,φ?无关，所以： 222

555

(,,)(2,3,4)(2)(3)(4)lim =0(2)(3)(4)x y z x y z x y z →----+-+-。例3.8求4

444

(,,)(0,0,0)lim

x y z xyz x y z →++的值。

解：令4

444

(,,)=xyz f x y z x y z ++,做球面坐标变换T ：sin cos sin sin cos x r y r z r φθ

φθφ

=??

=??=?

,则有： 2

444

00(sin cos )(sin sin )(cos )lim (sin cos ,sin sin ,cos )lim (sin cos )(sin sin )(cos )r r r r r f r r r r r r φθφθφφθφθφφθφθφ→→=++444

sin cos cos (sin cos )(sin sin )(cos )φθφ

φθφθφ=

++,与,φ?有关，

所以：4

444(,,)(0,0,0)lim

x y z xyz x y z →++极限值不存在。 3.2.3特殊变量替换

一般地对一类多元函数我们可把它化为一元函数或部分化为一元函数，然后求解。以二元函数为例。

例3.9

求,lim x y →∞→∞

分析：函数中都含有

,x y →∞→∞

→+∞

，所以可以用换元法。

解：t =设：21t

t t

+则上述多元函数可以化为一元函数(

)，所以：

,lim x y →∞→∞

21lim()t

t t t

→∞+=2e =。 3.3 利用函数的连续性

定义3.1[13]：设D 是n R 上的开集，()z f x =是定义在D 上的函数，0x D ∈为一定点。如果：

0lim ()()x x f x f x →=，

则称()z f x =在点0x 连续。用“εδ-”语言来说就是：如果对于任意给定的0ε>，存在0δ>。使得当00(,)x x δ∈O 时，成立

0()()f x f x ε-<,

则称函数()z f x =在点0x 连续。

如果函数()z f x =在D 上每一点连续，就称()z f x =在D 上连续，或者称()z f x =是D 上的连续函数。

若多元函数在D 是连续函数，则求函数在区域D 内某点极限值就转化为求函数值即将变量值代入即可。

例3.10

求

(,)(0,)

lim

x y π

→

解：令(,)f x y =00(,)x y 为2R 上的任意一点，则有

00(,)()sin f x y f x y --=

=2≤≤

≤（利用三角不等

式）

于是，对于任意给定的0ε>，取δε=

δ<时就成立： 00(,)()f x y f x y ε--<

这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续。由于00(,)x y 为2R 上的任意一点，所以(,)f x y 在2R 上连续。

所以：

(,)(0,)

lim

x y π→

(0,)12f π==。

例3.11

计算(,)lim

y x y →

解：

令：()y f x =

y 在(0,1)连续，

所以(,)lim

(0,1)1y x y f →==。

3.4利用四则运算

设00(,)(,)x y x y →时二元函数(,)f x y 和(,)g x y 的极限存在，

,a b R ∈,二元函数极限的四则运算公式[13]如下：

000000(,)(,)

(,)(,)

(1)

lim [(,)(,)]lim (,)lim (,)x y x y x y x y x y x y af x y bg x y a f x y b

g x y →→→±=±；

000000(,)(,)

(,)(,)

(2)

lim

[(,)(,)]lim (,)

lim

(,)x y x y x y x y x y x y f x y g x y f x y g x y →→→=

；

00000000(,)(,)

(,)(,)(,)(,)

(,)(,)

lim (,)(,)(3)lim [](lim (,)0)(,)lim (,)x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f x y g x y g x y g x y →→→→=≠。通过下面具体的例子，我们可以看出四则运算在计算多元函数极限的方便之处。例3.12求极限

22()(,)(,)

lim

()x y x y x y e -+→+∞+∞+。

解：

222222

()

()(,)(,)

(,)(,)(,)(,)()11

lim ()lim lim ()x y x y x y y x x y x y x y x y x y x y e

e e e e e

-++→+∞+∞→+∞+∞→+∞+∞++==+；因为21lim 0lim 0x y x y x e e →+∞→+∞==且，所以：2(,)(,)1lim ()0x y x y x e e →+∞+∞=，2(,)(,)1

lim ()0y x x y y e e →+∞+∞=同理:。

22()(,)(,)

lim

()0x y x y x y e -+→+∞+∞+=所以

。

例3.13求22

(,)(0,0)lim x y x y x y →+的值。

解：因为222222(,)(0,0)(,)(0,0)11

lim lim ()x y x y x y x y x y

→→+=+=+∞，所以2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y →=+。例3.14

求

(,)(0,0)lim

x y →的值。

解：

(,)(0,0)lim

x y →

(,)lim

x y →=

(,)lim x y →=

lim 1

4-=

=-。

(完整版)基本初等函数图像及其性质表

函数名一次函数二次函数反比例函数指数函数解析式 )0()(≠+=a b ax x f )0()(≠= k x k x f 图像定义域 R R {}0|≠x x R 值域 R ），（∞+0 必过点）（b ,0 ），（c 0 ) 1,(1,--k k ）（）（1,0 周期性不是周期函数不是周期函数不是周期函数不是周期函数单调性在R 上单增 )2-a b -∞，（为减 ),2+∞-a b （为增）为减，（0-∞）为减，（∞+0 为减为增，101<<>a a 最大最小值在R 不存在最大最小值开口向上有最小值 a b a c y 442min -= 不存在最大最小值在R 上不存在最大最小值奇偶性非奇非偶函数为奇函数00≠=b b 偶函数为非奇非为偶函数，00≠=b b 奇函数非奇非偶函数对称性为常数。对称，函数图像关于直线任何一点对称；关于图像上t t x a y +=1 - 对称直线函数图像关于 a b x 2-= 函数图像关于原点对称；对称。直线和关于对称，直线图像关于x y x y -== 既不成中心对称也不成轴对称。渐近线无无 . 00==y x 直线或者直线 .0=y 直线 ) 0()(2≠++=a c bx ax x f ) 10()(≠=a a a x f x 且＞0＞a ＞a 0 ＞k ) ,44[ 2 +∞-a b a c ），（），（∞+?∞00-x a y =) 10(<a x y O 1

函数名对数函数幂函数的一个例子双钩函数含绝对值函数解析式 ) 10(log ≠>=a a y x a 且 ) 0(≥=x x y b a b x a x y <-+-=设为了研究方便图像 O 1 y x ) 10(log <<=a y x a ) 1(log >=a y x a O y x x y =1 1 定义域 ()∞+，0 [)∞+，0 0}x |{x ≠ R 值域 R [) ∞+，0 (][) ∞+∞，，ab ab 22--Y [)+∞-,a b 必过点）（0,1 () 1,1 )2,(2,ab a b ab a b -- ）（ ) ,(,a b b a b a --）（周期性不是周期函数不是周期函数不是周期函数不是周期函数单调性单调递减。单调递增。，, 101<<>a a 为增函数定义域内递增。递减，，递减，递增，，???? ??+∞???? ????? ? ? ????? ??∞,00,---a b a b a b a b (][)函数。上为常值为增函数。为减函数。，],[,-b a b a +∞∞ 最大最小值无最大最小值最小值为 0min =y ，无最大值无最大最小值 a b y -=min 奇偶性非奇非偶非奇非偶奇函数对称性既不是轴对称也不是中心对称既不是轴对称也不是中心对称关于原点成中心对称关于直线 2 b a x += 对称。渐近线直线x=0 ax y =和0=x O y x a b a b -ab 2ab 2-O y x a b a b -的情况只了解中学研究方便通常）（00>>+=b a x b ax y 为偶函数0=+b a