反函数基础练习
(一)选择题
1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是
[ ]
2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是
[ ]
A．[0，＋∞)B．[－∞，1] C．(0，1] D．(－∞，0] [ ]
A．y＝2－(x－1)2(x≥2)
B．y＝2＋(x－1)2(x≥2)
C．y＝2－(x－1)2(x≥1)
D．y＝2＋(x－1)2(x≥1)
4．下列各组函数中互为反函数的是
[ ]
5．如果y＝f(x)的反函数是y＝f-1(x)，则下列命题中一定正确的是[ ]
A．若y＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y＝f-1(x)在[1，2]上也是增函数B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数
C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数
D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点
6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是[ ]
A．y＝x2＋1(x≤0)
B．y＝x2＋1(x≥1)
C．y＝x2－1(x≤0)
D．y＝x2－1(x≥1)
7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点[ ]
A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b)
C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))
8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是[ ]
A．y＝g(－x) B．y＝－g(x)
C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x)
9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是
[ ]
[ ]
A．g(2)＞g(－1)＞g(－3)
B．g(2)＞g(－3)＞g(－1)
C．g(－1)＞g(－3)＞g(2)
D．g(－3)＞g(－1)＞g(2)
(二)填空题
解f(x)＝________．
3．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________，b＝________．
义域是________．
5．已知函数y＝f(x)存在反函数，a是它的定义域内的任意一个值，则f-
1(f(a))＝________．
(三)解答题
(1)求函数y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)的值域；(2)若点P(1，2)是y＝f-1(x)的图像上一点，求函数y＝f(x)的值域．
3．已知函数y＝f(x)在其定义域内是增函数，且存在反函数，求证y＝f(x)的反函数y＝f-1(x)在它的定义域内也是增函数．
关于y＝x对称，求g(2)的值．
参考答案
(一)选择题
1．(C)．解：函数y=－x2(x≤0)的值域是y≤0，由y=－x2得x=
2．(D)．解：∵y=－x2－2x=－(x＋1)2，x≥0，∴函数值域y≤0，即其反函数的定义域为x
0．
＋1，得反函数f－1(x)=(x－1)2＋1，(x≥1)．
4．(B)．解：(A)错．∵y=x2没有反函数．(B)中如两个函数互为反
5．(B)．解：(A)中．∵y=f(x)在[1，2]上是增函数．∴其反函数y=f-1(x)在[f(1)，f(2)]上是增函数，∴(A)错．(B)对．(C)中如y=f(x)=x2是偶函数但没有反函数．∴(C)错．(D)中如函数f(x)=x2＋1(x≥0)的图像与y轴有
＋1(x≤0)．选(A)．
7．(D)．解：∵点(a，b)在函数y=f(x)的图像上，∴点(b，a)必在其反函数y=f-1(x)的图像上，而a=f-1(b)，故点(b，f－1(b))在y=f-1(x)的图像上．选(D)．
8．(B)．解：∵y=f(x)的反函数是y=f-1(x)即g(x)=f-1(x)，而y=f(－x)的反函数是y=－f-1(x)=－g(x)，∴选(B)．
9．(C)．解：令t=x
1．∵x≤1，∴t≤0，f(t)=t2＋2(t≤0)，即f(x)=x2＋2(x≤0)，值域为f(x)≥2，∴反函数f-1(x)的定义域是x≥2，值域y≤0，故选(C)．
(B)．
(二)填空题
x≥3)
5．a
6．[0，2)∪(2，＋∞)
8．－2
(三)解答题
(x－1)2－2，(x≥1)，其图像如右图．
2．解(1)：∵y=f(x)的定义域是{x|x≠1，x∈R，∴y=f-1(x)的值域是{y|y≠1，
y∈R}．
解(2)：∵点P(1，2)在，y=f-1(x)的图像上，点P(1，2)关于直线y=x
3．证明略．
七年级数学练习册答案 第一章 有理数 §正数和负数（一） 一、1. D 2. B 3. C 二、1. 5米 2. -8℃ 3. 正西面600米 4. 90 三、1. 正数有:1,,68,+123;负数有:,3 1 ,-11 2.记作-3毫米,有1张不合格 3. 一月份超额完成计划的吨数是-20, 二月份超额完成计划的 吨数是0, 三月份超额完成计划的吨数是+102. §正数和负数（二） 一、1. B 2. C 3. B 二、1. 3℃ 2. 3℃ 3. -2米 4. -18m 三、1.最大不超过, 最小不小于； 2.甲地最高,丙地最低,最高的地方比最低的地方高50米 3. 70分 §有理数 一、1. D 2. C 3. D 二、1. 0 2. 1,-1 3. 0,1,2,3 4. -10 三、1.自然数的集合：｛6,0,+5,+10…｝ 整数集合：
｛-30,6,0,+5,-302,+10…｝ 负整数集合：｛-30,-302… ｝ 分数集合： ｛2 1-,,,322,11 10-,…｝ 负分数集合：｛2 1-,, 1110-… ｝ 非负有理数集合：｛, 3 22,6,0,,+5,+10…｝； 2. 有31人可以达到引体向上的标准 3. (1) 10 1 - (2) 2009 1 0 §数轴 一、1. D 2. C 3. C 二、1. 右 5 左 3 2.2 14± 3. -3 4. 10 三、1. 略 2.(1)依次是-3,-1,,4 (2)1 3. ±1，±3 §相反数 一、1. B 2. C 3. D 二、1. 3,-7 2. 非正数 3. 3 4. -9 三、1. (1) -3 (2) -4 (3) (4) -6 2. -3 3. 提示:原式 =3)122(2 1+++z y x =33)1242(2 1=+++-z y y x §绝对值 一、1. A 2. D 3. D
七年级上册基础训练数学答案 【篇一：人教版七年级数学上册同步练习题及答案全套】 教版七年级数学上册同步练习题及答案全套 名称 (课课练） 学科 类型 大小 年级 教材 添加 时间 点击 评价数学试题|试卷 0.57 mb 初一|七年级新课标人教版 2012-08- 26 11:53 20393 ☆☆☆☆☆审核 admin 第三章一元一次方程 3.11一元一次方程(1) 知识检测 1．若4xm－1－2=0是一元一次方程，则m=______． 2．某正方形的边长为8cm，某长方形的宽为4cm，且正方形与长 方形面积相等，?则长方形长为______cm． 3．已知（2m－3）x2－（2－3m）x=1是关于x的一元一次方程， 则m=______． 4．下列方程中是一元一次方程的是（） a．3x+2y=5 b．y2－6y+5=0 c．x－3=d．4x－3=0 5．已知长方形的长与宽之比为2：1?周长为20cm，?设宽为xcm，得方程：________． 7．某班外出军训，若每间房住6人，还有两间没人住，若每间住4人，恰好少了两间宿舍，设房间为x，两个式子分别为（x－2）6人，（x+2）4，得方程_______． 8．某农户2006年种植稻谷x亩，2007?年比2006增加10%，2008年比2006年减少5%，三年共种植稻谷120亩，得方程 _______．
9．一个两位数，十位上数字为a，个位数字比a大2，且十位上数 与个位上数和为6，列方程为______． 10．某幼儿园买中、小型椅子共50把，中型椅子每把8元，小型 椅子每把4?元，?买50把中型、小型椅子共花288元，问中、小型 椅子各买了多少把？?若设中型椅子买了x把，则可列方程为 ______． 11．中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款 利率，一年定期存款利率上调到3.06%，某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除5%的利息税）．设到期后银行向储户支付现金x元，则所列方程正确的是（） 12．足球比赛的计分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一 场得0分，一个队共打了14场比赛，负了5场，得19分，设该队 共平x场，则得方程（） a．3x+9－x=19b．2（9－x）+x=19 c．x（9－x）=19 d．3（9－x）+x=19 13．已知方程（m－2）x|m|－1+3=m－5是关于x的一元一次方程，求m的值，?并写出其方程． 拓展提高 14．小明爸爸把家里的空啤酒瓶让小明去换饮料，现有40个空啤 酒瓶，1个空啤酒瓶回收是0.5元，一瓶饮料是2元，4个饮料瓶可 换一瓶饮料，问小明可换回多少瓶饮料？ 【篇二：七年级上册数学同步练习答案】 xt>1.1正数和负数（一） 一、1. d 2. b3. c 二、1. 5米 2. -8℃3. 正西面600米 4. 90 三、1. 正数有:1,2.3,68,+123;负数有:-5.5, ,-112.记作-3毫米,有1张 不合格 3. 一月份超额完成计划的吨数是-20, 二月份超额完成计划的吨数是0, 三月份超额完成计划的吨数是+102. 1.1正数和负数（二） 一、1. b2. c 3. b 二、1. 3℃ 2. 3℃ 3. -2米 4. -18m 三、1.最大不超过9.05cm, 最小不小于8.95cm； 2.甲地最高,丙地最低,最高的地方比最低的地方高50米 3. 70分 1.2.1有理数
反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴.
令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数
2020年七年级上册数学练习册答案人教版参考答案第一章有理数 §1.1正数和负数（一） 一、1. D 2. B 3. C 二、1. 5米 2. -8℃ 3. 正西面600米 4. 90 三、1. 正数有：1,2.3,68,+123;负数有：-5.5, 13 ,-11 2.记作-3毫米,有1张不合格 3. 一月份超额完成计划的吨数是-20, 二月份超额完成计划的吨数是0, 三月份超额完成计划的吨数是+102. §1.1正数和负数（二） 一、1. B 2. C 3. B 二、1. 3℃ 2. 3℃ 3. -2米 4. -18m 三、1.不超过9.05cm, 最小不小于8.95cm； 2.甲地,丙地最低,的地方比最低的地方高50米 3. 70分§1.2.1有理数 一、1. D 2. C 3. D 二、1. 0 2. 1,-1 3. 0,1,2,3 4. -10 三、1.自然数的集合：｛6,0,+5,+10…｝整数集合：｛- 30,6,0,+5,-302,+10…｝ 负分数集合：｛负整数集合：｛-30,-302… ｝分数集合：｛ 12
12 23 ,0.02,-7.2,2, 1011 ,2.1…｝ ,-7.2, 1011 … ｝ 非负有理数集合：｛0.02, 2 23 ,6,0,2.1,+5,+10…｝； 110 §1.2.2数轴2. 有31人能够达到引体向上的标准 3. (1) 4一、1. D 2. C 3. C 二、1. 右 5 左 3 2. 12 (2) 12009 3. -3 4. 10 三、1. 略 2.(1)依次是-3,-1,2.5,4 (2)1 3. ±1，±3 §1.2.3相反数 一、1. B 2. C 3. D
第一册反函数 教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y=f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。
师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y 是函数值；后者y是自变量，x是函数值。） 在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y 是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？ 生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的’值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为： （1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出； （2）将x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1 （II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结 本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。 （IV）课后作业 一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 引言 (1) 1反函数的定义及其性质 (1) 1.1反函数的定义 (1) 1.2反函数的性质 (2) 1.2.1反函数的简单性质 (2) 1.2.2关于反函数图像的性质 (3) 1.2.3反函数的连续性与可微性 (5) 2反函数存在性的判定 (6) 2.1反函数存在性判定（一） (6) 2.1反函数存在性判定（二） (6) 3反函数的求法 (8) 3.1反函数的一般求法 (8) 3.2几类特殊函数的反函数的求解 (9) 3.2.1周期函数的反函数 (9) 3.2.2分段函数的反函数 (11) 3.2.3复合函数的反函数 (12) 参考文献 (14) 致谢 (14)
函数的反函数的存在性及其求法 数学与应用数学专业薛云 指导老师武秀美 摘要反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法. 关键词反函数周期函数反函数存在性定理 The Existence and Solution of Inverse Function of Functions Student majoring in Mathematics and applied mathematics Xue Yun Tutor Wu Xiumei Abstract The inverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions. Key words Inverse function Periodic function Existence theorem of inverse function 引言函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论. 1 反函数的定义及其性质 1.1 反函数的定义 定义]1[1一般地,式子) y=表示y是自变量x的函数,设它的定义域为A,值 (x f 域为C.从式子) (x =.如果对于y在C中的任何 (y x? f y=中解出x,得到式子) 一个值,通过式子) =,x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x? (y
七年级上数学练习册答案人教版 第一章有理数 §1.1正数和负数（一） 一、1. D 2. B 3. C 二、1. 5米 2. -8℃ 3. 正西面600米 4. 90 三、1. 正数有：1,2.3,68,+123;负数有：-5.5, 13 ,-11 2.记作-3毫米,有1张不合格 3. 一月份超额完成计划的吨数是-20, 二月份超额完成计划的吨数是0, 三月份超额完成计划的吨数是+102. §1.1正数和负数（二） 一、1. B 2. C 3. B 二、1. 3℃ 2. 3℃ 3. -2米 4. -18m 三、1.不超过9.05cm, 最小不小于8.95cm； 2.甲地,丙地最低,的地方比最低的地方高50米 3. 70分§1.2.1有理数 一、1. D 2. C 3. D 二、1. 0 2. 1,-1 3. 0,1,2,3 4. -10 三、1.自然数的集合：｛6,0,+5,+10…｝整数集合：｛- 30,6,0,+5,-302,+10…｝ 负整数集合：｛-30,-302… ｝分数集合：｛负分数集合：｛ 12
12 23 ,0.02,-7.2,2, 1011 ,2.1…｝ ,-7.2, 1011 … ｝ 非负有理数集合：｛0.02, 2 23 ,6,0,2.1,+5,+10…｝； 110 2. 有31人能够达到引体向上的标准 3. (1) §1.2.2数轴 一、1. D 2. C 3. C 二、1. 右 5 左 3 2.4 12 (2) 12009 3. -3 4. 10 三、1. 略 2.(1)依次是-3,-1,2.5,4 (2)1 3. ±1，±3 §1.2.3相反数 一、1. B 2. C 3. D
高考反函数问题常见类型解析 反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。 一. 条件存在型 例1.函数f x x ax ()=--223在区间[] 12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][ )a ∈-∞+∞，，12 D. [] a ∈12， 解析：因为二次函数f x x ax ()=--223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的 子区间(]-∞，a 或[ )a ，+∞上是单调函数。而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函 数，所以[](]12，，?-∞a 或者[][)12，，?+∞a ，即a ≤1或a ≥2。故选（C ） 点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。 二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤2 3 10()的反函数是（ ） A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 解析：由x ≤0可得x 2 3 0≥，故y ≥-1，从y x = -23 1解得x y =±+()13 因x ≤0，所以x y =-+()13 即其反函数是y x x =-+≥-()()113 故选（B ）。 点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。 三.求定义域值域型 例3.若f x -1 ()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1 （x ）的值域为_________。 解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1 101()，可求得f －1 （x ）的值域为 ()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1 （x ）的值域 为()-+∞1，。 点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。
经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2.
2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况）
师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？
七年级上册数学练习册答案人教版（2019） 第二十一章二次根式 §21.1二次根式(一) 一、1. C 2. D 3. D 二、1. ，9 2. ， 3. 4. 1 三、1.50m 2.(1) (2) >-1 (3) (4) §21.1二次根式(二) 一、1. C 2.B 3.D 4. D 二、1. ， 2.1 3. ; 三、1. 或-3 2.(1) ;(2)5; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; 3. 原式= §21.2二次根式的乘除(一) 一、1.C 2. D 3.B 二、1.3 2. 3.(1) ; (2) ; 4. 6 三、1.(1) (2) (3) 5 2.(1) (2) (3) 3. ,所以是倍. §21.2二次根式的乘除(三) 一、1.D 2.A 3.B 二、1. 2. , , 3.1 4. 三、1.(1) (2)10 2. 3.( ,0) (0, ); §21.3二次根式的加减(一) 一、1.C 2.A 3.C 二、1.(答案不，如：、 ) 2. 45
所以王师傅的钢材不够用. §21.3二次根式的加减(三) 一、1. C 2.B 3.D 二、 1. ; 2. 0, 3. 1 (4) 三、 1.(1) (2)5 2.(1) (2) 3. 6 第二十二章一元二次方程 §22.1一元二次方程(一) 一、1.C 2.D 3.D 二、1. 2 2. 3 3. –1 三、1.略 2. 一般形式： §22.1一元二次方程(二) 一、1.C 2.D 3.C 二、1. 1(答案不) 2. 3. 2 三、1.(1) (2) (3) (4) 2.以1为根的方程为，以1和2为根的方程为 3.依题 意得，∴ .∵ 不合题意，∴ . §22.2降次-解一元二次方程(一) 一、1.C 2.C 3.D 二、1. 2. 3. 1 三、1.(1) (2) (3) (4) 2.解：设靠墙一边的长为米，则整理，得， 解得∵墙长为25米，∴ 都符合题意. 答：略.
高考反函数问题常见类型解析 反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。 一. 条件存在型 例1.函数f x x ax ()=--2 23在区间[ ] 12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]a ∈-∞，1 B. [)a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. [] a ∈12， 解析：因为二次函数f x x ax ()=--2 23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的 子区间( ]-∞，a 或[ )a ，+∞上是单调函数。而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函 数，所以[](]12，，?-∞a 或者[][)12，，?+∞a ，即a ≤1或a ≥2。故选（C ） 点评：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。 二. 式子求解型 例2.函数y x x =-≤23 10()的反函数是（ ） A. y x x =+≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 解析：由x ≤0可得x 23 0≥，故y ≥-1，从y x =-23 1解得x y =±+()13 因x ≤0，所以x y =-+()13即其反函数是y x x =-+≥-()()113 故选（B ）。 点评：反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。 三.求定义域值域型 例3.若f x -1 ()为函数f x x ()lg()=+1的反函数，则f －1（x ）的值域为_________。 解析：通法是先求出f （x ）的反函数f x x -=-1 101()，可求得f －1（x ）的值域为 ()-+∞1，，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f －1（x ）的值域 为()-+∞1，。 点评：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。 四.性质判断型
4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联 系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索 中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？
教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1x f y ；了解)(1x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定 义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定 的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.
七年级北师大版数学上册练习册答案 【导语】学习不光要有不怕困难，永不言败的精神，还有有勤奋的努力，科学家爱迪生 曾说过：“天才就是1%的灵感加上99%的汗水，但那1%的灵感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要。”即使我们的成绩不是很好，但只要有心想要学习，那么我们就应该笨 鸟先飞，所谓"勤能补拙“没有人一出生就是天才，他们都是经过秦风的努力，才会成功的，所以我们不能坐等自己那天突然变成天才，而是要点燃自己的力量之火，寻找自己的天才之路，努力奋斗。以下是wo为您整理的《七年级北师大版数学上册练习册答案》，供大 家查阅。 【线段的比较和作法第2课时】 1、略 2、C 3、D 4、(1)-(2)略; (3)0.5厘米 5、略 6、P是AB的中点，因为AP=AC+CP=BD+DP=PB 7、建在C.假设建在点D，当D在线段CB上时，CD=x， 则所有员工到停车点所行总路程为10(100+x)+8x+13(200-x)=3600+5x. 当x=0时，路程最小. 同理，当D在线段AC上时，总路程也不是最小. 【线段、射线和直线第2课时】
3、3;1 4、B 5、略 6、(1)8; (2)1，10 7、四部分;七部分 【相反数与绝对值】 1、C 2、略 3、<，=，<，< 4、略 5、(1)2/5，-2/5，2/5; (2)1，1; (3)-3;+3; (4)-3，-2，-1，0，1，2，3 6、与标准质量相差-0.6克的排球最接近标准.这个排球的质量与标准质量只相差0.6克 7、A 【有理数的混合运算】 1、略 2、0
4、D 5、（1）-140； （2）-8； （3）-8； （4）60； （5）38； （6）37.5 6、如：（1）3×［4+10+（-6）］； （2）4-10×（-6）÷3； （3）10-（-6）×3-4；［（-13）×（-5）+7］÷3 7、1 【利用计算器进行简单的计算】 1、略 2、（1）4715； （2）28352.87 3、（1）113.0； （2）372，116.8； （3）3.8 4、（1）略； （2）当n＜3时，nn+1＜（n+1）n， 当n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：
7、反函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（ B. － －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f － 1(4)等于 （ ） A ．2 B ．1－2 C ．－2 D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是 （ ） A ．y=－f (x ) B ．y= f -1(x ) C ．y =－f -1(x ) D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为 （ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1 a - C ． b D ．1 b - 7．已知函数()1 3 ax f x x += -的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 9．函数f (x )=－ 2 2 ·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ） A ．(－∞，0］ B ．(－∞，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点 （ ） A ．(－1，4) B ．(－4，－1) C ．(－1，－4) D ．(1，－4)
例析反函数的几种题型及解法 反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。 一. 反函数存在的充要条件类型 例1. （2004年北京高考）函数f x x ax ()=--2 23在区间[] 12，上存在反函数的充要条件是（ ） A. (]a ∈-∞，1 B. [ )a ∈+∞2， C. (][)a ∈-∞+∞，，12 D. []a ∈12， 解析：因为二次函数f x x ax ()=--2 23不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间( ]-∞，a 或[) a ，+∞上是单调函数。 而已知函数f x ()在区间［1，2］上存在反函数 所以[](]12，，?-∞a 或者[][) 12，，?+∞a 即a ≤1或a ≥2 故选（C ） 评注：函数y f x =()在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数y f x =()在定义域内的单调函数，那么函数f （x ）必存在反函数；如果函数f （x ）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数f （x ）在这个子区间上必存在反函数。 二. 反函数的求法类型 例2. （2005年全国卷）函数y x x =-≤23 10()的反函数是（ ） A. y x x = +≥-()()113 B. y x x =-+≥-()()113 C. y x x = +≥()()103 D. y x x =-+≥()()103 解析：由x ≤0可得x 2 3 0≥，故y ≥-1 从y x = -23 1解得x y =±+()13 因x ≤0
●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27
注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质
①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称．
选择题 1、两个互为相反数的有理数相乘，积为（） A、正数 B、负数 C、零 D、负数或零 考点：有理数的乘法。 分析：1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同零相乘，都得0． 2、两个互为相反数的数有两种情况，一正一负或都为0． 解答：解：∵正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，根据异号两数相乘得负，∴积为负． 又∵0的相反数是0，∴积为0． 故选D 点评：本题考查了有理数的乘法法则．注意互为相反数的数有两种情况． 2、绝对值不大于4的整数的积是（） A、16 B、0 C、576 D、﹣1 考点：有理数的乘法；绝对值。 专题：计算题。 分析：先找出绝对值不大于4的整数，再求它们的乘积． 解答：解：绝对值不大于4的整数有，0、1、2、3、4、﹣1、﹣2、﹣3、﹣4．，所以它们的乘积为0． 故选B． 点评：绝对值的不大于4的整数，除正数外，还有负数．掌握0与任何数相乘的积都是0． 3、五个有理数的积为负数，则五个数中负数的个数是（） A、1 B、3 C、5 D、1或3或5 考点：有理数的乘法。 分析：多个有理数相乘的法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 解答：解：五个有理数的积为负数，负数的个数是奇数个，则五个数中负数的个数是1、3、5． 故选D． 点评：本题考查了有理数的乘法法则． 4、现有四种说法： ①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负； ②几个有理数相乘，积为负时，负因数有奇数个； ③当x＜0时，|x|=﹣x； ④当|x|=﹣x时，x＜0． 其中正确的说法是（） A、②③ B、③④ C、②③④ D、①②③④ 考点：有理数的乘法；绝对值。 分析：根据0乘以任意数都得0和0的绝对值还是0知，①④错误．
（二十）反函数 一、选择题： 1．若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2 －1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 4．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b - 5．已知函数()13 ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 二、填空题： 6．若点(1,2)既在函数b ax x f += )(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则_____,_____a b == 7. 若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点__________。 8．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ 。 9．设13,2x y x -=≥，则求反函数1()f x -=__ ______。 10．已知f (x )＝f －1(x )＝ x m x ++12(x ≠－m )，则实数m = 。 11. 点(2，1)既在函数f (x )=a b x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有__________组。 12. 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，1(1)f x -+=____________。