模块一 K 字型全等
如图，BD AD ⊥，AB AC ⊥，AE CE ⊥，且AB AC =，则有ABD CAE △△≌．
模块二 母子型
1．等边三角形
2．正方形（等腰直角三角形）
（15—16年成华期末）在ABC △中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线l 经过点C ，且AD l ⊥
于点D ，BE l ⊥于点E ．
（1）当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时，求证：①ACD CBE △≌△，②AD BE DE +=； （2）当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时，求证：BE DE AD +=；
（3）当直线l 绕点C 旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系．
图1-1 图1-2 图1-3
模块一
K 字型全等
C B
D
A
E
C B
D
A
E
C B A
E D
B
C
A
E
D
C
B
D
A
C
G
F
D B A E
G
D
B
C
A
E
F
D
B
C
G
F
E
A
l A D B
E
C A B l C
D
E A B l D C E
（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，AE 交BD 于F ，过F
作FH AE ⊥交BC 于H ，连接AH ． （1）过点F 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：AF FH =；
（2）过点H 作HG BD ⊥，垂足为G ，试求FG 和BD 的数量关系．
（嘉祥）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，求证：AM 是AEG △的中线．
如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．
（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图4-1，若90BCA ∠=?，90α∠=?，则BE _____CF ；EF _____||BE AF -（填“＞”、“＜”、“=”）；
②如图4-2，若0180BCA ?<
（2）如图4-3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
例题1
M
N
H G F
E
D
C
B
A
D
E M G
F A B
H C
图4-1 图4-2 图4-3
如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：
（1）AN MB =； （2）60MFA ∠=?；
（3）AFC BFC ∠=∠； （4）DEC △为等边三角形；
（5）//DE AB ．
14—15年成外）已知，在ADE △中，AE AD =，90EAD ∠=?．
（1）如图6-1，若EC ，DB 分别平分AED ∠、ADE ∠，交AD ，AE 于点C 、B ，连接BC ．请判断AB 、AC 是否相等，并说明理由；
（2）ADE △的位置保持不变，将（1）中的ABC △绕点A 逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD 和BE 相交于O ，请判断线段BE 与CD 的位置关系与数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若6CD =，试求四边形CEDB 的面积．
图6-1 图6-2
图②
图③
A
B
C
D
E
F A
B
C D
E
F 例题2
例题3
例题4
B
E
F D
C
A
D A F
C E
A N M D
C E F
A B C D
E C E A B O
D
如图7-1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥．
（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图7-2的位置时，AG CE =，AG CE ⊥是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B 、D 、G 在一条直线（如图7-3）上时，连接CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
图7-1 图7-2 图7-3
图1A
B
C D G F
E
图2D
C B
A G
F
E
图3
C
D
A
F
E
P G H
（15年西川半期）如图8-1，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，点M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：BE CD =；
（2）求证：AMN △是等腰三角形；
（3）在图8-1的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转，使D 点落在线段AB 上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．
图8-1 图8-2
如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：（1）AE CG =；（2）AE CG ⊥．
如图5-1，等边ABC △中，D 是AB 上一点，以CD 为边向上作等边CDE △，连接AE ． （1）求证：AE//BC ；
（2）如图5-2，若点D 在AB 的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由． 图5-1 图5-2
演练1
A B C D
N M
E B C
D E M N E B
A G F C D
A B
C
E
D
A
B
C
E
D
以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（ABC △，ADE △），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ． （1）说明BD CE =；
（2）延长BD ，交CE 于点F ，求BFC ∠的度数；
（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
图4-1 图4-2
如图，B 、C 、E 三点在一条直线上，ABC △和DCE △都为等边三角形，连接AE 、DB ． （1）试说出AE BD =的理由．
（2）如果把DCE △绕C 点顺时针旋转一个角度，使B 、C 、E 不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）
（3）在（2）中若AE 、BD 相交于P ，求APB ∠的度数．
截长补短
如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，求证：CD BD AB =+．
D C B A
C
A B
F
D
C D F
A
B
E
D
A
C
E
A
B
P
D
C
E
如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 上的点，且45MAN ∠=?．求证：MN BM DN =+．
如图，ABC △是等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=?的等腰三角形，以D 为顶点作一
个60?角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，求证：MN BM CN =+．
如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．
已知四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，135EAF ∠=?．
求证：BE DF EF +=．
N
M
D
C
B
A N
M D
C
B
A
F
E
D
C
B
A 例题5
例题6
例题7
五边形ABCDE 中，AB AE =，
BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=?．求证：AD 平分CDE ∠．
（金牛区期末统考改编）如图，已知两个全等的等腰直角ABC △、DEF △，其中90ACB DFE ∠=∠=?，E 为AB 中点，DEF △可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ，连结MN 、CE ．
（1）如图7-1，当M 、N 分别在线段CA 、CB （不包括端点）上，求证：AM MN CN =+． （2）如图7-2，当M 在线段AC 上，N 在BC 的延长线上，请探究AM ，MN ，CN 之间的数量关系，并说明理由．
图7-1 图7-2
图
图1
A
B C
D E
F
A
B C
D E
F Q P
N
E
例题8
例题9
A B
D
E
A B C
D F
N M
C N F
D M
角平分线模型
（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．
（2）（14—15年武侯区期末）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．
（3）（15—16年武侯期末）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下
结论：①1
2
BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠
90=?，其中正确的结论有_____________（只填序号）
图3-1 图3-2 图3-3
（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．
（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．
图4-1 图4-2
模块二
角平分线模型
例题10
例题11
H F G A C D E B A
E F C D
A G D
F E
A
B
F E
A
D
C
F E G
如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．
如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=?，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．
求证：1
2
CE BD =．
（14—15年嘉祥月考）如图，在ABC △中，60ABC ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．
例题12
例题13
例题14
A B
D
C
12
B A C
E
D A E
C
O
（14—15年育才期末、嘉祥半期）如图，ABC △中，90BAC ∠=?，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥． （1）求证：BE CF =；
（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．
已知等腰ABC △，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．
倍长中线
在ABC △中，AD 是BC 边上的中线． （1）求证：2AB AC AD +>；
（2）若5AB =，9AC =，求AD 的取值范围．
如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
例题9
演练2
演练3
A
B D C
A F
E
B A M F N
D
C
A
B
D
C
如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上，DE CD =，EF AC =．求证：EF//AB ．
已知AD 为ABC △的中线，在AB 上有一点E ，AC 上有一点F ，连接DE 、DF ，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．
在ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．求证：2CD CE =．
在ABC △中，分别以AB 、AC 为边长，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，M 为BC 中点，求证：（1）2EG AM =；（2）AM EG ⊥．
例题15
例题16
例题9
A B F
E D C
A E
F
C
E B D
D
E
G
A
如图所示，90BAC DAE ∠=∠=?，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =． 求证：（1）2CD AM =；（2）AM CD ⊥．
如图2-1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =?∠，把一块含30?角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． （1）在图2-1中，①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2-2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图2-3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图2-1 图2-2 图2-3
图
3图2图1A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
N
M F
E
D
C
B
A
演练4
演练5
A
B
M
C
D
E D C B A 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证： （Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 12 1 中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； （第1题图） A B C D E F G M
(4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥中，底面，，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面；
初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范
围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0
① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证： //1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
G P A B C D F E A B C D E F 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 P A B C D M N ③ 如图，已知AB 平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； 的交点.求证：//1O C 面 ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线11 AB D ． D 1C 1 B 1 A 1
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
个性化简案 个性化教案（真题演练）
个性化教案
平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如等 OE ； r = 2
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化
平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
立体几何方法归纳小结 一、线线平行的证明方法 1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A ，过a的平面B与平面A相交于b ，则a//b。 3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b 。 4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b，则a//b 。 二、线面平行的证明方法 1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。 2、根据线面平行的判定定理，若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A 。(用相似三角形或平行四边形) 3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。 三、面面平行的证明方法 1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。 2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。 3、垂直同一直线的两平面平行。 4、平行同一平面的两平面平行。 四、两直线垂直的证明方法 1、根据定义,证明两直线所成的角为90° 2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条. 3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线. 4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线). 五、线面垂直的证明方法 1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面. 2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面. 3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个. 4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面. 5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 六、面面垂直的证明方法 1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。 七、两异面直线所成角的求法 1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。
1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：
（二）立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行
两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行， 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线，则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线， 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直，那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
如果两个平面没有公共点，则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线，则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交， 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线， 面垂直。
公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。（ （ 公理 它公共点，这些公共点的集合是一条直线（ （ 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 （ （ 推论 推论
E B C D A P ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,42CD DB ==，求四棱锥F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面 DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 E A 1 B 1 C 1 D 1D C B A _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F
G P A B C D F E A B C D E F 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 P A B C D M N ③ 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：//1O C 面11 AB D ． D 1 C 1B 1A 1
1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：
__________________________________________________ 立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 平行转化：线线平行 线面平行 面面平行； 类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法） （1） 方法一：中位线法 以锥体为载体 例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中， 点E 是PD 的中点. 求证：PB ∥平面AEC ； 变式1：若点M 是PC 的中点，求证：PA||平面BDM ； 变式2：若点M 是PA 的中点，求证：PC||平面BDM 。 变式3如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形， , 点M 是SD 的中点，求证：//SB 平面ACM _ B _ C S P A B C D E
__________________________________________________ (2)以柱体为载体 例2 在直三棱柱111ABC A B C -,D 为BC 的中点，求证：1A C ||平面1AB D 变式1 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式2在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是CD 的中点，求证：1B D ||平面1BC E 变式 3 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5，AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点. 求证：BC 1//平面AB 1D ； 方法2：构造平行四边形法 例1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、F 分别为AB SC ,的中点．证明○1EF ∥平面SAD ○2BF ∥平面SDE 变式1：若E 、F 分别为AD SB ,的中点．证明EF ∥平面SCD 变式2 若E 、F 分别为SD B ,A 的中点．证明EF ∥平面SCB 例2 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, F E S A B C D E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O C O C D E O B C D E O C D
③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ； 【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③α cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ??=+= ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 A
平面解析几何初步复习课教学设计 （一）教材分析 解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。根据课程标准要 求，在必修 2 解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方 程，并初步建立空间坐标系的概念。这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修 中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。因此，本章要求学生掌握 解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本 的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。这样的安排，一方面降低了解析 几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何 学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。 因此教学中，要体会必修 2 的 4 个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅 仅是初步③是螺旋式上升的开始④ . 感性认识到理性认识的过渡期。 ( 二 )课程内容标准（教学大纲与课程标准比较） 《教学大纲》《课程标准》主要变化点 直线和圆的方程 (22 课时 ) 平面解析几何初步 ( 约 18 课时 ) 1．平面解析几何分 直线的倾斜角和斜率。直线(1) 直线与方程层为三块：初步（必 方程的点斜式和两点式。直①在平面直角坐标系中，结合具体修）、圆锥曲线（必 线方程的一般式。图形，探索确定直线位置的几何要选）和坐标系与参数 两条直线平行与垂直的条素。方程（自选）。 件。两条直线的交角。点到②理解直线的倾斜角和斜率的概2．线性规划问题移 直线的距离。念，经历用代数方法刻画直线斜率到《数学 5》“不等 用二元一次不等式表示平面的过程，掌握过两点的直线斜率的式”部分；原立几 B 区域。简单线性规划问题。计算公式。教材“空间直角坐 实习作业。③能根据斜率判定两条直线平行标系”移至解几初 曲线与方程的概念。由已知或垂直。步。 条件列出曲线方程。④根据确定直线位置的几何要素，3．注重过程教学，
高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD 3 、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， （第2题图）
AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 o A C B P
2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结（含 解析）新人教B 版必修2 一、选择题 1．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②任何一条直线都有惟一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] ①正确；对于②，当直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；对于③，倾斜角为90°的直线与x 轴垂直，有无数条；对于④，倾斜角为0°的直线与x 轴平行或重合，这样的直线有无数条，故选B. 2．斜率为3的直线经过(2,1)、(m,4)、(3，n )三点，则m ＋n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C [解析] 由题意得3＝4－1m －2＝n －1 3－2， ∴m ＝3，n ＝4， ∴m ＋n ＝7. 3．已知直线l 1∥l 2，它们的斜率分别记作k 1、k 2.若k 1、k 2是方程x 2 ＋2ax ＋1＝0的两个根，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．无法确定 [答案] C [解析] ∵直线l 1∥l 2，∴它们的斜率相等，即k 1＝k 2.又k 1、k 2是方程x 2 ＋2ax ＋1＝0的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a )2 －4×1×1＝0，即a 2 ＝1， ∴a ＝1或－1，故选C ． 4．方程x 2 ＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是( )
A ．(1 4，1) B ．(－∞，1) C ．(－∞，1 4) D ．[1，＋∞) [答案] D [解析] 由题意知42＋(－2)2 －20m ≤0，解得m ≥1，故选D. 5．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2 ＋y 2 ＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则 a ＝( ) A ．－12 B ．1 C ．2 D ．1 2 [答案] A [解析] 圆的圆心为(1,0)，由(2－1)2 ＋22 ＝5知点P 在圆上，所以切线与过点P 的半径垂直，且k ＝2－02－1＝2，∴a ＝－1 2 .故选A ． 6．(xx·全卷Ⅱ理，7)过三点A (1,3)、B (4,2)、C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 [答案] C [解析] 解法一：由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋7 4－1＝3，∴k AB ·k CB ＝－1，∴AB ⊥CB ， 即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，∴外接圆方程为(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN |＝46，故选C ． 解法二：设圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ???? ? 1＋9＋D ＋3E ＋F ＝016＋4＋4D ＋2E ＋F ＝01＋49＋D －7E ＋F ＝0 ，解得???? ? D ＝－2 E ＝4 F ＝－20 . ∴圆的方程为x 2 ＋y 2 －2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得 y ＝±26－2， ∴|MN |＝4 6. 二、填空题 7．过两点(1,2)和(3,1)的直线在y 轴上的截距为________．