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四川省乐山外国语学校2019-2020学年高二数学9月月考试题文
第I卷（选择题)
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是
A．一个圆柱B．一个圆锥C．两个圆锥D．一个圆台
2．如图，O A B C
''''为四边形OABC的斜二测直观图，则原平面图形OABC是（）
A．直角梯形 B．等腰梯形
C．非直角且非等腰的梯形 D．不可能是梯形
3．已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）
A．相交的直线 B．平行的直线 C．异面的直线 D．垂直的直线
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A. B. C. D.
第4题第5题
5．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（）
A．6:(51):4
+ B．6:5:4 C．5:(51):4
+ D．5:5:4
6．已知,,
a b c为直线，,,
αβγ平面，则下列说法正确的是( )
①,
a b
αα
⊥⊥，则//
a b②,
αγβγ
⊥⊥，则αβ
⊥
③//,//
a b
αα，则//
a b④//,//
αγβγ，则//
αβ
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
7．《九章算术》商功章有云：今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛，问周几何？即一圆柱形谷仓，高1丈3
尺
1
3
3
寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，3
π≈），则圆柱底面圆的周长
约为（）
A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48
8．已知直三棱柱111
ABC A B C
-的所有棱长都相等，M为
11
A C的中点，则AM与
1
BC所成角的余弦值为( )
A．
15
B．
5
C．
6
4
D．
10
4
9．如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论错误的
为( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝CD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
第9题第10题
10．在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin2α+sin2β＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC，平面AB1，平面AD1所成的角分别为β1，β2，β3，
则下列说法正确的是（）
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①sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝1 ②sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝2 ③cos 2α1+cos 2α2+cos 2
α3＝1 ④sin 2
β1+sin 2
β2+sin 2
β3＝1
A ．①③
B ．②③
C ．①③④
D ．②③④
11．“斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体。在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗。如图所示，是“散斗”（又名“三才升”）的三视图，则它的体积为（ ）
A ．
97
3
B ．3
85
C ．53
D ．
733
12．一圆锥的内部装有一个小球，若小球的体积为
43
π
，则该圆锥侧面积的最小值是（ ） A ．4π B ．6π C ．(322)π+ D ．(322)π+
第II 卷（非选择题)
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ．若
1232
S S =，则12V V 的值为______.
14．球的内接圆柱的表面积为20π，侧面积为12π，则该球的表面积为_______ 15．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段
AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有__________对.
16．如图所示，在直角梯形ABCD 中，,,,BC DC AE DC M N ⊥⊥分别是
,AD BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是__________（填上所有正确的序号）.
①不论D 折至何位置（不在平面ABC 内）都有MN ∥平面DEC ；
②不论D 折至何位置都有MN AE ⊥；
③不论D 折至何位置（不在平面ABC 内）都有MN AB .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）从斜二测画法下的棱长为a 的空心正方体1111ABCD A B C D -的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中111AC D ?的面积；
（Ⅱ) 如果用图示中这样一个装置来盛水，
那么最多能盛多少体积的水？
18．（本小题12分）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点.
求证：（1）1,,,E C D F 四点共面；
（2）1,,CE D F DA 三线共点.
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第18题 第19题
19．（本小题12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC AD ∥，CE AD ⊥，垂足为E ，33AD BC ==，1EC =．将
DEC ?沿EC 折起到1D EC ?的位置，使平面1D EC ?⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 的中点．
（1）求证：BG ∥平面1D EC ；
（2）求证：AB ⊥平面1D EB ；
（3）求三棱锥1D GEC -的体积．
20．（本小题12分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且，，，为
的中点，
平面
．
（1）证明：平面平面；
（2）若，试求异面直线与所成角的余弦值．
21．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，
AB CD ∥，222PD AB AD CD ====，E 为PB 中点.
（Ⅰ）证明：CE//平面PAD ；
（Ⅱ）求直线PA 与平面AEC 所成角的正弦值.
22．（本小题12分）如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面⊙O 上，11AB A B 、分别为⊙O、⊙O 1的直径，且1A A ⊥平面PAB ．
（1）求证：1BP A P ⊥；
（2）若圆柱1OO 的体积122120V OA AOP π∠?＝，＝，＝，在线段AP 上是否存在一点M ，使异面直线OM 与1A B 所成角
的余弦值为
2
5
？若存在，请指出M 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年度乐山外国语学校高2021届9月月考卷
数学答案（文）
一、选择题
1、C 2．A 3． B 4． A 5． A 6． D 7． B 8．D 9．C 10．D 11． B 12．C 二、填空题
13．
3
π
14．25π 15．3 16．①② 三、解答题
17．（Ⅰ）
2
2a ……….5分 （Ⅱ）
3
16
a ………….5分 18． 证明：（1）连接11,,EF A B D C .
∵E F ，分别是AB 和1AA 的中点，
∴111
,2
EF A B EF A B =∥.
又11111111,A D B C BC A D B C BC ∥∥==，
∴四边形11A D CB 是平行四边形，
∴11A B CD ，∴1EF CD ∥，
∴EF 与1CD 确定一个平面，
∴1,,,E C D F 四点共面．………….6分
（2）由（1）知，1EF CD ∥，且11
2
EF CD =，
∴直线1D F 与CE 必相交，设1D F
CE P =.
∵1D F ?平面11AA D D ，1P D F ∈，
∴P ∈平面11AA D D .
又CE ?平面ABCD ，P EC ∈，
∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面11AA D D 的公共点，
又平面ABCD
平面11AA D D AD =，
∴P AD ∈，
∴1,,CE D F DA 三线共点．……….12分 19．
20．（1）见解析；（2）
（1）
，
是正三角形，
，
，即
，
平面
，
平面
，
， ，平面，
平面
，平面平面．….5分
（2）取
的中点
，连接
、
，连接
，
△中，是中位线，
，，
四边形是平行四边形，可得
，
（或其补角）是异面直线与所成的角．
，
，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为………..12分21、（Ⅰ）证明：取PA中点M，连接EM，DM，
则由中位线可知
1
2
EM AB，1
2
CD AB
∥，
∴四边形EMDC是平行四边形，∴EM CD，又CE?平面PAD，DM?平面PAD，
∴CE平面PAD………5分
（Ⅱ）∵PC⊥平面ABCD，故PC AC
⊥.
在直角梯形ABCD中，2
AB=，1
CD=，AD AB
⊥，
∴2
AC BC
==.∵222
AC BC AB
+=，∴AC BC
⊥. ∴AC⊥平面PBC. 过点P作PF CE
⊥，垂足为F，则PF AC
⊥，
∴PF⊥平面AEC，
则PAF
∠即为直线PA与平面AEC所成的角，如图，
易求：3
PC=，5
PA=
又点E为PB的中点，
15
2
CE PB
==.
由面积法得：
1
2
CE PF PC BC
?=?.所以30
PF=.
在Rt PAF
?中，
30
6
5
sin
5
PF
PAF
AP
∠===.
……….12分
22．（1）见解析；（2）①23，②见解析
（1）证明：∵P 在⊙O 上，AB 是⊙O 的直径，AP BP ∴⊥，
1AA ⊥平面1PAB AA BP ∴⊥，， 又1AP AA A ?＝，
BP ∴⊥平面1PAA ，又1A P ?平面1PAA ，故1BP A P ⊥．
……..5分
（2）在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为2
5
． 证明：∵O、M 分别为AB AP 、的中点，则//OM BP ，
1A BP ∴∠就是异面直线OM 与1A B 所成的角， 11345AA AB A B ∴＝，＝，＝又1BP A P ⊥，
在1Rt A PB ?中，11BP 2
cos A B 5
A P
B ∠=
=． ∴在AP 上存在一点M ，当M 为AP 的中点时，使异面直线OM 与1A B 所成角的余弦值为
25
．
…….12分