第三章 坐标变换
3.1 时空矢量图
根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、电压、电流、磁通等）均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t ）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。该相量在时轴上的投影即为该物理量的瞬时值。我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。如图3-1所示，只用一根统一的电流相量1I （定子电流）即可代表定子的对称三相电流。不难证明，1I 在A 上的投影即为该时刻A i 瞬时值；在B 上的投影即为该时刻B i 瞬时值；在C 上的投影即为该时刻C i 瞬时值。
有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。在图3-2所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。假设某时刻
m A I i +=达到正最大，则此时刻统一相量A I 应
与A 重合。据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生成的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即1F 应与A 重合，亦即与1I 重合。由于时间相量1I 的角频率ω跟空间矢量1F 的电角速度1ω相等，所以在任何其他时刻，1F 与1I 都始终重合。为此，我们称1I 与由它所生成的三相合成基波磁动势1F 在时空图上同相。在考虑铁耗的情况下，1B 应滞后于1F 一个铁
耗角Fe α，磁通相量m Φ 与1B 重合。定子对称三相电动势的统一电动势相量1
E 应落后于m Φ 为90度。
由电机学我们知道，当三相对称的静止绕
组A 、B 、C 通过三相平衡的正弦电流A i 、B i 、
c i 时产生的合成磁势F ，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω（电角速度）顺
着A 、B 、C 的相序旋转。如图3-3-a 所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。如图3-3-b 所示，所示为两相静止绕组α、β，它们在空间上互差90度，当它们流过时间相位上相差90度的两相平衡的交流电流αi 、βi 时，也可以产生旋转磁动势。当图3-3-a 和图3-3-b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-3-a 中的两相绕组和图3-3-b 中三相绕组等效。再看图3-3-c 中的两个
图3-2 时空矢量图
匝数相等且相互垂直的绕组d和q，其中分别通以直流电流
i和q i，也能够产生
d
合成磁动势F，但其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以ω转速旋转，则磁势F自然也随着旋转起来，称为旋转磁势。于是这个旋转磁势的大小和转速与图3-3-a和图3-3-b中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。
图3-3 等效交直流绕组物理模型
当观察者站在图3-3-c中的两相旋转绕组d、q铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这时两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。
在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成这样的两相旋转绕组。由于相互垂直的原因，定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动（因为定、转子磁势没有相对运动），其互感必然是常数。因而在同步两相轴系电机的微分方程就必然是常系数，这就为使用矩阵方程求解创造了条件。
习惯上我们分别称图3-3-a,b,c中三种坐标系统为三相静止坐标系（a-b-c坐标系）、两相静止坐标系（0-
α坐标系），两相旋转坐标系（d-q-0坐标系）。
-β
要想以上三种坐标系具有等效关系，关键是要确定
i、B i、C i与αi、βi和d i、q i
A
之间的关系，以保证它们产生同样的旋转磁动势，而这就需要我们引入坐标变换矩阵。
坐标变换的方法有很多，这里我们只介绍根据等功率原则构造的变换阵，可以证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转置相等，这样的变换阵属于正交变换。
3.2 坐标变换(3S/2S)
图3-4所示为交流电机的定子三相绕组A、B、C和与之等效的两相电机定子绕组β
α、各相磁势的空间位置。当两者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬间磁势沿β
α、轴的投影相等，即：
图3-4 三相定子绕组与两相定子绕组磁势的空间位置
即：
3
4sin
32sin
03
4cos
3
2cos 3323332ππππβαC B s C B A s i N i N i N i N i N i N i N ++=++=
式中，3N 、2N 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数。经计算并整理后，用距阵表示为：
????????????????--
-
=??
????C B A s s i i i N N i i 2323
2
12
12301
βα （3-1）
简记为：i C i s s 23>-=
为求其逆变换，引入另一个独立于s i α、s i β的新变量0i ，称之为零序电流，并定义：
)(2
30C B A Ki Ki Ki N N i ++=
（3-2）
式中,K 为待定系数。
对两相系统而言，零序电流是没有意义的，这里只是为了纯数学上的求逆的需要而补充定义的一个其值为零的零序电流（相应坐标系才称为0--βα坐标系）。需要说明的是，这并不影响总的变换过程。 式3-1 和式3-2合并后，s s C 23>-成为：
???????????????
?
-
-
-=>-K K K N N C s s 232
30
212112323
将s s C 23>-求逆，得到：
???????
?????????---=->-K K K N N C s
s 212
32
121232
1210132321
23
根据等功率原则，要求T
s s s
s C C 231
23>-->-=。（用到矩阵的运算公式
T
T
T
A
B AB =)(）据此，经过计算整理可得
2
1,322
3=
=
K N N ，于是：
???????
????????
?-
--=
>-212
12
12323
021*******s s C （3-3）
???????
?
??????????
---
==->->-2123212123212
101321
2332s s s s C C
（3-4） 式3-3 和式3-4即为定子三相/两相静止轴系变化矩阵，以上两式同样适用于定子电压和磁链的变化过程。需要注意的是，当把以上两式运用于转子轴系的变换时，变换后得到的两相轴系和转子三相轴系一样，相对转子实体是静止的，
但是，相对于静止的定子轴系而言，却是以转子角频率r ω旋转的。因此和定子部分的变换不同，转子部分实际上是三相旋转轴系变换成两相旋转轴系。
3.3 坐标变换(2S/2R)
如图3-5所示，s i 为定子电流空间矢量，图中d-q-0坐标系是任意同步旋转坐标系，旋转角速度为同步角速度1ω。由于两相绕组βα-在空间上的位置是固定的，因而d 轴和α轴的夹角?随时间而变化（dt
d ?ω=1），在矢量变换控制系
统中，?通常称为磁场定向角。
由上图可以看出：
???
???????
??-=??????qs ds s s i i i i ??
??βαcos sin sin cos 令：
??
??
??-=>-??
??cos sin sin cos 22s
r C （3-5）
式3-5表示了由两相同步旋转坐标系到两相静止坐标系的矢量旋转变换矩阵。 由于变换矩阵s r C 22>-是一个正交矩阵，所以s r T s r C C 22221>->--=。因而，由静止坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量变换方程式为：
???????????
?-=???????
?
?
?
??-=??????-s s s s qs ds i i i i i i βαβα??????
??
cos sin sin cos cos sin sin cos 1
（3-6）
令：
??
?
???-==->->-????cos sin sin cos 1
2222r
s r s C C （3-7）
式3-7表示了两相静止坐标系到两相同步旋转坐标系的矢量旋转变换矩阵。
仿照两相同步旋转轴系到两相静止坐标系的矢量旋转变换，可以得到旋转两相d ’-q’-0轴系到两相静止轴系的坐标变换过程。
??
?
?????????-=??????qr dr r r r r r r i i i i θθθθβαcos sin sin cos （3-8）
式中，dr i 、qr i 为经s s C 23>-变换所得的转子两相旋转d ’-q ’-0轴系的电流，
r i α、r i β为两相静止轴系下的电流，r θ为转子转过的空间电角度。
3.4 坐标变换(3S/2R)
将3S/2S 变换和2S/2R 变换合并成一步就得到三相静止坐标系和d-q-0坐标系之间的定子量的变换矩阵，推导如下：
按式3-6，有：
图3-5 旋转变换矢量关系图
????
????????
??????
?
?-=??????????010
00cos sin 0sin cos 0s s qs ds i i i i i βα???? 又由于：[][]
T
C B
A
s s T
s
s
i i i C i i i 230>-=βα，代入上式可得：
????????????
?????
?
???
???
???
?
??? ?
?
+-?
?? ??
---??? ??
+?
?? ?
?
-=??????????C B
A qs ds i i i i i i 2
12
1
2132sin 32sin sin 32cos 32cos cos 0π?π??π?π??
=????
?
?????>-C B A r s i i i C 23 （3-9）
由于等功率坐标变换矩阵为正交矩阵，易知：r s T s r C C 2332>->-=
两相同步旋转坐标系下的转子量可以经过如下变换得到：先利用式3-8的变
换矩阵得到ｄ’-q’-0轴系下的转子量；再利用式3-8实现到0--βα坐标系的转换；最后利用式3-7的变换矩阵，最终得到两相同步旋转坐标系下的转子量。经推导，以上三个步骤可合并为一个坐标变换矩阵：
()???
?????????
?????
?
???
???
???
?
??? ?
?+--?
?? ?
?
-----??? ??
+-?
?? ?
?
---=??????????c b a r r r r r r qr dr i i i i i i 2
12
1
2132sin 32sin sin 32cos 32cos )
cos(0πθ?πθ?θ?πθ?πθ?θ?
=???
?
?
?????>-c b a r s i i i C 23
（3-10）
同样，以上变换也满足等功率原则，该变换矩阵仍为正交矩阵。
由于转子绕组变量可以看作是处在一个以角速度r ?旋转的参考坐标系下，对
应式3-9，转子各变量可直接以角度差r θ?-的关系变换到同步d-q 坐标系下（相应地，()dt
d r r θ?ωω-=
-1）。显然，式3-10与这一思路完全吻合。
最后，有必要指出，以上坐标变换矩阵同样适用于电压和磁链的变换过程，而且变换是以各量的瞬时值为对象的，同样适用于稳态和动态。对三相坐标系到两相坐标系的变换而言，由于电压变换矩阵与电流变换矩阵相同，两相绕组的额定相电流和额定电压均增加到三相绕组额定值的2/3倍，因此每相功率增加到3/2倍，但是相数已由3变为2，故总功率保持不变。
3.5 附_坐标变换(2R/3S)
?
??
???????
?
???
??
+-+----=???
?????????-??????
?
?????????
---=????
??????qs ds qs ds
C B A i i i i i i i )120sin()
120cos()120sin()120cos(sin cos 32cos sin sin cos 2
32
123210132?????
?????
坐标系转换问题--WGS84坐标 BJ54 BJ80 2012-10-18 14:37 对于坐标系的转换，给很多GPS的使用者造成一些迷惑，尤其是对于刚刚接触的人，搞不明白到底是怎么一回事。我对坐标系的转换问题，也是一知半解，对于没学过测量专业的人来说，各种参数的搞来搞去实在让人迷糊。在我有限的理解范围内，我想在这里简单介绍一下，主要是抛砖引玉，希望能引出更多的高手来指点迷津。 我们常见的坐标转换问题，多数为WGS84转换成北京54或西安80坐标系。其中WGS84坐标系属于大地坐标，就是我们常说的经纬度坐标，而北京54或者西安80属于平面直角坐标。对于什么是大地坐标，什么是平面直角坐标，以及他们如何建立，我们可以另外讨论。这里不多啰嗦。 那么，为什么要做这样的坐标转换呢？ 因为GPS卫星星历是以WGS84坐标系为根据而建立的，我国目前应用的地形图却属于1954年北京坐标系或1980年国家大地坐标系；因为不同坐标系之间存在着平移和旋转关系（WGS84坐标系与我国应用的坐标系之间的误差约为80），所以在我国应用GPS进行绝对定位必须进行坐标转换，转换后的绝对定位精度可由80提高到5-10米。简单的来说，就一句话，减小误差，提高精度。 下面要说到的，才是我们要讨论的根本问题：如何在WGS84坐标系和北京54坐标系之间进行转换。 说到坐标系转换，还要罗嗦两句，就是上面提到过的椭球模型。我们都知道，地球是一个近似的椭球体。因此为了研究方便，科学家们根据各自的理论建立了不同的椭球模型来模拟地球的形状。而且我们刚才讨论了半天的各种坐标系也是建立在这些椭球基准之上的。比如北京54坐标系采用的就是克拉索夫斯基椭球模型。而对应于WGS84坐标系有一个WGS84椭球，其常数采用IUGG第17届大会大地测量常数的推荐值。WGS84椭球两个最常用的几何常数：长半轴：6378137±2(m)；扁率：1：298.257223563 之所以说到半长轴和扁率倒数是因为要在不同的坐标系之间转换，就需要转换不同的椭球基准。这就需要两个很重要的转换参数dA、dF。 dA的含义是两个椭球基准之间半长轴的差；dF的含义是两个椭球基准之间扁率倒数的差。在进行坐标转换时，这两个转换参数是固定的，这里，我们给出在进行84—〉54，84—〉80坐标转换时候的这两个参数如下： WGS84>北京54：DA:-108；DF:0.0000005 WGS84>西安80：DA: -3 ；DF: 0 椭球的基准转换过来了，那么由于建立椭球的原点还是不一致的，还需要在dXdYdZ这三个空间平移参量，来将两个不同的椭球原点重合，这样一来才能使两个坐标系的椭球完全转换过来。而由于各地的地理位置不同，所以在各个地方的这三个坐标轴平移参量也是不同的，因此需要用当地的已知点来计算这三个参数。具体的计算方法是： 第一步：搜集应用区域内GPS“B”级网三个以上网点WGS84坐标系B、L、H值及我国坐标系（BJ54或西安80）B、L、h、x值。（注：B、L、H分别为大地坐标系中的大地纬度、大地经度及大地高，h、x分别为大地坐标系中的高程及高程异常。各参数可以通过各省级测绘局或测绘院具有“A”级、“B”级网的单位获得。） 第二步：计算不同坐标系三维直角坐标值。计算公式如下： X=（N+H）cosBcosL Y=（N+H）cosBsinL Z=[N（1-e2）+H]sinB
一、教学内容与地位 图形和变换是“空间与图形”领域的四块内容（图形的认识，图形与变换，图形与坐标，图形与证明）之一。本套教科书在七年级上册先安排图形的初步认识，及七年级下册三角形的初步知识的基础上，集中学习四种变换的知识，一方面是考虑到学生通过几何学习后，已有一定的生活经验；另一方面本章所学的四种变换的初步知识将为后续的内容，如四边形、圆及图形与坐标、图形与证明的学习打下基础。 本章的主要内容有轴对称图形、图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换和相似变换，以及图形变换的简单应用。本章要求学生对各种图形变换有一定的认识，要求了解各种图形变换的一般概念，能够辨别和判断，理解各程图形变换的基本性质，会按要求作出变换后的图形，并应用于图案设计等生活实际。根据本套教科书的整体设计，轴对称、平移、旋转和相似这四种变换在今后图形教学的相关章节将继续渗透，逐步深化。 本章的教学要求为： （1）了解四种变换的概念，能辨别和判断四种变换； （2）理解四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形； （3）能将变换的知识应用于图案设计等生活实际中去。 二、本章教材分析 由于现在的初一学生从未具体接触过轴对称、平移、旋转和相似这四种变换，所以在学生学习时建议增加用折纸等方法来确定轴对称图形的对称轴，用方格纸画轴对称图形、按一定比例将简单图形放大或缩小、将简单图形平移或旋转90°、设计图案等活动，使学生对轴对称、平移、旋转、相似等变换也具有一定的感性认识和生活经验。本套教科书在这里安排变换的学习，侧重于对其性质的探索和理解，同时能运用其性质进行简单图形变换的作图。轴对称、平移、旋转变换均属于保距变换，和全等图形的关系比较密切，其概念、性质将在本章中作完整地介绍，并在后面的学习中作进一步地渗透和应用。相似变换是保角变换，对相似变换的概念和性质的真正理解和掌握，还须进一步学习相似三角形、位似形等知识，这将在九年级上册学习。因此本 - 1 -
坐标系向国家大地坐标 系的转换 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
北京54坐标系向国家2000大地坐标系的转换 摘要：2000国家坐标系统提高了测量的绝对精度，并且可以快速获取精确的三维地心坐标，能够提供高精度、地心、实用、统一的大地坐标系，自此以后的测量成果要求坐标系统采用2000国家大地坐标系，本文就北京54坐标系和2000国家大地坐标系原理和转换方法进行简单的分析。 1引言大地坐标系是地球空间框架的重要基础，是表征地球空间实体位置的三维参考基准，科学地定义和采用国家大地坐标系将会对航空航天、对地观测、导航定位、地震监测、地球物理勘探、地学研究等许多领域产生重大影响。建立大地坐标框架，是测量科技的精华，与空间导航乃至与经济、社会和军事活动均有密切关系，它是适应一定社会、经济和科技发展需要和发展水平的历史产物。过去受科技水平的限制，人们不得不使用经典大地测量技术建立局部大地坐标系，它的基本特点是非地心的、二维使用的。采用地心坐标系，即以地球质量中心为原点的坐标系统，是国际测量界的总趋势，世界上许多发达和中等发达国家和地区多年前就开始采用地心坐标系，如美国、加拿大、欧洲、墨西哥、澳大利亚、新西兰、日本、韩国等。我国也于2008年7月开始启用新的国家大地坐标系—2000国家大地坐标系。 2北京54系我国北京54坐标系是采用前苏联的克拉索夫斯基椭球参数（长轴6378245ra，短轴635686m，扁率1/298．3），并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。其坐标的原点不在北京，而是在前苏联的普尔科沃。
图形和变换习题 一、选择题（每题3分） 1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中，是轴对称图形的有（） A．1个B．2个 C．3个 D．4个 2、如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由 左下角的圆柱体经过平移得到的。下列说法错误的是（） A.先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向 平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度。 B.先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向 平移4个单位长度 C.先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右 平移7个单位长度 D.直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度 3、下面给出的是一些产品的商标图案，从几何图形的角度看(不考虑文字和字母)，既是轴 对称图形又能旋转180°后与原图重合的是( ) 4、4张扑克牌如图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示， 那么她所旋转的牌从左数起是（） A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 5、将一圆形纸片对折后再对折，得到右图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中 一部分展开后的平面图形是( ) A B C D
6、 7、如图△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线MN 对称，P 为MN 上任意一点，下列说法不正确的是（ ） A ．AP=A ’P B ．MN 垂直平分AA ’,C C ’ C ．这两个三角形面积相等 D ．直线AB ，A ’B ’的交点不一定在MN 上 第7题 第8题 8、如图，BC 是等腰直角三角形ABC 的斜边，将△APB 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD 重合，则△APD 是 （ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 9、如图在矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中所标柱的数据，计算图中空白部分的面积是（ ） A ．2bc ab ac c -++ B ．()()c b c a -- C ．2a +ab ac-bc + D ．22b -bc a -ab + 10、右图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩 余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是： 把跳棋棋子在棋 盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称 为一步。已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域 （阴影部分的格点），则跳行的最小步数为（ ） A 、2步 B 、3步 C 、4步 D 、5步 二、填空题（每题3分） 11、计算机软件中，大部分都有“复制”、“粘贴”功能，如在“Word ”中，可以把一个图形 复制后粘贴在同一个文件上，通过“复制”、“粘贴”得到的图形可以看作原图经过_______变换得到的。 12、正方形是轴对称图形，它有_______条对称轴．
第三章图形的平移与旋转 1．图形的平移（二） 一、学生起点分析 学生知识技能基础：“图形中的平移”是北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转的第一节，它对图形变换的学习具有承上启下的作用。学生在前面已学习了轴对称及轴对称图形的基础上，认识图形的平移不是很困难，而让学生主动探索平移的基本性质，认识平移在现实生活中的广泛应用是学习本节内容的主要目标，对学生来说也是一个难点。 学生活动经验基础：学生在七年级下学期已经学习了“生活中的轴对称” ，初步积累了一定的图形变换的数学活动经验，运用类比的数学思想，从轴对称的眼光看待平移，会降低学生学习的难度，创设特定情境，使学生一直处于轴对称和平移相互交融的氛围之中，会使学生更加主动地去探索平移的基本性质，培养学生良好的数学意识. 学生在前面已学习了轴对称及轴对称图形，在此基础上还将学习生活中的旋转与旋转设计图案等内容。 二、教学任务分析 知识与技能: 通过“变化的鱼”探究横向（或纵向）平移一次，其坐标变化的规律，认识图形变换与坐标之间的内在联系。 过程与方法: 在活动过程中，提高学生的探究能力和方法。 情感与态度：通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学” ，激发学生学习数学的兴趣；通过欣赏生活中平移图形与学生自己设计平移图案，使学生感受数学美。 三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境；第二环节：活动探究； 1 第三环节：例题讲解；第四环节：展示应用评价自我；第五环节：链接知识归纳小结；第六环节：布置作业；第七环节：导入下节课内容。 第一环节：创设情境活动内容：
图3-6中的“鱼"是将坐标为(0, Oh (5. 4X(3. Ok(5, I L (5, -1 )?(3* 0 )( (4, -2)H0, 0)的点用线段依次连接而成的.将这条宜向右 平移5个单位长度. ⑴画出平移后的新迨二 12)在图中尽呈多选取儿at对应点*并将 它们的举标填人下表： 图3-6 原来的鹫(,) f . )( 1 向右平移5个单 (?){ , )( ?) 位 长度后的新也” (3)你发现对应点的坐融之间有f|?么关系？ 如果将原来的“鱼”向左平移4个单位氏度呢？请你先想一想*然启再具休做一做. 活动目的：通过一条“鱼”的平移，探究“鱼”横向或纵向平移一次的坐标变化, 进一步感受平移的实质，渗透平移的三要素，即“基本图形、方向、距离” 。第二环节：活动探究 活动一：探求坐标系中的平移变换 内容： 2
第二章图形的变换 图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答，也将有效地提高思维品质. 初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题 2.1图形的平移与对称 火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动 上面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景?你还能举出一些类似的例子吗？与同伴交流. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移(translation ).平移不改变图形的形状和大小 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； 对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等. 例1如图，将面积为5的△ ABC沿BC方向平移至△ DEF的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积是多少？ 分析⑴对应点的距离等于平移的距离； (2)利用平移前后的两个图形全等”平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法. 解设点A到BC的距离为h, 戸, 1 则S SBC = 2BC h = 5. ???平移的距离是BC的长的2倍， ??? AD = 2BC, CE= BC, 1 ?四边形ACED的面积=^(AD + CE) h = 1 1 2(2BC + BC) h= 3 >^BC h = 3 X5 = 15. 例2 如图，两个全等的△ ABC和厶DEF重叠在一起，固定△ ABC，将△ DEF进行如下变换： (1) 如图1, △ DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出 S^A BC与S四边形AFED 的关系； (2) 如图2,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ ABC应满足什么
直角坐标系中图形的两次平移与坐标的变化导学案 【学习目标】［ 1.在学习一次平移坐标的变化特点的基础上，继续探究依次沿两个坐标轴方向平移 后坐标的变化特点及根据坐标的变化探究图形变化特点? 2.经历探究依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系，提高学生的探究能力和方法，发展空间观念? 【学习过程】 一、复习导入 1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿着____________ 移动 _________ 的距离，这样 的图形运动称为平移。平移不改变图形的_________ 和________ ，改变的是位置。 原图形上点的坐标平移方向平移距离对应点的坐标 (x,y) 沿x轴方向 向右平移 a个单位长度 (a > 0) x a, y 沿y轴方向 向上平移 x,y a 内容1：将图中鱼F”先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新 “鱼F'”，请在平面直角坐标系中画出平移后的图形解：(1)在平面直角坐标系中画出“鱼F'”。 (2)能否将“鱼F'”看成是“鱼F”经过一次平移得到的？如果 能，请指出平移的方向和平移的距离。 (3)在“鱼F”和“鱼F'”中，对应点的坐标之间有什 么关系？
内容2:如果将“鱼” F向右平移4个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到“鱼” N, 上面问题的探究结果又是什么情 况呢？ 内容3、议一议： 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什 么变化？ 规律归纳：设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a(a > 0)个单位长度、沿y轴方 原图形上的点平移方向和平移距离对应点 的坐标 坐标的变化 (x, y) 向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 归纳如下: 在平面直角坐标系中，一个图形先沿X轴方向平移a( a >0)个单位长度, 再沿丫轴方向平移b( b>0)个单位长度，可以看成是由原来的图形经过一次平移 得到的，则图形沿对应点连线方向平移______________ 单一位长度。
交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三）第三讲坐标 变换的原理和实现方法 收藏此信息打印该信息添加：李华德来源：未知 由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。 3.1 变换矩阵的确定原则 坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为 y=ax （3-1） 式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下： （1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则； （2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵； （3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。 假设电流坐标变换方程为： i=ci′ （3-2） 式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。 电压坐标变换方程为： u′=bu （3-3） 式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。 根据功率不变原则，可以证明： b=ct （3-4）
式中，ct为矩阵c的转置矩阵。 以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。 3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β） 所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。 三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即： （3-5） 式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。 经计算并整理之后可得： （3-6） （3-7） 图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系
第二章 图形与变换及一元二次方程 单元检测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） 2.如图1-2，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )． 图1-2 3.下列方程是一元二次方程的是( ) A ．x 2-2x=x(x+1) B ．x 22 -2x=x 2-2x C ．4x 2+3x=5 D ．2x 2-4x+1=2x 2 -21 4.下列方程适合用直接开平方法解的是 （ ） A ．x 2-4x+1=2 B ．x 2+1=2 C ．x 2-4x=0 D ．x 2 -4x+4=-2 5.方程x 2 -4x-3=0配方正确的是（ ） Ａ．x 2-4x+4=4-3 Ｂ．x 2-4x-4=4+3 Ｃ．x 2-4x+2=3+2 Ｄ．x 2 -4x+4=7 6.请你先观察图，然后确定第四张图为 ( ) 7. 如图1-6，将ΔPQR 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P 平移后的坐标是( )A ． (-2,-4) B ． (-2,4) C ．(2,-3) D ．(-1,-3) 8.在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如上图1-7中的△ABC 称为格点△ABC ．现将图中△ABC 绕点A 顺时针旋转180?，并将其边长扩大为原来的2倍，则变形后点B 的对应点所在的位置是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 图1-6 图1-7 9.如图1-8，ΔACD 和ΔAEB 都是等腰直角三角形，∠CAD ＝ ∠EAB ＝900 ．四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的是 ( )． A ．ΔACE 以点A 为旋转中心，逆时针方向旋转900 后与ΔADB 重合B ．ΔACB 以点A 为旋转中心，顺时针方向旋转2700 后与ΔDAC 重合 C ．沿AE 所在直线折叠后ΔACE 与ΔADE 重合D ．沿AD 所在直线折叠后，ΔADB 与ΔADE 重台 10.如图1-9，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1， 0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( ) A ．12a - B ．1(1)2a -+ C ．1(1)2a -- D ．1(3) 2a -+ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图1-10，P 是正△ABC 内的一点，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转到△P ′AB ，则∠PAP ′的度数为________． 12.三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成影子（如图1-11 所示）. 50cm OA '=，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ． 13.如图1-12，ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 14.一元二次方程(m-2)x 2 +6x-16=0的根是 。 图1-9
坐标系间的转换 针对西安80坐标系和北京54坐标系之间椭球参数的转换，采用七参数布尔莎模型，进行不同坐标系之间的坐标转换。 标签：七参数布尔莎模型参考椭球MAPGIS平台 0 引言 我们现在改用的西安80坐标系与以前的北京54坐标系的参考椭球体参数是不相同的。54坐标系转换成80坐标系由于椭球参数、定位和定向的变化，必然引起地形图的图廓线、方里线位置以及地形图内地形、地物相关位置的改变。为此，若同时使用根据两种坐标系测制的地形图的情况下，一定要涉及到54坐标系向80坐标系转换问题。转换的原理和方法：大地坐标系变更后，国家基本系列地形图的变更和处理，必须在高斯平面内进行。由于新旧椭球参数不同，参心所在位置也不同，反映在高斯平面上，在同一个投影带里，它们的纵横坐标轴不重合，因此，地面上某一点经过不同椭球面而投影到高斯平面上，它距两系统坐标轴之距离是不等的，在X轴和Y轴上必定都有一个差值。我们按照一定的数学法则将地球面上的经纬网转换到平面上，使地面的地理坐标与平面直角坐标建立起函数关系，实现由曲面向平面的转化。常用的投影大概有二三十种，投影的选取要考虑地图的用途，投影的形变大小等众多因素。 1 北京54坐标系与西安80坐标系 1.1 54国家坐标系：是我国建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：①属参心大地坐标系；②采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；③大地原点在原苏联的普尔科沃；④采用多点定位法进行椭球定位；⑤高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；⑥高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。 自P54建立以来，在该坐标系内进行了许多地区的局部平差，其成果得到了广泛的应用。 1954北京坐标系参考椭球基本几何参数 长半轴a＝6378245m 短半轴b＝6356863.0188m
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通
1天球坐标系、地球坐标系和卫星测量中常用的坐标系的建立方法。 L天球直角坐标系 厂天球坐标系 天球球面坐标系 地球直角坐标系地球大地坐标系 常用的天球坐标系：天球赤道坐标系、天球地平坐标系和天文坐标系。 在天球坐标系中，天体的空间位置可用天球空间直角坐标系或天球球面坐标系两种方式来描述。 1天球空间直角坐标系的定义 地球质心0为坐标原点，Z轴指向天球北极，X轴指向春分点，丫轴垂直于XOZ 平面，与X轴和Z轴构成右手坐标系。则在此坐标系下，空间点的位置由坐标（X，丫Z）来描述。 春分点：当太阳在地球的黄道上由天球南半球进入北半球，黄道与赤道的交点）
A ＜空闵直笥坐瑟厂K V ： z 丿的楚辽” 2天球球面坐标系的定义 地球质心0为坐标原点，春分点轴与天轴（天轴：地球自转的轴）所在平面为天 球经度（赤经）测量基准一一基准子午面，赤道为天球纬度测量基准而建立球面 坐标。空间点的位置在天球坐标系下的表述为（r ,a,S ）。 天欢申诗与地球质?M 重合T 赤礙刊为舍天黏 和感分点的天球子牛面 与过天体$的天球子牛面 之间的夾角，未纬 S 为 原点Mi 天体￡的连規与 天球击道面之间的夹角, 旬題丫为展点Mi 天体S 球球】?坐抚1就，S 1 r ）的C 义： 天球空间直角坐标系与天球球面坐标系的关系可用图 2-1表示: 感鼻—地I 球质心M 一孑塾一指向天球北奴Pn 、 ￥菇'一垂直于XMZ 平面, 与X 抽和Z 抽枸成右 手坐 标系统。 Pn A Z y X 1 \y X 奋 My\5 Ps / /
对同一空间点，直角坐标糸与其著效的球面坐标糸参教间有如下转换关务: C X - /cos a cos S < Y= / sin cos -Z = ysin 5 Y V a = arctan —— L Xz d -arctail . 岁差和章动的影响 岁差：地球实际上不是一个理想的球体，地球自转轴方向不再保持不变，这使春分点在黄道上产生缓慢的西移，这种现象在天文学中称为岁差。 章动：在日月引力等因素的影响下，瞬时北天极将绕瞬时平北天极旋转，大致呈椭圆，这种现象称为章动。 极移：地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，因而，地极点在地球表面上的位置，是随时间而变化的，这种现象称为极移。地球的自转轴不仅受日、月引力作用而使其在空间变化，而且还受地球内部质量不均匀影响在地球内部运动。 前者导致岁差和章动，后者导致极移。 协议天球坐标系：为了建立一个与惯性坐标系统相接近的坐标系，人们通常选择某一时刻，作为标准历元，并将此刻地球的瞬时自转轴（指向北极）和地心至瞬 时春分点的方向，经过瞬时的岁差和章动改正后，分别作为 X轴和Z轴的指向, 由此建立的坐标系称为协议天球坐标系。天味奋 5 y X X Ps
轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询． 【教学过程】
一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫 做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形． 说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存 在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形． 说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 教学活动材料1 1．下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听． 2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴． 3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一对重合的点作上记号，如点A，A’，问： (1)点A，A’与对称轴有什么关系?
平面直角坐标系下的图形变换 王建华 图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。 在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的 关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活 平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变 左右平移横坐标改变,纵坐标不变 对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变 关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变 关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180 一、平移 例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)． 向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）． 比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度． 友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。 析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B 反思：①根据平移的坐标变化规律： ★左右平移时：向左平移h个单位) , ( ) , (b h a b a- → 向右平移h个单位) , ( ) , (b h a b a+ → ★上下平移时：向上平移h个单位) , ( ) , (h b a b a+ → 向下平移h个单位) , ( ) , (h b a b a- → 二、旋转 例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点 0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的 坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC三个顶点的坐标分别是： A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： 图2 图1 B/ 图 2 图1
安徽省灵璧中学集体备课课时教案（试行） 年级：八学科：数学第周 章节与课题§3.3 轴对称与坐标变化课时安排 1 第1课时主备人张松辅助备课人马云单永娣 授课人使用日期 本课时学习目标或学习任务【知识目标】： 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。 【能力目标】： 1．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力。 【情感目标】 1．丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。 2．通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动。 3．通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。 本课时重点难点或学习建议重点：1．能在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标. 2．平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定. 难点：1．在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标. 2．熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定. 本课时教学资源的使用教学重点： 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。 教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。 教学过程 学习要求或学 法指导 教师二次备课栏 教学过程： 第一环节创设问题情境，引入新课 『师』：在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，会画平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 我们知道点的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。如果坐标中的横（纵）坐标不变，纵（横）坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。 1. 探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什 么特点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y轴对称的点， 看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理。 2.变式。发展 3.如果关于x轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各 个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 4.关于x轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标； 关于y轴对称的两点，它们的横坐标，纵坐标。 3.运用。巩固 5.已知点P(2a-3，3)，点A（－1，3b+2）， （1）如果点P与点A关于x轴对称，那么a+b= ； （2）如果点P与点A关于y轴对称，那么a+b= 。 练习：拿出方格纸，并在方格纸上建立直角坐标系，根据我读出的点的坐标在纸上找到相应的点，并依次用线段将这些点连接起来。坐标是（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）。 『师』：你们画出的图形和我这里的图形（挂图）是否相同？ 『生』：相同。引导发现法 本节课学生通过“坐标与轴对称”这样一个趣味性较强的话题，深切感受图形坐标的变化与图形形状的变化之间的密切关系，也进一步加深对“数形结合思想”的认识
§10.6不同坐标系之间的变换 10.6.1欧勒角与旋转矩阵 对于二维直角坐标，如图所示，有： ?? ? ?????????-=??????1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8) 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋 转至0 0,OY OX ； ②绕0 OY 旋转Y ε角 10 ,OZ OX 旋转至0 2 ,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角， 0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。 Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与 它相对应的旋转矩阵分别为： ???? ? ?????-=X X X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00 01 )(1 (10-10) ???? ??????-=Y Y Y Y Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)
???? ??????-=10 0cos sin 0sin cos )(3Z Z Z Z Z R εεεεε (10-12) 令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13) 则有： ???? ? ?????=??????????=??????????1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入： ???? ??? ??? +-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取： sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε 于是可化简 ???? ? ?????---=111 0X Y X Z Y Z R εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。
第二章图形与变换教案 (共6课时) 2.1轴对称图形（教参） 2.2轴对称变换 2.3平移变换 2.4旋转变换 2.5 相似变换 2.6图形变换的简单应用 2.1 轴对称图形（教参） 【教学目标】 1．通过具体实例认识轴对称图形、对称轴，能画出简单轴对称图形的对称轴． 2．探索轴对称图形的基本性质，理解“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”的性质． 3．会用对折的方法判断轴对称图形，理解作对称轴的方法． 4．通过丰富的情境，使学生体验丰富的文化价值与广泛的运用价值． 【教学重点、难点】 1．本节教学的重点是认识轴对称图形，会作对称轴． 2．轴对称图形的性质的得出需要一个比较复杂的探索过程，其中包括推理和表述，是本节教学的难点． 【教学准备】 学生：复习小学学过的轴对称图形，从现实生活中找4-5个轴对称图形． 教师：准备教学活动材料，收集轴对称图形，可上互联网查询www．Oh1l00．com．【教学过程】 一、回顾交流，列举识别 1．怎样又快又好地剪出这个“王”宇．说明：让学生用纸、剪刀剪一剪． 2．这个“工”字有什么特征? 说明：对折后能够互相重合，具有这种特征的图形叫轴对称图形，这条折痕所在的直线叫做对称轴． 3．在小学时，我们已经学过轴对称图形，请例举一些数学、生活中的轴对称图形．说明：让学生举例以回顾小学所学的知识，丰富学习情境，但要注意学生所举的例子会存在思路偏窄，教师要注意引导拓宽． 4．教师展示教学多媒体：指出下列图片中，哪些是轴对称图形．
说明：进一步丰富情境，体验轴对称的丰富的文化价值与广泛的运用价值． 二、合作探索，明晰性质 1．发给学生活动材料1 2．交流归纳，总结如下： (1)可用对折的方法判断一个图形是否是轴对称图形； (2)轴对称图形中互相对应的点称为对称点； (3)对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段． 三、运用性质，内化方法 1．分发教学活动材料2，学生独立思考． 2．同伴交流． 画对称轴 例1 如下各图的梯形ABCD 是轴对称图形，你有哪些方法画出它的对称轴? 教学活动材料1 1． 下列图形是轴对称图形吗?你是怎样判别的?讲给同伴听． 2．上述图形中，是轴对称图形的，找出对称轴． 3．在上述图形中，任选一个轴对称图形，绕着对称轴对折重合后，任选一 对重合的点作上记号，如点A ，A ’，问： (1)点A ，A ’与对称轴有什么关系? (2)再任选另外一对重合的点，试一试，上述关系还成立吗?