分类号密级公开
UDC 学号2012021579
硕士学位论文
相移干涉测量中的相移相位提取算法
及解包裹算法研究
学位申请人：牛文虎
专业名称：光学工程
研究方向：微纳成像检测与应用
所在院系：信息光电子科技学院
导师姓名及职称：吕晓旭教授
论文提交日期：2015年5月20日
相移干涉测量中的相移相位提取算法
及解包裹算法研究
专业名称：光学工程
申请者姓名：牛文虎
导师姓名：吕晓旭
摘要
相移干涉测量技术作为一种高精度的光学干涉测量手段，在光学测量与检测领域具有广泛应用。本文介绍了相移干涉测量技术的基本原理、发展现状及各类相移量提取算法和相位恢复算法。在提取相移量的研究中，介绍了反余弦算法、欧几里德矩阵范数算法和矩阵1-范数算法，并提出了一种既可以在多幅干涉图的情况下提取相移量，又可以在仅有两幅干涉图的情况下提取相移量的内积之比算法。在恢复相位的研究中，分析了传统多步相移算法的优缺点，引入了改进迭代算法和主成分分算法，并深入研究了仅从两幅干涉图就可以恢复相位的两步相移算法，介绍了施密特正交化算法、相关系数算法和干涉极值法的原理，并提出了新的两步相移算法：改进的施密特正交化算法与内积之比算法。通过计算机模拟和实验验证的方法，分析比较了所提出的新算法和各种现有算法的特点及其适用范围，为相移干涉测量中的相移相位提取提供了新的方法和思路。
本文的主要内容如下：
1. 分析了相移干涉测量中的相移量提取算法，并对比了各算法的优缺点及适用
范围。
2. 研究了相移干涉测量中的多步相移算法与两步相移算法，并对比了各相位恢
复算法的的优缺点及适用范围。
3. 介绍了几种常见的滤除干涉图背景项的方法和原理，并结合两步相移算法分
析了各方法的滤波效果。
4. 研究了两步相移算法所恢复的相位精度和全局符号与相移量的取值范围之
间的关系。
5. 介绍了常见的解包裹算法及其原理，对比分析了各算法的优缺点。
本文的创新点如下：
1. 提出了一种改进的施密特正交化两步相移算法，与原施密特正交化算法相
比，在保持原算法高精度的同时，改进的算法简化了计算过程，减少了计算量，加快了运算速度。
2. 提出了基于内积之比的两步相移算法，可以快速并准确地恢复待测相位。将
其与现有的两步相移算法进行比较，内积之比算法在速度上有一定的优势，在精度上与其他两步相移算法相当。
关键词：相移干涉术，相移量提取，相位恢复，内积之比，解包裹
RESEARCH ON THE ALGORITHMS FOR PHASE SHIFT AND PHASE EXTRACTION AND PHASE UNWRAPPING IN THE PHASE-SHIFTING INTERFEROMETRY
Major：Optical Engineering
Name：Wenhu Niu
Supervisor：Xiaoxu Lü
Abstract
Phase-shift interferometry technology, which is an optical interferometry method with high precision, has been widely used in the field of optical measurement and detection. In this paper, we introduce the basic principle and the development of phase-shift interferometry and kinds of phase-shift algorithms for phase shift extraction and phase retrieval. In the research of phase shift extraction, the arccosine algorithm, the algorithm based on Euclidean matrix norm and the algorithm based on the 1-norm of the matrix for phase shift extraction are introduced. And a new algorithm for phase shift extraction based on the ratio of inner product is proposed, this algorithm can determine the phase shifts by using only two-frame phase-shifting interferograms, as well as the phase shifts among a sequence of interferograms. In the research of phase retrieval, we introduce the traditional phase- shifting algorithms, and analyze their advantages and disadvantages. Then the advanced iterative algorithm and the algorithm based on the principle component analysis are introduced. Aiming at the two-step phase-shift algorithm, which can retrieve the phase by only two-frame interferograms, the algorithm based on the Gram–Schmidt orthonormalization method, the algorithm based on the correlation coefficient and the algorithm based on the extreme value of the interference are introduced. And we propose an improved algorithm based on Gram–Schmidt orthonormalization and a new algorithm for phase retrieval based on the ratio of the inner product of the two-frame interferograms. To verify the performance and the characteristics of the proposed algorithms comparing with other algorithms, we have employed these algorithms to the simulation fringe patterns and experimental interferograms to extract
the phase shifts and retrieve the measured phase, both of the results show that the proposed algorithms are suitable for phase shifts extraction and phase retrieval. This paper provides a new thought and method for phase shift and phase extraction in the phase-shift interferometry.
The main contents of this paper are listed as follows:
1. The advantages and disadvantages of several algorithms for phase shift extraction in the phase-shift interferometry are summarized and the scopes of their application are analyzed. A new phase shift extraction algorithm is proposed, which can determine the phase shifts with high precision in the case of only two-frame phase-shifting interferograms exist, as well as the case of multi-frame interferograms.
2. The advantages and disadvantages for phase retrieval and the application scope of the multi-step phase-shifting algorithm are analyzed, as well as the two-step phase-shifting algorithm.
3. Several methods and their principles for filtering the background of the interferograms are introduced, and combined with the two-step phase-shifting algorithm, the filtering effect of each method are analyzed.
4. The precision and global sign of phase retrieved by the two-step phase-shifting and the relationship with the range of phase shift values are analyzed.
5. Several phase unwrapping algorithms and their principles are introduced, and their advantages and disadvantages are analyzed.
The innovation points of this paper are listed as follows:
1. An improved algorithm based on Gram–Schmidt orthonormalization is proposed. Compared with the original algorithm, while maintaining the precision of original algorithm, the improved algorithm simplifies the process, reduce the amount of calculation and accelerate the speed.
2. A two-step phase retrieval algorithm based on the ratio of inner products of phase-shifting interferograms is proposed，which can retrieve the measured phase with high precision rapidly. Compared with several two-step phase-shift algorithm, the result shows that the proposed algorithm has advantages in speed, and the accuracy is almost the same with the other two-step phase-shifting algorithm.
KEY WORDS:phase-shifting interferometry, phase shift extraction, phase retrieval, ratio of the inner products，unwrapping
目录
摘要..................................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................... III 第一章引言. (1)
1.1 相移干涉测量技术概述 (1)
1.2 相移干涉测量技术的发展及研究现状 (2)
1.3 本文的研究目的、内容及创新点 (4)
第二章相移干涉测量中的相移量提取算法研究 (6)
2.1 相移量提取算法概述 (6)
2.2 现有的相移量提取算法 (6)
2.2.1 反余弦算法 (6)
2.2.2 欧几里德矩阵范数法 (8)
2.2.3 矩阵1-范数法 (9)
2.3 本文提出的相移量提取算法 (11)
2.4 相移量提取算法的比较 (12)
2.4.1 计算机模拟 (12)
2.4.2 实验结果 (16)
第三章相移干涉测量中的多步相移算法研究 (19)
3.1 多步相移算法概述 (19)
3.2 定步长相移算法 (19)
3.2.1 三步相移算法 (19)
3.2.2 四步相移算法 (20)
3.2.3 五步相移算法 (20)
3.3非定步长相移算法 (21)
3.3.1 改进迭代算法 (21)
3.3.2 主成分分析算法 (24)
3.4 不同多步相移算法的比较与分析 (27)
第四章相移干涉测量中的两步相移算法研究 (28)
4.1 两步相移算法概述 (28)
4.2 现有的两步相移算法 (28)
4.2.1 施密特正交化算法 (28)
4.2.2 相关系数算法 (30)
4.2.3 干涉极值法 (31)
4.3 本文提出的两步相移算法 (33)
4.3.1改进的施密特正交化算法 (33)
4.3.2基于内积之比的两步相移算法 (34)
4.4 不同两步相移算法的比较与分析 (35)
4.4.1 计算机模拟 (35)
4.4.2 实验结果与讨论 (37)
第五章影响两步相移算法精度的因素分析 (41)
5.1 现有的滤除干涉图背景项的方法 (41)
5.1.1. 高斯高通滤波法 (41)
5.1.2. 时域平均法 (41)
5.1.3. 逐点遍历法 (42)
5.1.4. 差分法 (42)
5.2 各滤波方法的对比 (43)
5.3 相移量的取值范围 (44)
第六章相位解包裹算法的研究 (46)
6.1 相位解包裹算法简介 (46)
6.2 现有的相位解包裹算法 (46)
6.2.1 行列逐点算法 (46)
6.2.2 枝切法 (47)
6.2.3 最小二乘算法 (47)
6.3 不同解包裹算法的比较与分析 (48)
6.3.1 计算机模拟 (48)
6.3.2 实验结果与讨论 (51)
第七章总结与展望 (54)
7.1 全文总结 (54)
7.2 展望 (55)
参考文献 (57)
致谢 (62)
附录 (63)
第一章引言
1.1 相移干涉测量技术概述
光学干涉测量技术是利用光的波动性和干涉原理，将待测物体的三维形貌信息以干涉条纹和光学强度的形式记录下来，通过对干涉条纹和光强的分析得到待测物体的相位，进而重构物体的三维形貌[1]。光学干涉测量具有非介入、非接触、非干预、非扫描、快速、全场、三维成像等特点，既可以利用物体的反射光进行测量，也可以利用物体的透射光进行测量，不仅测量精度高，可以达到横向亚微米、纵向亚纳米量级的高分辨率[2, 3]，而且光学系统结构简单，成本低，因此在表面形貌测量领域受到了研究者们的极大关注，并得到了迅速的发展。
相移干涉测量技术(Phase-Shifting Interferometry，简称PSI)是光学干涉测量中的重要技术[4]，其测量的基本原理是：在光学系统的参考光路中加入相移器件（如压电陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光栅等），使其有序地改变参考光波和物光波之间的光程差，即产生了相移。用CCD等探测器件采集的相移干涉图，每个像素点的光强值随相移的变化而变化。因为干涉条纹的光强是关于待测物体相位的余弦函数，与物体表面形貌相关，通过对相移干涉图进行分析和解调制，即可求解出待测物体的包裹相位信息，再通过相位解包裹算法得到连续的相位信息，从而重构待测物体的表面轮廓或三维形貌。
根据移相方法的不同，可以将相移干涉测量主要分为：时域相移法[5-7]，空域相移法[8-10]和空间载频相移法[11-13]等。时域相移法是指：在时间轴上产生相移,按一定的顺序在不同的时刻采样相移干涉图的方法。该类方法具有一定程度的抗噪能力，但要求待测物体的形貌在测量期间不发生变化。空域相移法是在同一时刻但不同的空间位置采集多幅相移干涉图。该方法可以用来测量动态过程，但其测量系统比较复杂，精度方面也不如时域相移法高。空间载频相移法是采用两个窗函数卷积原干涉图，从而产生多幅相移干涉图，并使用时间相移法的公式进行恢复相位。这种方法只需要一幅干涉条纹图，但要求载波频率很高，背景和待测相位要缓变，否则将产生较大误差，并且这种方法的分辨率比较低。在以上各类方法中，时域相移法是目前最常用、最有效、最可靠的方法，本文也是在时域相移干涉测量的领域内进行研究。
随着光电子学技术、计算机技术、激光技术、信号采集与处理技术和数字图像处理技术的飞速发展，相移干涉测量技术作为一种高精度的光学检测手段，得到了迅速的发展，在光学测量与检测领域具有广泛应用，如散斑分析[14, 15]、数字全息[16, 17]、物体形变检测[18, 19]、三维形貌测量[20, 21]等众多领域。许多商用干涉仪和光学检测仪器也都釆用了相移干涉测量技术。
1.2 相移干涉测量技术的发展及研究现状
Carré于1966年提出了相移干涉测量的主体想法和思路[22]。Bruning于1974年利用通讯信息理论中的同步检波技术[23]，使相移干涉测量对光学元件的测量精度达到了1/100个波长量级。此后，为了进一步提高相移干涉测量的精度，国内外的研究者们做了大量的研究工作[24]，归纳起来基本可以分为两大类：一是对硬件的研究，即优化相移干涉测量的实验装置和光学系统，使用更好的光学元件或设计更好的光学系统，降低因元件缺陷而带来的测量误差，尽量减少测量过程中的环境和其他因素的干扰[25]，或对干扰造成的误差进行校正[26, 27]。例如变频相移干涉技术，它通过改变光源的频率来实现相位调制，能消除传统硬件相移引起的非线性误差，减少由环境变化引起的误差[28]，但这种方法对光源的要求比较高。二是对相移量提取算法与相位恢复算法的研究，即设计对相移误差不敏感或者抗噪能力强的算法[29]，提高所恢复的相移量与相位的精度。相移量提取算法和相位恢复算法的优劣直接影响着相移干涉测量的精度，且与优化硬件相比，成本较低，是目前研究的热门领域。
一般来说，要恢复待测物体的相位信息，至少需要三幅相移干涉图；为了减少环境噪声和其它干扰对相位测量精度的影响，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不断提出[30]。然而，上述算法的使用条件是干涉图之间的相移量为已知且为某些定值，在实际应用中，如果相移量未知，或者受相移器件标定误差、机械振动和空气扰动等因素的影响，导致实际相移量值偏离理论值，这些算法进行相位恢复的精度会大大降低。因此，如何在相移量未知的情况下，快速并准确地提取干涉图之间相移量及恢复相位，一直是相移干涉测量研究和应用中需要解决的重要问题。
提取干涉图之间的相移量，可以用来测定微位移器的步进或物体的整体平移距离，标定相移器件的误差和非线性，也可以为需要相移量已知的传统相位恢复算法提供先决条件。为此，许多相移量提取算法已经被提出[31-37]。例如，Xu等通过寻找干涉图序列中各个像素点的强度最大值与最小值，计算出干涉图的直流
项和调制项，再通过反余弦函数恢复待测相位并提取相移量(ACA)[34]，但该算法需要逐个像素点来计算直流项与调制项，计算量大，比较耗时。邓建等提出了一种基于欧几里德矩阵范数的相移量提取算法[35]，速度快，精度高，但该算法要求干涉图中的干涉条纹数多于一个，且干涉图序列的相移量范围不能小于πrad。针对干涉条纹数量问题，邓建等又提出了基于矩阵1-范数的相移量提取算法[36]，该算法可以在条纹数少于一个的情况下提取相移量，计算量小，速度快，精度也很高。
恢复待测物体的相位信息，可以用来重构物体三维形貌，测量表面轮廓或形变，在这一方面，国内外的研究人员也提出了很多的相位恢复算法[38-43]。例如，Wang等基于最小二乘误差估算，提出了一种改进迭代算法(AIA)[40, 41]，该算法通过在相移干涉图之间迭代计算相移量和待测相位，直到迭代误差收敛，所提取的相移量和恢复的待测相位的精度都比较高，但迭代计算时间长，运算速度慢。Vargas等提出基于主成分分析的算法(PCA)[42, 43]，可以较快地提取相移量并恢复待测相位，但该算法需要通过时域平均的滤波方法滤除相移干涉图的直流背景项，因此要求干涉图之间的相移量是均匀分布在(0, 2π) rad范围之内。
上述提取相移量和恢复相位的算法，都要求三幅或三幅以上干涉图才能进行有效的计算。近年来，为了降低环境和空气扰动对测量精度的影响，降低测量系统复杂性，以及减少提取相移量和恢复相位的计算量，提高运算速度，许多两步相移算法相继而出[44-54]。这类算法仅需两幅相移干涉图就可以恢复待测相位或提取相移量，计算量小，速度快，精度也高。例如，Kreis等提出基于傅里叶变换的两步相移算法(Kreis)，可通过傅里叶变换来计算待测相位[45]，但其恢复相位的精度受噪声影响较大。Vargas等提出基于施密特正交化的两步相移算法(GS)[48]，该算法恢复相位的精度较高，计算速度也比较快。Muravsky等提出相关系数算法(CC)[49]，通过计算两干涉图向量之间的相关系数来提取相移量并进一步恢复待测相位。但该文献中作者通过分别记录物光波和参考光波的光强的方式来滤除干涉图的直流项，操作流程比较复杂。上述几种两步算法(Kreis、GS、CC)都须在相移干涉图的条纹数多于1个的情况下才能进行有效的计算，为了解决这个问题，邓建等提出基于干涉极值的两步相移算法(EVI)[50]，由干涉强度极大值和极小值求解出两幅干涉图之间的相移量，再通过一个反正切函数恢复待测相位。该算法速度快，精度高，并且在干涉图的条纹数少于1个的情况下，也能准确地恢复待测相位并提取相移量。虽然这些两步相移算法几乎都需要预先滤除相移干涉图中的背景项，通常利用高斯高通滤波的方法在频域中滤除背景项[55, 56]，该滤波方法虽然比较简便，却不能完全滤除干涉图的直流背景项，这也是影响两步相移算法所恢复的相位精度的重要原因之一。但因两步相移算法要求的干涉图数量
少，计算量小，运算速度快，所以其在相移测量技术中有特别的优势，应用也越来越广泛。
由于各种相位恢复算法得到的结果都是包裹相位，只有对该结果进行相位解包裹运算，才能得到连续的相位，展示待测物体真实的三维形貌。因此相位解包裹算法也是相移干涉测量的一个关键技术。在这一方面，针对噪声、欠采样或其他因素的影响，国内外的研究人员也提出了很多解包裹算法，大致可分为路径跟踪算法与路径无关算法[57]，其中比较经典的算法有：行列逐点算法[57]、枝切法[57, 58]、最小二乘算法[57, 59]和基于傅里叶变换的解包算法[60-62]等。针对不同的情况，可以选择较优的解包裹算法进行运算。
1.3 本文的研究目的、内容及创新点
本文研究目的如下：
在相移干涉测量中，提取相移干涉图之间的相移量，以及从干涉图中恢复待测相位并重构物体的三维形貌，是实际应用中极为有意义的问题。因此，如何准确并快速地提取相移量及恢复待测相位是相移干涉测量技术中的两个重要研究内容。传统的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉图才能准确并有效地提取相移量或恢复待测相位，数据量大，运算时间长。两步相移算法以其仅需两幅干涉图、数据量小、运算速度快、精度较高等特点，在相移干涉测量中的优势越来越明显。针对以上现状的分析，本文介绍了一些传统相移算法、迭代算法的原理及其优缺点，在此基础之上，引入两步相移干涉测量，并着重对两步相移干涉测量中的相移量提取算法和相位恢复算法进行了理论和实验研究。
本文的主要内容安排如下：
第一章对相移干涉测量技术的基本原理和发展历程进行了概述，阐述了其应用于形貌测量的意义，介绍了目前已有的几种相移量提取算法和相位恢复算法，对各种方法的优缺点进行了简单比较，引入两步相移干涉测量及其相关算法；并对本论文的研究目的、内容以及主要工作与创新点进行了说明。
第二章对相移量提取算法进行了概述，分别介绍反余弦算法、欧几里得矩阵范数法和矩阵1-范数法这三种应用于多幅干涉图的相移量提取算法的基本原理，并提出一种既可应用于多幅相移干涉图，又可以应用于两幅相移干涉图的相移量提取算法。通过计算机模拟与实验验证的方式将这四种相移量提取算法的性能进行了比较，分析了其优缺点及使用条件。
第三章对多步相移恢复相位的算法进行了概述，分别介绍了定步长算法中的
三步、四步、五步相移算法和非定步长算法中的改进迭代算法与主成分分析算法，阐述了各算法恢复待测相位的基本原理，并通过计算机模拟分析了这几种算法优缺点及适用范围。
第四章对两步相移恢复相位的算法进行了概述，分别介绍了施密特正交化算法、相关系数算法和干涉极值法，阐述了这三种现有的两步相移算法恢复相位的基本原理，并提出了改进的施密特正交化算法和基于干涉图内积之比的两步相移算法；通过计算机模拟与实验验证的方式，将几种两步相移算法的性能进行了比较，并分析其优缺点。
第五章分析了影响两步相移算法精度的两个主要因素：滤除背景项的方法和相移量的取值范围。通过实验验证的方式，对这些因素进行了分析研究。
第六章对几种经典的解包裹算法进行了介绍，通过计算机模拟和实验验证的方式，分析总结了各算法的优缺点及其适用范围。
第七章对全文的主要内容进行了总结概括，分析了多步相移算法和两步相移算法的优缺点及尚未解决的技术难点，分析了解包裹算法的局限性；展望了相移干涉测量未来的发展趋势，指出了进一步研究工作的方向和设想。
本文的主要创新点如下：
1. 改进了原有的施密特正交化两步相移算法，在保持原算法高精度的同时，简
化了计算过程，减少了运算时间，提高了运算速度。
2. 提出了基于干涉图内积之比的两步相移算法，既可用于准确提取两幅或多幅
相移干涉图之间的相移量，又可以快速恢复高精度的待测相位。
第二章 相移干涉测量中的相移量提取算法研究
2.1 相移量提取算法概述
相移量是相移干涉测量中的一个重要的物理参数，它代表着各相移干涉图之间的差异性。相移量一般是由PZT 、半波片或1/4波片、偏振片等相移器件引入的。在相移干涉测量过程中，由于相移器件和探测器的误差以及外界环境扰动等因素的影响，往往使得实际相移量与理论相移量存在一定的误差。而相移量的精确程度与相移干涉测量的精度有很大关系，提取相移量也可以来标定相移器件的性能，因此，快速并准确地提取相移量的值是相移干涉测量领域中的一个重要的研究方向。近年来，许多从相移量未知的相移干涉图中提取相移量的算法不断被提出，本章介绍几种常见的相移量提取算法，如反余弦算法(ACA)、欧几里德矩阵范数法(EMN)。矩阵1-范数法(IN)，提出一种新的相移量提取算法，并归纳分析了不同算法的优缺点及使用条件。
2.2 现有的相移量提取算法
2.2.1 反余弦算法
反余弦算法(Arccosine Algorithm ，简称ACA)通过寻找干涉图序列中各个像素点的强度最大值与最小值，计算出干涉图的背景项和调制项，再通过反余弦函数恢复待测相位并提取相移量。下面介绍该算法提取相移量的原理。
在相移干涉测量中，可以将第n 幅相移干涉图的每个像素点的光强表示为
(x,y)(x,y)(x,y)cos[(x,y)]n n I a b ?δ=++ (2-1)
其中，a (x,y)为干涉图的背景项，它是一个直流低频项；b (x,y)为干涉图的调制项；(x,y)?为待测相位；n δ为干涉图对应的相移量，且δ1=0；(x,y)为像素点的位置坐
标。通常认为，对于一幅干涉图来说，其每个像素点对应的相移量的值是一个常数项，与像素点的空间位置无关，相移量是关于时间的函数，它并不影响待测相位分布的相对大小；而背景项、调制项与待测相位在时间轴上是不变的，他们是像素点的函数。将公式(2-1)变换后可得 (x,y)(x,y)cos[(x,y)]cos[(x,y)](x,y)n n n I a b φ?δ-=+= (2-2) 其中，(x,y)n φ是每一幅相移干涉图的相对待测相位的大小，它是每幅干涉图所对应的相移量与待测相位之和。相移干涉图每个像素点的光强是随着相移量呈周期性的变化，如果在一个相移周期内采集到足够多的相移干涉图，那么可以从时域变化的光强中逐像素点地确定出干涉图中每一个像素点的光强最大值m a x (x ,y)I 和最小值min (x,y)I ，其值分别为
max (x,y)(x,y)(x,y)a b I =+ (2-3) min (x,y)(x,y)(x,y)a b I =- (2-4) 由公式(2-3)和(2-4)联立可得 max min (x,y)(x,y)(x,y)2
I I a += (2-5) max min (x,y)(x,y)(x,y)2I I b -= (2-6)
通过逐像素点计算，可以得出每个像素点上背景项a (x,y)与调制项b (x,y)，进而可求得每一幅相移干涉图的相对待测相位的大小 max min max min (x,y)(x,y)2(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)arccos arccos (x,y)(x,y)(x,y)n n n I a I I I b I I φ????---== ???-???? (2-7) 则第n 幅干涉图的相移量值可由下式计算得出
1n n δφφ=-
(2-8)
综上所述，ACA 算法提取相移量的步骤为： (1) 在干涉图序列中，寻找每个像素点的光强最大值与最小值，计算出干涉图的背景项与调制项。
(2) 通过公式(2-7)计算得出每幅干涉图的相对待测相位的大小，将所求相对相位分别与第一幅干涉图的相位相减，计算出每幅干涉图的相移量。
2.2.2 欧几里德矩阵范数法
相移干涉测量中，因相移器件引入了相移量，使得相移干涉图之间存在着差异性，因此相移量与干涉图之间的差异性存在某种联系。由干涉图的光强表达式(2-1)可知，当相移量为2k π rad 时(k =0, 1, 2, 3…)，干涉图之间的差异性最小，其光强相等，几乎无法区分。当相移量为(2k +1)π时，干涉图之间的差异性最大。在数学上，用欧几里德矩阵范数(Euclidean Matrix Norm ，简称EMN)来度量矩阵之间的差异性。而相移干涉图的光强在CCD 等探测器上是以像素点为单位的二维矩阵形式记录的，所以欧几里德矩阵范数也可以用来度量相移干涉图之间的差异性。由于相移干涉图之间的差异性与相移量有密切的关系。利用这种特性，可通过计算相移干涉图之间的欧几里德矩阵范数来提取相移量。下面介绍该算法提取相移量的原理。
对于两个M × N 阶矩阵P 、Q ，其欧几里德矩阵范数的定义为 1/22211[(,)(,)]M N n m n d P Q P m n Q m n ==??=-=- ???∑∑ (2-9) 在相移干涉测量中，第n 幅干涉图的光强可以表示为
(x,y)(x,y)(x,y)cos[(x,y)]n n I a b ?δ=++ (2-10) 将相移干涉图序列中的第一幅干涉图（δ1=0）作为参考对象，那么各相移干涉图与第一幅干涉图相减后得
1(x,y)(x,y)2(x,y)sin(/2)sin[(x,y)/2]n n n I I b δ?δ-=+ (2-11) 其欧几里德矩阵范数可表示为
1/2
22121y=11y=1(x,y)(x,y)/2)(x,y)(x,y)cos[2(x,y)+]M N M N n n n n x x d I I b b δ?δ==??=-- ???∑∑∑∑ (2-12)
其中M 、N 分别为干涉图的行数和列数。当干涉图中的干涉条纹数大于1时，公式(2-10)中的三角函数周期也大于1，如下近似条件可以成立
22
1y=11y=1
(x,y)(x,y)cos[2(x,y)+]M N M N n x x b b ?δ==>>∑∑∑∑ (2-13) 结合近似条件，此时公式(2-12)可以简化为 121y=12(x,y)sin (/2)=sin (/2)M N n n n x d b B δδ=??≈ ???∑∑
(2-14)
通常我们认为，在相移干涉图序列中，b (x,y)在时域上是不变化的，因此上
式中的第一项B 为常数项。由此可知，相移干涉图相减后得到的欧几里德矩阵范数是关于相移量的函数，与sin(δn /2)成正比。当δn =π时，d n 取得最大值，且有d max =B 。由公式(2-14)可得，相移量可由反正弦函数计算得出 max 2arcsin()n n d d δ=
(2-15)
综上所述，欧几里德矩阵范数法(EMN)提取相移量的步骤为： (1) 分别计算第1幅相移干涉图的光强矩阵与第n 幅相移干涉图的光强矩阵之间的欧几里德矩阵范数；
(2) 寻找出所得的欧几里德矩阵范数中的最大值，再通过公式(2-15)提取相移干涉图之间的相移量。
2.2.3 矩阵1-范数法
在上节我们知道，相移干涉图之间的差异性与相移量存在一定的联系。利用欧几里德矩阵范数法提取相移干涉图之间的相移量，这种方法简单快速，但只适用于干涉图中有多个干涉条纹的情况；而一种基于矩阵1-范数的相移量提取算法可适用于干涉图中的条纹数少于一个的情况，又称干涉图范数法(Interferogram Norm ，简称IN)。下面介绍该算法提取相移量的原理。
在数学上，对于一个M×N 阶矩阵P ，其矩阵1-范数的定义为 111M N n MN x,y x y S P P ====∑∑
(2-16)
同上一节，在相移干涉测量中，第n 幅相移干涉图的光强可以表示为
(x,y)(x,y)(x,y)cos[(x,y)]n n I a b ?δ=++ (2-17) 按照矩阵1-范数的定义，第n 幅相移干涉图的矩阵1-范数为：
(
)1111
(x,y)(x,y)cos[(x,y)](x,y)cos[M N M N
n n x y x y n S a b a ?δ=====++=+Θ∑∑∑∑ (2-18)
其中，
n n δΘ=Λ+ ，11
11arctan (x,y)sin[(,)](x,y)cos[(x,y)]M N
M N
x y x y b x y b ??====??Λ= ???∑∑∑∑ ，
若令
11(x,y)M N x y A a ===∑∑
(2-19)
B = (2-20) 则公式(2-18)可表示为
cos()n n S A B =+Θ (2-21) 对于同一序列的相移干涉图，A 、B 和Θn 都是常数，可分别将他们称为相移干涉图的背景强度范数、调制振幅范数和相位范数。在一系列的干涉图矩阵1-范数中寻找其中的最大值max S 与最小值min S ，且有
max S A B =+ (2-22)
min S A B =- (2-23) 由上面两个公式联立可得
()max min 2A S S =+ (2-24)
()max min 2B S S =- (2-25) 由以上公式可知 max min max min 2arccos arccos n n n n S A S S S B S S δ??---??Θ=Λ+== ? ?-???? (2-26) 因为相移量是一个相对量，通常我们认为10δ=，Λ是一个常数，所以只要确定出A 和B 的值，就可以从公式(2-26)中计算出相位范数，进而提取相移干涉图之间相移量n δ
1n n δ=Θ-Θ
(2-27)
综上所述，矩阵1-范数法(IN)提取相移量的步骤为：
(1) 计算每幅相移干涉图的矩阵1-范数的值。 (2) 寻找找出干涉图矩阵1-范数的最大值与最小值，计算出干涉图的背景范数与调制幅度范数。
(3) 通过公式(2-26)计算得出每幅干涉图的相位范数，再通过公式(2-27)提取
相移量。
2.3 本文提出的相移量提取算法
不论是反余弦算法、欧几里德矩阵范数法，还是矩阵1-范数法，都需要采集多幅相移干涉图才能进行有效地提取相移量，在仅有两幅干涉图的情况下，这三种算法都无法进行计算。本节提出一种基于干涉图内积之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,简称RIP)，该算法既可以提取多幅干涉图的相移量，对相移量的范围没有特别的要求，且在只有两幅干涉图的情况下，也可以准确计算相移量的值。下面介绍该算法提取相移量的原理。
同上一节，在相移干涉测量中，第n 幅相移干涉图的强度可表示为：
(x,y)(x,y)(x,y)cos[(x,y))]n n I a b ?δ=++ (2-28) 一般来说，背景项a (x,y)是直流低频信号，可以利用高斯高通滤波器将其滤除，滤除背景项的相移干涉图可以表示为（为简单明了，省去了像素坐标）： cos()n n I b ?δ=+ (2-29)
以1I (1
δ=0)为参考对象，分别计算1n I I 与的内积，可得 2211111
,cos ()M N x y P I I b ?==??==??∑∑
(2-30)
2111
22211,[cos()cos()]
[cos ()cos()cos()sin()sin()]
M N n n n x y M N n n x y P I I b b b ??δ?δ??δ======+=-∑∑∑∑ (2-31)
其中，M, N 为干涉图的行数与列数。符号, 表示两向量的内积。当干涉图中的条纹数多于1个的时候，有以下近似条件：
22
21111[cos ()cos()][cos()sin()sin()]M N M N n n x y x y b b ?δ??δ====∑∑∑∑ (2-32)
结合公式(2-32)，可将公式(2-31) 简化为：
2211[cos ()]cos()M N n n x y P b ?δ==≈∑∑
(2-33)
根据公式(2-30)、(2-33)，两幅相移干涉图之间的相移量可由反余弦函数求出：
1111,arccos arccos ,n n n I I P P I I δ???? ?== ? ????? (2-34)
综上所述，基于内积之比的算法(RIP)提取相移量的步骤为：
(1) 使用高斯高通滤波器滤除相移干涉图的背景项。
(2) 分别计算滤波后的第n 幅干涉图与第一幅干涉图的内积。
(3) 计算各内积之间的比值，再通过反余弦函数提取每幅干涉图的相移量。
2.4 相移量提取算法的比较
2.4.1 计算机模拟
为了验证本文提出的相移量提取算法的速度和精度，并分析其相对于其他算法的优缺点，本文根据相移干涉图的光强表达式模拟了60幅相移干涉图，尺寸为300×300pixels ，如图2-1所示。模拟相移干涉图的各参数设置为：背景项a (x,y)=120exp[-0.25(x 2+y 2)], 调制幅度b (x,y)=100exp[-0.25(x 2+y 2)], 待测相位 (x ,y )?=4πexp[0.2(x 2+y 2)], 第n 幅相移干涉图的相移量δn =0.1(n-1) rad ，-2.5mm≤x,y≤2.5 mm 。并在模拟的干涉图中加入了噪信比为5%的高斯加性噪声。
图2-1 模拟圆条纹相移干涉图序列，尺寸为300×300pixels ，其相移步进为0.1rad 。
图2-2(a)为使用RIP 算法提取模拟相移干涉图的相移量，图2-2(b)为所提取的相移量与预设标准值之间的差值。从图中可以看到，所提取的相移量整体误差很小，但在真实相移量为π rad 附近的区域，误差比较大。造成这较大误差的主要原因是：当相移量为π rad 时，近似条件公式(2-32)不能得到满足。