5.实际问题与一元二次方程
[学习目标]
1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解
决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程
解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提
高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.
[预习导引]
在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程
如下:
试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出
20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少
库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每
件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均
每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为
(40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根
据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理
为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10
答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或
20元.
当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不
得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因
吗?与同伴交流自己的想法.
[点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,
因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越
快,才能
满足题目
选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,
不能漏掉任何一个条件.
[知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点:
一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和
发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程
解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法
求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当
广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经
营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型.
(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连
续整数的形式.
如:一个三位数abc可表示为
连续两个偶数可表示为连续两个整
数可表示为这类问题常常
间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出.
(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,
一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化
后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________
表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的
词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率
高的应用问题.
在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相
关的量.这些量之间的关系可用公
式表示,同时件数(n)又经常与售价(b)
关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关
系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一
些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量
统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等.
解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的
关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n
n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n)
2.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程
解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”.
(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等
关系;
(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知
数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接
设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出
方程为准则.
(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相
等关系列出方程.
(4)解:就
求出所列方
程的解. (5)答:
书写答案,
的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.如何探求应用问题中的等量关系.
列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量
关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用
题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等
量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找
相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系.
②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实
际经验中发现等量关系.
[名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连
续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积.
[命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数
字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的
偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三
边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简,
整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三
角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10
即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为
24
8
6
2
1
=
?
?.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为
24.
[思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系
的重要来源.
例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投
资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平
均增长率问题.
[解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为
x,则今年的投资额为2(x+1)万元,明年的投资额为
2(x+1)2
万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,
根据题意可列方程:2(1+x)+2(1+x)2=12化简整理得:x 2+3x －4=0 解这个方程得:x 1=1,x 2=－4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.
[思路探究]在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(1+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(1+x)当作一个整体,用换元法解.
例3.如图所示,△ABC 中,∠B=90°,点P 从 A 点开始沿AB 边向点B 以2厘米/秒的速度移动,点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动.
(1)如果P,Q 分别从A,B 同时出发,经几秒钟,使△PDQ 的面积等于8厘米2?
(2)如果P,Q,分别从A,B 同时出发,并且P 到B 点又继续在BC 边上前进,Q 点到达C 点后又继续在CA 边上前进,经过几秒钟,使△PCQ 的面积等于12.6厘米2?[命题意图]本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力.
[解析]先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.
解(1)如图所示,设经过x 秒,使得△PBQ 的面积为8厘米2,则PB 的长度为(6－x)cm,BQ 的长度为2xcm,根据题意可列方程得:
82)6(2
1=?-x x ， 解之得:x 1=2,x 2=4
经过 2秒,点P 到离B 点4cm 处,点Q 到离B 点的4cm 处；经过4秒，点P 距离B 点2cm 处,点Q 到距离B 点8cm 处.即经过2秒或4秒,△PBQ 面积为8cm 2. (2)设经过y 秒,点P 移到BC 上,且有CP=(14－y) cm,点Q 移到CA 上,且有CQ=(2y －8) cm,作PD ⊥AC 于D.(如图) AC=
108
6
2
2
2
2
=+=+BC
AB
由
△CPD ∽△CAB 得
10
614=
=-AC
AB y
PD
∴PD=
10
)
14(6y -. 根据题意可列方程：
6.1210
)
14(6)82(2
1=-?
-y y 解这个方程得：
y 1=7,y 2=11
当y=7时，点P 在BC 上距C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 面积为12.62。
当y=11时，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14>10，点Q 已不在CA 上，即此解不存在 ∴y=7 即经过7秒钟，△PCQ 的面积为12.6厘米2.
[思路探究]象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,
列出方程.
例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?
[命题意图]本例考查经营销售问题.
[解析]设每玩具涨价x 元,则售价为(40－x)元,每一只玩具的利润为(40+x －30)元,销售的件数为(600－10x)件,根据总利润为12000元列出方程.[思路探究]每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量..解:设每件玩具涨价x 元，根据题意可列方程：(40+x －30)(600－10x)=12000
解之，得：x 1=20,x 2=30 检验知x 1=20,x 2=30均符合题意
所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。
[中考链接]例5.某农户1988年承包荒山若干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2010年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果,称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,11,12,8
(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售 1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售,平均每天出售1000千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果,选择哪 种出售方式合理?为什么?
(3)该农户加强果园管理,力争到2013年三年合计纯收入达57000元,求2012年,2013年平均每年增长率是多少?
[命题意图]本例考查平均数意义及应用,方案的选择,平均增长率等知识.
[解析](1)中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产
量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元,列方程求解.解(1)1010010
1)812111098131298(101_
=?=+++++++++=x (千
克)∴2001年水果总产量为2000×90%×10=18000(千克)
(2)在果园出售时收入为1.1×18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800－7800)[1+(1+x)+(1+x)2]=57000解得:x 1=－3.5(不合题意,应舍去)x 2=0.5=50%
答(1)2001年的水果总产量为18000千克.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.
[达标训练]一、选择题：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为 4.05元,则平均每次调价的百分率为 A.9% B.10% C.11% D.12% 2.容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出4
1,再用水加满,此时容器内酒精浓度为
A.15%
B.12.5%
C.37.5%
D.25%
3.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营
业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,
则 A.200+200×2x=1000 B.200(1+x)2=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4.从正方形的铁片上,截去5cm 宽的一个长方形铁皮,余
下的面积为84cm 2,则原来正方形面积最大可能为 cm 2.A.84 B.109 C.144 D.420
5.一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下
得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位
数为 A.28 B.82 C.28或82 D.不确定
6.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知
全组共送贺卡132张,则这个小组共有 人.
A.11
B.12
C.13
D.14
7.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,
绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则
这两年平均每年绿地面积的增长率是
A.19%
B.20%
C.21%
D.25%
二、填空题：
8.两个连续奇数的平方和为202,则这两个奇数是 9.直角三角形的面积为6,两直角边的和为7,则斜边长为 10.某工厂第一季度平均每月增产10%,一
月份产值a 元,那么三月份产值为 .
三、解答题：
11.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块
耕地上沿东西和南北方向分别挖二条
和四条水渠,如果水渠的宽相等,而且
要保证余下的可耕地面积为9600平方米,那么水渠
应挖多宽?
12.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收
入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计
2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到
2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年
的预计经营总收入为多少万元?
13.用篱笆围成一个长方形花坛,其中一面靠墙,且在与墙
平行的一边开一个2米宽的门,现有能围成91米长的
篱笆,墙长为50米,花坛的面积要达到1080平方米,
你能设计出符合要求的方案吗?不妨试试看.
14.我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平
方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水
土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的
水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视
水土流失问题,2010年治理了水土流失面积400平方
公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水
土流失面积都比前一年增长 一个相同的百分数,到
2013年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平
方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长
的百分数.
15.生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只
,
且每日产
出的产品全部售出,已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P 与x 的关系式为R=500+30x,P=170－2x,当日产量为多少时,每日获得
的利润为1750元?
16.已知直角三角形周长为62 ,斜边上的中线长为1,求
这个直角三角形的面积. 17.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.
18.某电厂规定,该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A 度,那么这居民这个月只须交10元电费;如果超过A 度,则这个月除了仍要交10元的用电费以外,超过的部份还要每度按100
A 交费. (1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A
度,则超过的部份应交电费 多少元(用A 表示)
: 值吗?试试看. 19.如图所示,在△ABC
中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC 交AB 于D,已知AB=4 cm,你能求出底边BC 吗?试试看. 20.如图所示,客轮沿折线A －－－B －－－C 从A 点出发经B 再到C 匀速航行,货轮从AC 的中点D 出发沿某一方向匀速度直线航行,将一批货物送达客轮,两船同时起航,并且同时到达折线A －－B －C 的某点E 处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之处E 点 A.在线段AB 上 B.在线段BC 上 C.可以在线段AB 上,也可以在线段BC 上(2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里? 21.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a 元,则可卖出(350－10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元? 22.汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?
[达标训练]答案提示
1．B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.－11,－9或9,11 9.5 10.1.21a 元
11.解:如图所示,把这六条路移到靠边的部位,设路宽为x 米,
根据题意可列方程(162－2x)(64－4x)=9600, 整理为:x 2－97x+96=0 解之:x 1=1 x 2=96 . 而x 2=96不符合题意 ∴ x=1
答:路宽为1米.
12.解:2000年的经营总收入为600÷40%=1500(万元)
设年增长率为x,则1500(1+x)2
=2160 (1+x)2=1.44 1+x=±1.2(舍去1+x=－1.2)
∴1500(1+x)=1500×1.2=1800(万元) 答:2001年预计经营总收入为1800万元.
13.解:设垂直于墙的边长为x 米,则平行于墙的长为(91+2－2x)米,
根据题意,得x(91+2－2x)=1080
解之:x 1=24,x 2=22.5 经检验均符合题意.
当x 1=24时,91+2－2x=45;当x 2=22.5时,91+2－2x=48米
答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米. 14.解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x 平方公里,则风蚀造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里,根据题意有:x+(x+26)=356, 解之:x=165, ∴x+26=191. 故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
(2)设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意,得
400+400(1+x)+400(1+x)2=1324 解得:x 1=0.1 x 2=－3.1(不符合题意,应舍去)
故平均每年增长的百分数为10%
15.解:依据题意有(170－2x)x －(500+30x)=1750, 解之得x 1=25,x 2=45(不符合题意应舍去),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元.
16.解:设直角边分别为a,b,根据题意
有:a+b=6①,42
2=+b a ②,①2－②2得:2ab=1.
∴
2
12
1=
ab .答:此三角形面积为
2
1.
17.解:设这个百分数为x,根据题意有:20(1+x)2=6.4+20(1+12%).
解得x 1=0.2,x 2=－2.2(不合题意应舍去). 答:这个百分数为20%. 18.解(1)
)90(100
A A -
(2)根据题意有25
10)80(100
=+-A A , 解
之:A 1=50,A 2=30(不符合题意应舍去).
故电厂规定的A 值为50度. 19.解:∵∠A=36°,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC, ∴∠DBC=36°, 在△CBD 与△CAB 中,∠C=∠C=72°,
∠CBD=∠A=36° ∴△CBD ∽△CAB ∴
BC
CD AC
CB = . ∴BC 2=AB·CD.
又∵BC=BD=AD,
∴AD 2
=AC·CD,
设AD=x, 则CD=(4－x) ∴x 2=4(4－x) 即x 2+4x －16=0. 解之: x 1=－2+52 5
222--=x (不合
题意应舍去)
∴BC 的长为(252-)cm.
20.(1)B (2)货轮从出发到两船相遇共航行了)63
100200(-
海里
提示:设货船从出发到两船相遇共航行了x 海里,过D 作DF ⊥CB 于F,连结DE,
则DE=x AB+BE=2x ∵D 是AC 中点 ∴DF=100 ,EF=300－2x, ∴ x 2=1002+(300－2x)2. 21.解:设每件商品应售x 元,才能使商店赚400元, 根据题意,得(x －21)(350－10x)=400 解之得:
x 1=25 x 2=31(不合题意应舍去). 当x 1=25时,350－10x=350－250=100.
答:该商店需要卖出100件商品,每件商品应售25元,才使商品赚400元.
22.解 1)设公司将每辆汽车日租金提高x 个10元,才能使公司的日租金总收入达到19380元,根据题意有(160+10x)(120－6x)=19380 即x 2－4x+3=0 解之得x 1=1 x 2=3 检验知x 1=1 x 2=3均符合题意.
故公司将每辆汽车租金提高10元或30元,公司的日租金总收入达到19380元.
(2)设公司的将每辆汽车日租金提高x 个10元,
则公司每天出租的汽车为(120－6x)辆,则每天的租金总收入为
(160+10x)(120－6x)=－60(x+16)(x －20)=－60(x 2－4x －320)
=－60[x 2－4x+4－324] =－60(x －2)2+19440
∴当x=2时,此时有最大值19440
即公司将每辆汽车的日租金提高2个10元时,公司的日租金收入最高,最高租金收入为19440元.
一元二次方程的概念及解法（讲义） 一、知识点睛 1. 只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成20 ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 思考次序：整式方程、化简整理、一元二次． 2. 我们把20ax bx c ++=（0，，，是常数a a b c ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中____，____，____分别称为二次项、一次项和常数项，_____，_____分别称为二次项系数和一次项系数． 3. 解一元二次方程的基本思路是要设法将其转化成一元一次方程来处理．主要解法有：直接开平方法，配方法，公式法，分解因式法 4. 配方法是配成完全平方公式；公式法的公式是：2b x a -±= 分解因式法是先把方程化为___________________________的形式，然后把方程左边进行____________________，根据____________，解出方程的根． 二、精讲精练 1. 下列方程：①3157x x +=+；② 0112=-+x x ；③25ax bx -=（a ，b 为常数）；④322=-m m ；⑤2 02 y =；⑥2(1)3x x x +=-；⑦22250x xy y -+=．其中为一元二次方程的是_______． 2. 方程x x 3122=-的二次项是_____，一次项系数是____，常数项是__． 3. 若方程01)1(2=-+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 （ ） A ．m =0 B ．m ≠1 C ．m ≥0且m ≠1 D ．m 为任意实数 4. 若关于x 的方程21(1)230m m x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为____． 5. 若x =2是关于x 的方程032=+-a x x 的一个根，则2a -1的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-3 6. 一元二次方程2(4)25x +=的根为（ ） A ．x =1 B ．x =21 C ．x 1=1，x 2=-9 D ．x 1=-1，x 2=9 7. 用配方法解方程： （1）2210x x --=； （2）210x x +-=； （3）2383x x +=； （4）24810x x --=； （5）23920x x -+=； （6）20ax bx c ++=（a ≠0）． 8. 用公式法解方程： （1）23100x x +-=； （2）22790x x --=； （3）21683x x +=； （4）2352x x -+=-． 9. 用分解因式法解方程：
一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程的实际应用题 （一）传播问题 1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至 128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。 3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每 个支干长出小分支。 4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。 6.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少 名同学？ 7.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？ 8.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分 析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （二）平均增长率问题 变化前数量×（1 x）n＝变化后数量 1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长 率为。 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。 3.周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 。 4.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3 月份价格的平均增长率。 5.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？ 6.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平 均每年增长的百分数。
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
《实际问题与一元二次方程的应用》说课稿尊敬的各校评委、各位老师： 大家好！我是永靖县第六中学的数学教师张红红，今天我说课的内容是人教版九年级数学第二十三章实际问题与一元二次方程应用的第二课时，下面我谈一下，我对这部分教材的理解、以及自己课后的一点体会。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要的数学模型。本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的学习和研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识，其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。由于列出一元二次方程解应用题及应用相当广泛，在几何，物理及其它学科中都有大量的问题存在；因此，它是学习的重点。本节课侧重于几何方面的应用，现代心理学的研究表明，学生解应用题最常见的困难是，不会将实际问题提炼成数学问题，鉴于学生比较缺乏社会生活经历，搜集信息，处理信息的能力较弱，由此，这些是本节课的难点。而用一元二次方程解应用题的数量关系也比用一元一次方程解应用题的数量也要复杂一些，根据教学大纲的要求，以及本节教材的内容和九年级学生的认知特点，我这样设定了教学目标。 2、说教学目标 知识方面：以一元二次方程解决的实际问题为载体，让学生初步掌握数学建模的基本方法。 能力方面：通过对一元二次方程的应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其它学科中可以用一元二次方程来解决的实际问题，并能用正确的语言表述问题、及其解决过程。
5.实际问题与一元二次方程 [学习目标] 1.经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解 决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程 解实际问题的重要性.2.通过列方程解应用题,进一步提 高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力. [预习导引] 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程 如下: 试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x件,每天可卖(20+2 x)件,根 据题意可列方程:(40－x)(20+2x)=1200 方程化简整理 为:x2－30x+200=0 解得:x1=20 x2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或 20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不 得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因 吗?与同伴交流自己的想法. [点拔]当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越 快,才能 满足题目 选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件. [知能互动]1.列一元二次方程解应用题的特点: 一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和 发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程 解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法 求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当 广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题,经 营问题,数字问题中涉及到积的一些问题,都是代表类型. (1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连 续整数的形式. 如:一个三位数abc可表示为 连续两个偶数可表示为连续两个整 数可表示为这类问题常常 间接设未知数,相等关系由题目的关键语句”译”出. (2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中, 一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化 后的基数(b),这四者之间的关系可用公式___________ 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的 词语”译”出.(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率 高的应用问题. 在这类问题中有进价(a)售价(b)利润(p)件数(n)等相 关的量.这些量之间的关系可用公 式表示,同时件数(n)又经常与售价(b) 关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关 系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一 些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量 统计、几何应用,与物理及其它学科之间的渗透的问题等. 解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的 关键词句”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 n n+1 (2)a(1+x)n=b (3)p=(b－a)n) 2.列一元二次方程解应用题的一般步骤: 和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程 解应用题的步骤可归纳为”审,设,列,解,答”. (1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等 关系; (2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知 数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接 设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出 方程为准则. (3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相 (4)解:就 求出所列方 程的解. (5)答: 书写答案, 的解进行检验,舍去不符合实际意义的解. 3.如何探求应用问题中的等量关系. 列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量 关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢? (1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用 题目中所给的条件.(3)要善于发现利用间接的,潜在的等 量关系.(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找 相等关系.①利用题目中的关键语句作为相等关系. ②利用公式、定理作为等量关系.③从生活、生产实 际经验中发现等量关系. [名题探究]例1.已知一直角三角形三边长为三个连 续偶数,试求这个直角三角形三边长及面积. [命题意图]本例考查列一元二次方程解答有关的数 字问题.[解析]用含未知数的代数式表示出三个连续的 偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三 边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2。化简, 整理,得:n2－4n－12=0 解得: n1=6,n2=－2 由于三 角形的边长不能为负数,所以取n=6∴n+2=8,n+4=10 即,两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为 24 8 6 2 1 = ? ?.答:直角三角形三边长为6,8,10,面积为 24. [思路探究]几何中的定理是我们列方程的等量关系 的重要来源. 例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投 资上的平均增长率是多少?[命题意图]本题主要考查平 均增长率问题. [解析]本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为
一元二次方程的实际 应用
一元二次方程的实际应用 1、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2＝0 解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x 2、阅读下面解题过程,解方程x2-1x1-2＝0 3、解分以下两种情况： 4、（1）当x≥0时,原方程可化为x2-x=0,解得x1=2 x2=-1（不和题意,舍去） 5、（2）当x＜0时,原方程可化为x2+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 （不合题意,舍去）∴原方程的根是x1=2 x2=-2 6、请照此方法解方程 x2-| x-1 |-1=0 7、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0． 8、（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根． 9、（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△A BC的周长． 10、已知函数y=2/x和y=kx+1（k不等于0）. (1)若这两个函数的图像都经过（1,a）,求a和k的值 (2)（2）当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点 4、已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动． （1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°； （2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与 证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 5、已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根 (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长. 如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．
2019-2020年中考数学一轮专题复习第8讲一元二次方程及应用精讲精练 浙教版 考点一、一元二次方程的有关概念 【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( ) A．x2＋1 x2 ＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④. 举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（） A．0 B．1 C．2 D．3 考点二、一元二次方程的解法 【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7 方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速． 举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2） 2.解方程组： 5 x y12 = += ??
3.解方程组： 4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x． 考点三、一元二次方程根的判别式的应用 【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（） A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数 方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可． 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x 1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围； （2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数
学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。
教学过程 一、复习预习 我们已经学习了一元二次方程的定义和四种解法，下面我们一块来复习一下： 1. 用直接开平方法解方程2 (3)8x -=，得方程的根为（ ）
A. 3x =+ B. 1233x x =+=- C. 3x =- D. 1233x x =+=- 2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ） A ．0 B ．1 C ．0，－1 D ．0，1 3. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。 4. 已知关于x 的方程22440x kx k ++=的一个根是－2，那么k ＝ 。 5.243 x x ++ ＝2(________)x + 今天我们将继续学习列方程解应用题。大家先来看这样一道题：某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出 20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少 库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每 件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均 每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? 在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下: 解:设每件衬衫应降价x 元,则每件所获得的利润为 (40－x)元,但每天可多销出2x 件,每天可卖(20+2x)件,根据题意可列方程: (40－x)(20+2x)=1200 x 2－30x+200=0 解得:x 2=20 x 2=10 答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元. 当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗? 当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存,在获利相同条件下,降价愈多,销售越快,才能满足题目中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题, 不能漏掉任何一个条件，所以我们今天就来具体学习一下列方程解应用题。 二、知识讲解 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”．
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2 -5x=2． （2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
复习 1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；② ；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：① ；② ；③ ；④．其中正确的结论是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 3.已知二次函数的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：① ②b-2a=0；③；④ ． 其中正确的是( ) A.③ B.②③ C.③④ D.①② 4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③④ 二次函数与一元二次方程（讲义） ? 课前预习 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应 的二元一次方程组的解． 3 则一次函数 y =3x -3 与y =-3x +3的交点 P 的坐 标是 _______ ． 请思考：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根，可否看作是二次函数y = ax 2 +bx +c 与 x 轴交点的横 坐标，即方程组 y = ax + bx + c 的解中x 的值. y =0 2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如： 1. 如：已知方程组y -3x +3=0 2 y + 3 x - 6 = 0 4 的解为x = 3 ， y =1 以下结论：① ；② ；③c-a=2；④方程 有两个相等的实数根．其中正 交点在（0，2）的下方．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ）
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.