优化概念教学促进有效学习
——提升高中数学概念教学有效性的策略研究
萧山三中周黎祥
摘要：概念的教学贯穿于数学教学过程的始终，充分经历概念形成过程，突出概念本质，丰富概念外延是当前新课程下概念教学的根本要求，这样的概念教学才是扎实有效的。本文结合案例，反思当前概念教学的现状，结合自己的教学经验，从“创设情境，感知概念”、“自主探索，生成概念”、“步步为营，理解概念”、“螺旋上升，内化概念”、“返璞归真，升华概念”五个方面具体阐述了一个普通教师在高中数学概念教学中如何实施有效性的策略研究，并期以抛砖引玉，唤起更多的教师能聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律。
关键词：数学概念有效性策略研究
一、问题的提出
1、高中数学概念教学的重要地位
数学概念是反映数量关系与空间形式本质属性的思维形式，是数学思维的细胞。各种数学方法，解决各种数学问题，都必须运用数学概念。《普通高中数学课程标准(实验)》指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。匡继昌认为：“学生如果不能正确的理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能正确地进行计算和论证。”因此，数学的教学首先是概念的教学。在高中阶段数学的概念可以简单的分为两类：一类是以前不曾接触过的，完全陌生的概念，如：集合，数列，向量，导数的概念等等；另一类是已经有所接触或是似曾相识，是由原有的概念发展而来的，如：数的概念，角的概念，函数的概念，指数的概念，曲线的切线概念等等。第二类情况我们称之为概念的发展。在中学数学中，许多重要概念将逐步发展与深化。例如“函数”概念，初中学生只能作“在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，则说y是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。所以在高中数学概念教学中要揭示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，牢固掌握概念，灵活运用概念，即达到理解、巩固、系统、会用的目的，因此，高中数学概念教学具有十分重要的基础性地位。
2、概念教学有效性研究的意义
数学概念教学是“双基”教学的核心，是数学教学的重要组成部分。有些教师往往用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异，因此抓好概念教学是提高数学教学质量的带有根本性意义的一环。那么在新课标下如何帮助学生更有效地理解数学概念，如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题？我想关键的环节还是在于教师如何提升数学概念教学的有效性，通过有效的概念教学，使学生顺利地获取有关概念。教学时提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性，通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用，从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。为此“高中数学概念教学有效性的研究”具有现实意义。
二、概念教学现状分析
当前，不重视概念教学是一个比较普遍的现象，“一个定义，三个注意项”式的概念教学比比皆是，让学生觉得学习数学概念枯燥乏味，影响了对数学概念的理解。我们有必要静下心来对当前数学概念教学作一番审视，先看我校高一备课组举行的“同课异构”教研活动中2位教师执教的关于“函数的奇偶性”一课的案例片断。
【案例1】
师：前面我们研究了函数的单调性，同学们已经知道函数的单调性是函数的一个重要性质，它在解决函数的问题中有着十分广泛的应用。今天这节课，我们要学习函数的另一个重要性质——奇偶性。（板书课题：函数的奇偶性）
师：什么是函数的奇偶性呢？请大家打开课本第33和35页，看教材中是怎么阐述的。（大约2分钟后）
师：哪位同学说说看。
生1：设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f =-，那么称函数)(x f y =是偶函数，如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f -=-，那么称函数)(x f y =是奇函数。（学生口述，教师板书）
师：很好！如果函数)(x f y =是奇函数或偶函数，它的定义域A 应该具有怎样的特点？
生2：关于原点对称。
师：说说你的理由。
生2：因为如果A x ∈，则只有A x ∈-，才能计算)(x f -。
师：真不错！如果函数)(x f y =是奇函数或偶函数，它的图象又具有怎样的特点呢？
生3：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
师：非常好！看来同学们已经作了很好的预习。如果函数)(x f y =是奇函数或偶函数，我们就说函数)(x f y =具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的又一重要性质，它在解决函数问题时有着十分广泛的应用。请大家看下面的问题。（投影显示问题1、问题2、问题3和问题4）
(师生共同探讨上述问题的解题思路和解题过程,深化对函数奇偶性的认识和理解。)
【案例2】
师：请同学们回顾上节课学习的函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。
(学生回答略)
师：很好！下面我们研究函数的第二个性质——奇偶性。
师：请同学们先看一个我们熟悉的函数2)(x x f =，计算)1(f 与)1(-f ，)2(f 与)2(-f ，)3(f 与)3(-f ，能得
出怎样的结论？
生：对于2x y =，当自变量取一对相反数时，y 取同一值．记2)(x y x f ==，有)2
1()21
(f f =-，)1()1(f f =-，…，一般地，有)()(x f x f =-。 师：非常好，下面请大家再来研究函数x
x g 1)(=
，又有怎样的结论呢？ 生：当自变量x 取一对相反数时，y 亦取相反数．例如)21()21(f f -=-，)1()1(f f -=-，…，一般地，有
)()(x f x f -=-。
由此启发学生得出奇（偶）函数的定义．强调：①定义本身蕴含着函数的定义域必须是关于原点的对称区间；②“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个x ； ③判断函数奇偶性最基本的方法是先看定义域，再用定义检查)()(x f x f =-（或)()(x f x f -=-）。
（以下是例题巩固、数学应用的环节）
从上面几个案例不难看出当前概念教学的现状：
现状一：一个定义三项注意
案例1中令人感到遗憾的是，这节课的教学，从上课开始到给出定义，总共花了不到10分钟的时间，接着进行的就是运用函数奇偶性的概念进行解题的训练。对函数奇偶性这一概念建立的过程没能很好地展开，为什么要研究函数的奇偶性？函数的奇偶性的定义为什么要这样给出？…当前的数学课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项（例如强调“要注意，必须是‘任意’的”），然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学对学生把握和应用概念都产生了不利影响，学生没有基本把握概念内涵的时候就要求学生用概念解决问题，结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。
现状二：无视学生认知需求
案例2中学生通过对两个特殊函数的研究，抽象出函数奇偶性的概念，符合特殊到一般的认知规律。但是，为什么要研究函数的奇偶性？为什么要计算)1(f ，)1(-f ,…？为什么要用这样的方式给出函数奇偶性的定义？显然，教师在进行教学设计和教学实施时，只是站在教师教的角度，按照教师的主观意志组织活动，将教师的意图强加给学生，而无视学生的认知需求，其结果是忽视了构成概念的基础条件，留给学生更多的只是些文字的公式，所传授的概念距离学生的理解和经验太远，影响数学概念的掌握。
现状三：重视内涵忽视外延
概念只要将内涵按一定规律扩大或缩小便可形成一类概念，再根据这些概念的外延及相互关系，便可确定一个概念系统。但是概念教学中往往只重视概念的内涵而忽视概念的外延，结果导致外延被扩大或缩小。比如，学生把非本质属性包括到概念的内涵中，如此就会不合理地缩小了概念，消除这种错误的有效方法是多提供包括非本质特征的变式。当概念的内涵中包含的不是事物的本质而是其他特征时，如此就有可能不合理地扩大概念，消除这种错误的有效方法是提供具有本质特征的变式。
对上述概念教学现状的分析，事实上也是对现有高中数学概念教学模式的一种深刻反思，有效的数学概念教学，决不是以让学生学会概念为终极目标，而是让学生在参与数学活动的过程中生成和建构数学概念，更要让学生在知识和能力上获得全面的发展，从而促进数学素养的有效提升。如何创造一种更加适合高中学生的概念教学方式，如何提高概念教学的有效性，值得我们努力探究。
三、概念教学有效性的理性认识
1、课题研究的理论依据
一般来说，数学概念要经历感知、理解、巩固和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论。
（1）奥苏贝尔（当代美国的著名教育心里学家）概念学习理论：在奥苏贝尔的理论中，所谓概念亦即同类事物的共同关键特征，它是类与类，类与事物相区别的关键。而概念学习则是指学习者通过学习概念既掌握同类事物的关键特征，同时也区分概念的有关特征与无关特征，概念的肯定例证与否定例证。在奥苏贝尔的概念学习理论中，他将概念的习得分作了概念的形成与概念的同化两种形式，这两种形式也较深刻的揭示出了学生知识形成的过程。
（2）皮亚杰的建构理论：
皮亚杰的认识理论形成的四阶段：感知运动阶段、前运演阶段、具体运演阶段、形式运演阶段。这四个阶段在概念的形成过程中表现为：隐概念、前概念、初概念和逻辑数学概念。皮亚杰认为，发生认识的发展涉及到图式、同化、顺应和平衡四个方面。在涉及概念形成的条件时，皮亚杰认为,概念的形成正是基本知觉材料与超越知觉范围的逻辑数学结构的结合、因此知识是一种结构，然而离开了主体的建构活动，就不能有知识的产生。皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。
2、课题概念的界定
（1）数学概念
概念是反映对象的特有属性的思维形式。人们通过实践，从对象的许多属性中，抽出其特有属性概括而成。概念的形成，标志人的认识已从感性认识上升到理性认识。科学认识的成果，都是通过形成各种概念来总结和概括的。数学概念，是对客观事物或思想事物的数量关系、空间形式或结构形式的特征概括及其本质属性在人们头脑中的反映。一个数学概念通常用一个词（名称）或符号表示。
（2）数学概念教学
有关数学概念教学的定义很多。结合小学生的年龄特征，笔者认为是在一个具体的情境下，学生通过感知概念的表象等方式，进而理解概念的本质，初步建立新的知识结构的过程。重点指向的是学生学习概念内核，最后达成运用概念，巩固、拓展的环节。
（3）有效教学
从教学投入与教学产出的关系来看，有效教学是有效率的教学；是指在一定的教学投入内（时间、精力、努力）带来最好教学效果的教学；是指教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求。
从学生的学习出发点来看，有效教学就是促进学生有效学习，使学生学好；是指成功实现了教学目的――学生愿意学习和在教学后能够从事教学前所不能从事的学习的教学。
从“教学”的内涵来看，有效教学是教师教的活动即教学过程的有效性。从“有效”来看，它表现为教学有效果、有效率和有效益。有效果指学生的学习进步与发展；有效率指单位教学投入内所获得的产出高；有效益指教学目标与特定的社会与个人的教育需求相吻合。
3、数学概念教学的一般原则
（1）现实性原则——重视概念的引入
在教学中，既应注意从学生的生活经验出发，也应该注意从解决数学内部的运算问题出发来引入概念，引导他们抽象出相应的数学概念，才能使学生较好地掌握概念的实质。
（2）科学性原则——揭示概念内涵和外延
为准确、深刻地理解概念，教师在提供感性认识的基础上，必须作出辩证分析，用不同方法揭示不同概念的本质，这样，把握了概念的外延和内涵，也就能进一步掌握了概念的本质。
（3）比较性原则——注意概念之间的对比
有些概念是成对出现的（如正数与负数等）；有些概念是由概念的逆反关系派生出来的（如指数与对数等）等等。注意对相近、对立、衍生概念之间的比较，特别是通过反例来纠正学生在理解概念中的错误，有利于学生准确理解概念。
（4）应用性原则——加强概念的运用
高中数学的运算、推理、证明等都是以有关概念为依据的，在教学中，有时围绕着一个概念要配备多种练习题，让学生从多角度，多层次上去进行应用，在应用中达到切实掌握数学概念的目的。
四、概念教学有效性的策略研究
在概念的教学中如何引导学生自主建构，提高概念外化与内质抽象的思维质辨力度呢？为此，我们尝试在概念形成的不同阶段，选择运用不同的教学策略，付之实践检验。
策略1：创设情境，感知概念
概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。概念的引入是概念教学的关键，概念是抽象的、概括的，由具体到抽象是人类认识的规律，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，在概念教学中，可以根据概念和学生的认知特点，创设数学概念形成的问题情景，体会到数学概念引进的必要性和必然性，让学生有自己发现的感觉，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。
【案例1】“直线与平面垂直”的概念教学片断
问题情境：首先请学生们观察生活中的具体实例形成感性认识。给出以下实例：
（1）将书打开直立于桌面，观察书脊和各页面与桌面的交线，显然都是垂直的；
（2）在开门的过程中，观察门轴和门与地面的交线始终垂直的；
（3）日光下，观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，尽管随着时间的变化，影子的位置会移动，但旗杆始终与影子垂直。
点评：从以上三个生活实例感悟直线与平面垂直的形象，从而形成直线与平面垂直的感性认识。然后通过动手实验、自主探索上升为理性认识。
【案例2】“n次独立重复实验”的概念教学片断
问题情境设计：
用动画创设情境，丙丙和丁丁在公园里种了8棵树，假设每棵树的成活率都为0.75，请思考以下两个问题：(1)他们种的第一棵树的成活和第二棵树的成活相互之间有没有与影响？8棵树各自的成活与否相互之间有没有影响？（2）所种的每一棵树，可能出现哪些不同的结果？
进一步创设情境，对比分析，感知概念。
在下列试验中，与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有（）
①某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次。
②姚明罚球的命中率是0.9，他连罚3次。
③一枚硬币连续扔5次。（5枚硬币一起扔出）
④袋中5个白球，3个红球，有放回取球，每次取一个，连续3次。
⑤袋中5个白球，3个红球，无放回取球，每次取一个，连续3次。
点评：通过以上情境设置，学生思考，教师引导感知，形成概念。师生共同归纳得出现象的共同点：在同样条件下重复的进行的一种试验；各次试验之间相互独立，相互之间没有影响；每一次试验只有两种结果，即某事发生或不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的，揭示概念。
【感悟】教学时不要生硬地抛出概念，让学生死记硬背，应从实际出发，创设情景，提出问题，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。比如；我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮助学生理解；在讲数学归纳法的概念时，为了帮助学生更好的理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏。让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，以领悟数学思想方法的真谛，丰富学生的认知结构，应力求顺乎自然、水到渠成。
策略2：自主探索，生成概念
概念的生成过程教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程。因此，在教学中，恰当的进行教学设计，充分展示数学知识的形成过程，让学生弄清概念的来龙去脉，认识它的必要性和合理性，让学生在体验中自主探究，生成概念，概念在其生成的过程中逐渐明朗化，可以更好的帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。
【案例3】“抛物线及其标准方程”概念教学片段
第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。
师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：
问题1：若点),(y x P 坐标满足6)2()2(2222=+++-+y x y x ，则P 点的轨迹是 。
（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。）
生1：我利用平方化简，但还没有做出来。
师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。
生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，P 点轨迹是椭圆。
（学生纷纷表示生2的解法是正确的）
问题2：若点),(y x P 坐标满足6)2()2(2222=++--+y x y x ，则P 点的轨迹是 。
（学生认为是双曲线）
师：是双曲线吗？
生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）
问题3：若点),(y x P 坐标满足02)2(2
2=+--+y y x ，则P 点的轨迹是 。
生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。
师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。 （学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是8
2
x y =，初中已经学过。）第二步：剖析问题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。
师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？
生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。
师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？
生6：原方程即2)2(22+=-+y y x ，左边表示点),(y x P 到点)2,0(的距离，右边表示点),(y x P 到直线2-=y 的距离，等式表示两个距离相等。
第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。
师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。
生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹
……
点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。
【案例4】“函数零点存在条件”的教学片段
在对于函数零点概念的理解后，如何判断函数零点的存在条件是本节课的重点，以下是我的课堂实录：
师：问题2：函数)(x f 在区间()b a ,上有0)()(
众生：议论纷纷，很快就有人说“不一定”。
师：请举个例子。
生1：x
x f 1)(=，在区间()1,1-上有0)1()1(<-f f ，但是0)(=x f 在()1,1-上没有实数根。 师：大家都觉得这个例子很精彩。确实，举反例常常不是件容易的事。（即时评价）
师：问题3：函数)(x f 在区间()b a ,上有0)()(
师：（故意地）数了数“3个，5个，…”
图1 图2 图3 图4
生2：不一定是奇数个。（有学生听出我的话外音）
师：老师是说一定有奇数个吗？”
生2：到黑板上画出图3。
生4：老师我还有另外的图形（图4）。
师：我真没有想到你会想出这个点子来，还有吗？
众生:学生们认真思考，积极参与，又画出间断不连续的图象来。
师：问题4：函数)(x f 在区间()b a ,上有0)()(
（3）函数)(x f 在区间()b a ,上单调。
这就已经获得了函数零点存在条件：函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
点评：本节课的重点就是让学生通过函数图象，直观感受零点存在的条件。如何让学生寻找这个条件呢？当然不要直接把结论抛给学生，这就需要设计一个过程，设计“问题链”，“问题”会引起学生的思考，让学生对这些问题进行讨论，参与到寻找条件的过程中来。
【感悟】在教学中需要教师通过问题努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，问题可以把学生带入“愤”与“悱”的境地，帮助学生自主探究，理解数学概念的生成过程，数学法则的发展过程。事实上，在自主探究的过程中，蕴含着数学最基本的思想和方法，如归纳、类比、抽象等。
策略3：步步为营，理解概念
学生对数学概念的理性认识是否初步形成，首先反映在对该概念的定义是否理解。 学生认识事物的过程，总是从具体到抽象，从个别到一般，这也是人类认识事物的规律，因此，我们要遵照这一规律，通过问题串的设计，引导学生辨析，解剖概念，从而理解概念的内涵和外延。
【案例5】函数概念的理解
函数在高中数学中占有非常重要的地位，因此深刻理解函数概念显得尤为重要，在通过实例分析，讨论，归纳出函数定义后，我又设计了以下两个问题，学生思考。
问题1： (1) 1=y (x ∈R )是函数吗？ (2))0(≥±=x x y 是函数吗？ (3)x x y -+=13-是函数吗？
问题2：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B 到A 的函数吗？你能举出函数的实例吗？
点评：通过几个实例，引导学生利用定义判断给定的两个变量间是否具有函数关系？总结函数概念中的关键词，使学生更深刻理解函数的概念。
【案例6】函数周期的理解
函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，我设计了以下问题链，让学生讨论：
（1）函数a y =（a 为常数）是周期函数吗？a y =（2±≠a ）呢？a y =（2
1≠
a ）呢？ （2）函数[)+∞-∈=,2,sin πx x y 是周期函数吗？最小正周期是多少？
函数)(,sin πk x R x x y ≠∈=且呢？
（3）函数x y sin =，对R x ∈都有)()(21x f x f ≤，则21x x -的最小值是多少？
（4）作出函数[]ππ3,2,sin -∈=x x y 与)(sin R x x y ∈=的图像。
点评：通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的图像特征．在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，
【感悟】在概念形成后，如何让学生深入理解概念，在教学中，可以结合具体的事例诠释概念的内涵与外延。这里既可以设计“形似而神非”的个案来校正；也可以巧设“问题链”。在对“问题链”的辨析中，通过归纳、抽象、概括、提炼，循序渐进，步步紧逼，使学生的认识结构从“了解”上升到“理清并掌握”的层面，让学生经历着好奇、惊喜、迷惑、困顿，最后茅塞顿开，使学生体验一个‘自我否定’的过程，从而唤醒学生的悟性和灵感，以达到对数学概念真正的理解。
策略4：螺旋上升，内化概念
教师在平时教学中，要在挖掘新概念的内涵与外延的基础上，让学生理解并巩固概念。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。要通过概念间互相渗透，弄清概念间的内在联系和区别，通过概念间的灵活变通，培养学生灵活解决问题的能力。
【案例7】“曲线与方程”教学片断
在得出“曲线与方程”的关系后，如何进一步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这些概念的本质，进一步体验“数”与“形”的转化与结合的思想方法。为此，教学中使用下面的例子，设计问题启发学生思考，从正、反两方面认识一般
例1 下列哪条曲线是方程21y x -=的曲线？请说明理由。
例2 下列哪个方程是下图中曲线C （两条相交直线：第一、三象限的直角平分线，第二、四象限的直角平分线）的方程？请说明理由。
A ．0=-y x B.
0=+y x C. 02223=+--y xy x x D. 022=-y x
【感悟】一个概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要经过具体到抽象，局部到整体，感性到理性的过程。教学中设计一些反例，让学生通过正、反例的对比辨析、鉴别真伪，从不同角度来认识定义文字所隐含的内容，从而达到“有比较才能鉴别，有鉴别才能深化认识”的学习效果。类似例1、例2这样带有反例的问题，其内容与学生的知识基础很接近，但又容易形成认识上的误区，具有一些思维上的挑战性，可能会给学生留下较深刻的印象。它们具有单纯正例所起不到的独特作用，教学中对此应予以关注，这对核心概念和重要思想方法的教学尤为重要。
策略5：返璞归真，升华概念
任何一门艺术的最高境界就是“返朴归真”，张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”。这种“对数学本质的把握、揭示和体验”只有在应用中才能得到验证，在应用的同时使得概念学习得到“升华”，从而让学生的思维变得更开阔，更活跃，更富有活力。在对所学概念进行系统化的过程中，要重视从概念间的关系（如从属、合成、对应、对偶等）为基础构建相关概念系统。
【案例8】 “古典概型”习题课教学片断
问题：某信鸽训练场向甲、乙两林区放飞4只鸽子，则甲林区刚好有一只鸽子的概率是多少？
生1：甲乙两林区的鸽子数如右图，甲林区刚好有一只鸽子是五种情形中的一种，故所求概率为1/5。
（显然，该生错在对“等可能事件”的理解上，而且存在这种错误理解的可能不止少部分学生，鉴于此，我并没有立即评价，而是让学生继续考虑还有什么思路？略
停一分钟）
生2：每只鸽子有两种放飞途径，共有24＝16种放飞方式，而甲林区有一只鸽
子的方式只有4种。
故，所求概率为1/4！。（这时候学生发现两个结论不一致！）
针对以上两个结论，组织学生展开讨论：
师：上述两种思路，你能确定哪一种是错误的？
生齐答：第一种！
师：为什么错？
生：（无语）
师：那我们分别按方法2的思路研究其它四种情形发生的概率：
师生共同讨论产生下表：
这时学生恍然大悟：情形1 ～5不是等可能事件，当然概率不是1/5！
【感悟】以上过程让学生更深层地领会到等可能事件发生的意义，在应用中学生对“等可能事件”的认识升华。数学概念的教学如果仅仅停留在记忆的层面上肯定不够，还必须上升到抽象层面去理解应用，在应用中将抽象的定义转换为具体的形态，让学生领会数学概念才是数学解题的“灵魂”，引导学生感受和领悟隐含于概念形成中的思想方法，在概念的运用和推广中渗透数学思想方法，这才是概念生成的核心。
五、支撑与保障
数学概念教学过程中，教师该如何发挥作用，去积极引导学生感受概念引入的必要性与合理性，探索和研究概念发生和发展的过程，在概念的应用中深化对概念的认识和理解、体会概念的价值。
1、“高屋建瓴”地深入理解概念
长期以来，我们只重视如何使学生理解数学概念，而忽略了教师本人如何“高屋建瓴”地深入理解这些概念，许多教师还缺乏对基本概念的真正实质上的深入理解。没有教师自身概念知识广度和深度的研究，生成的过程教学就无从谈起。
2、“了如指掌”地熟悉学生学情
学生的已有知识，始于新知发生前，作为新知的起点，它决定了新知理解的角度、广度、深度以及态度，在理解的每时每刻，都参与其中，在教学设计时要重点考虑处理新旧概念间的矛盾。教学中，教师只有全面了解学生以往的学习经验的基础上，才能开展有针对性这样的预设，概念生成过程才是真实的、深入的。
3、“真真正正”地展开师生互动
教师与学生的互动，是概念课堂教学得以动态生成的形式要件。概念生成的课堂里，学生并不是知识的被动吸收者，而是积极主动的构建者，每个学生都以自己头脑已有的知识和经验为基础，用个人特有的思维方式构建对事物的理解、检验，不同的人看到不同的方面，各个层次的学生都有收获。
4、“扎扎实实”地展开探究活动
概念教学中，学生主动探究是是概念建立的一个重要环节，教师不仅要学生自主探究，更重要的是要让学生掌握自主探究地方法，“授之以渔，不如授之以鱼”，科学方法的掌握，科学思维的形成才能使学生终生受益，才能体现数学作为基础学科的应有作用。
六、成效与展望
（一）显著成效
在本课题运作的过程中，我们不断地进行课题分析，以便随时修正该课题、完善该课题。把课题落实到提高数学教学质量的实处。课题组经过一年的研究，发现学生在概念学习中提升了学习兴趣，提高了学习效率；教师树立了新的概念教学理念，在教学中有法可循、有事可做，并在实践中不断完善概念教学策略，以帮助学生有效地建构概念。
1、提高了课堂教学质量
概念教学中，强调重视过程教学，创造性的使用教材，巧妙的设置情境，让学生通过各种活动，通过探究与合作，得出结论，认识概念。因为上课形式改变，大大激活了学生学习的兴奋点，使学生的学习积极性得到释放，提高了概念学习的效果。
2、培养了学生数学素养
学生在学习科学的过程中体会数学的价值，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析和解决数学问题，把知识与生活实践紧密地结合，进行探索性、研究性的学习活动，真正提高了他们的数学素养。教学中，教师对教材及课堂环节进行了个性化处理，训练学生抓住事物本质思考问题，培养了学生健康的心理素质，同时也促进了学生对教学本质的深刻理解。
3．促进了教师业务水平
概念教学是否有效，教师就必须精心设计自己的课堂教学，认真进行教学行为的课前准备，课堂教学过程中如何创建师生互动的教学环境，鼓励学生积极参与概念教学活动等，课后及时进行教学反思，不断总结自己的教学得失。这就有力地促进了教师课堂教学方法技能的提高，促进了教师课堂教学的不断优化，教学效果也随之不断提高。
（二）展望
数学概念教学，不仅要让学生明白一些原理，更要让学生学会一种思维，一种对数学精神的领悟。成功的概念课，就如同一段美好的旋律，给人一种美好的体验，要让学生体会前辈的心路历程，探索先哲的数学思想，这才是数学教学的真谛，这才是数学育人功能的最好注释。
关于数学概念的教学，一直是教师们教学研究中的一个重要课题，可以说，对于不同定义方式揭示其本质属性的数学概念，其教学的“程序”也不一样，以上只是一种普遍策略，对有些概念的教学不一定适用。因此，在教学实践中，应不断加强教学研究，加强学术交流，不断提高数学概念教学的有效性，从而提高数学素质教育的质量。本项目的研究虽然暂告一个段落，但概念教学的探究之路依然还需要我们持之以恒地走下去，这个话题永远不老！
参考文献
1、《普通高中数学课程标准》（2004）．
2、刘淑珍．从皮亚杰的理论谈数学概念教学．沙洋师范高等专科学校学报，2003年第5期．
3、匡继昌．数学教学要重视基本概念的深入理解．数学通报，2008，9．
4、郑步春. 谈数学概念的特点、教学原则与方法
5、马伟开．让学生掌握数学概念的途径．数学通报，2009(2)