基于单摆平衡控制系统设计
摘要：本设计使用飞思卡尔最小系统MC9S12XS128为核心。采用精密线性角度传感器对每一时刻的单摆的摆角进行实时监测，然后将获取的信息反馈给最小系统MC9S12XS128。MC9S12XS128将读取到的信息进行分析处理，发出相应的指令对步进电机进行相应的控制。为了提高步进电机的角度细分精确度，所以采用步进电机细分驱动芯片TB6560AHQ，对最小系统输出的信号细分并且对其电流衰减，使得步进电机每进一步转过的角度细化到0.1°。经过测试平台的调节震动大大降低。
关键词：MC9S12XS128单片机；角度传感器；步进电机；信号细分器
ABSTRACT
This design using minimum system as the core MC9S12XS128 freescale. The Angle sensor precision linear to every moment of the pendulum swinging Angle for real-time monitoring, and then will get information feedback to the minimum MC9S12XS128 system. MC9S12XS128 will read to analyzing the information processing, sends out the corresponding instruction for step motor for the corresponding control. Because the original the step motor stepping Angle is bigger, so the stepping motor subdivision driver TB6560AHQ chip, the minimum system output signal and the current subdivision attenuation, and makes the stepping motor further refinement of every turn Angle to 0.1 °. Through the design, the adjustment of the vibration platform is reduced greatly.
目录
第1章绪论 (4)
1.1系统框架设计总方案 (4)
1.2系统组成模块方案 (6)
1.2.1电机模块 (6)
1.2.2控制器模块 (6)
1.2.3电机驱动方案 (7)
1.2.4电源模块 (7)
1.2.5角度传感器模块 (7)
第2章系统硬件单元的电路设计 (8)
2.1 控制器单元电路设计 (8)
2.2 电源单元电路设计 (10)
2.3 电机驱动电路设计 (10)
2.4角度传感器模块 (14)
第3章理论分析与计算 (16)
3.1建立模型与控制方法 (16)
3.2算法分析 (16)
3.3角度变化产生的误差： (17)
3.4测试结果与分析 (17)
第4章系统软件设计 (20)
4. 1 程序功能描述与设计思路 (20)
4. 1.1、程序功能描述 (20)
4.2主程序流程图 (20)
第5章软件开发工具、制作调试过程 (21)
5.1软件开发工具 (21)
5.2 PCB板制作 (21)
5.3元器件焊接 (22)
5.4电路的调试 (22)
5.5硬件结构组装 (22)
5.6软件系统编写调试 (22)
前言
一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义
1．国内外研究动态
自动平衡控制系统,主要特点是系统在垂直方向的角度分析了水平位移或为控制对象,使其控制在一定的范围内。在实际中所见到的重心在未来控制系统、保护是一种自平衡控制系统。本文提出的平衡控制系统有以下主要特点:与传统系统的平衡、负载运行状态和变化;负荷本身具有生理调节功能;系统不但保持静力平衡,保持动态平衡运动。这些特性最终决定了复杂的控制系统,系统的稳定性来解决考虑各种控制理论和控制方法,特别是应用先进的控制理论，自动平衡的研究成果是将为复杂的非线性和不确定性系统的稳定性控制提供一个技术支持，同时给于其它的研究有重要的参考作用，如两足行走机器人和火箭垂直度等自平衡控制系统。自动平衡的主要研究方向包括：系统力学分析和建模、控制理论和应用、控制技术和实施。可以从自动平衡小车运动的情况进行分析，在建立空间坐标系统，理论应用平衡状态，最终为系统模型的控制理论和控制方法有了很好的基础。状态反馈控制器是在平衡点附近对系统参数和模型的分析并计算证明是可控的，并运用线性控制理论和系统仿真得到的一组状态反馈数据的基础上设计的。应用参数模糊整定PID控制器解决自动平衡系统存在不确定性和非线性问题,通过对参数的自整定，当系统的运动状态变化时能自动跟踪改变，使得控制方法具有智能性,实验结果证明其有效性和合理性。与传统的以误差和误差变化率为输入的二维模糊控制器相比采用双回路模糊控制器，在实验结果证明下对系统大范围的控制跟更能反映自动平衡系统的控制特点。设计一个高效合理的电路对于控制系统来说显得尤为重要.在自平衡小车的硬件中，设计了部分独特的控制电路，为系统稳定、可靠地运行打下了一个良好的基础。对于所研究的控制方法,以系统输出误差目标函数为依据，计算和调整动态加权系数，作用于控制器的输出，最大限度地发挥它们的控制特点，最后完成对自平衡系统的有效和稳定的控制。还分别用C、VB和MATLAB语言编写了三种软件，这些软件的良好运行为完成对自平衡小车的控制提供了必不可少的分析和研究手段。
对于一个控制系统来说，稳定性是其重要特性，也是系统能够正常工作的首要条件。粗略地说，稳定性是指，由于扰动的作用使系统的工作状态发生变化，若经过一定的时间后能恢复到原来的平衡状态或其附近的容许邻域内，则称系统是稳定的；若随着时间的推移偏离原来的平衡状态愈来愈厉害，则称系统是不稳定的。不稳定的系统是没有什么工程价值的。
工业自动化控制技术是20世纪现代制造业领域的最重要的一个技术,重点解决了生产效率和一致性问题。尽管自动化系统本身并不直接创造效益,但它对企业生产过程具有显著的改善。工业控制自动化技术是一种运用控制理论、仪器仪表、计算机和其它信息技术，对工业生产过程实现检测、控制、优化、调度、管理和决策，达到增加产量、提高质量、降低消耗、确保安全等目的的综合性技术，主要包括工业自动化系统、软件和硬件三大部分。
单片机方面：中国使用单片机的历史只有短短的30年，在初始的短短五年时间里发展极为迅速。单片机是靠程序的，并且可以修改。通过不同的程序实现不同的功能，尤其特别的独特的一些功能,这是另一些设备需要费大量的时间去做的,有些是再怎么努力也很难做。一个不太复杂的功能如果用美国50年代期间开发的74系列,或60年代的CD4000系列这些纯硬件来解决的话,电路就会是一个很大的PCB板。但如果是用美国在70年代成功进入市场系列单片机,结果将是一个很大的区别。只因为单片机的通过你编写的程序可以实现高智能，高效率，以及高可靠性。之所以现在占据软件主导的还是最低级的汇编语言，是因为单片机对于成本的要求很严格，单片机不想硬盘那样有很大的存储空间，也没有家庭电脑那样的CPU，单片机只是二进制码以上的最低级语言。一个可视化高级语言编写的小程序里面即使只有一个按钮，也会达到几十K的尺寸。二十世纪跨越了三个“电”的时代，即电气时代、电子时代和电脑时代。有一类电脑是由显示器、主机、键盘、鼠标等器件等组成，这就是我们常指的个人计算机。还有一种我们都不是很懂的计算机，称为微控制器，就是把智能语言读写在机械的单片机上。通俗的讲，它的系统是一个集成电路，即可进行简单运算和控制，而且由于体积小可以都藏在被控机械里
面。它就像人类的大脑，如果大脑出了毛病则系统就瘫痪了。各种产品一旦用上了单片机，就能起到使产品升级换代的功效，常在产品名称前冠以形容词——“智能型”。现在，这种单片机的使用领域已十分广泛，如智能仪表、实时工控、通讯设备、导航系统、家用电器等等。如智能型热水器，智能型洗衣机等。现在有些工厂的技术人员或其它业余电子开发者搞出来的某些产品，不是电路太复杂，就是功能太简单且极易被仿制。究其原因，可能就出在产品未使用单片机或其它可编程逻辑器件上。
2.选题的依据和意义
（1）本课题的设计，可以训练我综合运用所学知识解决实际问题的的能力，可以提高我科研和工程实践技能水平。同时还可以提高我的运算、识图与制图、程序编写、实验与调试、计算机信息资料检索、文字表达和自我组织等能力。
（2）本课题的设计，可以培养我的独立思考和独立工作的能力，同时进一步巩固和扩展所学的专业知识面，使我在今后的工作中能够较熟练运用科学的方法，消化并运用新的科研成果和新技术。
（3）本课题的设计成品有较好的性能，可以在许多领域广泛使用。经过本课题的设计制作发现它在实际运用中的缺点和不足，在某种意义上说能促进这些领域的飞速发展。
第1章绪论
1.1系统框架设计总方案
本设计要求制作附着在自由摆上的平板控制系统，能够实现摆杆绕着转轴旋转时（小于等于60°）该平台能够保持稳定，而且还要使平台上面的硬币尽量不滑落。根据题意，确定了系统组成的基本框图如图1-1所示
图1-1系统组成基本框图
本系统是由控制器模块、电机模块、角度检测模块、显示模块、电源模块等组成。如图1-2是一个单摆示意图。假设外界附加一扰动使该系统单摆由原平衡点“a ”偏离到点“ b ”。当外力去掉后，摆在重力作用下，由点“ b ”回到点“ a ”，并由于惯性作用，继续向前摆动，直到到达点“ c ”。随后，在阻尼作用下，摆围绕“ a ”点作衰减振荡，直到所有能量耗尽，摆最终停留在原平衡点“ a ”。就平衡点“ a ”而言，在干扰作用下，摆发生了偏离，但扰动消失后，经过一定的时间，摆能恢复到原来的平衡点。这样的平衡点“ a ”称为稳定的平衡点。
如果让摆处于另一平衡点“ d ”，如图1-2（b ）所示。显然在扰动作用下，摆会离开平衡点“ d ”，这时，即使扰动消失，无论经过多长时间，摆也不会回到原平衡点“ d ”。这种平衡点称为不稳定平衡点。
单摆的这种稳定概念（即无论扰动产生的初始偏差多大，只要扰动消失，系统最终总能回到原平衡点），可以推广至线性系统。而对于用非线性微分方程描述的非线性系统，当扰动产生的初始偏差较小时，扰动消失后，系统可能能回到某一稳定的平衡点；但当扰动造成的初始偏差超过一定范围，即使扰动消失，无论经过多长时间，系统也未必能回到原来稳定的平衡点上。也就是说，线性系统的小范围稳定和大范围稳定是等价的；而非线性系统则不然。小范围稳定的非线性系统不一定大范围稳定。
1.2系统组成模块方案
1.2.1电机模块
电机模块的选择是整个系统的核心所在，按照设计的要求，电机需要对平板处在不同位置时进行相应角度的转动，这需要很高的精确度，并且平板需要很高的制动性。
方案一：采用普通直流电机。直流电机具有优良的调速特性,调速平滑、方便，调整范围广；对驱动芯片要求低，驱动简单而且工作稳定，但是直流电机的驱动电压与转速的关系受其负载影响很大，直流电机容易产生噪声，干扰电位器的电压采样，制精度上逊于步进电机。该设计不采用该方案。
方案二：采用步进电机。步进电机的一个显著特点就是具有快速启停能力。如果负载不超过步进电机所能提供的动态转矩值，就能够立即使步进电机启动或反转。另一个显著特点是转换精度高。正转反转控制灵活。相比直流电机的工作方式，步进电机是一种将电脉冲转化为角位移的执行机构。同时可以通过控制脉冲频率来控制电机转动的速度和加速度，从而达到调速的目的。我们根据题目的要求选用了两相混合式步进电机，两相步进角一般为1.8°，根据设计的要求，我们将信号细分和电流衰减，使其步进角达到了0.1°，能够更好的运用在此系统中。
1.2.2控制器模块
方案一：采用CPLD（如EPM7128LC84-15）作为核心运算控制器件。CPLD具有速度快、编程容易、资源丰富、开发周期短等优点，可利用VHDL语言进行编写开发。但CPLD在控制上较单片机有较大的劣势。而且开发成本比单片机高。此外，该方案具有较大的局限性，如检测部分就要占用可编程逻辑器件的大部分资源，造成资源的浪费，而这一些对于相对较低档次的单片机来说都是很容易就能实现的。为了节约资源，综合性价比，该设计不采用该方案。
方案二：系统采用TI公司所生产的MSO430F5438单片机为主控制芯片，有比较丰富的资源，多个8位并行口其中有两个中断功能，内部集成12位的ADC，强大的定时器，精密的比较器，大量的RAM和ROM，存储容量大的程序。MSP430F5438单片机的最小系统板可以满足大部分的系统要求，减小系统设计难度，提高系统测量精度，但我对此单片机不是很了解，所以不用此方案。
方案三：采用ATMEL公司的AT89C51。51系列单片机软件编程自由度大，可实现各种控制算法和逻辑控制，技术方面也相对成熟。价格便宜，应用广泛，但是89C51需外接模数转换器来满足数据采样的要求，硬件接口复杂，高速A/D与低速单片机之间速度的不匹配，给编程带来一定的难题，也浪费CPU资源。另外51 单片机需要仿真器来实现软硬件调试，较为烦琐。最重要的是其运算速度比较慢，可能无法适应该设计，所以该设计不采用该方案。
方案四：采用MC9S12XS128微控制器作为控制模块。MC9S12XS128系列产品满足了对设计灵活性和平台兼容性的需求，并在一系列电子平台上实现了可升级性、硬件和软件可重用性、以及兼容性。S12XS 系列可以经济而又兼容地扩展至带XGate 协处理器的S12XE 系列单片机，从而削减了成本，并缩小了封装。CPU最高总线速度40MHz ，具有64KB、128KB和256KB 闪存选项，均带有错误校正功能，带有ECC 的4KB 至8KB Data Flash，用于实现数据或程序存储，可配置8 、10或12位模
数转换器（ADC），转换时间3μs ，带有16-位计数器的、8-通道定时器，出色的EMC及运行和停止省电模式。
根据设计需要并结合我对MC9S12XS128微控制器的运用相对熟练，考虑性价比，同时，MC9S12XS128完全能够完成本次设计的要求，所以我们选择了该方案。
1.2.3电机驱动方案
方案一：采用双极性晶体管——D772、D882构成的电机驱动电路。该电路结构简单，容易制作，但其压降比较大，而且功耗也很大，而且该方案还不可以对其信号细分和电流衰减，达到减震的目的。所以本设计不采用该方案。
方案二：东芝公司的TB6560AHQ二项步进电机专用驱动芯片，与早期推出的TB6560HQ芯片相比，其性能有较高的提高，输出电流可达3.5A，采用该芯片的驱动板在电路上，结构上使用了可靠性设计，在普通散热方式的情况下可稳定的工作在3A电流。完全可以驱动本设计中的步进电机。同时该方案可以将信号细分和电流衰减，实现0.1°步距，使得平台控制十分平稳。所以，采用该方案。
1.2.4电源模块
方案一：采用稳压芯片LM7805提供电源，LM7805比较便宜并且比较稳定，单片机的电源由LM7805提供比较稳定。
方案二：采用集成多路输出电源，一个集成块能提供多个电路的电源，电压稳定。不过集成多路输出电源价格比较贵，再说互相之间有干扰。
1.2.5角度传感器模块
角度传感器在这个系统中也起到了举足轻重的作用，反馈给控制模块的信息的准确度直接影响到系统的精确性，以下我们提出了几种方案。
方案一：三轴传感器与WDY32Z-1角位移传感器结合。WDY32Z-1角位移传感器是根据转轴转动时输出端的电位会跟随着改变，单片机根据A/D转换后的信息对角度进行分析，灵敏度高。能够一定程度上弥补机械结构不稳定对三轴传感器数据采集的影响。但是两个角度传感器数据处理复杂，数据采集处理经常出现错误。所以本设计不采用该方案。
方案二：采用ADXL345三轴传感器，ADXL345非常适合移动设备应用。它可以在倾斜感测应用中测量静态重力加速度，还可以从运动或者振动中生成动态加速度。它的高分辨率（4mg/LSB）能够分辨仅为0.25°的倾角变化，但是由于本设计机械强度不够，影响三轴传感器采集到的数据的准确性。所以本设计不采用该方案。
方案三：采用WDY32Z-1角位移传感器。该传感器采集的数据稳定性很强，完全能够满足本设计的要求。
根据以上比较，综合低功耗、性价比，在本次设计上选用方案三。
第2章系统硬件单元的电路设计
2.1 控制器单元电路设计
MC9S12XS128单片机的性能和参数：MC9S12XS128是一款针对汽车电子市场的高性能16位单片机，具有速度快，成本低，功耗低等特点。特点：（1）总线速度高达40MHZ；（2）128KB程序Flash 和8KB Data Flash,用于实现程序和数据存储，均带有错误校正码(ECC);（3）可配置8位，10位或12位ADC，3μs 的转化时间；（4）内嵌MSCAN模式用于CAN节点应用，内嵌支持LIN协议的增强型SCI模块及SPI模块；（5）4通道16位计数器；（6）出色的低功耗特性，带有中断唤醒功能的10，实现唤醒休眠系统的功能；（7）8通道PWM，易于实现电机控制。
MC9S12XS128单片机系统原理如图2-1所示
图2-1的单片机最小系统原理图
1．晶振器
单片机正常工作的保证，如果振荡器不起振，系统将会不能工作；假如振荡器运行不规律，系统执行程序的时候将会出现时间上的误差，这在通信中会体现的很明显：电路将无法通信。它是由一个晶振和两个瓷片电容组成的，x1和x2分别接在单片机的XTAL1和XTAL2上，晶振和瓷片电容是没有正负的，要注意两个瓷片电容相连的那端一定要接地。
2．复位端与复位电路
复位电路图
给单片机一个复位信号（一个一定时间的低电平）使程序从头开始执行；一般有两个复位方式：上电复位，在系统一上电时利用电容两端的电压不能突变的原理给系统一个短时的低电平：手动复位，同时按钮接通低电平给系统复位，这时如果手按着一直不放，系统将一直复位，不能正常工作。这里用的电容是电解电容，是有正负的，如果接反了，它就会爆炸。
2.2 电源单元电路设计
LM7805构成电源电路，7805为3端正稳压电路，T0-220封装，能提供多种固定的输出电压，应用范围广。内含过流可达1A。虽说是固定稳压电路，但使用外接元件，可获得不同的电压和电流。7805的实物图如图2-2所示
图2-2 7805的实物
LM7805的电路图如图2-3所示
图2-3 LM7805的电路
C1和C2是输入端和输出端的滤波电容，并且如果当输出电流较大时，7805应配上散热器。
2.3 电机驱动电路设计
由TB6560AHQ构成的步进电机驱动，其中TB6560AHQ的芯片资料：TB6560AHQ是东芝公司主推的低功耗，高集成两相混合式步进电机驱动芯片，配合简单的电路即可开发高性能的驱动电路。
一、特性：
(1) 双全桥MOSFET驱动 (2) 耐压40V (3) 电流3.5A (峰值) (4) 具有整步、1/2细分、1/8细分、1/16细分运行方式可供选择 (5) 内置温度保护及过流保护 (7) 采用HZIP25封装外 (8) 外围电路简单
二、管脚说明
1.TQ2:电机力矩控制器，既可以选择工作电流，又可以在电机不转时作半流锁定功能
2.TQ1 ：
3.CLK:输入脉冲
4.ENABLE：使能端
5.RESET：上电复位
6.地线
7.OSC：斩波频率控制端：C=1000PF,f=44KHz;C=330PF，f=130KHz
8.VH：驱动电压小于40VDC
9.MB：电机绕组B相
10.地线
11.RB：B相电流检测端，须大于0.2Ω 0.2Ω/1w=2.5A 0.22Ω/1W=2.0A
0.3Ω/1W=1.5A 0.35Ω/1W=1.25A 0.47Ω/1W=1A
12、MB-：电机绕组B相
13、MA：电机绕组A相
14、RA：A相电流检测端，须大于0.2Ω 0.2Ω/1W=2.5A 0.22Ω/1W=2.0A
0.3Ω/1W=1.5A 0.35Ω/1W=1.25A 0.47Ω/1W=1A
15、地线
16、MA-：电机绕组A相
17、VH：驱动电压小于40VDC
18、TSD：温度保护，芯片温度大于150℃自动断开所有输出
19、VCC：5V稳压电源
20、DIR：正反转控制
21、M2：细分数选择端
23、PFD2：衰减方式控制端
三、TB6560AHQ的优势：
（1）支持各种步进电机选型：客户可选择力矩稍大的的混合式或永磁式步进电机，使电机工作在最大转矩的百分之30至50之间，电机成本几乎不变；芯片提供大电流设置和多档电流衰减模式，支持相同动力指标下各种不同参数的步进电机。
（2）电机振动小噪音低：由于TB6560AHQ芯片芯片自带16细分功能，能够满足每分钟从几十到近千转的应用要求，且自动产生纯正的正弦波控制电流，与其它高集成度芯片相比，在相同高转速下力矩不但不会下降，反而有所增加；由于TB6560AHQ芯片可承受峰值40V的驱动电压、峰值3.5A的电流，为电机在大力矩、高转速下持续运行提供了的技术保障。
（3）嵌入式驱动器体积小巧易散热：大电流驱动时，芯片的散热面便于外连散热器，也可以直接连接在用户原有控制器金属壳体上，嵌入式驱动器体积小巧、易于散热。
TB6560AHQ构成的步进电机驱动的实物图
基本功能
1、全双桥MOSFET驱动，耐压40V，驱动电流额定3A，峰值3.5A，内置温度保护及过流保护功能。
2、输出标准的三轴驱动，并有第四轴扩展接口，方便用户自由扩展第四轴。
3、配有15针手控接口，可以方便的连接手控手柄。
4、自动半流控制功能，在无驱动脉冲时电机半流锁定，可有效保护步进电机，节省电能，延长步进电机使用寿命。
5、四档细分设置：整步、1/2、1/8、1/16，三个拨码开关可分别设定三个轴的细分步数。
6、限位扩展接口，可以连接限位开关，在每个轴到达限位位置时自动急停，使您能放心使用而不必担心损坏雕刻机。
7、主轴控制接口，可控制主轴继电器的开合，从而控制主轴的启停。
8、单电源输入，只需输入一组12~40V供电电源就可工作，板上集成有5V电源转换电路。
特殊配置
1、电脑并口信号驱动能力弱，输出电平不稳定，且不同的主板输出的高电平电压也不统一。本驱
动板有74HC14芯片对并口信号整形，使输出电平统一并提高驱动能力，避免步进电机失步、不响应等情况的发生。
2 电脑并口和驱动电源之间有光耦隔离，防止驱动电源流入电脑损坏电脑主板、CPU、硬盘等。
3、黑色正品超大散热片，可有效解决主芯片的发热问题。
4、有极性电容除三个大容量的外，其余全部用钽电容，保证稳定的性能和使用寿命。
接口及其定义：
1、并口控制的25个脚定义如下：
PIN1： CKE E轴脉冲
PIN2： CKA A轴脉冲
PIN3： CWA A轴方向
PIN4： CKB B轴脉冲
PIN5： CWB B轴方向
PIN6： CKC C轴脉冲
PIN7： CWC C轴方向
PIN8：空
PIN9：空
PIN10： DIN1 限位1
PIN11： DIN2 限位2
PIN12： DIN3 限位3
PIN13： DIN4 限位4
PIN14： CWE E轴方向
PIN15：空
PIN16： EN 所有轴使能
PIN17： RLY 继电器控制
PIN18~25： GND 接地
2、手控1~PIN15定义如下
PIN1： CKA A轴脉冲
PIN2： CWA A轴方向
PIN3： CKB B脉冲
PIN4： CWB B方向
PIN5： CKC C轴脉冲
PIN6： CWC C轴方向
PIN7~8：空
PIN9： CKE E轴脉冲
PIN10： CWE E轴方向
PIN11： EN 使能
PIN12： MOTO 电机控制
PIN13： VCC 电源正
PIN14：空
PIN15： GND 地
3、步进电机驱动电源请接12~40V 10A以上，板上标有电源正负极。
4、第四轴扩展接口，从上到下定义为：EN、CW、CK、VCC、GND、主轴继电器控制、VCC。
5、限位接口定义：5脚插针靠近手控接口为1脚，远离分别为2~5脚。其中1脚为GND，2~5脚分
别对应并口的13、12、11、10。
细分设置：拨码开关的1/2： ON/ON 整步、 ON/OF 1/2、 OF/ON 1/16、 OF/OF 1/8。
衰减方式设置：
拨码开关的3/4： ON/ON 快衰减、ON/OFF 25%快衰减、OFF/ON 50%快衰减、OFF/OFF 慢衰减
2.4角度传感器模块
采用WDY32Z-1角位移传感器，角位移传感器的介绍。
角位移传感器原理：是位移传感器的一种型号，采用非接触式专利设计，与同步分析器和电位计等其它传统的角位移测量仪相比，有效地提高了长期可靠性。它的设计独特，在不使用诸如滑环、叶片、接触式游标、电刷等易磨损的活动部件的前提下仍可保证测量精度。
角位移传感器特点：该传感器采用特殊形状的转子和线绕线圈，模拟线性可变差动传感器（LVDT）的线性位移，有较高的可靠性和性能，转子轴的旋转运动产生线性输出信号，围绕出厂预置的零位移动±60（总共120）度。此输出信号的相位指示离开零位的位移方向。转子的非接触式电磁耦合使产品具有无限的分辨率，即绝对测量精度可达到零点几度。
主要技术参数：
1.旋转位移，工作温度范围大，自带信号调节
2.免接触型传感器，适应不良环境（振动、冲击、潮湿、盐雾等，出色的温度稳定性）
3.线性（100%行程）：0.25~0.5
4.多种范围、直流输出
其实物图如
其实物图如
液晶显示采用LCD1602来显示，LCD1602液晶也叫1602字符型液晶它是一种专门用来显示字母、数字、符号等的点阵型液晶模块它有若干个5X7或者5X11等点阵字符位组成，每个点阵字符位都可以显示一个字符。每位之间有一个点距的间隔每行之间也有间隔起到了字符间距和行间距的作用，正因为如此所以他不能显示图形。
其实物的管脚图
其实物的管脚图
第3章理论分析与计算
3.1建立模型与控制方法
为了能够让自由摆能够更好的进行摆动有利于数据的采集我们对自由摆的机械结构进行了数次改装。起先的结构如（图2）所示。该结构只有一个三轴传感器，安装在的转轴下方20cm处，转轴与固定支架之间由一个承轴作为接触点，将承轴用金属半弧扣固定在固定支架上。该结构有一个致命缺陷就是机械机构不够，对三轴传感器的数据采集有一定的影响。改装后的结构如（图3）所示。经过改装后的结构是由两个传感器组成，将三轴传we感器安装于平板的底部，在延长后的转轴后面增加了一个角位移传感器并将其固定在固定支架上，该结构改善效果并不是很明显，轴承的缘故强度依旧不够，影响到角位移传感器数据的采集，采集到的数据混乱。并没有做到预期的效果。之后，我们对结构进行了第二次改装，如（图4）所示。该结构去除了三轴传感器，将两个承轴安入凹槽中，用金属半弧扣将其固定在固定金属架上，用一条金属条贯穿其中作为转轴末端连接一个角位移传感器。经过改装后，经过改装后的结构达到了预期的效果。
（图3）（图4）
图3-1
3.2算法分析
由于该系统的运动过程比较复杂，难以建立准确的数学关系，所以主要采用的控制方法是模糊控制算法和PID控制算法。
对于基础部分，通过建立的模型可以计算出一个理论上期望的角度，但是为了精确稳定的控制，我们还需要实时性的知道平板的状态是否发生了改变，即它本身的角度是否发生了偏离，因此在平板附近
放置了角度传感器实时测量平板的偏离角度，将这个角度反馈给单片机，在将这个角度通过步进电机补偿给平板。但是实验表明这仍然很难达到稳定的状态，因此，我们还采用了模糊控制算法，在上面的基础上，通过多次实验，积累一定的经验，进一步对平板进行调整，从而达到稳定的目的。
对于发挥部分，首先，需要算出平板转动的角度和摆杆摆动的角度之间的关系，其等效模型图如图（d ）所示：
图（d ）运动过程等效模型图 由图可知，角度θ和线段C 是已知的，α是需要求出的角度。由几何关系可得出
以下几个等式：
11
=A=2Lsin 2
2
βθθ，（），然后，根据正弦定理有：
sin sin A B αβ
=
由此可以得出，
21
=α（）
同理可以计算出当摆杆摆向左边时，可计算出相应的角度，即
21
2=α（）
通过数学关系算出角度α后，再通过控制器进行相应的转换，就可以计算出步进电机所需的步进数，同基础部分一样，仍然实时测量平板的偏离角度，将这个角度反馈给单片机进行相应补偿，然后再通过实验，用模糊控制算法，进一步进行微调。
3.3角度变化产生的误差：
在实验过程当中，该设计可能会由于步进电机在告诉旋转的时候失步而产生较大的误差。同时，也会在不同角度的时候产生不同的误差。
3.4测试结果与分析
1． 测试步骤与结果：
1）．准备测试相关工具
2）．测试平板随摆杆的摆动而旋转，摆杆摆一个周期，平板转360度
基本二
分析：该距离还是准确的，比较符合要求。
基本三
分析：在+-45°的时候成功率比较高，但是随着角度的变大而减小。
对于分析出来的理论数据进行MATLAB仿真，发现在0°-35°左右，曲线的斜率很好，这个对于我们进行控制，写程序等提供了很大的帮助。
MATLAB仿真图，如图4.
平板状态测试方法：
用水平计进行测量，用传感器测量，用三角板等等。
2．结果分析：
1）．硬币滑落原因分析
分两种情况，向平板前滑落和平板后滑落，其中，向平板前滑落有两个原因，一是初始状态步进电机的转角过大；二是步进电机在摆杆启动后，回转时间延时过长。向平板后滑落也有两个原因，一是初始状态步进电机转角太小；二是步进电机在摆杆启动后，回转时间延时太短。
2）．偏差产生原因
偏差的产生也有两方面的原因，一是硬件方面的原因，步进电机的最小步距角为0.1度，而步进电机本身容易抖动，这个抖动带来的平均偏差就是2cm；同时，电位器的线性度不足，导致步进电机的步进数会有误差。
第4章系统软件设计
4. 1 程序功能描述与设计思路
4. 1.1、程序功能描述
根据题目要求软件部分主要实现角度传感器的信号的读取，以及对应角度传感器的电机的转角的合算。
1）电位器角度传感器的功能：把摆杠变化的角度转换为电压值送给单片机。
2）电机转角的功能：根据摆杠的变化打出对应的角度从而不让硬币掉下来。
4.1.2、程序设计思路
1）电位器角度传感器的信号读取，是比较简单的只要通过读取对应的电压值就行。
2）电机转角可以利用PI算法，角度传感器读进来的值经过换算，转换为PWM波从而控制电机转动。
4.2主程序流程图
一、实验目的 1．研究不同起始摆角单摆的受力情况 2．研究大角度下阻尼对单摆摆动周期的影响 二、实验原理 1，绳的张力 如图１，从小球受力分析中可知, 小球受两个力的作用:重力mg 和绳的拉力T。设单摆初始释放角度为θ０，摆动过程中某一角度为θ．根据牛顿第二定律，可知: （１） 由机械能守恒关系得： （２） 式中ｈ０为初始摆角θ０时摆球离最 低点高度，ｈ为摆角θ处的高度，又: 图（一）ｈ＝Ｌ（１－ｃｏｓθ） ｈ０＝Ｌ（１－ｃｏｓθ０） 代入式（２）可得: （3） 联立式（１）可得 Ｔ＝ｍｇｃｏｓθ＋２ｍｇ（ｃｏｓθ－ｃｏｓθ０） ＝ｍｇ（３ｃｏｓθ－２ｃｏｓθ０）（4）
当θ＝θ０，即单摆位于最高点时，由式（4）知 Ｔ０最小＝ｍｇｃｏｓθ０，此时绳中张力最小。 当θ＝０，即单摆位于最低点时，由式（4）知 Ｔ０最大＝ｍｇ（３－２ｃｏｓθ０），此时绳中张力最大。 单摆绳中张力与绳子长度Ｌ无关，无论摆球的初始角度如何， 张力表达式都相同。ma= - mg sinθ 即, 2，大角度下阻尼对单摆张力的影响 在大角度情况下摆动周期做，会引起了多次摆动后阻尼累积带来的影响。在多次摆动中，可以把第一次摆动近似为无阻尼摆动。此后单摆的摆动角度会逐渐减小，摆动情况会接近越来越接近小角度。由于数学推导多次摆动后的单摆所受的张力较难。可通过拉力传感器直接测量、观察。 三、实验装置 1，铁架台，绳子，摆球，力传感器
四、实验步骤 1，按实验装置图连接实验装置，调节铜管口方向，和拉力传感器的位置，使静止时单摆线成一直线。 2，测量用螺旋测微计小球直径，用米尺测量摆长，用力传感器测量小球重力。 3，打开力传感器，把摆球拉高到一定角度，静止释放小球，记录力传感器受到的拉力。比较测量值与理论值的误差。画出 θ０—T最高图及θ０—T最低图。 4，把摆球拉高到不同的角度，重复步骤2.比较不同角度下落的摆球对力传感器的拉力大小。观察多次摆动后单摆受力的改变 五、数据处理 1，把第一次摆动当作是无阻尼摆动，测量不同起始摆角条件下第一
西安交通大学物理仿真实 验报告 ——利用单摆测重力加速度 班级： 姓名： 学号：
西安交通大学模拟仿真实验实验报告 实验日期：2014年6月1日老师签字：＿＿＿＿＿ 同组者：无审批日期：＿＿＿＿＿ 实验名称：利用单摆测量重力加速度仿真实验 一、实验简介 单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。 二、实验原理 用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。而在实际情况下，一根不可伸长的细线，下端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置近似为单摆。单摆带动是满足下列公式： 进而可以推出：
式中L为单摆长度（单摆长度是指上端悬挂点到球重心之间的距离）；g 为重力加速度。如果测量得出周期T、单摆长度L，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g。 三、实验内容 1.用误差均分原理设计单摆装置,测量重力加速度g. 设计要求: (1) 根据误差均分原理,自行设计试验方案,合理选择测量仪器和方法. (2) 写出详细的推导过程,试验步骤. (3) 用自制的单摆装置测量重力加速度g,测量精度要求△g/g<1%. 可提供的器材及参数: 游标卡尺,米尺,千分尺,电子秒表,支架,细线(尼龙线),钢球,摆幅测量标尺(提供硬白纸板自制),天平(公用). 假设摆长l≈70.00cm;摆球直径D≈2.00cm;摆动周期T≈1.700s; 米尺精度△米≈0.05cm;卡尺精度△卡≈0.002cm;千分尺精度△千≈0.001cm;秒表精度△秒≈0.01s;根据统计分析,实验人员开或停秒表反应时间为0.1s左右,所以实验人员开,停秒表总的反应时间近似为△人≈0.2s.
Matlab仿真技术作品报告 题目:MATLAB在单摆实验中的应用 系（院）： 专业： 班级： 学号： 姓名： 指导教师： 学年学期:2012~2013 学年第 1 学期 2012年11月18日
设计任务书 摘要 借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 关键词单摆模型；周期；MATLAB；
目录 一、问题的提出 (2) 二、方法概述 (2) 2.1问题描述 (2) 2.2算法基础 (3) 2.2.1单摆运动周期 (3) 2.2.2单摆做简谐运动的条件 (4) 三、基于MAT LAB的问题求解 (5) 3.1单摆大摆角的周期精确解 (5) 3.2、单摆仿真（动画） (7) 3.3单摆仿真整个界面如下： (10) 四、结论 (12) 五、课程体会 (12) 参考文献 (13)
一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想： 1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用； 2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟； 3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。 鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角
第四节 单摆 【课堂反馈】 1．关于单摆做简谐运动的回复力，以下说法正确的是（ ） A.等于线的拉力 B.等于球的重力 C.等于线的拉力与球的重力的合力 D.等于重力沿圆弧切线方向的分力 2． 振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合外力的说法正确的是（ ） A.回复力为零，合外力不为零，方向指向悬点 B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C.合外力不为零，方向沿轨迹的切线 D.回复力为零，合外力也为零 3． 发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（ ） A.增大摆球的质量 B.缩短摆长 C.减小单摆的振幅 D.将单摆由山下移到山顶 4．两个质量相等的弹性小球,分别挂在两根不可伸长的细绳上,两绳相互平行,重心在同一水平线上且相互接触,如图所示,第一球的摆长为L,第二球的摆长为4L.现将第一球拉开一个很小的角度后释放并同时计时,在第一球摆动周期的2倍时间内,两球的碰撞次数为 ( ) A ．2次 B ．3次 C ．4次 D ．5次 5． 制作一个单摆，合理的做法是（ ） A.摆线细而不太短 B.摆球小而不太重 C.摆球外表面光滑且密度大 D.端点固定且不松动 6．已知在单摆a 完成10次全振动的时间内,单摆b 完成6次全振动,两摆长之差为1.6m,则两单摆摆长l a 与l b 分别为 A ．l a =2.5m,l b =0.9m B ．l a =0.9m,l b =2.5m C ．l a =2.4m,l b =4.0m D ．l a =4,0m,l b =2.4m 【巩固练习】 1．单摆的摆球做简谐运动,经过平衡位置时正好遇到空中飘落下的速度可忽略的雨滴,雨滴附着在摆球表面,则摆球在振动中有关物理量的变化情况是( ) A .最大速度不变,振动不变,周期不变 B .最大速度不变,振幅变小,周期变小 C .最大速度变大,振幅变小,周期不变 D .最大速度变小,振幅变小,周期不变 2．摆长为L 的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t =0），当振动至 g L t 23π= 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（ ） 3．同一地点的甲、乙两单摆的振动图象如图所示,下列说法中正确的是( ) A .甲、乙两单摆的摆长相等 B .甲单摆的机械能比乙摆小 C .两摆球先后经过平衡位置的时间间隔为2 T D .两摆球先后经过平衡位置的时间间隔为 4 T 4．一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的4 1，在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际是： A.h 41 B.h 2 1 C.h 2 D.h 4 5．倾角为θ的光滑斜面上固定一摆长为L 的单摆如下图所示，它做简谐运动的周期为多少？ 6．如图所示，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球的直径为d ，绳l 2、l 3与天花板的夹角α＝300，则 （1）若小球在纸面内作小角度的左右摆动，周期T 1为多少？ （2）若小球做垂直于纸面内的小角度摆动，则周期T 2又为多少？ 7．如图所示，某单摆摆长为l ，摆球质量为m .现将摆球拉至右侧M 点由静止释放，使其在竖 直面内做简谐运动，振幅为A ，最大偏角为.θ若从释放时开始计时 ① 单摆振动过程中，系统机械能为mg A ②单摆振动过程中，摆线的拉力始终大于重力 ② ③经过g l n t π)21 (+=，摆球回到最低点（3,2,1,0=n ……）④在最低点，摆球加速度第2题 第3题 第6题 第5题 第4题
探究单摆的物理原理教案 【教学目标】 （一）知识与技能 1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。 2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4、知道用单摆可测定重力加速度。 （二）过程与方法 1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。 2、通过单摆做简谐运动条件的教学，体会用近似处理方法来解决物理问题。 3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。 （三）情感、态度与价值观 1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系； 2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。 3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。 【教学重点】 1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件； 2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 【教学难点】 1、单摆振动回复力的分析； 2、与单摆振动周期有关的因素。 【教学方法】 分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】 单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI 课件。 【教学过程】 (第一课时)单摆的回复力 （一）引入新课 教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。 在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例——单摆。 （二）进行新课 1．单摆 （1）什么是单摆 秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢 （出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆） ①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆； ②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆； ③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆； ④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆； ⑤第五种摆是单摆。 定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。 绳绕在杆上
大学物理仿真实验 实验报告 拉伸法钢丝测杨氏模量 实验名称：拉伸法测金属丝的杨氏模量
一、实验目的 1、学会测量杨氏模量的一种方法； 2、掌握光杠杆放大法测量微小长度的原理； 3、学会用逐差法处理数据； 二、实验原理 任何物体（或材料）在外力作用下都会发生形变。当形变不超过某一限度时，撤走外力则形变随之消失，为一可逆过程，这种形变称为弹性形变，这一极限称为弹性极限。超过弹性极限，就会产生永久形变（亦称塑性形变），即撤去外力后形变仍然存在，为不可逆过程。当外力进一步增大到某一点时，会突然发生很大的形变，该点称为屈服点，在达到屈服点后不久，材料可能发生断裂，在断裂点被拉断。人们在研究材料的弹性性质时，希望有这样一些物理量，它们与试样的尺寸、形状和外加的力无关。于是提出了应力F/S（即力与力所作用的面积之比）和应变ΔL/L（即长度或尺寸的变化与原来的长度或尺寸之比）之比的概念。在胡克定律成立的范围内，应力和应变之比是一个常数，即 / ) /( =/ / (（1） ? ) FL = S L L L E? F S E被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅与材料的结构、化学成分及其加工制造方法有关。某种材料发生一定应变所需要的力大，该材料的杨氏模量也就大。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。
通过式（1），在样品截面积S 上的作用应力为F ，测量引起的相对伸长量ΔL/L ，即可计算出材料的杨氏模量E 。因一般伸长量ΔL 很小，故常采用光学放大法，将其放大，如用光杠杆测量ΔL 。光杠杆是一个带有可旋转的平面镜的支架，平面镜的镜面与三个足尖决定的平面垂直，其后足即杠杆的支脚与被测物接触，见图1。当杠杆支脚随被测物上升或下降微小距离ΔL 时，镜面法线转过一个θ角，而入射到望远镜的光线转过2θ角，如图2所示。当θ很小时， l L /tan ?=≈θθ （2） 式中l 为支脚尖到刀口的垂直距离（也叫光杠杆的臂长）。根据光的反射定律，反射角和入射角相等，故当镜面转动θ角时，反射光线转动2θ角，由图可 D b =≈θθ22tan （3） 式中D 为镜面到标尺的距离，b 为从望远镜中观察到的标尺移动的距离。 从（2）和（3）两式得到 D b l L 2=? （4） 由此得 D bl L 2=? （5）
高中物理-单摆教案 【教学目标】 一、知识与技能 1．知道单摆是一种理想化模型和做简谐运动的条件 2. 知道单摆做简谐运动时回复力的特点和表达式 3．知道单摆(偏角θ较小时)的周期与振幅、摆球质量、摆长和当地重力加速度g的关系。 二、过程与方法 1．知道测量单摆周期的方法,会用单摆测定重力加速度 2．通过探究过程体会猜想、设计实验、分析论证、评估等科学探究要素; 3．通过制定探究方案体会“控制变量”的研究方法。 三、情感、态度和价值观 1．通过实验,领悟实事求是的理念,并在探究活动中培养合作精神。 2．通过动手合作调动学生的学习主动性,培养他们的探究意识,激发他们的学习热情,体会研究的乐趣。 【重点、难点、疑点】 1.重点:单摆的振动规律和周期公式。 2.难点:单摆回复力的分析。 3.疑点:怎样确定单摆的振动周期与哪些因素有关,以及具体关系。 【教具准备】 摆球、铁架台、细线、支架、盛砂漏斗、硬纸板、砂、计算机、投影仪等 【教学过程】 一、复习引入新课 在前面我们学习了弹簧振子,知道弹簧振子做简谐运动。 那么：怎么判断物体的运动是否是简谐运动 答：有两种方法：方法一：位移时间图像为正弦 函数 方法二：物体在跟位移大小成正比、并且总是指 向平衡位置的回复力作用下的振动F =-kx 在生活中有很多种机械振动。比如建筑物挂钟的 振动、房顶吊灯的摆动、秋千的运动、座钟的钟 摆的摆动。这些运动都是摆动。我们对实际生活 中的摆进行理想化处理,忽略次要因素、突出主 要因素,这样所构建的模型称之为单摆。
二、新课教学 （一）单摆 问题：以上这些运动有什么共同点？ 物理中常抽象出一种模型 1、单摆概念：细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果 细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也 可以忽略,这样的装置就叫做单摆。 ①摆线质量m 远小于摆球质量 M,即m << M ②摆球的直径 d 远小于单摆的摆长Ｌ,即 d <<Ｌ。③摆球所受空气阻力远小 于摆球重力及绳的拉力,可忽略不计。④摆线的伸长量很小, 可以忽略。 2、摆长：悬点到摆球重心的距离。摆长 L=L0+R （二）单摆的运动 问题1：运动的平衡位置在哪里 细线竖直下垂,摆球所受重力G和悬线的拉力F平衡,O点就是摆球的平衡位置。问题２：摆球的受力情况小球收到的力有重力、拉力 问题3:小球的运动情况分析以点Ｏ为平衡位置的振动 以悬点Ｏ’为圆心的圆周运动 问题4：力与运动的关系 回复力大小：向心力大小： O` O θ sin mg F= 回 θ cos mg N F- = 向
单摆周期公式的推导与特殊应用 新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修）》，在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力F 与其位移x 大小成正比，方向与位移x 的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。 一．简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F -=，其中k 是比例系数。对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有： kx ma F -==，即x m k a - = 因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。因为x （或F ）是变 量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k 写成2 ω得到 x dt x d 2 2 2ω-=。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(?ω+=t A x 。这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为T m k π ω2= = ，从而得到作简谐运动物体的周期为k m T π 2=。 二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P 时，重力G 沿着圆弧 切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很 小﹝如θ＜0 10﹞时，l x ≈ ≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x l mg F - =，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数， 所以l mg 可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F -=。因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回 复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把l mg k =代入到简谐运动物体 B G G 图 1
实验:用单摆测定重力加速度 教案 实验目的：学会用单摆测定当地重力加速度，正确熟练使用秒表。 实验器材：①球心开有小孔的小金属球②长度大于1米的细尼龙线③铁夹④铁架台⑤游标卡尺⑥米尺⑦秒表 实验原理：根据单摆周期公式T=2πg l /，得：g=224T l 。据此，只要测得摆长l 和周期T 即可算出当地的重力加速度g 。 实验步骤 1、用细线拴好小球，悬挂在铁架台上，使摆线自由下垂，如图1。 注意：线要细且不易伸长，球要用密度大且直径小的金属球，以减小空气阻力影响。 摆线上端的悬点要固定不变，以防摆长改变。 2、用米尺和游标卡尺测出单摆摆长。 注意：摆长应为悬点到球心的距离，即l=L+D/2；其中L 为悬点到球面的摆线长，D 为球的直径。 3、用秒表测出摆球摆动30次的时间t ，算出周期T 。 注意：为减小记时误差，采用倒数计数法，即当摆球经过平衡位置时开始计数，“3，2，1，0，1，2，3……”数“0”时开始计时，数到“60”停止计时，则摆球全振动30次，T=t/30。 计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度最大，人在判定它经过此位置的时刻，产生的计时误差较小。 为减小系统误差，摆角a 应不大于10°，这可以用量角器粗测。 4、重复上述步骤，将每次对应的摆长l 、周期T 填于表中，按公式T=2πg l /算出每 次g ，然后求平均值。 [实验记录] 图1
注意：（1）为减小计算误差，不应先算T的平均值再求g，而应先求出每次的g值再平均。 （2）实验过程中： ①易混淆的是：摆通过平衡位置的次数与全振动的次数。 ②易错的是：图象法求g值，g≠k而是g=4π2/k；T=t/n和T=t/（n-1）也经常错用，（前者是摆经平衡位置数“0”开始计时，后者是数“1”开始计时）。 ③易忘的是：漏加或多加小球半径，悬点未固定；忘了多测几次，g取平均值。 实验结论 从表中计算的g看，与查得的当地标准g值近似相等，其有效数字至少3位。 实验变通 变通（1）：变器材，用教学楼阳台代替铁架台，用数米长的尼龙细线拴好的小挂锁代替摆球，用米尺只测量摆线的一段长度，用秒表测量周期T仍能测量当地重力加速度，其简要方法如下：如下图所示，设阳台上的悬点为O，挂锁的重心为O′在摆长上离挂锁附近作一红色标记M，用米尺量OM=L1，而MO′=L2，不必测量，则： T12=4π2（L1+L2）/g……①在悬点处放松（或收起）一段线，再量OM=L2，MO′=L0不变，则T2=4π2（L2+L0）/g……② 由①②式得：g=4π2（L2+L1）/（T12-T22）（其中T1、T2测量方法同上述方法） 此实验也可以用T2-l图象法去求。 变通（2）：变器材，变对象，在地球表面借助电视机，依据周期公式，用机械手表测月球表面自由落体的加速度g月。 有一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况，他发现在登月密封舱内悬挂着一个重物在那里微微摆动，其悬绳长跟宇航员的身高相仿，于是他看了看自己的手表，记下了一段时间t内重物经最低点的次数，就算出了g月，已知他记下重物由第一次经最低点开始计时数到n=30次的时间t为1分12.5秒，并估计绳长l约等于宇航员身高l。 l/计算出了g月。 由T=t/[（n-1）/2]和T=2πg
1、如图所示，用绝缘细线悬挂着的带正电小球在匀强磁场中作简谐运动，则[ ] A.当小球每次经过平衡位置时，动能相同 B.当小球每次经过平衡位置时，动量相同 C.当小球每次经过平衡位置时，细线受到的拉力相同 D.撤消磁场后，小球摆动的周期不变 2、如图所示，一单摆摆长为L，摆球质量为m，悬挂于O点。现将小球拉至P点，然后释放，使小球做简谐运动，小球偏离竖直方向的最大角度为θ。己知重力加速度为g。在小球由P点运动到最低点P′的过程中 （） A．小球所受拉力的冲量为0 B．小球所受重力的冲量为 C．小球所受合力的冲量为 D．小球所受合力的冲量为 3、单摆在地球上的周期等于T，现将它移到月球上，已知地球的半径为R1，质量为M1，月球的半径为R2，质量为M2，则该单摆在月球上的周期等于 A．B． C． D． 4、已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为l.6m．则两单摆摆长 l a与l b分别为 A． B．C． D． 5、右图所示的MON是曲率半径很大的圆弧形轨道，所对的圆心角很小，O是轨道的最低点，M、N两点等高。连接OM的一段直线轨道顶端的M点有一块小滑块从静止开始沿着直线轨道下滑；同时，从N点也有一块小滑块从静止开始沿着圆弧轨道下滑。如果不计一切摩擦，则： A.两个滑块可能在O点相遇 B.两个滑块一定在O点左方相遇 C.两个滑块一定在O点右方相遇 D.以上三种情况均有可能 6、一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4，在地球上走得很准的摆钟搬到行星上后，此钟的分针走一圈所经历的时间实际上是（） A．1/4h B．1/2h C．2h D．4h 7、通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆，下述说法中正确的是( ) A.秒摆摆长缩短为原来的四分之一时，频率变为1Hz B.秒摆的摆球质量减少到原来的四分之一时，周期变为4s C.秒摆的振幅减为原来的四分之一，周期变为1s D.若重力加速度减为原来的四分之一，频率变为0.25Hz 8、A、B两个单摆，在同一地点A全振动N8、1次的时间内B恰好全振动N2次，那么A、B摆长之比为( ) A. B. C. D. 9、如下图所示，AC为一段很短的光滑圆弧轨道，其所对圆心角小于5°，D为AC上的一点，现将同一小球先后从C、D两点由静止释放，到达A点的速度分别为υ1、υ2，所用时间为t1、t2，则应有( ) A.υ1＞υ2，t1＞t2 B.υ1=υ2,t1=t2 C.υ1＞υ2,t1=t2 D.υ1＞υ2,t1＜t2 10、如下图所示，光滑球面半径为R，将A、B两小球置于球面上，它们距球面最低点O的距离都很近，且B球离得更近，均远远小于R.C球处于球面的球心处.三球的质量mA=2mB=4mC,而三球均可视为质点，不计空气阻力，将三球同时由静止释放，则( ) A.B球比A球先到达O点 B.B球比C球先到达O点 C.A球比C球先到达O点 D.A球与B球同时到达O点 11、如下图所示，两个相同的弹性小球，分别挂在不能伸长的细绳上，两绳互相平行，两球在同一水平线上且互相接触，第二球的摆长是第一球摆长的4倍，现将第一球拉开一个很小的角度后释放，在第一球摆动周期的两倍的时间内，两球碰撞次数为( ) A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 12、一单摆在地球上做简谐运动时，每分钟振动N次.现把它放在月球上，则该单摆在月球上做简谐运动时，每分钟振动的次数为( ).(设地球半径为R1，质量为M1；月球半径为R2，质量为M2.) A. B. C. D. 13、如图所示，若单摆的摆长不变，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，
单摆 同学们：前面几节课，我们与弹簧振子为载体详细研究了简谐运动的运动特征和简谐运动的图像。在众多的机械振动中是不是只有弹簧振子的运动是简谐运动呢？当然不是。今天我们再来研究加一个典型的简谐运动――单摆。 （板书课题：四、单摆） 我们先来看看摆动：（演示多媒体课件）其实摆动还是比较复杂的，我们先研究最简单的摆动――单摆。 什么是单摆呢？ （板书：一、单摆的构成） 一根没有质量的细线，下挂一个质点构成理想的单摆――理想化物理模型 实际中是一根质量、伸缩可以忽略不计的细线下挂一个密度较大的金属小球构成单摆。通常，如果线很细，伸缩和质量可忽略，球直径比线长短的多，这样的装置就叫做单摆。 单摆的运动特征是来回往复运动，一定有一个回复力，那么单摆的回复力是什么力提供？回复力有何特征呢？ （板书：二、单摆的回复力） 边演示多媒体课件，边分析单摆的回复力得出：（板书）θsin mg F ＝回 （板书）小角度摆动时： ι ιθθθx s tg ≈≈≈弧度）＝(sin 所以单摆在较小偏角摆动时： x mg F ι ＝－ 回，对照简谐运动的回复力 特征得：
（板书：三、单摆在较小偏角摆动时是简谐运动） 关于单摆在小角度摆动是简谐运动，还可以从单摆振动图像中得到证实。（演示多媒体课件：砂摆动运动描绘振动图像） 既然单摆是简谐运动，那么它应该有简谐运动的特征量：周期T ，频率f ，振幅A 等。 我们研究一下单摆的周期 （板书：四、单摆的周期） （演示多媒体课件比较研究单摆周期与振幅A 、质量m 、摆长L 、重力加速度g 的关系。） 首先定性研究一下单摆的周期与哪些因素有关。测量摆长约为1m 的单摆，在两个不同振幅下的周期。 怎样测才能误差小呢？ 答：测多次，而后取其平均值。为了节省时间，我只测10个全振动时间 保证小角度情况下，改变幅度，读表从平衡位置计时。 结果：单摆周期与振幅无关。 ⑴单摆周期与振幅无关（单摆的等时性） 下面我们再做实验看周期T 与摆球质量之间系。如图,m 1 ——利用单摆测重力加速度 班级： 姓名： 学号： 西安交通大学模拟仿真实验实验报告 实验日期：2014年6月1日 老师签字：＿＿＿＿＿ 同组者：无 审批日期：＿＿＿＿＿ 实验名称：利用单摆测量重力加速度仿真实验 一、实验简介 单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。 二、实验原理 用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面内作周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。而在实际情况下，一根不可伸长的细线，下端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置近似为单摆。单摆带动是满足下列公式： 进而可以推出： 式中L 为单摆长度（单摆长度是指上端悬挂点到球重心之间的距离）；g 为重力加速度。如果测量得出周期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。 西安交通大学物理仿真实验报告 三、实验内容 1. 用误差均分原理设计单摆装置,测量重力加速度g. 设计要求: (1)根据误差均分原理,自行设计试验方案,合理选择测量仪器和方法. (2)写出详细的推导过程,试验步骤. (3)用自制的单摆装置测量重力加速度g,测量精度要求△g/g < 1%. 可提供的器材及参数: 游标卡尺,米尺,千分尺,电子秒表,支架,细线(尼龙线),钢球,摆幅测量标尺(提供硬白纸板自制),天平(公用). 假设摆长l≈70.00cm;摆球直径D≈2.00cm;摆动周期T≈1.700s; 米尺精度△ 米≈0.05cm;卡尺精度△ 卡 ≈0.002cm;千分尺精度△ 千 ≈0.001cm; 秒表精度△ 秒 ≈0.01s;根据统计分析,实验人员开或停秒表反应时间为0.1s 左右,所以实验人员开,停秒表总的反应时间近似为△ 人 ≈0.2s. 2. 对重力加速度g的测量结果进行误差分析和数据处理,检验实验结果是否 达到设计要求. 3. 研究单摆周期与摆长,摆角,悬线的质量和弹性系数,空气阻力等因素的关 系,试分析各项误差的大小. 四、实验仪器 单摆仪，摆幅测量标尺，钢球，游标卡尺（图1-图4） 用单摆测重力加速度 一、教学任务分析 高一学生已经学习了自由落体运动，了解了重力加速度的概念；本章前几节又学习了简谐运动，研究了单摆的振动周期，知道周期公式以及成立的条件。知识背景充足。我认为这一节课一是让学生加深对单摆简谐运动的理解和认识，二是培养学生实验技能，加强学生的科学素养，这才是这一节课最重要的目的。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）、使学生学会用单摆测定当地的重力加速度； （2）、使学生学会处理数据的方法； （3）、让学生能正确熟练地使用秒表。 2、过程与方法 学生发散思维、探究重力加速度的测量方法──明确本实验的测量原理──组织实验器材、探究实验步骤──进行实验──分析数据，得出实验结论。这一条探究之路。 3、情感态度与价值观 （1）、通过课堂活动、讨论与交流培养学生的团队合作精神。 （2）、通过对振动次数的计数等培养学生仔细观察、严谨治学的科学素养。 三、教学重点与难点 重点： 1.了解单摆的构成。 2. 单摆的周期公式。 3. 处理数据的方法。 难点： 1. 计时的准确性。 2. 计数的准确性。 四、教学资源： 长约一米的细丝线、通过球心开有小孔的金属球、带有铁夹的铁架台、毫米刻度尺、秒表。多媒体。 五、教学设计思路 本设计的基本思路是： 第一，通过计时时刻的确定（以最低点速度最快时为计时起点）、推导用单摆测重力 加速度的公式（g= 2 2 4L T π? ? ）、摆球的要求（重且小）、摆长的确定（从球重心到悬点的长 度）及单摆做简谐运动的条件（在一个平面内运动且摆角小于50）。 第二，通过探讨测量加速度的方法，编写实验步骤时要指明器材、方法和公式；根据实验原理确定器材、通过测定摆球直径了解有效数字和精确度的匹配；通过测量30-50次全振动的时间确定周期以减小偶然误差；数据处理的两种方法平均法和图像法；试着分析实验误差。 第三，用分组探究、分析讨论的方法使学生深刻体会、经历实验的过程，让学生明白做什么，为什么这样做，这样做的误差在哪里，做一个实验的设计者和操作者，而不是旁观者和执行者。切实提高学生的实验技能，培养他们对物理实验的热情和素养。最后让学生利用课堂学到的实验技能写出用打点计时器测重力加速度的实验报告，加以巩固和提高。 单摆模型 模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件： (1)圆弧运动； (2)小角度往复运动； (3)回复力满足F ＝－kx . 典例 如图1所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为R ，C 为弧形槽最低点，R ?AB .甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A 点由静止释放，问： 图1 (1)两球第1次到达C 点的时间之比； (2)若在圆弧的最低点C 的正上方h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C 处相遇，则甲球下落的高度h 是多少？ 答案 (1)22π (2)(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…) 解析 (1)甲球做自由落体运动 R ＝12gt 21，所以t 1＝ 2R g 乙球沿圆弧做简谐运动(由于AC ?R ，可认为摆角θ＜5°)．此运动与一个摆长为R 的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R ，因此乙球第1次到达C 处的时间为 t 2＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g ， 所以t 1∶t 2＝22π . (2)甲球从离弧形槽最低点h 高处自由下落，到达C 点的时间为t 甲＝ 2h g 由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C 点的时间为 t 乙＝T 4＋n T 2＝π2R g (2n ＋1) (n ＝0,1,2，…) 由于甲、乙在C 点相遇，故t 甲＝t 乙 联立解得h ＝(2n ＋1)2π2R 8 (n ＝0,1,2…)． 1．解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长l 及等效加速度g ；最后利用公式T ＝2πl g 或简谐运动规律分析求解问题． 2．易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解． < MATLAB在单摆实验中的应用 【摘要】借助MATLAB 计算软件, 研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动, 给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB 函数库中的ode45 函数, 求解出大摆角下的单摆的运动方程。并利用其仿真动画形象的展现出单摆的运动规律, 为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。 【关键字】单摆模型；周期；MATLAB 一、问题的提出 在工科物理教学中,物理实验极其重要,它担负着训练学生基本实验技能、验证学生所学知识、提高学生综合实力的重要职责。通过一系列的物理实验,学生可在一定程度上了解并掌握前人对一些典型物理量的经典测量方法和实验技术,并为以后的实验工作提供有价值的借鉴,进而培养学生的动手实践能力和综合创新能力。然而，物理实验的优劣很大程度受限于物理实验条件的制约。当前，受限于以下条件（很多情况下物理实验环境都是难以有效构造的），物理实验的效果并不理想：1）一些实验设备比较复杂并且昂贵,难以普及应用；2）有效实验环要求非常苛刻，是现实环境中难以模拟，甚至根本无法模拟；3）除此以外，有些实验的实验环境即使可以有效构造，它的实验结果却仍然是难以直接、完整观察获取的,如力场、电场、磁场中的分布问题等。鉴于以上原因,物理仿真实验已引起了大家的关注,出现了一些软件。但很多是基于Flash、Photoshop 、3D Studio MAX之类的图形图像软件制作。这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画,还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作卡通动画的，对物理实验规律和过程很少涉及,很难做到真正的交互使用,及精确的计算分析同时开发也很困难。因此，基于这些软件的仿真在工科物理实验教学中应用很少。本文利用MATLAB 计算软件及其仿真功能对单摆实验过程进行模拟、仿真及后期分析，对物理实验教学改革提供一种新思路。 具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了基础物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。 二、方法概述 2.1问题描述 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。单摆在摆角比较小时,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比较大时, 即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不再成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括, ,,,甚至等。这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难,给实验带来较大的误差。同时,学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。利用先进的计算机仿真 关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂 直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向 及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ ③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回 复力. 单摆做简谐运动的条件 ①推导：在摆角很小时，sin θ＝l x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x （ｘ 表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长） ②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相 反，大小成正比，单摆做简谐运动. ③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线. 单摆周期公式推导 设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。 则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。对摆进行力学分析， 由牛顿第二运动定律，有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ 即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0 令 ω = (g/l)1/2 ,有 θ’’ + (ω2)*sin θ = 0 当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有 θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ) 这是个正弦函数，其周期为 T = 2π/ω = 2π*√(l/g) 实验报告 学生姓名： 地点：三楼物理实验室 时间： 年 月 日 同组人： 实验名称：用单摆测重力加 速度 一、实验目的 1．学会用单摆测定当地的重力加速度。 2．能正确熟练地使用停表。 二、实验原理 单摆在摆角小于10°时，振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关，单摆的周期公式是T ＝2π l g ，由此得g ＝4π2l T 2，因此测出单摆的摆长l 和振动周期T ，就可以求出当地的重力加速度值。 三、实验器材 带孔小钢球一个，细丝线一条(长约1 m)、毫米刻度尺一把、停表、游标卡尺、带铁夹的铁架台。 四、实验步骤 1．做单摆 取约1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂． 2．测摆长 用米尺量出摆线长l (精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D ，则单摆的摆长l ′＝l ＋D 2。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于10°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。 4．改变摆长，重做几次实验。 五、数据处理 方法一：将测得的几次的周期T和摆长l代入公式g＝4π2l T2中算出重力加速度g的 值，再算出g的平均值，即为当地的重力加速度的值。 方法二：图象法 由单摆的周期公式T＝2π l g可得l＝ g 4π2T 2，因此，以摆长l为纵轴，以T2为横 轴作出l－T2图象，是一条过原点的直线，如右图所示，求出斜率k，即，可求出g值．g ＝4π2k，k＝ l T2＝ Δl ΔT2。 （隆德地区重力加速度标准值g=9.786m/s2） 六、误差分析大学物理实验报告单摆测重力加速度
单摆测量重力加速度教案
单摆模型
MATLAB在物理中的应用(单摆).doc
单摆周期原理及公式推导
单摆测量重力加速度实验报告
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