2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题37：三角形全等
一、选择题
1. （2012海南省3分）图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的
直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确
．．．的是【】
A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD 【答案】B。
【考点】全等三角形的判定，轴对称的性质。
【分析】根据轴对称的性质，知△ABD≌△CBD，△AOB≌△CO B，△AOD≌△COD。由于AB≠AD，从而△ABC和△ADC不全等。故选B。
2. （2012四川巴中3分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD
的条件
是【】
A. AB=AC
B. ∠BAC=90°
C. BD=AC
D. ∠B=45°
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】添加AB=AC，符合判定定理HL。
而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选A。
3. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【】
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定。190187。
【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：
A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。
由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出
△ABC≌△DEF，故本选项错误。故选B。
4. （2012山东泰安3分）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【】
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D。
【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。
【分析】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。
∵E是AC中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。
∴DE=HE，DC=AH。
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线。∴EF=1
2 BH。
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选D。
5. （2012山东淄博4分）已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【】
(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β
(B)两个角是β，它们的夹边为4
(C)三条边长分别是4，5，5
(D)两条边长是5，一个角是β
【答案】D。
【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。
【分析】(A)由SAS知两三角形全等：(B)由ASA知两三角形全等：(C) 由SSS知两三角形全等：(D) 当顶角为β时，两三角形不一定全等。故选D。6.
6. （2012广西柳州3分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，
如果
△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【】
A．PO B．PQ C．MO D．MQ
【答案】B。
【考点】全等三角形的应用。
【分析】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。故选B。
7. （2012广西玉林、防城港3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有【】
A.4对
B. 6对.
C.8对
D.10对
【答案】C。
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案：由四个直角坐标三角形可组成6对全等三角形：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CBO、△ABO≌△CDO、△AOD≌△COB、△AOD≌△COD、△DOC≌△BOC；
两条对角分菱形可组成2对全等三角形：△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC。
共8对。故选C。
二、填空题
1. （2012山东临沂3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= ▲ cm．
【答案】3。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°。
∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°。∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中，∵∠ECF=∠B，EC=BC，∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC（ASA）。∴AC=EF。
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。
2. （2012山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件▲ ，使ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可)
【答案】∠BDE=∠BAC（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定，开放型。
【分析】根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“ASA”“SAS”“AAS”分别写出第三个条件即可：
∵∠ABD=∠CBE，∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，即∠ABC=∠DBE。
∵AB=DB，
∴①用“ASA”，需添加∠BDE=∠BAC；
②用“SAS”，需添加BE=BC；
③用“AAS”，需添加∠ACB=∠DEB。
3. （2012甘肃白银4分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是▲ ．（只需填一个即可）
【答案】∠A=∠F（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加AC∥EF得夹角∠A=∠F，利用SAS可证全等；或添加BC=DE，利用SSS可证全等。（答案不唯一）
4. （2012青海省2分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是▲ （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．
【答案】∠ADC=∠AEB（答案不唯一）。
【考点】开放型，全等三角形的判定。
【分析】∵∠A=∠A，AE=AD，
∴添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）可得△ABE≌△ACD。
故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO。
5. （2012黑龙江牡丹江3分）如图．点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的全等三角形▲ (写出一对即可)．
【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。
【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，则
∵AB=AC，AD=AE（已知），
∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。
∴BH－DH=CH-EH，即BD=CE。
∴△ABD≌△ACE（SSS）。
还可得△ABE≌△ACD（SSS）。
6. （2012黑河、黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是▲ (填一个即可)
【答案】AB=DC（答案不唯一）。
【考点】全等三角形的判定。
【分析】∵AC=BD，BC是公共边，
∴要使△ABC≌△DCB，需添加：①AB=DC（SSS）或②∠ACB=∠DBC（SAS）。
三、解答题
2. （2012广东佛山6分）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【答案】证明：（1）连接AD，
在△BAD和△CDA中，
∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边），
∴△BAD≌△CDA（SSS）。
∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。
3. （2012广东广州9分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
【答案】证明：∵在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C．
∴△ABE≌△ACD（ASA）。∴BE=CD。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知和∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案。
4. （2012浙江绍兴8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别
交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于1
2
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于
点P，作射线AP，交CD于点M。
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN。
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=1
2
∠CAB=33°。
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。
【考点】平行的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定。
【分析】（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数。
（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。
从而得证。
5. （2012江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：∠DBC=∠DCB。
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。
∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CA D，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。
6. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。
【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。
∵E是AB的中点，∴AE=BE。
又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。
（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：
∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。
又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。
（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。
7. （2012广东河源6分）如图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE．
(1)求证：△AOD≌△DOC；
(2)求∠AEO的度数．
【答案】解：（1）证明：在△AOB和△COD中，∵∠B＝∠C，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴△AOB≌△COD（AAS）。
（2）∵△AOB≌△COD，∴AO=DO。
∵E是AD的中点，∴OE⊥AD。∴∠AEO=90°。
【考点】对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得∠AEO=90°。
8. （2012福建厦门6分）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，且AC∥D F.
求证：△ABC≌△DEF.
【答案】证明：∵ AC∥DF，∴ ∠ACB＝∠DFE。
又∵ ∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△EDF（ASA）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】利用ASA证明两三角形全等即可。
9. （2012福建福州7分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：△ABF≌△CDE．
【答案】证明：∵ AB∥CD，∴ ∠A＝∠C。
∵ AE＝CF，∴ AE＋EF＝CF＋EF，即 AF＝CE。
又∵ AB＝CD，∴ △ABF≌△C DE（SAS）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定。
10. （2012湖北武汉6分）如图CE＝CB，CD＝CA，∠DCA＝∠ECB，求证：DE＝AB．
【答案】证明：∵∠DCA=∠ECB，∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE。∴∠DCE=∠ACB。
∵在△DCE和△ACB中，DC=AC，∠DCE=∠ACB，CE=CB，
∴△DCE≌△ACB（SAS）。∴DE=AB。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】求出∠DCE=∠ACB，根据SAS证△DCE≌△ACB，根据全等三角形的性质即可推出答案。
11. （2012湖北十堰6分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
【答案】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴∠B=∠D。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】连接AC，由于AB=AD，CB=CD，AC=AC，由SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B=∠D。
12. （2012四川宜宾6分）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．
【答案】证明：∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED。
又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB 。∴∠ABC=∠EDF 。
又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF（AAS）。∴AC=EF。
【考点】平行的性质，补角的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用邻角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=CD，利用AAS证明两三角形全等即可。
13. （2012辽宁铁岭12分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,AB=AD=25，BC=32.
连接BD，
AE⊥BD，垂足为E.
(1)求证：△ABE∽△DBC;
(2)求线段AE的长.
【答案】解：（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB。
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴∠ABD=∠DBC。
∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。∴△ABE∽△DBC。
（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE。∴BD=2BE。
由△ABE∽△DBC，得AB BE BD BC
=。
∵AB=AD=25，BC=32，∴
25BE
2BE32
=，解得BE=20。
∴AE15。
【考点】直角梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC。
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE。
14. （2012贵州铜仁10分）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
【答案】证明：∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。
∵DF=BE，∴DF+EF=BE+EF，即DE=BF。
∵在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）。
【考点】平行的性质，全等三角形的判定。
【分析】利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，由DF=BE根据等量加等量和相等得出DE=BF，
利用SAS即可证出结论。
15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3
表示正方形ABCD的面积S．
【答案】解：（1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，
∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）。
（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH。
又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）。
同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF。
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×1
2
×2×1+1+1=5。
（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×1
2
（h1+h2）?h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。
【分析】（1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB。
（2）由AAS定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形
HEGF即可得出结论。
（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，
可知
S 正方形ABCD =4S △ABH +S 正方形HEGF ，从而得出结论。
16. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16o的斜坡AB 上安装一球形雕塑，
其横截面示意
图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28o，支架BD⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长
线均过⊙O
的圆心，AB ＝12m ，⊙O 的半径为1.5m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到
0.01m ，参考
数据：cos28o≈0.9，sin62o≈0.9，sin44o≈0.7，cos46o≈0.7)．
【答案】解：如图，过点O 作水平地面的垂线，垂足为点E 。
在Rt△AOB 中，AB cos OAB OA ∠=，即012cos28OA =， ∴01212OA 13.3330.9
cos28=≈≈。 ∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。
在Rt△AOE 中，OE sin OAE OA ∠=，即0OE sin4413.333
≈， ∴0OE 13.333sin4413.3330.79.333≈?≈?≈
9.333＋1.5=10.833≈10.83（m ）。
答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83 m 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】如图，过点O 作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。解Rt△AOB，求出OA ；解Rt△AOE，求出OE ，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。
6. （2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P 处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P 处出发，沿北偏东60°划行200米到达A 处，接着向正南方向划行一段时间到达B 处．在B 处小亮观测妈妈所在的P 处在北偏西37°方向上，
这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【答案】解：作PD⊥AB 于点D ，
由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，
在Rt△PAD 中，
由cos30°=PD PA
，得。 在Rt△PBD 中， 由sin37°=
PD PB ，得PB=0PD 100 1.732880.6sin37?≈≈（米）。 答：小亮与妈妈的距离约为288米。
【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。
【分析】作PD⊥AB 于点D ，分别在直角三角形PAD 和直角三角形PBD 中求得PD 和PB 即可求得结论。
7. （2012山东青岛8分）如图，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹
角是22o时，
教学楼在建筑物的墙上留下高2m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45o时，教学楼顶A
在地面上的影
子F 与墙角C 有13m 的距离(B 、F 、C 在一条直线上)．
(1)求教学楼AB 的高度；
(2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin22o≈3
8，cos22o≈1516，tan22o≈25)
【答案】解：（1）过点E 作EM⊥AB，垂足为M 。
设AB 为x ．
在Rt△ABF 中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x。∴BC=BF＋FC=x ＋13。
在Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB －BM=AB －CE=x －2， 又∵0AM tan22ME =，∴x 22x 135
-≈+，解得：x≈12。 ∴教学楼的高12m 。
（2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。
在Rt△AME 中，0ME cos22AE
=
， ∴AE=ME cos22°≈15252716?≈。 ∴A、E 之间的距离约为27m 。
【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。
【分析】（1）首先构造直角三角形△AEM，利用0AM tan22ME =
，求出即可。 （2）利用Rt△AME 中，0ME cos22AE
=，求出AE 即可。 17. （2012山东枣庄8分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2＋
CD 2＝2AB 2
．
（1）求证：AB ＝BC ；
（2）当BE⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．
【答案】解：（1）证明：连接AC 。
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2。
∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F。
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形。∴CD＝EF。
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴AE＝BF。
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD。
【考点】勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明。
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF 即可，这一点又可通过全等三角形获证.
18. （2012广西南宁8分）如图所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．
（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；
（2）试判断OE和AB的位置关系，并给予证明．
【答案】解：（1）△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD。
（2）OE⊥AB。证明如下：
∵在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，∠BAC=∠AB D，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）。∴∠DAB=∠CBA。∴OA=OB。
∵点E是AB的中点，∴OE⊥AB。
【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据全等三角形的定义可以得到：△ABC≌△BAD，△AOE≌△BOE，△AOC≌△BOD；
（2）首先证得：△ABC≌△BAD，则OA=OB，利用等腰三角形中由三线合一即可证得
OE⊥AB。
19. （2012广西钦州6分）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC．
【答案】证明：∵点E，F在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CFR+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，
∴△ABF≌△DCE（AAS）。∴AB=CD（全等三角形的对应边相等）。
【考点】全等三角形的判定和性质。
【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB=CD。
20. （2012广西来宾8分）如图，在 ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．
（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；
（2）求证：BE=DF．
【答案】（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA。
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC。∴∠DAF=∠BCE。
又∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB。∴△AFD≌△CEB（AAS）。∴BE=DF。【考点】平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△C DA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可。
（2）由△AFD≌△CEB推出即可。
21. （2012云南省5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
【答案】证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°。∵ME∥BC，∴∠B=∠MED。
在△ABC与△MED中，∵∠B=∠MED，∠C=∠EDM，DM=AC。
∴△ABC≌△MED（AAS）。
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定。
【分析】根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理AAS可判断△ABC≌△MED。
22. （2012江西南昌6分）如图，已知两个菱形ABCD．CEFG，其中点A．C．F在同一直线上，连接BE、DG．
（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
（2）证明：BE=DG．
【答案】（1）解：△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC。
（2）证明：∵四边形ABCD．CEFG是菱形，
∴DC=BC，CG=CE，∠DCA=∠BCA，∠GCF=∠ECF。
∵∠ACF=180°，∴∠DCG=∠BCE，
在△DCG和△BCE中，∵DC=BC，∠DCG=∠BCE，CG=CE，
∴△DCG≌△BCE（SAS）。∴BE=DG。
【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，根据菱形的性质推出AD=AB，DC=BC，根据SSS 即可证出结论。
综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P，
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发
2015 年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 1 x2 +1，点 C 的坐标为 (–4， 0)，平行4 四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t ，0)在 x 轴上 . (1)写出点 M 的坐标； (2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 . ①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ②当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1： 2 时，求t 的值 . 11 x210 1 4 (1)M(0,2)(2)1AC:y= 2 x+1.PQ // MC.x t= 2 2.如图，已知在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3， P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点 A、 D ），连结 PC，过点 P 作 PE⊥ PC 交 AB 于 E （1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥ QE？若存在，求线段 AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （ 2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． A P D E B C （3 ）存在，理由如下： 如图 2 ，假设存在这样的点Q，使得 QC ⊥ QE. 由（ 1）得：△ PAE ∽ △ CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥ QE ，∠ D＝ 90°， ∴∠ AQE ＋∠ DQC ＝ 90 °,∠ DQC ＋∠ DCQ ＝ 90 °， ∴∠ AQE= ∠DCQ. 又∵∠ A=∠ D=90°， ∴△ QAE ∽ △ CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， ∴. ∵AP≠ AQ，∴ AP ＋ AQ ＝ 3.又∵AP≠ AQ，∴AP≠，即 P 不能是 AD 的中点，∴当P是 AD 的中点时，满足条件的Q点不存在， 综上所述，的取值范围7 ≤＜ 2；8 3.如图，已知抛物线y＝－1 x2＋ x＋ 4 交x 轴的正半轴于点 A ，交y 轴于点 B ．2 （ 1）求 A 、B 两点的坐标，并求直线（ 2）设 P（ x，y）（ x＞ 0）是直线为对角线作正方形 PEQF，若正方形（ 3）在（ 2）的条件下，记正方形 AB 的解析式； y＝ x 上的一点， Q 是 OP 的中点（ O 是原点），以PQ PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； PEQF 与△ OAB 公共部分的面积为S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究S 的最大值． (1) 令 x=0, 得 y=4 即点 B 的坐标为 (0,4) 令y=0, 得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2 或 x=4 ∴点 A 的坐标为 (4,0) 直线 AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2) 由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4
第十二章 全等三角形 一、知识要点 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质 3、证题的思路： (A S A )(A A S )???? ?? ??? ????? ??? ??? ??? ?????? ???? ?? ?? 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS) (HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题 （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义；
（5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等． 5、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线） （3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题） （4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密 （1）常见全等的判定和性质考察 1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ； 2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度； C B A F E D C B A 第2小题 第3小题 第4小题 3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300 ，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； 5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________． 6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________． 7．下列命题中正确的是（ ） ①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。 A ．4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8．对于下列各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是 （ ） (A)∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′ (B)∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ (C)∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′(D)AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B ′C ′
A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4
2020年广东各地区中考数学试题分类汇编——函数 1、（佛山）15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在 函数（）的图象上，则点E的坐标是（，）. 2、（肇庆）9．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度， 再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3、（茂名）9．已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增 大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 4、（梅州）5．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了 一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是 （） 5、（湛江）8．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D． 6、（湛江）11．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系 的图象大致是（） 1 y x =0 x> y x a a y x y a x a 1 2 y x = - x 2 x=2 x≠2 x≠-2 x> a h a O A B C E F D x y 第15题图 h h h h
A ． B ． C ． D ． 7、（湛江）12． 如图2所示，已知等边三角形ABC 的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8、（梅州）10． 函数的自变量的取值范围是_____． 9、（梅州）12． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______． 10、（东莞）7．经过点A （1，2）的反比例函数解析式是_____ _____； 11、（佛山）22．某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54 吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨. (1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？ (2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总 费用最少，应选择哪种方案？ 12008 20082009 201020111 1-=x y x mx y =x k y = m k 图2 C A B ┅┅
全等三角形 一、选择题 1. (?年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（） A．如果a2=b2，那么a=b B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 考点：命题与定理． 分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项． 解答：解：A、错误，如3与﹣3； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题； C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题； D、正确，是真命题， 故选D． 点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质． 2．（?四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A．3B．4C．6D．5 考点：角平分线的性质． 分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可． 解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF， 由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴×4×2+×AC×2=7， 解得AC=3． 故选A．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（?四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（） A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1） 分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出 ∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可． 解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题 1．（?福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB， AC的中点，延长BC到点F，使 1 CF BC 2 ..若AB=10，则EF的长是．
河北 周建杰 分类 （2008年南京市）27．（8分）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =， 射线PN 与 O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发， 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积 最大，最大面积是多少？ 答 以下是湖北孔小朋分类： 21．（2008福建福州）（本题满分13分） 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达 A B Q O P N M
点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ （2008年贵阳市）15．如图4，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1，B 的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位． 以下是江西康海芯的分类: 1.（2008年郴州市）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4， E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为 F ．FE 与DC 的延长线相交于点 G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图，平面直角坐标系中，⊙Ａ的圆心在Ｘ轴上，半径为１，直线Ｌ为y=2x-2，若⊙Ａ沿Ｘ轴向右运动，当⊙Ａ与Ｌ有公共点时，点Ａ移动的最大距离是（ ） A B （图4）
第12章检测题 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是() A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等 C．∠A＋∠ABD＝∠C＋∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC ,第1题图),第2题图) ,第3题图),第4题图) 2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是() A．PO B．PQ C．MO D．MQ 3．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，则∠ABC＝54°，则∠E＝() A．25°B．27°C．30°D．45° 4．(2014·南昌)如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF 的是() A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．E F∥BC 5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下面结论中错误的是() A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BAC C．△ABO≌△COD D．△AOD≌△BOC ,第5题图),第6题图) ,第7题图) 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是中线AD上的两点，则图中可证明为全等三角形的有() A．3对B．4对C．5对D．6对 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E 处，若∠A＝22°，则∠BDC等于() A．44°B．60°C．67°D．77° 8．如图，DE⊥BC于点E，且BE＝CE，AB＋AC＝15，则△ABD的周长为() A．15 B．20 C．25 D．30
2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1.（2020年浙江杭州） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. （第24题）
2.（2020年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、 D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． B C 第25题
3.（2020年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－1 2 x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
4.（2020年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：Array（1）C的坐标为▲； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。
2020中考数学全等三角形与尺规作图（含答案） A组基础题组 一、选择题 1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 2.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线. 下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图: 则正确的配对是( ) A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ 3.用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是( ) 4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A. B.4 C.2 D.5 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( ) A.6 B.6 C.9 D.3 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论: ①AC⊥BD;②AO=CO=AC;③△ABD≌△CBD. 其中正确的结论有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 8.如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为.
第十二章 全等三角形知识点总结 一、全等三角形的性质; 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 二、全等三角形的判定方法： 一般三角形的判定方法：边角边（SAS ）、角边角（ASA ）、角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL ） 全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 全等三角形的证明思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ???????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 三、角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言： ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． 四、角平分线的判定方法： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。符号语言： ∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 角平分线的画法：
第十一章 全等三角形测试题（A ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、下列说法正确的是（ ） A ：全等三角形是指形状相同的两个三角形 C ：全等三角形的周长和面积分别相等 C ：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D ：所有的等边三角形都是全等三角形 2、如图：若△AB E ≌△AC F ，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ） A ：2 B ：3 C ：5 D ：2.5 3、如图：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，则下列结论：①△ABD ≌△ ACD ，②∠B=∠C ，③BD=CD ，④AD ⊥BC 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 4、如图：AB=AD ，AE 平分∠BAD ，则图中有（ ）对全等三角形。 A ：2 B ：3 C ：4 D ：5 5、如图：在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，AE ⊥BC 于E ， ∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（ ） A ：7 B ：8° C ：9° D ：10° 6、如图：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AC 于E ， DF ⊥AB 于F ，且FB=CE ，则下列结论：：①DE=DF ，②AE=AF ， ③BD=CD ，④AD ⊥BC 。其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 7、如图：EA ∥DF ，AE=DF ，要使△AEC ≌△DBF ，则只要（ ） A ：AB=CD B ：EC=BF C ：∠A=∠ D D ：AB=BC 8、如图：在不等边△ABC 中，PM ⊥AB ，垂足为M ，PN ⊥ （第2题） F E C B A （第4题） E D C B A （第7题） F E D C B A （第3题） D C B A （第5题）D C B A F E （第6题） C B A N M Q （第8题） C B A
2020年中考数学试题分类汇编之十一 四边形 一、选择题 1．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 2．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A
3.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5==， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ．
2019年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第2章 实数 一、选择题 1. （2018，1，3分）如在实数0，－3，3 2 - ，｜－2｜中，最小的是（ ）. A ．3 2- B ． － 3 C ．0 D ．｜－2｜ 【答案】B 2. （2018市，1，3分）四个数－5，－0.1，１ ２，３中为 无理数的是( ). A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 【答案】D 3. （2018滨州，1，3分）在实数π、13 、 2、sin30°,无理 数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 4. （2018，2，3分）(－2)2 的算术平方根是（ ）. A ． 2 B ． ±2 C ．－2 D ． 2 【答案】A
5. （2018，8,3分）已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 (A)0>m (B)0
【答案】D · 10. （20181，3）如计算：-1-2= A.-1 B.1 C.-3 D.3 【答案】C 11. （2018滨州，10，3分）在快速计算法中,法国的“小 九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出 的 手 指 数 应 该 分 别 为 ( ) A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3 【答案】A 12. （2018，10，3分）计算()221222 -+---1 （-） =（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A 13. （2018，6，3分）定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a ＋ 1 b ，根据这个规则、计算2☆3的值是
全等三角形的复习（第1课时） 一、教材分析： 本节课是全等三角形的全章复习课，首先协助学生理清全等三角形全章知识脉络，进一步了解全等三角形的概念，理解性质、判定和使用；其次对学生所学的全等三角形知识实行查缺补漏，再次通过拓展延伸以的习题训练，提升学生综合使用全等三角形解决问题的水平，并对中考对全等三角形考察方向有一个初步的感知，为以后的复习指明方向。在练习的过程中，要注意强调知识之间的相互联系，使学生养成以联系和发展的观点学习数学的习惯. 二、学情分析 在知识上，学生经历全等三角形全章的学习，对全等三角形性质、判定以及应用基本掌握，初步具有整体理解，但因为间隔时间有点长所以遗忘较多，全等三角形是学习初中几何的基础和工具也是中考必考内容。对全等三角形的综合应用以及全章知识脉络的形成正是以上各种水平的综合体现，教学中要充分发挥学生的主体作用，通过复习学生在全等三角形的计算、证明对学生的推理水平、发散思维水平和概括归纳水平将有所提升. 三、教学目标 1.进一步了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决相关问题. 2.在题组训练的过程中，引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的水平，使学生体会数形结合思想、转化思想
在解决问题中的作用. 3.培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。 四、教学重难点 重点：全等三角形性质与判定的应用. 难点：能理解使用三角形全等解题的基本过程。 五、教法与学法 以“自助探究”为主，以小组合作、练习法为辅；在具体的教学活动中，要给予学生充足的时间让学生自主学习，先形成自己的全等三角形知识认知体系，尝试完成练习；给予学生充足的空间展示学习结果，通过讨论交流、学生互评、教师最后点评方式实现本节课的教学目的. 六、教具准备 多媒体课件， 七、课时安排 2课时 八、教学过程 本节课是全等三角形全章的复习课，本节课我主要采用学生“练后思”的模式，协助学生搜整《全等三角形》全章知识脉络，建构知识网络，通过基础训练、概念变式练习、典例探究、拓展应用等活动实行查缺补漏和拓展延伸；借助“基础了题目-变式题目-典型题目-拓展题目”五个梯次递进的教学活动达成教学目标，使用多媒体课件
全等三角形专题复习 1、全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等，对应的高线、中线相等，对应的面积相等2、全等三角形： 题型一全等三角形的性质 1.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（） 判定方法条件注意⑴边边边公理（SSS）三边对应相等三边对应相等 ⑵边角边公理(SAS)两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”）必须是两边夹一角，不能是两边对一角 ⑶角边角公理(ASA)两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”）不能理解为两角及任意一边 ⑷角角边公理(AAS)两角和其中一角的对边对应相等 （5）HL（直角三角形）一条直角边、一条斜边必须在直角三角形中知识梳理
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB 2.如图，AB∥ED，CD=BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（） A．AC=EF B．BC=DF C．AB=DE D．∠B=∠E 3.如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（） A．20°B．30°C．35°D．40° 4.已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（） A．3B．5C．6D．10 5.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB， ③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A 的度数是（）
2019-2020年中考数学试题分类汇编 统计 一．选择题 1.（2015安徽）某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是 A ．该班一共有40名同学 B ．该班学生这次考试成绩的众数是45分 C ．该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D ．该班学生这次考试成绩的平均数是45分 2.（2015广东） 3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B. 【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4，选B 。 3.（孝感）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为 20 18 17 10 15 10，，，，，．对于这组数据，下列说法错误．．的是 A ．平均数是15 B ．众数是10 C ．中位数是17 D ．方差是 3 44 4.（湖南常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定 亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为2 141.7S 甲＝ ，2 433.3S 乙＝，则产量稳定，适合推广的品种为： A 、甲、乙均可 B 、甲 C 、乙 D 、无法确定 【解答与分析】这是数据统计与分析中的方差意义的理解，平均数相同时，方差越小越稳定： 答案为B 5.（衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）． A ．50元，30元 B ．50元，40元 C ．50元，50元 D ．55元，50元 6. ）（2015?益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动
全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900 ==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的 距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.
(2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， ..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证： 图4 练习三：如图5，,,900 CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ， 交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到' ' ' E D A ?的位置，使点' E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：' BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.
图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ． 图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。 A D E C B P 2 1 4 3