长江三峡水电枢纽
同步汽轮发电机的转子同步水轮发电机的转子气隙
定子
同步发电机的FLASH.SWF
11
定子上3个等效绕组
a 相绕组
b 相绕组
c 相绕组
转子上3个等效绕组
同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统励磁绕组
d 轴等效的阻尼绕组轴等效的阻尼绕组Q
15d 轴
q 轴120度
120度
120度
定子、转子铁心同轴（忽略定、转θ
sin )M F =磁动势零点
θ
的，无饱和，无磁滞和涡流损耗，
19
磁链与电流、电压的参考正方向
1、设转子逆时针旋转为旋转正方向；
3、定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即
正值电流i a 从端电压u a 的正极流出发电机，b 、c 相类似。
定子绕组的正电流产生负的磁链！！
2、定子三相绕组磁链ψa ，ψb ，ψc 的正方向与a 、b 、c 三轴正方向一致;
+
-21
5、d轴上的励磁绕组f、阻磁链正方向与d轴磁链正方向与q轴的正方向一致；正电流由端电压，因此绕组电阻：
a 相绕组
b 相绕组
c 相绕组
＋
26
励磁绕组d 轴阻尼绕组
轴阻尼绕组
绕组、
28
绕组的磁链方程－6个
定子绕组的磁链a 相绕组的磁链＝
a 相绕组电流产生的自磁链＋
b 相绕组电流产生的互磁链＋
c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的互磁链＋D 绕组电流产生的互磁链
＋
Q 绕组电流产生的互磁链
31
转子绕组的磁链励磁绕组的磁链＝
a 相绕组电流产生的互磁链＋
b 相绕组电流产生的互磁链＋
c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的自磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋
Q 绕组电流产生的互磁链
36
a 相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d 轴与a 相绕组轴线的夹角θa (=ωt )有关
磁路的磁导λaa ,自感L aa 为θa 的周
期函数，周期为π。
θa
θa ＝±π/2
磁路磁导最小，自感最小
a θa ＝0，π磁路磁导最大，自感最大
a
磁导变化的规律
直流分量
2 θa 周期函数
-π-π/2 0 π/2 π即a 绕组的自感为
a
t s aa L L L θ2cos +=期为π。
θa ＝π小，互感绝对值θa ＝5大，互感绝对值a 、b 相差120)
30(2cos 0
,,,, +??=?=
=i i i i i a
b
ba L M i L Q D f c b θψ
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48
d 轴正方向与a 轴正方向相反时，互感为负最大
d 轴
a 轴
d 轴正方向与a 轴正方向重合时，互感为正最大；
d 轴a 轴
d 轴与a 轴垂直时，互感为0
a 轴
同步发电机的转子运动方程
M m
M e
M D
ω/p p （p p 极对数）
输入的机械转矩、输出的电为等效半径
2
21mD
mR ＝
摘 要： 本文以深圳河流域特区为例，模拟了“分流清源”与“混流截排”收集机制的雨水管道与污水管道网络，对两种系统对各种参数的灵敏性和稳定性进行了分析，并对经济效果进行了估算和判断。本文设计了一种建设方案，得到在五年内建造污水管道网络的最佳策略，使得建设完成前排入环境的污水量最少，同时满足政府治污的“一、三、五年目标”，且最节约经济成本。 求解第一问“分流清源”建设方案: 我们根据资料中污水处理厂、污水产生源的位置通过“最小生成树”算法规划出“分流清源”模型中建设的管道主干，通过计算深圳水管网络的分形维数，得到整个系统长度共142公里，并根据资料估算工程费用约7.7亿元。 题目指出“后续管理困难而很难保证不会再出现污水管错接问题”，所以需要对该系统进行了稳定性评估。在已知各污水厂容纳量和污水源产生量和管道连接状况的情况下，通过规划得到了在部分管道错接或损坏的情况下，分别会导致多少污水溢出。结论是在一条管道损毁或错接的情况下，平均溢出增量百分比为6.6%，因此对于该最小生成树管道系统，除了一些关键路径需要额外措施保护之外，其他边稳定性良好。 对于“混流截排”方案: 题目提到“政府已有较大的投入到截排”，我们模拟设定雨水管道（连接污水源和初期雨水池）为三角形网格且已经建好，初期雨水池以及雨污管道已经建好，雨污管道仍然采用“最小生成树”。我们分析了无雨、中小雨、暴雨三种情况下初期雨水池接收雨水和污水的比例。通过“最小溢出固定流”的规划算法，得出各雨水池溢出混水量的最低值。我们通过改变降雨强度、个别雨池容量、排污比例、排污点的参数，来研究这些参数对溢出混水量最低值的影响。 因为环境污染和经济投入量纲不一致，我们用隶属函数和稀释理论两种不同的角度去评估清源和截排的优劣。根据文献中溢出混水的化学需氧量 （COD ）就可以估算溢出污水的环境代价，它与污水处理费在五年内共14.1亿元,而清源方案的总代价是18.6亿元。另一方面，我们采取ω(x )=1-e ?(x λ)2的隶属函数来评价污染和花费，把两个拐点分别设置为政府预算20亿和现有污染排放量467万吨这两个位置。实施清源建造期间五年的污染及经济评价分别是0.045、0.35，然而截排则是0.39和0.11，这个评价指标越低越好，通过比较可以看出，清源虽然花费多，但是综合来看还是更占优势的。 求解污水治理的方案。由于建设改造“分流清源”水管系统需要五年的进程，在这五年中，清源与截排共存。我们提出方案：为保证居民秩序不受大规模影响，改造过程必须循序渐进，体现在总体上每年会有完成总长度一定百分比的要求（见第四章），同时对于局部地区也不能把一个节点两条及以上管道在一年内修建。在这种限制条件下，修建进程还必须满足政府治污的“一、三、五年目标”。我们采取搜索剪枝的做法有效解出了每年的修建方案，五年内分别修建水管道长。同时我们算出了在没有修建完成时，每年的污水排放情况并保证五年内它的总数是最低的。由此我们估算出在工程五年期间内环保和经济的总代价为17.1亿元。
清华大学2006数学分析真题参考答案 1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤g g g 则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-g g g （n=2,3,….） 那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界， {}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε?>?>，使当n m N >>时，有 n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-
2011年清华大学“华罗庚杯”数学建模竞赛论文格式规范●论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ●论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。 ●提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注 意篇幅不能超过一页）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的 参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
2011年清华大学“华罗庚杯”数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了清华大学数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛的题目是：商务电梯运载效率的分析与建模 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2011 年 5 月 16 日
7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613
12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。
数学科学系 00420033数学模型3学分48学时 Mathematical Modelling 建立数学模型是用数学方法解决实际问题的关键步骤。本课程从日常生活的有趣问题入手，介绍数学模型的一般概念、方法和步骤，通过实例研究介绍一些用机理分析方法建立的非物理领域的模型及常用的建模数学方法，培养同学用建模方法分析和解决实际问题的意识和能力。 00420152数学建模引论2学分32学时 Introduction of Mathematical Modelling 本课程以案例分析的方式组织教学，主要面向低年级的学生，各个学期根据对学生数学基础的不同要求，选择案例。我们这里所选择的都是实际应用价值非常突出的案例。 00420163数理科学与人文3学分48学时 Mathematical and Physical Sciences and Humanities 本课程旨在加强学生以通识教育为目标的思维和训练，提高学生的科学素质。该课程虽然以知识为载体，却并不以传授理论知识为主要目的，而是以启迪思想，养成思考的习惯，以提升学生的创新意识。 00420183博弈论3学分48学时 Game Theory This is an introductory course on the basic concepts of Game Theory. Topics to be covered are:Combinatorial Game Theory, Games in Extensive Form, 2-person 0-sum games, Bimatrix games, Nash Equilibrium, Correlated equilibrium, Evolutionary Game Theory, Repeated Prisoner’s Dilemma, Bargaining Problems, Games in Coalition form, Shapley value, Nucleolus, 2-side matching problem. 10420095微积分(1)5学分80学时 Calculus(1) 内容包括：实数，函数，极限论，连续函数，导数与微分，微分中值定理，L'Hospital法则，极值与凸性，Taylor公式，不定积分与定积分，广义积分，积分应用，数项级数，函数级数，幂级数，Fourier级数。 10420115微积分(2)5学分80学时 Calculus(2) n维空间中的距离、邻域、开集与闭集，多元函数的极限与连续，多元函数微分学，空间曲线与曲面，重
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同步汽轮发电机的转子同步水轮发电机的转子气隙 定子 同步发电机的FLASH.SWF 11
定子上3个等效绕组 a 相绕组 b 相绕组 c 相绕组 转子上3个等效绕组 同步发电机简化为：定子3个绕组、转子3个绕组、气隙、定子铁心、转子铁心组成的6绕组电磁系统励磁绕组 d 轴等效的阻尼绕组轴等效的阻尼绕组Q 15d 轴 q 轴120度 120度 120度 定子、转子铁心同轴（忽略定、转θ sin )M F =磁动势零点 θ 的，无饱和，无磁滞和涡流损耗，
19 磁链与电流、电压的参考正方向 1、设转子逆时针旋转为旋转正方向； 3、定子三相绕组端电压的极性与相电流正方向按发电机惯例来定义，即 正值电流i a 从端电压u a 的正极流出发电机，b 、c 相类似。 定子绕组的正电流产生负的磁链！！ 2、定子三相绕组磁链ψa ，ψb ，ψc 的正方向与a 、b 、c 三轴正方向一致; + -21 5、d轴上的励磁绕组f、阻磁链正方向与d轴磁链正方向与q轴的正方向一致；正电流由端电压，因此绕组电阻： a 相绕组 b 相绕组 c 相绕组 ＋
26 励磁绕组d 轴阻尼绕组 轴阻尼绕组 绕组、 28 绕组的磁链方程－6个 定子绕组的磁链a 相绕组的磁链＝ a 相绕组电流产生的自磁链＋ b 相绕组电流产生的互磁链＋ c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的互磁链＋D 绕组电流产生的互磁链 ＋ Q 绕组电流产生的互磁链
31 转子绕组的磁链励磁绕组的磁链＝ a 相绕组电流产生的互磁链＋ b 相绕组电流产生的互磁链＋ c 相绕组电流产生的互磁链＋励磁绕组电流产生的自磁链＋D 绕组电流产生的互磁链＋ Q 绕组电流产生的互磁链 36 a 相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d 轴与a 相绕组轴线的夹角θa (=ωt )有关 磁路的磁导λaa ,自感L aa 为θa 的周 期函数，周期为π。 θa θa ＝±π/2 磁路磁导最小，自感最小 a θa ＝0，π磁路磁导最大，自感最大 a
中国大学生数学建模竞赛(CUMCM)历年赛题一览! CUMCM历年赛题一览!! CUMCM从1992年到2007年的16年中共出了45个题目,供大家浏览 1992年Ａ)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B)实验数据分解问题（复旦大学：谭永基） 1993年Ａ)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (Ｂ)足球排名次问题（清华大学：蔡大用） 1994年Ａ)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可） (Ｂ)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年:(Ａ)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年:(A)零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年:(A)自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年:(A)DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B)钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D)公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年:(A)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B)彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C)车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此））
2014年清华大学“华罗庚杯”数学建模竞赛论文格式规范●论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ●论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。 ●提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注 意篇幅不能超过一页）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的 参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
2014年清华大学“华罗庚杯”数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了清华大学数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛的题目是： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期：年月日
清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权 2 ()x x x ρ= -****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明： 1 1 **2 1 1 * *20 12 2 1**20 ()()()(21)(21)211()()()()()211()22 ()()1()1()()()()()1n m n m n m n m n m n n m n m x T x T x dx x T x dx x x t x x T x T x dx t T t dt t t t T t dt t T x x x T x T x dx t T t t ρρρ---=---=-=++-= --= -???? ?令，则 由切比雪夫多项式1 01=02 m n dt m n m n ππ ≠??? =≠??==??? 所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权2 ()x x x ρ= - *00*11* 2 2 2 2*33233()(21)1()(21)21 ()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x x T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+- 14.已知实验数据如下： i x 19 25 31 38 44 i y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明： 1 1 * *0 1 1 * *011**0 ()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()n m n m n m n m n m n n m n m x T x T x dx x T x dx t x x T x T x dx t T t dt t T t dt T x x T x T x dx t T t ρρρ---=--=-== = ???? ?令，则 由切比雪夫多项式1 01=02 m n dt m n m n ππ ≠??? =≠??==??? 所以*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ= *00*11* 22 2 2*33233()(21)1()(21)21 ()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x x T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+- 14.已知实验数据如下： 用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ?????? =???? ?????? ?? 即 5 5327271.453277277699369321.5a b ??????=???????????? 解得 0.972579 0.050035a b =?? =? 拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差 2 4 2 2 0[]0.015023i i i y a bx σ==--=∑ 21.给出()ln f x x =的函数表如下： 用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有 1 100.60.5 0.693147 0.510826 0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52 j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑ 所以1ln0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=-- 2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x === 由拉格朗日插值定理有
上传是为了分析数学的乐趣，请粘贴复制的时候也多思考哈。为了更多的 学子们。 2014年数学建模论文 第二套 题目：人口增长模型的确定 专业、姓名：土木135 提交日期： 2015/7/2晚上
题目：人口增长模型的确定 摘要 对美国人口数据的变化进行拟合，并进行未来人口预测，在第一个模型中，考虑到人口连续变化的规律，用微分方程的方法解出其数量随时间变化的方程，用matlab里的cftool工具箱求出参数，即人口净增长率r=0.02222,对该模型与实际数据进行对比，并计算了从1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，有很大出入。因此又改进出更为符合实际的阻滞增长模型，应用微分方程里的分离变量法和积分法解出其数量随时间变化的方程，求出参数人口增长率r=0.02858和人口所能容纳最大值m x=258.9,与实际数据对比，拟合得很好，并预测出1980年后每隔10年的人口数据，与实际对比，比较符合。为了便于比较两个模型与实际数据的描述情况作对比，又做出了两个模型与实际数据的对比图，以及两个模型的误差图。 关键词：人口预测微分方程马尔萨斯人口增长模型阻滞增长模型 一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年 预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 由于题目已经说明首先用马尔萨斯人口增长模型来刻划，列出人口增长指数增长方 程并求解，并进行未来50年内人口数据预测，但发现与实际数据有较大出入。考虑到 实际的人口增长率是受实际情况制约的，因此，使人口增长率为一变化的线性递减函数， 列出人口增长微分方程，求出其方程解，并预测未来五十年内人口实际数据。 三、问题假设
高等数值分析实验一 工物研13 成彬彬2004310559 一．用CG，Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b 作实验中，A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵，S是1043阶的一个稀疏阵 A= sprandsym(S,[],0.01,3); 检验所生成的矩阵A的特征如下： rank(A-A')=0 %即A=A’，A是对称的； rank(A)=1043 %A满秩 cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵 1．CG方法 利用CG方法解上面的线性方程组 [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043); 结果如下： Iter=35，表示在35步时已经收敛到接近真实x relres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差 绘出A的特征值分布图和收敛曲线： S=svd(A); %绘制特征值分布 subplot(211) plot(S); title('Distribution of A''s singular values');; xlabel('n') ylabel('singular values') subplot(212); %绘制收敛曲线 semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o'); title('Convergence curve'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); 得到如下图象：
为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系，需要改变A的特征值： (1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响 在A的构造过程中，通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数)，可以达到改变A的特征值分布的目的： 通过改变rc=0.1，0.0001得到如下两幅图 以上三种情况下，由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为：48，14和486，由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。 由以上三图比较可以看出，A的条件数越大，即A的最大最小特征值的差别越大，叠代所需要的步骤就越多，收敛越慢。 (2)研究A的中间特征值的分布对于收敛特性的影响： 为了研究A的中间特征值的分布对收敛速度的影响，进行了如下实验： 固定A的条件数，即给定A的最大最小特征值，改变中间特征值得分布，再来生成A，具体的实现方法是，先将原来的生成A进行特征值分解： [U,S]=svd(A);
数值分析实验报告 一、 实验3.1 题目： 考虑线性程组b Ax =，n n R A ?∈，n R b ∈，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数程组的Gauss 消去过程。 （1）取矩阵????????????????=6816816816 A ，?? ? ?? ??? ????????=1415157 b ，则程有解()T x 1,,1,1*?=。取10 =n 计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元法求解，结果如？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1. 算法介绍 首先，分析各种算法消去过程的计算公式， 顺序高斯消去法： 第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素() 0k kk a ≠（若等于零则可以判定系数 矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算() () ,1,2,,k ik ik k kk a l i k k n a ==++， 分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2, ,k k n ++行， 则可将增广矩阵B 中第k 列中() k kk a 以下的元素消为零；重复此法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B A b ??=? ?； 列主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ??? ?? ????? 中，选取() k k i k a 使得()(k) max k k i k ik k i n a a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换，然后按照和顺序消去 法相同的步骤进行。重复此法，从第1步进行第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即( ) ()()111,n n n B A b ??=? ?； 完全主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中对应的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ??? ?? ????? 中，选取()k k k i j a 使得()(k) max k k k i j ij k i n k j n a a ≤≤≤≤=，若k i k ≠或k j k ≠，则对B 中第k 行与第k i 行、第k 列与第k j 列 交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此法，从第1步进行到
2．定义映射22:B R R →，()B x y =，满足y Ax =，其中0.80.40.10.4A ?? =?? ??，2,x y R ∈ 则对任意的2,u v R ∈ 1111119 ||()()||||||||()||||||||||||||10 B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=- 故映射B 对一范数是压缩的 由范数定义 ||||1 ||||max |||| 1.2x A Ax ∞∞∞===，知必然存在0x ，0||||1x ∞= 使得0|||||||| 1.2Ax A ∞∞== 设012(,)T x x x = 取12(,0),(0,)T T u x v x ==-，则0u v x -=，有 00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞-=-=-===>==- 故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞-，从而映射B 对无穷范数不是压缩的 4. 证明：对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理，有 ()()'()()()1e G x G y G x y x y e ξ ξ ξ-=-=-+ 其中0111b b e e e e ξξ< ≤<++ 所以 |()()||()|||11b b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++ 故G 为[,]a b 上的压缩映射 而()ln(1)ln x x G x e e x =+>= 即()G x x =无根 故()G x 没有不动点
清华大学近三年自主招生录取人数分析 近年来，自主招生愈演愈烈，清华北大作为领头羊更是大踏步向前走。那么，获得自主招生认定资格，对于高攀清北，必要性有多大？北大数据不公开，好在清华数据翔实，具有一定指导意义。 2011年，清华在京录取398人，除去美院录取36人外其它院系文理合计共录取362人。其中特殊招生类录取保送生62人、录取艺术特长生17人、录取体育特长生13人，另外提前批次招生6人。以上外，通过统考一批次统招录取264人。这统招264人中，有151人具有清华自主认定资格，占比57.2%。这264人中，达到清华一次提档线（含扩招）的人数约为233人（可能略有出入，准确数据需从明年大厚本中确认），那么未达提档线的录取我们暂且默认为享受通过自主招生认定优惠的录取，这样有31人，也就是通常说的自主认定捞上来31人。清华自主招生在京总认定人数为214人，最终有63人未出现在清华新生名单中，弃用率为29.4%。不过这63人中有39人具有北大等其它高校的自主认定资格，绝大部分人是主动弃用。（以上数据不分文理） 比较统招生中自主认定资格人数占比例：11年统招264人中，有150人有清华自主认定资格，占比56.8%；10年统招的317人中，有251人具有清华自主认定资格，占比52.4%；而09年统招的315人中，只有124人具有自主认定资格，占比39.4%。增幅比较大。比较享受到自主认定资格优惠录取的人数：11年约31人中；10年约66人（10年保送录取人数是几年来的低位，通过自主认定补足优秀生也是非常正常的）；而09年约有41人。比较自主认定资格弃用情况：11年64人未用到，占比29.9%；10年45人未用到，占比21.3%；而09年只有20人未用到，占比13.9%。也是增幅明显。 概括起来： 1、清华自主认定学生出现在清华新生名单中的比例近三年来逐年增加； 2、享受清华自主认定优惠录取的学生比例有波动，应与当年的生源状况有关； 3、由于失信（报考它校、出国）或失意（实考失误）导致最终资格浪费的比例也在增加。 那么，从这些数据中，个人觉得争取到清华的自主招生认定资格，很有必要，但拿到认定资格也不是进了保险箱，仍不能放松。所以说，拿到清华自主认定资格，对于昂首迈入清华来说，充分必要性是：较必要，半充分。（具体数据见下表）
数学科学系 00420033 数学模型3学分48学时 Mathematical Modelling 建立数学模型是用数学方法解决实际问题的关键步骤。本课程从日常生活的有趣问题入手，介绍数学模型的一般概念、方法和步骤，通过实例研究介绍一些用机理分析方法建立的非物理领域的模型及常用的建模数学方法，培养同学用建模方法分析和解决实际问题的意识和能力。 00420152 数学建模引论2学分32学时 Introduction of Mathematical Modelling 本课程以案例分析的方式组织教学，主要面向低年级的学生，各个学期根据对学生数学基础的不同要求，选择案例。我们这里所选择的都是实际应用价值非常突出的案例。 00420163 数理科学与人文3学分48学时 Mathematical and Physical Sciences and Humanities 本课程旨在加强学生以通识教育为目标的思维和训练，提高学生的科学素质。该课程虽然以知识为载体，却并不以传授理论知识为主要目的，而是以启迪思想，养成思考的习惯，以提升学生的创新意识。 00420172 数学与人类文明2学分32学时 Mathematics and Civilization 本课程不以讲述数学专门知识为目标，着重讲述数学发展对人类文明发展的地位、作用和影响，人类认识客观世界的能力，非数学专业学者如何理解和看待和欣赏数学。 10420095 微积分(1) 5学分80学时 Calculus(1) 内容包括：实数，函数，极限论，连续函数，导数与微分，微分中值定理，L'Hospital法则，极值与凸性，Taylor公式，不定积分与定积分，广义积分，积分应用，数项级数，函数级数，幂级数，Fourier级数。 10420115 微积分(2) 5学分80学时 Calculus(2) n维空间中的距离、邻域、开集与闭集，多元函数的极限与连续，多元函数微分学，空间曲线与曲面，重积分、曲线与曲面积分、向量分析，常微分方程、初等积分法、高阶线性方程、线性常微分方程组。 10420213 几何与代数(1) 3学分48学时 Geometry and Algebra(1) 映射, 关系, 几何的序, 群,环,域等基本概念; 几何空间中的向量，直角坐标系与纺射坐标系，点乘与叉乘，平面与直线问题; 线性空间, 向量的线性相关性，向量组的秩, 线性空间的基和坐标,线性子空间,线性空间的和与交, 维数公式, 内积空间，标准正交基,Schmidt正交化; 线性映射, 线性映射的秩, 映射的象和核以及维数公式, 线性映射的运算,线性空间的同构; 线性映射的表示及矩阵的概念, 矩阵的运算以及它们与线性映射运算的关系, 矩阵的逆和转置, 分块矩阵; 行列式的定义和性质, Laplace展开定理, 矩阵乘积的行列式和Gramer法则; 线性方程组解的理论和结构, 求其一般解的方法; 正交矩阵和相似矩阵,矩阵的特征值和特征向量,可对角化条件,实对称矩阵的对角化。 10420243 随机数学方法3学分48学时 Stochastic Mathematical Methods 概率空间的描述与事件的概率计算、条件概率的三大公式（乘法公式、全概率公式、Bayes公式）、独立性的本质与刻画；一维与多维随机变量的分布及其数字特征（包括数学期望、方差、协方差、相关系数等）、一些重要分布（二项分布、Poisson分布、几何分布、指数分布、均匀分布、一维与多维正态分布）的背景与应用；条件分布、条件数学期望及其性质；特征函数和多维Gauss分布的介绍；随机变量的大数定律、中心极限定理；随机徘徊及应用；Poisson过程与指数流及其应用；Brown运动的简单性质；Markov链的
第一章 3.已知e=2.7182818..，求以下近似值A x 的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？ （1）, 2.7A x e x ==； （2）, 2.718A x e x ==； （3）,0.027100A e x x = =； （4）,0.02718100 A e x x ==。 解：（1）12.7182818.., 2.70.2710A x e x ====? 1 0.01828...0.050.510A x x --=≤=? 2.7A x ∴=有2位有效数字 36.810A A x x x --=? （2） 2.718A x = 3 0.00028...0.00050.510A x x --=≤=? 2.718A x =有4位有效数字 41.0410A A x x x --=? （3）10.027182818...,0.0270.2710100 A e x x -= ===? 3 0.0001828...0.0005 0.510A x x --=≤=? 0.027A x ∴=有2位有效数字 36.810A A x x x --=? （4）0.02718A x = 5 0.0000028...0.0000050.510A x x --=≤=? 2.718A x =有4位有效数字 41.0410A A x x x --=?
4.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((2 2 A A A A A A l l l l l A A εεε='=可知，若要求1))((2≤A A l ε，则 200 1 100212) )(()(2= ?≤ = A l l l A A A A εε，即边长应满足2001100±=l 。 5(1) ①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin 21°=2×0.01752≈0.6125×3 10- 4 4100917298.610125.6--?-?=0.3327 具有几位有效数字 则称若位有效数字 具有＜x x a a a x A n k A x A n -k n 321323551010 a 5.0.02106125.0105.0105.010?≤-???±=?∴?=??------ ③ ()()位有效数字 有＜41060919.0105.0105.0100005.010*******.010*******.6100919.61060919.0100919.69994 .010349.02cos 12sin 2cos 134 374 4444 42 2 ----------?∴?=?=??=?-??=?=+= ?+?= ?- (2) 位有效数字 有＜！ π！π4092.6105.0105.0100005.010*******.010*******.610092.610092.6490 2902cos 143744444 4 2∴?=?=??=?-??=??? ??-??? ??≈?--------- 6.求解方程2 5610x x ++=，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用 73827.982≈。
填空题 1、H=[1,0;1,2] 求H的2范数，1条件数 2、A为一个三阶矩阵，含参数a,求A对称正定是a的范围； 给定一个a，求LL(T)分解。 3、cos（πX），给X=0；0.25；0.5，利用2阶拉格朗日差值多项式，求X=0.4时的值 4、求一个多步法的误差主项，y（n+2）-1/2y（n+1）-1//2y(n)=h(f(n+2)-1/4f （n+1）+3/4f（n）) 5、x在（0，h）间的定积分，求高斯法代数精度，af（0）+b*f（h/3）+1/4*f(h),并求 a、b 6、拉格朗日差值，x乘以插值基函数的求和 7、A=[2，-1,0;-1,2，a;0,-1,2],b=[1,0,-1],AX=b,求BJ和J法收敛时a的范围 8、f(x)=1/x-a,求牛顿迭代公式的收敛阶 9、求一个以x为权函数的，2次正交多项式 大题 一、A=[10,a,0;c,10,c;0,a,5]，b=（10,7,14）， 1、求J法收敛的充要条件 2、a=c=1时，sor法收敛的充要条件，并写出w=1时，sor分量形式 3、a=2，c=0时x=x+a（Ax-b），收敛时a的范围，a=？时收敛最快 二、给x0，用牛顿求积公式求x1；证明一个全局收敛 三、单步法展开，求误差主项和收敛阶，绝对稳定性区间（老师上课讲过例题） 四、A和A-B都是非奇异的，证明||inv（A-B）||《1/(1/||inv(A)||-||B||) 填空5*9，大题18+14+17+6 最后一题好像是 矩阵A和A-B可逆，求证 norm(A-B)<=1/(norm(A^-1)^-1-norm(B)) 1、填空： a、有效数字，3.1425926近似pi——小心，从小数点后第三位就不一样了 b、均差f=x^3+x-1求f[1,1,1]，f[0,1,2,3]，f[0,1,2,3,4] c、simpson公式代数精度——3 d、Newton-Cotes积分系数Ck的和——这个就是1啦，呵呵 e、A=[1,2;0,1]，求普半径，1，2，无穷条件数 f、x^2的最佳一次平方逼近和一致逼近 g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk^(n+1)从0到n求和 2、高斯积分x^2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).积分限[-1，1] 3、LU分解求方程组的解 4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵 用第一种QR位移迭代算一步，求A2 5、证明严格对角占优矩阵A可逆，且 A^(-1)的无穷范数小于1/[min|aii|-除对角线外的|aij|] 6、第九章的作业题P480T6(《数值分析基础》高等教育出版社关治、陆金甫) 填空： 1。3.14215是pi的几位有效数字据说是3 2. f(x)=x^3+x-1,求f[1,1,1]＝6,f[0,1,2,3]＝1,f[0,1,2,3,4]＝0