FIR 数字滤波器设计
本章知识点：
对于一个离散时间系统∑∑=-=--=
M 1
n n
n 1
-N 0n n
n
z a 1z b
z H )(,若分母多项式中系数0a a a M 21==== ，
则此系统就变成一个FIR 系统∑-=-=
1
N 0
n n n
z b
z H )(，其中系数1-N 10b ,.b ,b 即为该系统的单位取样
响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。
FIR 系统函数H(z) 在Z 平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR 系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。
相比于IIR 系统来说，FIR 系统主要有三大突出优点：1）系统永远稳定；2）易于实现线性相位系统；3）易于实现多通带（或多组带）系统。
线性相位FIR 滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N （奇数或偶数），冲激响应h[n] 相对其中心轴
2
1
-N 必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 2
1
-=
N τ。由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N 有奇数、偶数之分。因此，h （n ）可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR 数字滤波器：h[n] 偶对称N 为奇数、h[n] 偶对称N 为偶数、h[n] 奇对称N 为奇数、h[n] 奇对称N 为偶数。四种线性相位FIR 滤波器的特性归纳对比于表5.１中。
一．FIR DF 设计方法
FIR DF 的设计实现不能像IIR DF 设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。
1． 窗函数法
窗函数法是设计FIR 滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应h d (n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：
,02
1-N ||,(n)h )()()(d ?????
≤=其它＝ n
n w n h n h R d （5.1）
其中W R (n)是时宽为N 的窗函数。
由分析可知，加窗处理使所得滤波器的频响)(ω
j e
H 与理想滤波器频响)(ωj d e H 之间产生差
异，具体表现在过渡带和波动的出现。我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减
小波动的幅值，同时使过渡带变窄。因此为了改善滤波器的性能，要求窗函数尽量具有以下特性：
1） 主瓣宽度尽可能地窄，以获得尽量陡的过渡带。
2） 最大旁瓣相对于主瓣尽可能地小，即能量尽可能集中于主瓣内，以使肩峰和波动减小。 对于窗函数，以上两个要求是相互矛盾的，不可能同时达到最佳，要根据需要进行折衷的选择，通常是以增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。下面是几种常用的窗函数及其频谱特性： ? 矩形窗
???-≤≤=其它
N n n w ,010,1)( （5.2）
??
? ???
?? ??=--2sin 2sin )e (2
1
j R ωωωω
N e
W N j (5.3)
? 三角窗（或巴特利特 Bartlett 窗）
???
????-=-==1,...,2,12n 22
1,...,1,0,12)(N N n N N n N n
n w －－－ (5.4)
1)
(N 2sin 4sin 2 2sin 41sin 12)e (2
)21
(2
)2
1
(j >>??
???? ?
????
????? ??≈?
????
?
?????
????? ??--=----ωωωωωωωN e N N e
N W N j N j (5.5)
? 汉宁（Hanning ）窗 —— 升余弦窗 ??
?
??--=??? ??-=12cos 5.05.01sin )(2
N n N n n w ππ 1,...,2,1,0-=N n (5.6)
1)
(N e
N 2W N 2W 250W 50 e 1N 2W 1N 2W 250W 50e W 21-N j -R R R 21-N j -R R R j >>????
??????????? ??
π+ω+??? ??π-ω+ω≈??????????????? ??-π+ω+??? ??-π-ω+ω=ω??
? ??ω??
?
?
?ω
.)(..)(.)( （5.7）
? 汉明（Hamming ）窗 —— 改进的升余弦窗
??
?
??--=12cos 46.054.0)(N n n w π 1,...,2,1,0-=N n (5.8)
ω??
? ??ω??
?
?
?ω
????
????? ??
π+ω+??? ??π-ω+ω≈????????? ??-π+ω+??? ??-π-ω+ω=21-N j -R R R 21-N j -R R R j e
N 2W 230N 2W 230W 540 e 1N 2W 2301N 2W 230W 540e W ..)(...)(.)( (5.9)
? 布莱克曼（Blackman ）窗——又称二阶升余弦窗
??
?
??-+??? ??--=n N N n n w 212cos 08.012cos 5.042.0)(ππ 1,...,2,1,0-=N n (5.10)
e 1-N 4W 1-N 4-W 0.04 e
1-N 2W 1-N 2-W 0.25-)(0.42W )W(e 21-N j -R R 21-N j -R R R j ω??
?
?
?ω??
?
?
?ω?????
???? ??
π+ω+??? ??πω++
??????????????? ??π+ω+??? ??πωω= (5.11)
? 凯瑟（Kaiser ）窗
()
1N n 0 I I n w N n -≤≤?????? ??
-=??? ??--,1)(020121ββ (5.12)
表5.2列出了以上各窗函数的综合性能指标。表5.3给出了不同β值下的凯瑟窗性能总结。
用窗函数法设计FIR 滤波器的实现步骤如下：
(1) 根据所要设计滤波器的性能指标（阻带最小衰减、过渡带宽），通过查表来选定窗函数w(n)，通过计算求得窗的宽度N ：
上取整滤波器过渡带带相应的窗函数精确过渡
>---??
????=N
根据所要设计线性相位FIR 滤波器的类型来决定最终N 取奇数或偶数，一般情况下取奇数。 (2) 根据相应的频率响应函数)(ωj d e H ，求傅立叶反变换，得到h d (n)。
(3) 按所得窗函数求出FIR 滤波器的冲激响应：h(n)=h d (n) w(n) n= 0, 1, 2, …, N – 1。
(4) 利用h(n)计算FIR 滤波器的频响)(ωj e H ，并检验各项指标，如不符合指标，则重新修改N 及w(n)。
2．频率取样法
窗函数法是在时域内，以有限长冲激响应 h(n)去近似所要求的理想冲激响应h d (n)，从而实现FIR 滤波器的设计。而频率取样法则是在频域内，以有限个频率响应取样，去近似所要求的理想频率响应)(ωj d e H 的方法。
FIR 数字滤波器的频率响应可以用其冲激响应h(n) 的DFT 值 H(k)，通过内插公式来得到，即：
[][]∑-=π---π-ωπ-ω=1
N 0
k N
/k )1N (j w 2
)1N (j
jw
2/)N /k 2(sin
N 2/)N /k 2(N sin e )k (H e
)e
(H （5.13）
定义内插函数为： [][]
2/)/2(sin 2/)/2(sin ),(/)1(N k N N k N e k S N
k N j πωπωωπ--=- （5.14）
则频率响应为：
∑-=--=1
N 0
k w 2
)1N (j
jw
)k ,w (S )k (H e
)e
(H （5.15）
H(k)可以通过对理想频率响应)(ωj d e H 函数进行取样离散来确定，即令：
)()(2k N
j d e
H k H π= 1,...,2,1,0-=N k （5.16）
由H(k) 经过内插即可得到滤波器的频率响应)(ωj e H 。这时的H(e i ω) 即为对理想频率响应
)(ωj d e H 的近似。在H(k)这些取样频率点上，二者具有相同的频响。即：
22()()()()j k j k N
N
d d H
e H k H k H e ππ===
但在两个取样点之间，频率响应则是由各取样点间的内插函数加权确定，因此，存在着逼近误差，误差的大小取决于理想频率响应)(ωj d e H 的曲线形状和取样点数N 的大小。
同样，要保证FIR 数字滤波器的线性相位特性，就必须对频域取样值H(k) 提出相应的约束条件，而不能任意指定。四类线性相位滤波器对H(k)的约束条件如下： h(n)偶对称、长度N 为奇数时：
π--==k N
1
N H H k -N k k θ （5.17） h(n)偶对称，长度N 为偶数时：
π=θ=k N 1
-N -
-H H k k -N k （5.18） h(n)奇对称，长度N 为奇数时：
ππ
θk N 1
-N -
2 -H H k k -N k =
= （5.19）
h(n)奇对称，长度N 为偶数时：
ππ
θk N
1
-N -
2 H H k k -N k =
= （5.20）
二. FIR DF 的实现结构
FIR 滤波器传输函数的不同数学表达形式，对应有不同的系统实现结构。实现FIR 数字滤波器常用的几种结构如下：
? 直接型
由线性系统输入输出间的卷积关系得到如图5.1所示的直接型结构，图5.2为图5.1的转置结构。
)()()()()( 1
n x n h i n x i h n y N i *=-=∑-= （5.21）
图 5.1 直接型结构（一）
图 5.2 直接型结构（二）
? 级联型
现将FIR 数字滤波器的传输函数H(z)写成二阶因式乘积的形式，即可到得到如图5.3所示的级联型结构：
1
120120
()()()N K
n
i i i n i H z h n z
z z ααα----====++∑∏
（5.22）
图5.3 级联型结构
? 频率取样型
基于FIR DF 传输函数H(z)的内插表达形式5.23，能够得到FIR 数字滤波器的递归型结构即频率取样型结构如图5.4所示。
??
????=--=
∑
∑-=-=---1N 0k k e 1
N 0k 1
k N N
z H z H N 1
Z W 1k H N
z 1z H )()()()( （5.23） 其中：
()1N
e H z z
-=-
k 1
()
H (z)1K N H k W z --=
-
(5.24)
图 5.4 频率取样型的网络结构（N 为偶数）
1
-1
-1
-1
-x(n)
y(n)
1-1-1-1
-x(n)
y(n)
x(n)
y(n)
x(n)
y(n)
二． 线性相位FIR DF 的系统结构 ? 偶对称N 为偶数
此时传输函数可进行如下分解：
∑∑∑∑∑∑-=-----=----=--=--=--=-+=
--+
=+
==1
2/0
)1(12/0
)
1(1
2/01
2
/1
2/01
0]
)[()1()()()()()(N n n N n
N n n N N n n
N N n n
N n n
N n n
z z
n h z
n N h z
n h z
n h z
n h z
n h z H (5.25)
其结构为图5.59所示：
图5.5 h(n)偶对称N 为偶数时的线性相位滤波器结构
? 偶对称N 为奇数：
2
1
121
)
1(2
1
1
12
1
121
1
21])[(21)()()()(----=-------+-=
---=--=-??
? ??-++=
??
? ??-++
=
=∑∑∑∑N N n n N n
N N N n n
N n n
N n n
z
N h z
z
n h z
N h z
n h z
n h z
n h z H (5.26)
其网络结构为图5.6所示：
1-
1-1
-)1-
1-1-1-)
21(-N
? 奇对称N 为偶数
此时有：
∑-=-----=
1
2/0
)1(])[()(N n n N n
z z
n h z H (5.27)
图5. 7 h(n)奇对称N 为偶数时的线性相位滤波器结构
? 奇对称N 为奇数
此时有：
∑--=-----=
121
)1(])[()(N n n N n
z z
n h z H (5.28)
其结构如图5.8所示。
图5.8 h(n)奇对称N 为奇数时的线性相位滤波器结构
习题
5.1 已知图p5.1(a)中的 ()1h n 是偶对称序列N ＝8，图p5.1(b)中的()2h n 是()1h n 圆周移位（移
2
N
=4位）后的序列。设 ()()()()1122,H k DFT h n H k DFT h n ????==????
(1) 问()()12H k H k =成立否？ ()1k θ与()2k θ有什么关系？
(2) ()2h n 、()1h n 各构成一个低通滤波器，问它们是否是线性相位的？延时是多少？ (3) 这两个滤波器性能是否相同？为什么？若不同，谁优谁劣？
1-1-1-1-1
-1
-)1-1
-
解：
(1) 根据题意可知
()()()()81824-=n h n h
则
()()()()∑=-=7
0888124n nk n R W n h k H
()()∑∑-===-=3
4
7
814848814i i ki k
k ki W i h ~W W W i h ~n i
()()()()()2448
18
1111j
k k
k
jk H k W
e
H k e
H k H k ππ
-?-====-
令
()()()k j e k H k H 111θ= ()()()k j e k H k H 222θ=
则由上式可以看出
()()k H k H 12=
()()()π-θ=?π
-
θ=θk k k k k 11248
2 (2) ()n h 1 及 ()n h 2都是以n ＝（N －1）/2 ＝ 3.5为对称中心的偶对称序列，故以它们构成的两个低通滤波器都是线性相位的，延迟为：
17
3.522
N τ-=
== (3) 要知两个滤波器的性能，必须求出它们各自的频率响应的幅度函数，并根据通带起伏以及阻带
衰减的情况加以比较。由于N ＝8是偶数，又是线性相位，故有：
()()()()()()()()/21
03
0/2
14112cos 2
72cos 212cos 22124cos 235723cos 2cos 1cos 0cos 2222N n n N n n N H w h n n w h n w n N h n w n h n w n w w w w h h h h -====-??
??=
- ????
?????
??=- ???
????????
??=-- ? ???
???
??????
?=-- ???
?
????????????=+++ ? ? ? ??????????∑∑∑∑??
（p5-1）
(a)
(b)
可以令：
()()17011==h h ，()()26111==h h ()()35211==h h ，()()44311==h h
及
()()47022==h h ，()()36122==h h ()()25222==h h ，()()14322==h h
代入式p5-1可得
()135724cos 3cos 2cos cos 2222w w w w H w ??
????????=+++ ? ? ? ?????????????
()23572cos 2cos 3cos 4cos 2222w w w w H w ??
????????=+++ ? ? ? ?????????????
()w H 1、()w H 2 的图形如图p5-2所示：
图p5-2
分析图p5-2可看出，对于阻带特性，()w H 1阻带衰减大，而()w H 2的阻带衰减小，这一点上
()w H 1优于()w H 2；对于带通特性，它们都是平滑衰减，但()w H 1的通带要比()w H 2的通带宽一
些。
5.2 用汉宁窗设计一个线性相位高通滤波器
()()w jw d H e ,0,0j c c
e w w w w απππ
π--?-≤≤?
=?
?≤<-?
求出h （n ）的表达式，确定α与N 的关系，并画出20 lg ｜H(jw
e )｜的曲线。（设 C w ＝0.5π，N
＝51）。
分析：注意，这道题只给出了()
jw d e H 在)~0(π内的表达形式，而求解h(n)时要用()
jw d e H 在）或（ππ-π~)2~0(内的分布式进行。 解：
根据题意有
()()()
()()20
1
1
()2212112+---+---=
=
=?+?=??
--?
??
??c
c
c c
w j w jw jwn jwn d d w w
jw n j w c jw n j c h n H e e dw e e dw
e e dw w e e w j n ππ
παπ
πααππααππ
π
ππππα
()()()()()()
()()
2sin sin 1c c jn jw n jw n c jn c c
n
c e e e j n n w w e
n w w n n π
ααπ
πααπααπα---??=-??--????
=--????
=--
所以
()()()n w n h n h d =
()()[]()??
???-≤≤α-πα--?????????? ??-π-=为其它值，，n N n n n w sin N n cos c n 010112121 其中()n w 为窗函数。
按照线性相位滤波器条件，有：2
1
-=αN
代入N ＝51，得α＝25，则
()()()[]()??
???≤≤-ππ-????????? ??π-=为其它值
，－n n ,n n .sin n cos n h n 0500252550125121
此高通滤波器的幅频响应曲线如图p5-3所示。
图p5-3 5.3 用汉眀窗设计一个线性相位带通滤波器
()
???π
≤<+-<≤≤-≤-=α-w w w w w w w w w e e
H c c c
jw jw
d 000c ,0,
0w ,
求出()h n 的表达式并画出20 lg ｜H(jw
e
)｜的曲线。（设 0.2c w π=， 00.5w π=，N ＝51 ）
分析：可先根据要设计的线性相位带通滤波器的频域表达式，经过傅里叶反变换得到它的时域函数，
根据已知的截短长度N 得到相应的汉明窗函数，将此窗函数加在先前得到的滤波器时域函数上，即可得到所要求的FIR 滤波器的冲激响应h(n)。最后用matlab 画图画出FIR 滤波器的频响。 解：
可求得此滤波器的时域函数为
()()()()()()()()()()()
()()()(){}
()()()0
00
000000001
()211221121
sin sin 2
sin cos c c
c c
c c c c jw jwn
d d
w w w w jw jnw
jw jwn w w w w j n w w j n w w j n w w j n w w c c c h n H e e dw e
e
dw e e dw
e e e e j n w w n w w n n n w n w n π
πα
αααααπ
ππ
παααπαααπα-
+-+---+---+-------=
=+
??=?-+-?
?-=+----????????-=
--???
?-??
?
????
采用汉眀窗设计时
()()()[]()[]??
???-≤≤α-α-α-π????????? ??-π-=为其它值n ,N n ,w n cos w n sin n N n cos ..n h c 0102124605400
其中
2
1
-αN ＝
代入N=51,得α＝25，则
()()()()??
???≤≤?????
?π-??????π--π????
????? ??π-=为其它值n ,n ,n cos n sin n n cos ..n h 050022552525225460540
其幅频响应曲线如图p5-4所示。
图p5-4
5.4 设计满足下列指标的低通FIR 滤波器。指标为：阻带衰减40 dB 、通带边缘频率3 kHz 、 阻带边缘频率3.5 kHz 、取样频率12 kHz 。
分析：先根据所要设计的滤波器的性能指标（包括阻带衰减和过度带宽，本题的过渡带宽 可由已知的通带与阻带边缘频率求得），通过查表来确定所需的窗函数以及窗函数的宽度。
求出截至频率后可得到滤波器时域函数，将所得的窗函数加到此时域函数上，即可得所求低通滤波器的冲击响应。
解：
根据题意可知，过渡带宽：
KHZ ..f f f p c 50353=-=-=?
转换为数字频率过渡带：
122π=?π
=?s f f w 该滤波器的截止频率：
KHZ .f
f f p c 2532
=?+
= 数字截止频率：
π=π=π
=54012
25322..f f w s c c 所以，由此可得冲激响应：
()()()()()[]()π
τ-τ-π=πτ-τ-=
n n .sin n w n sin n h c d 540 因为阻带衰减40dB ，通过查表可选择汉宁窗：
()??
?
??--=12cos 5.05.0N n n w π
由过渡带宽确定窗口长度：
752.6=??
?????=w N π 则：
372
1
=-=
N τ 所以，此滤波器的冲激响应为：
()()()[]()()??
?
??≤≤?--==其它
,0740,54.0sin )(n n w n n n w n h n h d πττπ
5.5 用25项矩形窗设计低通FIR 滤波器，要求通带边缘位于2 kHz ，取样频率20 kHz ：
(1) 确定过渡带宽度（Hz ）
(3) 求出并画出具有下列指标的滤波器的幅频特性：低通、通带线性相位、取样频率16 kHz 、
通带边缘频率4.5kHz 、阻带边缘频率6 kHz 、阻带衰减75dB 。
分析：根据矩形窗引起的过度带宽与窗宽之间的关系，可得到滤波器的过渡带宽，由此可得到
所要设计滤波器的截至频率，从而可得到对应时域函数，将矩形窗加到移位之后的时域函数之上，即可得到滤波器冲击响应。（3）的解题步骤与上一题相似。
解：
(1) 根据N 与过渡带宽的关系可知，数字频率过渡带宽为：
π=π
=
?072025
81..w ， 又因为
s
f f w ?π
=?2 可得过渡带宽：
KHZ .f w f s
7202=π
?
?=? （2）低通滤波器的截止频率为：
KHZ .f
f f p c 3622
=?+
= 转换为数字频率
π=π
=23602.f f w s
c
c 由窗函数公式可得到冲激响应
()()()()
2402360≤≤τ-πτ-π=
n ,n n .sin n h d , 1221=-=τN 其幅频特性如图p5-5所示：
图p5-5
(3) 过渡带宽：
KHZ .f f f p s 51=-=?
则其截止频率为：
KHZ .f f f s
p c 2552
=+=
转换为数字频率：
π=π
=6602.f f w s
c
c 得冲激响应为：
()()()()()()()π
τ-τ-π=πτ-τ-=
n n .sin n w n sin n h c 660 过渡带宽ππ1875.016
5
.12=?
=?w 由于阻带衰减要求为75dB ，所以选用布莱克曼窗，查表可得
5410=??
?????=w N π，N 取奇数，取N=55 由此可得窗函数表达式为： )27
2cos(08.0)27cos(5.042.0)(ππn n n w +-=
最后得到：
()()()()()??
?
??≤≤--=其它,055
0,272766.0sin n n w n n n h ππ
该滤波器幅频特性如图p5-6所示;
5.6 有79项的低通滤波器用β＝6的凯塞窗实现，通带边缘频率为6 kHz ，如果取样频率为11.025 kHz ：
(1) 过渡带宽度是多少？ (2) 阻带边缘频率是多少？ (3) 阻带边缘增益是多少？
分析：根据β的值，可得到加窗后滤波器过渡带w ?与N 之间的对应关系，从而可求出过渡带宽。根据通带边缘频率与已求出的过渡带宽可得到阻带边缘频率。根据所设计的滤波器的性能指标可确定凯塞窗函数，以及低通滤波器的冲击响应，查表即可得到所要求的阻带边缘增益。 解：
(1) 由β＝6，查凯塞窗表可得过渡带宽： 79
648π
=?.w 0.62s
w f f KHz π
???=
= (2) 截止频率： 6.6KHz Δf f f p c =+=，π=π=21f f 2w s
c
c . (3) β＝6时，
()()
639116020I )n (I n w ???
? ?
?--=
其中()x I 0为第一类变形零阶贝赛尔函数。
()()()()
τ-πτ-π=
n n .sin n h d 141, 3921=-=τN 最后可得
()()()??
?
?
???≤≤???
?
?
?--?=其它
,o n ,I )n (I n h n h d 78063911602
0 所以可查表得到阻带边缘增益为 -63dB 。
5.7 取样频率为10 kHz ，设计低通FIR 滤波器，通带边缘在2 kHz ，阻带边缘在3 kHz ，阻带衰减20 dB ，求滤波器的脉冲响应和差分方程。
分析：根据已知条件求出FIR 滤波器的相关指标，根据阻带衰减选择窗函数，求得阶数N ，得到其冲激响应，进而可求得差分方程。 解：
由题意可知：
321f KHz KHz KHz ?=-=
5πf Δf 2π
Δw s == 则该滤波器的截止频率为：
2.52
c p f
f f KHz ?=+
= 转换为数字截止频率：
0.5πf f 2π
w s
c
c == 可得
τ)
π(n )
5.sin0(n)h d --=
τπ(n
由于阻带衰减为20dB ，故选择矩形窗。 可得
98.1=??
?
????=w N π , 421=-=τN ??
?
??≤≤--=其它
,n w(n),)π(n ))
π(n .(h(n)08
04450sin
求解差分方程
28()(0)(1)(2)(8)jw jw jw H w h h e h e h e ---=++++
34570.0530.160.50.160.053jw
jw jw jw jw e
e e e e -----=--+++
()()()()()()
()()()()
011880.05310.1630.5(4)0.1650.0537y n h h x n h x n x n x n x n x n x n =+-++-=----+-+-+-
5.8 布莱克曼窗设计一个理想线性相位90o移项带通滤波器
()0000,||0,0||,
||jw c c
jw d c c je w w w w w H e w w w w w w απ
-?-≤≤+?
=?
?≤<-+<≤?
求出h （n ）的表达式，并画出20 lg ｜H(jw
e
)｜的曲线。（ 设0.2c w π=，00.4w π=，N ＝51 ）
分析：由频域()jw
d H
e 可得出时域函数()d h n ，加布莱克曼窗即得()h n 。 解：
可求得此滤波器的时域函数为：
()π
jwn jw 1
00
01122c c
c c
w w w w jw jwn
jw jwn w w w w je
e
dw je e dw α
απ
π
+-+---+--=+
?
?
()()()()()()()()()0000112c c c c j n w w j n w w j n w w j n w w
e e e e n ααααπα-+-------??=
?-+-?
?-
()
()()()()()()()(){}
000011[][]2c c c c j n w w j n w w j n w w j n w w
e e e e n ααααπα-+--+-----=
?---- ()
()()()(){}
00sin sin c c j
n w w n w w n ααπα=
-+---????????-
()
()[]()[]02w n cos w n sin n j
c α-α-α-π=
采用布莱克曼窗设计时（N ＝51）
1
252
N α-=＝
()()()n w n h n h d =
()()()0220.420.5cos 0.08cos 2112sin cos 0500,,c n n N N j n w n w n n ππααπα???????-+? ? ???
--???????
?=?--≤≤?????????-????
，其他
将N=51,α=25,0.2c w π=,00.4w π=代入上式得，
()h n ()()()20.420.5cos 0.08cos 252522sin 25cos 2505025550,n n j n n n n πππππ???
????-+? ? ???
???????
?????
?=?--≤≤?
????-?????
????
，,其他
其幅频响应曲线如图P5-7所示
此滤波器是0
90移相的线性相位带通滤波器（或称正交变换线性相位带通滤波器）。
5.9 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为
()()()
j w jw BP BP H e H w e
?=
(1) 试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成
()()()
1,0j w jw BR BP H e H w e
w ?π??=-?≤≤??
(2) 试用带通滤波器的单位冲激响应()BP h n 表达带阻滤波器的单位冲激响应()BR h n (1) 证明
由于()
()()
w j BP jw BP e w H e H ?=，且是线性相位带通滤波器。则
()0,0,1,
l h BP h
l w w w w H w w w w π≤<<≤?=?
≤≤?
对于线性相位带阻滤波器：
()()()=j w jw BR BR H e H w e ?
()1,
0,0,
l h BR h
l w w w w H w w w w π≤≤≤≤?=?
<
因而
()()ω-=ωBP BR H 1H
所以带阻滤波器可以表示成
()
()[]()w j BP jw BR e w H e H ??-=1
(2) 解： 由题意可得
()()
?ππ-π=
dw e e H n h jwn
jw BP
BP 21 ＝
()1()2j w jwn
BP H w e e dw π?ππ-? 可推出
()()()()
()()
()()
1
21
1211()2212jw jwn BR BR j w jwn BP j w j w jwn
jwn BP
j w wn BP h n H e e dw H w e e dw
e e dw H
w e
e dw
e
dw h n π
π
π
?πππ
??π
ππ
?π
π
πππ
π
----
+??
??-
==-?
???=-=-?
????
第三章 1 2 3
4 5 6 6.1
6.2 7
8 9 10 第4章 （1） （2）()()()sin(2)sin(2)m c s t m t c t f t Ac f t ππ==
[cos 2()cos 2()]2c m c m Ac f f t f f t ππ= --+ (){[()][()]}4c m c m Ac S f f f f f f f δδ=+-+-- {[()][()]}4 c m c m Ac f f f f f f δδ-+++-+ （3）相干解调 相干解调：将接收信号与载波信号sin(2)fct π相乘，得到 ()sin(2)()sin(2)sin(2)c c c c r t f t A m t f t f t πππ=()[1cos(4)]2 c c A m t f t π= - 通过低通滤波器抑制载频的二倍频分量，得到解调信号为0()()2 c A y t m t = 2解：(1)444)4cos()cos(2 1.210)()cos(2102 1.110t t t s t πππ++=????? 444cos(2 1.110)[10.5cos(20.110)]t t ππ=+???? 调制系数是a=0.5; 信号频率是f=1000Hz (2)44441 ()[(10)(10)]2[( 1.110)( 1.110)]2S f f f f f δδδδ=++-+++-?? 441 [( 1.210)( 1.210)]2 f f δδ+++-?? (3) 3解：(1)已调信号无法用包络检波解调，因为能包络检波的条件是()1m t ≤， 这里的max ()151A m t ==>，用包络检波将造成解调波形失真。 (2)
填空题(每空2分，共20分) 信号与系统的时域分析与处理 1.序列x(n)的能量定义为__________。 2.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是__________。 3.设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则它们线性卷积的结果序列长度为__________。 4.线性系统同时满足_____和_____两个性质。 5.某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =__________。 6.序列x(n) = cos (3πn)的周期等于__________。 7.线性移不变系统的性质有______、______和分配律。 8. 已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是__________。 9.线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是________。 10．序列x(n) = nR 4(n -1)，则其能量等于 _______ 。 11.两序列间的卷积运算满足_______，_______与分配率。 12信号处理有两种形式;其中一种是（ASP 模拟信号处理）;另一种是（DSP ：数字信号处理）。 13数字信号处理可以分为两类：信号(分析)和信号 (过滤) . 14数字信号是指 (时间) 和 (幅度)都离散的信号. 15．一个离散LTI 系统稳定的充要条件是系统的脉冲响应 h(n)满足关系式: ( ()h n ∞-∞<∞∑).LTI 离散系 统因果的充要条件是当且仅当 (h(n)=0,n<0). 16．互相关 ryx(l) 可以用卷积运算表示为（ryx(l)=y(l)*x(-l)）, 自相关 rxx(l)可写为 (rxx(l)=x(l)*x(-l) ) 17．若 LTI 系统的脉冲响应是有限长的,则该系统可称为(FIR:有限长脉冲响应) 滤波器, 否则称为 (IIR ：无 限长脉冲响应) 滤波器. 18．2n u(n)*δ(n-1)=( ). 0.8 n u(n)* 0.8 n u(n)=( ) 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4 πn)中包含的频率为__________。 2．输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x 2(n)中包含的频率为__________。 3．系统差分方程为y(n)=x(n)-x(n-1) 的系统被称为 (数字微分器). 4．实序列的DTFT 有两个重要属性:(周期性)和 (对称性), 根据这两个性质,我们只需要考虑[0,π]频率范围上的X(ejw) . 5．若DTFT[x(n)]= X(ejw), 则 DTFT[x*(n)]=(X*(e-jw)), DTFT[x(-n)]=( X(e-jw)); DTFT[x(n-k)]=( X(ejw) e-jwk). 6．DTFT[ (0.5)n u(n)]=（1 10.5jw e --）; 7．x(n)={ 1,2,3,4},DTFT[x(n)]=(1+2 e-jw+3 e-j2w+4 e-j3w ) .
北邮通信原理课后习题答案第三章 1 2 3
4 5
6 6.1 6.2
7 8
9 10 (1) (2) stmtctftAcft()()()sin(2)sin(2),,,,mc Ac ,,,，[cos2()cos2()],,cmcmfftfft2 Ac (){[()][()]},，,，,,,,cmcmSfffffff4 Ac ,，，，,，{[()][()]},,cmcmffffff4 (3)相干解调 输出y0(t)r(t)
理想低通滤波器 Cos(Wct) 与发端相干解调 相干解调:将接收信号与载波信号相乘，得到 sin(2),fct Ac rtftAmtftft()sin(2)()sin(2)sin(2),,,ccc,c,,()[1cos(4)],mtftc2 Ac 通过低通滤波器抑制载频的二倍频分量，得到解调信号为 0()()ytmt,2 444st()cos(21021.110,，，，，，,,ttt)4cos()cos(21.210)，，,2解:(1) 44,，4cos(21.110)[10.5cos(20.110)],,，，，，tt 调制系数是a=0.5; 信号频率是f=1000Hz 14444 (2) ,，，,，，，,,,,,，，Sfffff()[(10)(10)]2[(1.110)(1.110)]2 144 ，，，,,,，，[(1.210)(1.210)]ff2 S(f) 5/2 2 3/2 1 1/2 10000120000f(Hz)-12000-10000-1100011000 (3) r(t)y(t) 包络检波器 3解:(1)已调信号无法用包络检波解调，因为能包络检波的条件是， mt()1, 这里的，用包络检波将造成解调波形失真。 Amt,,,max()151 (2)
《数字信号处理》课程教学大纲 一、课程编号：1100020 二、课程名称：数字信号处理 ( 64学时) Digital Signal Processing 三、课程教学目的 数字信号处理是现代信息处理和传输的基础课程之一，已经成为信号和信息处理、通信和电子、计算机科学和技术等专业的学生需要学习和掌握的基本知识。 本课程以离散时间信号与系统作为对象，在介绍经典理论的基础上，适当引入了现代信号处理的理论与方法以及Matlab仿真分析软件。通过本课程的学习，使得学生能够掌握确定性离散时间信号的频谱分析原理及快速实现方法，数字滤波器的设计及实现方法。使学生能够利用计算机技术来进行数字信号的处理，并根据实际需要分析、设计数字滤波系统。 本课程是进一步学习数字通信、图像处理、随机数字信号处理、无线通信、多媒体通信等专业课程的先修课程。 四、课程教学基本要求 1．掌握离散时间信号和系统的基本标识方法 2．掌握离散时间系统的基本特性、Z变换以及离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 3．掌握离散傅立叶变换（DFT）以及离散傅立叶变换的快速算法（FFT） 4．掌握数字滤波器的设计方法和结构 5．了解多速率信号处理的基本内容 五、教学内容及学时分配（含实验） 理论教学（56学时） 1．绪论2学时数字信号处理的特点、实现和应用 Matlab简介 2．离散时间系统的基本特性及流图10学时抽样与重建 离散系统及其普遍关系 信号流图及Mason公式 离散时间信号的傅立叶变换 Z变换及Z反变换（留数法）
Z变换与拉普拉斯、傅立叶变换的关系 离散系统的频域分析 3．离散傅立叶变换及其快速实现14学时DFS的定义及性质 DFT的定义、性质及应用 基2时间抽选法FFT 基2频率抽选法FFT 基4时间抽选法FFT IDFT的快速算法 FFT应用（线性卷积的快速计算、CZT变换） 4．IIR数字滤波器的设计和实现12学时滤波器概述 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的数字仿真 冲激响应不变法和双线性变换法的设计 IIR滤波器的频率变换设计 IIR数字滤波器的计算机辅助设计 IIR 滤波器的实现结构 5．FIR数字滤波器的设计10学时线性相位FIR滤波器的条件和特性概述 窗函数法 频率取样法 FIR数字滤波器的优化设计 FIR数字滤波器的实现结构 6．多速率信号的处理基础8学时抽取和内插的时域和变换域描述 抽取滤波器和内插滤波器 多相分解 正交镜像滤波器组 双通道滤波器组 实验教学（8学时）
1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分
1、一线性时不变系统，输入为x (n)时，输出为y (n);则输入为2x (n)时，输出为2y(n) ;输入为x (n-3)时，输出为y(n-3) ________________________________ 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最咼频率f max关系为：fS> = 2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X(e jw)，它的N点 离散傅立叶变换X ( K是关于X (e jw)的_N ________ 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X ( K),则X (K) = _________ 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠 所产生的混叠_________ 现象。 6、若数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是奇对称的，长度为N,贝陀的对称中心是(N-1)/2_______ 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波 器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应(IIR )滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30n n /120)是周期的，则周期是N二8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12、对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用Xn(n)表示，其数学表达式为x m(n)= x((n-m)) N R(n)。 13、对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基 2-FFT流图。 14、线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。
北邮信号与系统复习资料介绍(适合803) 雪山灰虎 撰写 2010-2-23 考虑到804信号与系统和803信息与通信工程学科专业基础综合大纲中信号与系统的参考书目不同，并且实际考查的范围也不相同，难度也不相同，因此一下介绍的内容不能同时适应这两科，仅适合准备803的同学。 一，必备复习资料 1，信号与系统第二版上下册(书籍) 作者：郑君里等 出版：高等教育出版社 日期：2000年5月 内容简评：北邮考研803信号与系统部分指定参考书，也是北邮本科信号与系统的教学用书。作用就意义就不用多介绍了。 特别说明：803中所考查的信号与系统部分并没有覆盖信号与系统教材上下册这两本书，下册只涉及某些章节，因此在复习时不要盲目，应该先对照大纲看看考查范围再复习，以免浪费宝贵的复习时间。 获取方式：在书店或者网上购买。 2，信号与系统考研指导(书籍) 作者：张金玲等 出版：北京邮电大学出版社 内容简评：信号与系统考研指导是复习北邮信号与系统最为重要的资料之一，其作用甚至大于信号与系统教材。主要是该书为北邮信号与系统命题老师编写，历年信号与系统考研真题也多出于该书，因此作用很大，是复习北邮信号与系统必备的资料。 特别说明：不知道由于何种原因，2009年北京邮电大学出版社停止发行这本书，也就是说市面上已经买不到这本书，但是其价值仍然还是在的。 另外，该书自2002年出版以来，一直没有再版，也没有修订，书中有很多细小的错误，因此在复习中应该注意，要逐渐学会甄别其中的错误。 获取方式：如果出版社不再发行，那就无法买到原版了。灰虎网提供这本书的电子版下载，地址是https://www.doczj.com/doc/9a7974069.html,/Web_Main/mat.asp。当然，如果周围同学有这本书的话，也可以复印。 3，北邮信号与系统历年真题(电子资料) 内容简评：历年真题的重要性就不用多说了。
1、非均匀量化的目的是什么？ 答案：首先，当输入量化器的信号具有非均匀分布的概率密度时，非均匀量化器的输出端可以得到较高的平均信号量化噪声功率比； 其次，非均匀量化时，量化噪声对大、小信号的影响大致相同，即改善了小信号时的量化信噪比。 难度：较难 2、数字通信有何优点？ 答案：差错可控；抗干扰能力强，可消除噪声积累；便于加密处理，且保密性好；便于与各种数字终端接口，可用现代化计算技术对信号进行处理、加工、变换、存储；便于集成化，从而使通信设备微型化。 难度：较难 3、在PCM 系统中，信号量噪比和信号（系统）带宽有什么关系？ 答案： )/(22/H f B q N S =，所以PCM 系统的输出信号量噪比随系统的带宽B 按指数规律增长。 难度：难 4、 什么是带通调制？带通调制的目的是什么？ 答案：用调制信号去调制一个载波，使载波的某个（些）参数随基带信号的变化规律去变化的过程称为带通调制。调制的目的是实现信号的频谱搬移，使信号适合信道的传输特性。 难度：难 5、什么是奈奎斯特准则？什么是奈奎斯特速率？ 答案：为了得到无码间串扰的传输特性，系统传输函数不必须为矩形，而容许具有缓慢下降边沿的任何形状，只要此传输函数是实函数并且在f=W 处奇对称，称为奈奎斯特准则。同时系统达到的单位带宽速率，称为奈奎斯特速率。 难度：难 6、什么是多径效应？ 答案：在随参信道当中进行信号的传输过程中，由于多径传播的影响，会使信号的包络产生起伏，即衰落；会使信号由单一频率变成窄带信号，即频率弥散现象；还会使信号的某些频率成分消失，即频率选择性衰落。这种由于多径传播对信号的影响称为多径效应。 难度：中 8、什么是调制？调制在通信系统中的作用是什么？ 答案：所谓调制，是指按调制信号的变化规律去控制高频载波的某个参数的过程。 作用是：将基带信号变换成适合在信道中传输的已调信号； 实现信道的多路复用； 改善系统抗噪声性能。 难度：难 9、FM 系统的调制制度增益和信号的带宽的关系如何？这一关系说明什么问题？ 答案：m FM f FM f B m G 223=。说明在大信噪比的情况下，宽带调频系统的制度增益是很高的，也就是说抗噪声性能好。
北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题 一、判断题： 1. 设()X t 和()Y t 是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。 2.()X t 为一个随机过程，对于任意一个固定的时刻i t ，()i X t 是一个确定值。 3.设X 和Y 是两个随机变量，X 和Y 不相关且不独立，有()()()D X Y D X D Y +=+。 4.一般来说，平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。 5.设()X t 是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为()X R τ，从物 理概念上理解，有lim ()0X R ττ→∞ =。 6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输出随机过程的统计特性。 7. 若随机过程X (t )满足，与t 无关，则X (t )是广义平稳（宽平稳）过程。 8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。 9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。 10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。 二．选择填空 1．对于联合平稳随机过程()X t 和()Y t 的互相关函数()XY R τ，以下关系正确的是 （1）。 （1）A ．()()XY XY R R ττ-= B.()-()XY YX R R ττ-=
C.)()(ττYX XY R R =- D.)()(ττXY XY R R -=- 2.随机过程X(t)的自相关函数满足1212(,)()()0X X X R t t m t m t =≠，则可以断定1()X t 和2()X t 之间的关系是（2）。 （2）A.相互独立B.相关C.不相关D.正交 3．两个不相关的高斯随机过程)(t X 和)(t Y ，均值分别为X m 和Y m ，方差分别为2X σ和2Y σ，则) (t X 和)(t Y 的联合概率密度为（3）。 （3）A ．2222()()(,)22X Y X Y x m y m f x y σσ????--??=-+?????????? B.2222()()1 (,)exp 222X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ????--??=-+?????????? C.2222()()(,)2()X Y X Y x m y m f x y σσ??-+-=-??+?? D.2222()()1 (,)exp 22()X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ??-+-=-??+?? 4.设()sin()()c X t A t n t ω=+，其中()()cos()()sin()c c s c n t n t t n t t ωω=-是零均值平稳窄带高斯噪声，A 是不等于0的常数，则()X t 的包络服从（4），()X t 的复包络服从（5）。 （4）A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布 （5）A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布 5.设()N t 是平稳随机过程，其功率谱密度为()N G ω，定义()0()()sin X t N t t ωθ=+，θ在0到2π之间均匀分布，则()X t 的平均功率谱密度为（6）。
第1章选择题 1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。 A.离散值；连续值 B.离散值；离散值 C.连续值；离散值 D.连续值；连续值 2．数字信号的特征是（ B ） A ．时间离散、幅值连续 B ．时间离散、幅值量化 C ．时间连续、幅值量化 D ．时间连续、幅值连续 3．下列序列中属周期序列的为（ D ） A ．x(n) = δ(n) B ．x(n) = u(n) C ．x(n) = R 4(n) D ．x(n) = 1 4．序列x(n)=sin ??? ??n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞ 5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π )的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期 6．以下序列中（ D ）的周期为5。 A ．)853cos( )(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j e n x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。 A ．sin100n B. n j e 2 C. n n ππ30sin cos + D. n j n j e e 5431 π - 8．以下序列中 D 的周期为5。 A.)853cos( )(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852 ()(π +=n j e n x D.)852 ()(ππ+ =n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ??? ??+353ππ n 的周期是( C ) A.5 B.10/3 C.10 D.非周期 10.离散时间序列x(n)=sin （ 5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6 C.6π D.非周期 11.序列x (n )=cos ? ?? ??n 5π3的周期为( C ) A.3 B.5 C.10 D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ） A ．u(n)=∑=n k 0 δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=n k δ (n) D ．u(n)=∞-∞=k δ (n)
北京邮电大学信号与系统历年考研真题08A
北京邮电大学 硕士研究生入学试题 考试科目：信号与系统（A ） 请考生注意：所有答案（包括判断题、选择题和填空题）一律写在答题纸上，写清题号，否则不计成绩。计算题要算出具体答案，能够用计算器，但不能互相借用。 一、 判断题（本大题共5小题，每题2分共10分）判断下列说法是否正确，正确的打√，错误的打× 1. 若()()()t h t x t y *=，则()()()t h t x t y --=-*。 2. 若[]K n h <（对每一个n ），K 为某已知数，则以[]n h 作为单位样值响 应的线性时不变系统是稳定的。 3. 一个非因果线性时不变系统与一个因果线性时不变系统级联，必定是非因果的 4. 两个线性时不变系统的级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。 5. 实偶函数信号的傅里叶变换也是实偶函数。 二、 单项选择题（本大题共5小题，每题2分共10分）在每小题列出的四 个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1.信号()t u e t j )52(+-的傅里叶变换为 A ： ωω521j e j + , B ：ω ω251j e j + , C ：)5(21-+-ωj ， D ：)5(21 ++ωj 。 2. 信号 ()()λ λλd t h t f -=?∞ 的单边拉普拉斯变换为 A ：()S H S 1 ， B ：()S H S 21 C ：()S H S 31， D ：()S H S 4 1。 3. 信号()()2--t u t u 的拉普拉斯变换及收敛域为 A ：()s e s s F s 21--=[]0Re >S ， B ：()s e s s F s 21-- = []2Re >S C ：()s e s s F s 21--= 全s 平面， D ： ()s e s s F s 21-- = []2Re 0<北邮《数字通信原理》期末综合练习题
数字通信原理》综合练习题 一、填空题 1 、模拟信号的特点是 幅度（信号强度）的取值连续变化 ，数字信号的特点是 ___ 幅度的取值离散变化 _ 。 2 、模拟通信采用 频分制 ___实现多路通信，数字通信采用 时分制 _ 实现多路通信。 3、 PAM 信号的 ___幅度 _ 连续， ___时间 离散，它属于 ___模拟 ___信号。 4 、数字通信系统的主要性能指标有 _ 有效性 ___和 ___ 可靠性 ____ 两个方面。 5、 A/D 变换包括 __ 抽样 ____ 、 ____ 量化 ___ 和 _____ 编码 三步。 6、 D/A 变换包括 __ 译码 _____ 和 ___ 低通 _____ 两步。 7 、波形编码是 _ 对信号波形进行的编码（或根据语声信号波形的特点，将其转换 为数字 信号） 。 8 、参量编码是 ___ 提取语声信号的一些特征参量对其进行编码 ______ 。 9 、抽样是将模拟信号在 ___ 时间上 __ 离散化的过程，抽样要满足 __抽样定理。 10、量化是将 PAM 信号在 幅度上 _______ 离散化的过程。 11、量化分为 ___ 均匀量化 ___ 和 ___ 非均匀量化 __。 12、均匀量化量化区内（非过载区）的最大量化误差为 ___=△ /2 __ ；过载区内的最大量 化误差为 __ > △ /2___ 。 13、 A 律压缩特性小信号时，随着 时，随着 A 的增大，信噪比改善量 14、实现非均匀量化的方法有 ________________ ___模拟压扩法 和 15、 A 律压缩特性一般 A 的取值为 87.6 ______ 。 A 的增大，信噪比改 善量 Q___下降 ___ 。 Q ___ 提高 ___ ；大信 号
==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)??? ? ??-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以314 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)
数字信号处理软件实验 MATLAB 仿真 2015年12月16日
实验一：数字信号的 FFT 分析 ● 实验目的 通过本次实验，应该掌握： (a) 用傅立叶变换进行信号分析时基本参数的选择。 (b) 经过离散时间傅立叶变换（DTFT ）和有限长度离散傅立叶变换（DFT ）后信号频谱上的区别，前者 DTFT 时间域是离散信号，频率域还是连续的，而 DFT 在两个域中都是离散的。 (c) 离散傅立叶变换的基本原理、特性，以及经典的快速算法（基2时间抽选法），体会快速算法的效率。 (d) 获得一个高密度频谱和高分辨率频谱的概念和方法，建立频率分辨率和时间分辨率的概念，为将来进一步进行时频分析（例如小波）的学习和研究打下基础。 (e) 建立 DFT 从整体上可看成是由窄带相邻滤波器组成的滤波器组的概念，此概念的一个典型应用是数字音频压缩中的分析滤波器，例如 DVD AC3 和MPEG Audio 。 ● 实验内容及要求 ? 离散信号的频谱分析 设信号 此信号的0.3pi 和 0.302pi 两根谱线相距很近，谱线 0.45pi 的幅度很小，请选择合适的序列长度 N 和窗函数，用 DFT 分析其频谱，要求得到清楚的三根谱线。 ? DTMF 信号频谱分析 用计算机声卡采用一段通信系统中电话双音多频（DTMF ）拨号数字 0～9的数据，采用快速傅立叶变换（FFT ）分析这10个号码DTMF 拨号时的频谱。 00010450303024().*cos(.)sin(.)cos(.)x n n n n ππππ=+--
●MATLAB代码及结果 ?离散信号的频谱分析 clf; close all; N=1000; n=1:1:N; x=0.001*cos(0.45*n*pi)+sin(0.3*n*pi)-cos(0.302*n*pi-pi/4); y=fft(x,N); mag=abs(y); w=2*pi/N*[0:1:N-1]; stem(w/pi,mag); axis([0.25 0.5 0 2]); xlabel('频率'); ylabel('X(k)'); grid on;
《信号与系统》期中考试试题 一．填空题（每空2分，共20分） 1． ()()cos (1)d t u t t t δ∞?∞ ?=∫ ；()()cos d t u τττ?∞ =∫ ；()(21)d t τδττ?∞ ′+=∫ 2. 某连续时间系统，其输入()x t 和输出()y t 的关系为()()(sin )y t x t =则该系统是否为线性 ，是否为因果系统 ； 3． 已知某信号()f t 的傅立叶变换为()F ω，则()[23]f t ??的傅里叶变换为 ； 4. 信号()11 [()(2)]2f t u t u t =??的傅里叶变换为 ；信号 ()()2e ()为正实数at f t A u t a ?=的傅里叶变换为 ； 5. 帕斯瓦尔定理内容是 ； 6. 若调制信号()f t 的频带宽度为W ，设已调信号为()0sin 4f t t πω? ?+????，且0W ω>>，则 已调信号的频带宽度为 二．判断题（每题2分，共14分） 1. 根据傅里叶变换的对称性质，若信号()f t 的频谱为()F ω，则若有时域信号可表示为 ()F t ，则其对应的傅里叶变换必为()2f πω。 2. 信号()sinc t 是功率信号，而信号()cos t 是能量信号。 3. 已知()1()()s t f t f t =?，则()11(1)(1)s t f t f t ?=???。 4. 对于某LTIS 的单位冲激响应()h t ，因为激励单位冲激信号()t δ是在0t =时刻加入的，所以响应将出现在该时刻之后，因此响应可表示为()()h t u t ?。 5．傅里叶变换的诸多性质中，有很多可以反映出信号时域和频域的内在联系。其中由尺 度变换特性，我们可以知道，信号的脉宽（持续时间）和其带宽（频带宽度）一定是成反比关系。 6．傅里叶变换反映了信号的时域表示()f t 及其频谱()F ω的一一对应的关系，对于不同的信号其傅里叶变换也是不同的，因而我们可以用定义式()j ()e d t F f t t ωω∞??∞ =∫来求任何 信号的频谱。 7. 信号()Sa t 是带宽受限信号，其频带宽度为2。
数字信号处理复习题 一、选择题 1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）。 A.因果稳定 B.非因果稳定 C.因果不稳定 D. 非因果不稳定 2、一个离散系统（ D ）。 A.若因果必稳定 B.若稳定必因果 C.因果与稳定有关 D.因果与稳定无关 3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）。 A.线性时变 B. 线性非时变 C. 非线性非时变 D. 非线性时变 4.因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。 A.9.0 北京邮电大学2003年硕士研究生入学试题(A) 考试科目：信号与系统 请考生注意：所有答案（包括选择题和填空题）一律写在答题纸上，写清题号，否则不计成绩。计算题要算出具体答案，可以用计算器，但不能互相借用。 一、单项选择题（本大题共7小题，每题3分共21分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1. 设()f t 的频谱函数为()F j ω，则 +?32t f 的频谱函数等于 【 】 A ：ω ω23 221j e F ? ? ， B ： ωω23 221j e F ， C ：()ωω622j e F ? ， D ：()ωω622j e F ?? 。 2. 信号()t f 的频谱密度函数()ωj F = +34cos πω，则()t f 为 【 】 A ：() +3421πδj e t ， B ：()() ?+++334421 ππδδj j e t e t ， C ：()() ?+++?334421ππδδj j e t e t ， D ：()() ?++?334421 ππδδj j e t e t 。 3. 信号()()λλλd t u t f ?=∫∞ 的拉普拉斯变换为 【 】 A ：S 1， B ： 21S ， C ：31S ， D ：41S 。 4. ()()t u e t f t 2=的拉氏变换及收敛域为 【 】 A: ()[]2Re 2 1 ?>+= S S S F ， B: ()[]2Re 2 1? C: ()[]2Re 2 1>?= S S S F ， D: ()[]2Re 2 1<+= S S S F 。 5. 已知某信号的拉氏变换式为()()α α+= +?s e s F T s ，则该信号的时间函数为 【 】 A: ()()T t u e T t ???α ， B: ()T t u e t ??α ， C: ()αα??t u e t ， D:()()T t u e t ???αα 。 6. 序列()()n u n f n =31的单边Z 变换()F Z 等于 【 】 A: 131 ??z z , B: 13?z z , C: 133?z z , D:1 33+z z 。 7. 求信号()ππn j n j e e n x 3.02.0?+= 的周期。 【 】 A ：10 ， B ：20 ， C ：0.2π ， D ：0.3π 。 二、填空题（本大题共8小题，每题3分共24分）不写解答过程，写出每小题空格内的正确答案。 1. 已知(){} 6,5,4,3↑ =n x ,()n g =()=?12n x 。 2. 帕塞瓦尔定理说明，一信号（电压或电流）所含有的功率恒等于此信号在 各分量功率之总和 。 3. 已知冲激序列()∑∞ ?∞ =?= n T nT t t δδ)(,其三角函数形式的傅里叶级数 为 。 4. 若连续线性时不变系统的输入信号为()t f ,响应为()t y ,则系统无崎变传 输的系统传输函数必须满足：()ωj H = 。 5. 设()t f 为一有限频宽信号，频带宽度为B Hz ，试求()t f 2的奈奎斯特抽样 率=N f 和抽样间隔=N T 。 北京邮电大学2017年《信号与系统》考研大纲一．基本要求 掌握典型确定性连续和离散时间信号的表示和运算方法。 掌握连续和离散时间系统的分析方法，系统响应的划分，系统的单位冲激（样值）响应的定义和求解，利用卷积（卷积和）求系统零状态响应的物理意义和计算方法。 理解信号正交分解，掌握周期信号和非周期信号的频谱及其特点、傅里叶变换及其主要性质，了解其在通信系统中的应用，熟悉连续系统的频域分析方法。 掌握信号的拉氏变换、性质及应用。掌握连续时间系统的复频域分析方法、连续系统的系统函数的概念和由系统函数的零极点分布分析系统的特性。 掌握z变换的概念、性质和应用。掌握利用z变换求解离散系统的差分方程的方法、离散系统的系统函数的概念和由系统函数的零极点分布分析系统的特性。 掌握信号流图的概念、系统的状态方程的建立方法，了解连续系统状态方程的求解方法。 二．考试内容 绪论 信号与系统的概念，信号的描述、分类和典型信号 信号的运算，奇异信号，信号的分解 系统的模型及其分类，线性时不变系统，系统分析方法 连续时间系统的时域分析 微分方程式的建立、求解 零输入响应和零状态响应 系统的单位冲激响应 连续卷积的定义、物理意义、计算和性质 连续时间信号的频域分析 周期信号的傅里叶级数，典型周期信号的频谱结构，频带宽度 傅里叶变换的定义 傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 抽样信号的傅里叶变换，时域抽样定理 连续时间系统的s域分析 拉氏变换的定义，收敛域，拉氏逆变换 拉氏变换的性质 复频域分析法 系统函数H(s)，系统的零极点分布对系统的时域特性、因果性、稳定性和频率响应特性的影响 连续时间系统的傅里叶分析，傅里叶变换应用于通信系统 利用系统函数求响应，滤波的概念和物理意义，无失真传输，理想低通滤波器和带通滤波器，调制与解调，希尔伯特变换的定义，利用希尔伯特变换研究系统函数的约束特性，从抽样信号恢复连续时间信号，频分复用与时分复用 信号的矢量空间分析 信号正交分解 任意信号在完备正交函数系中的表示法 帕塞瓦尔定理，能量信号与功率信号，能量谱与功率谱 相关函数，相关定理 4.1将模拟信号()sin 2m m t f t π=载波()sin 2c c c t A f t π=相乘得到双边带抑制载波调幅（DSB-SC ）信号，设： (1)请画出DSB-SC 的信号波形图； (2)请写出DSB-SC 信号的傅式频谱式，并画出它的振幅频谱图； (3)画出解调框图，并加以简单说明。 解：(1) y(t) (2)()()()sin(2)sin(2)m c s t m t c t f t Ac f t ππ== [c o s 2()c o s 2()]2c m c m Ac f f t f f t ππ= --+ (){[()][()]}4c m c m Ac S f f f f f f f δδ=+-+-- {[( )][()]}4 c m c m Ac f f f f f f δδ-+++-+ (3)相干解调 相干解调：将接收信号与载波信号sin(2)fct π相乘，得到 ()s i n (2)()s i n (2)s i n c c c c r t f t A m t f t f t πππ=()[1c o s (4)] 2 c c A m t f t π=- 通过低通滤波器抑制载频的二倍频分量，得到解调信号为0()()2 c A y t m t = 4.2已知某调幅波的展开式为： 4 4 4 )4c o s ()c o s (2 1.2 10)()c o s (2 102 1.110t t t s t πππ++=????? (1)求调幅系数和调制信号频率； (2)写出该信号的傅式频谱式，画出它的振幅频谱图； (3)画出该信号的解调框图。 解：(1)444)4cos()cos(2 1.210)()cos(2102 1.110t t t s t πππ++=????? 444cos(2 1.110)[10.5cos(20.110)]t t ππ=+???? 调制系数是a=0.5; 信号频率是f=1000Hz (2)44441 ()[(10)(10)]2[( 1.110)( 1.110)]2S f f f f f δδδδ=++-+++-?? 441 [( 1.210)( 1.210)]2 f f δδ+++-?? (3)北邮信号考研2003年(A卷)真题及答案
北京邮电大学2017年《信号与系统》考研大纲_北邮考研论坛
北邮版通信原理课后习题的答案第四章
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