初二下学期数学期末复习串讲
考试范围
第十六章 分式（分式方程部分） 第十七章 反比例函数 第十八章 勾股定理 第十九章 四边形 第二十章 数据的分析 第二十一章 二次根式
第二十二章 一元二次方程（概念与解法部分）
第十六章 分式（分式方程部分）
一、本单元 知识结构图：
二、例题与习题：
1．解方程： （1）233x x
=
- （2）
1222x x x +
=--
（3）
2
6311
1
x x -=-- （4）
01
2
14
2
=--
-x x
7．2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。
8．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？
实际问题
实际 问题 的解 分式方程 整式方程
分式方程的解 整式方程的解
列方程
去分母
解整式方程
检验
目标
目标
10．某人往返于A 、B 两地，去时先步行2千米，再乘汽车行10千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米，步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？
11．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
第十七章 反比例函数
一、本章知识结构图：
二、例题与习题：
1．下面的函数是反比例函数的是 （ ）
A ． 13+=x y
B ．x x y 22
+= C ． 2
x y =
D ．x
y 2=
5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的
实际应用
现实世界中的反比例关系
建立数学模型
反比例函数
反比例函数的图象和性质
函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ． 6．点(231)P m -，在反比例函数1y x
=的图象上，则m = ．
7.点（3，－4）在反比例函数k y x =
的图象上，
则下列各点中，在此图象上的是（ ）
A.（3,4）
B. （－2，－6）
C.（－2，6）
D.（－3，－4）
11．在平面直角坐标系中，将点(53)P ，向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数k y x
=
的图象上，则此函数的图象分布在第 象限．
12.对于反比例函数x
k
y 2
=
(0≠k )，下列说法不正确．．．
的是（ ） A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k ，k ）在它的图象上
C. 它的图象是中心对称图形
D. 每个象限内，y 随x 的增大而增大
14．已知反比例函数y ＝
x
2k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）．
（A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2 16.若反比例函数1k y x
-=的图象在其每个象限内,y 随x 的增大而减小,则k 的值可以是
（ ）
A.-1
B.3
C.0
D.-3
18．设反比例函数)0(≠-=k x k y 中，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，则一次函
数k kx y -=的图象不经过( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 20．若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x
=的图象上，且0a <，则b 与c 的大
小关系为（ ） A ．b c >
B ．b c <
C ．b c =
D ．无法判断
21．已知点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-6，y 3）分别为函数x
k y =（k<0）的图象上的
三个点．则y 1 、y 2 、y 3的大小关系为 （用“<”连接）． 22.在反比例函数12m y x
-=
的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，
有12y y <，则m 的取值范围是（ ）
( 第 15 题 ）
2
A 、0m <
B 、0m >
C 、12
m < D 、12
m >
24． 已知直线mx y =与双曲线x
k y =
的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则m =_____；
k =____；它们的另一个交点坐标是______．
28.函数1k y x
-=
的图象与直线y x =没有交点，那么k 的取值范围是（ ）
A ．1k >
B ．1k <
C ．1k >-
D ．1k <- 31．已知反比例函数2y x
=
，下列结论中，不正确．．．的是（ ）
A ．图象必经过点(12)，
B ．y 随x 的增大而减少
C ．图象在第一、三象限内
D ．若1x >，则2y <
33．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是_____________． 34．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数x
k y =
过点A ，则K 的值是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．4
D ．-4
36．如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x
=≠的图象上，
A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ．
37．在反比例函数4y x
=
的图象中，
阴影部分的面积不等于4的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
42.已知反比例函数10
2
)2(--=m x
m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，
求反比例函数的解析式.
45.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=
的图象相交于A （-6，-2）、B （4，
第34题图 -1
2 -1
2 x
y
A
B
O 第33题图
第36题图
3）两点.
（1）求出两函数解析式； （2）画出这两个函数的图象；
（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 46．如图，直线y ＝x ＋1与双曲线x
2y =
交于A 、B 两点，
其中A 点在第一象限．C 为x 轴正半轴上一点，且S △ABC ＝3．
(1)求A 、B 、C 三点的坐标； (2)在坐．标平面内．．．．
，是否存在点P ， 使以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，请直接．．
写出点P
47．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，
y 与t 的函数关系式为t
a y =
（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问
题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，
那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
51．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5=OB ．且点B 横坐标是点B 纵坐
标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，
求S 与m 的函数关系式，并求出自变量的取值范围．
A O C
x y B
O
y A C D
B
第十八章 勾股定理
一、本章知识结构图：
二、例题与习题：
1. 在△ABC 中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是（ ）. A.222AC AB BC += B. 222BC AC AB +=
C. 222AC BC AB -=
D.222AB BC AC -=.
3．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列命题中的假命题是（ ） （A ）如果∠C －∠B=∠A ，则△ABC 是直角三角形
（B ）如果c 2= b 2—a 2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90° （C ）如果（c ＋a ）（c －a ）=b 2
，则△ABC 是直角三角形
（D ）如果∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形
4. 适合下列条件的三角形ABC 中，直角三角形的个数为（ ）. ①;5
1,41,31=
=
=
c b a ②a=b,∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°;
④a=7,b=24,c=25; ⑤a=2.5,b=2,c=3.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
6．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．
7．图7-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6A C =，5B C =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图7-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
实际问题
（判定直角三角形）
实际问题
（直角三角形边长计算）
勾股定理
勾股定理的逆定理
A
B
C
图7-1 图7-2 第6题图
12.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）. A.
cm 13
80 B.13cm C.6cm D.
cm 13
60
8．如图，四边形A B C D ，E F G H ，N H M C 都是正方形，
边长分别为a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，则c = （用含有a b ，的代数式表示）．
13.边长为a 的正三角形的面积等于____________.
14．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则A B C △的周长是_________，面积是
___________．
16．如图，矩形纸片ABCD 中，AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长为________．
18．如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．
21．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA ＝OB ＝1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n ＝________。
26．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．
（1）求牧民区到公路的最短距离CD ． （2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？
并说明理由． （结果精确到0.13 1.732 1.41）
B 1B 2
A 1
A
O
B
第21题图
C ’
A F D B
C
第16题图
E
第18题图
北
东
a D
C
B A
M
c
N E F
b G H
（第8题）
28.一块四边形的草地ABCD ,其中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AB =20m,CD =10m,求这块草地的面积.
30.在ΔABC 中，AB=15,AC=13,高AD=12,求ΔABC 的周长。
31．在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，
km A B a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中B P l ⊥于点P ）；图13-2是方案二的示意图，
设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )
d P
A P
B =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与
l 交于点P ）．
观察计算
（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图31-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳
（1）①当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；
A
B A
B P A '
C
图31-1
图31-2
A B P A '
C
图31-3
K 第28题
第十九章 四边形
一、本章知识结构图：
二、例题与习题：
3．下列命题中，真命题是（ ）
A ．两条对角线垂直的四边形是菱形
B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C ．两条对角线相等的四边形是矩形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A ．当A
B B
C =时，它是菱形 B ．当A C B
D ⊥时，它是菱形
C ．当90ABC ∠=
时，它是矩形
D ．当A C B D =时，它是正方形 （第4题图）
D B
A
5．如图所示，菱形A B C D 中，对角线A C B D ，相交于点O ， 若再补充一个条件能使菱形A B C D 成为正方形，
则这个条件是
（只填一个条件即可）．
6． 已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=?，
若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．
8．如图，一个四边形花坛A B C D ，被两条线段M N EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是123
4S S S S ，，，，若M N A B D C ∥∥，E F D A C B ∥∥，则有（ ）
A ．14S S =
B ．1423S S S S +=+
C ．1423S S S S =
D ．都不对
10．如图，菱形A B C D 中，已知20ABD ∠= ，则C ∠的大小是 ． 11. 已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝,则菱形的面积为 ㎝2. 15．已知菱形A B C D 的面积是212cm ，对角线4A C =cm ，则菱形的边长是 cm . 18.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志. 将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图）， 则重叠四边形的面积为_______2.cm
21． 如图，将左边的矩形绕点B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=___ ___ ．
22．在长为a m ，宽为b m 的一块草坪上修了一条1m 宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 __________m 2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m 的弯
曲小路（如图），则此时余下草坪的面积为 m 2
．
23．如图：矩形纸片ABCD ，AB =2，点E 在BC 上，且AE=EC ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 ．
A D
B O 第5题图
第21题图
第10题图 红
紫
白
黄
D
M
A
F
E
C
N
B 第8题图
第18题图 第22题图
27．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x ，y 表示矩形的长和宽(x ＞y )，则下列关系式中不正确的是（ ）
(A) x +y =12 ． (B ) x －y =2． (C ) xy =35． (D ) x 2＋y 2=144
30．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， E 为BC 上一点，DE ∥AB ，AD 的长为1， BC 的长为2，则CE 的长为___________．
31.等腰梯形A B C D 中，A
D B C ∥，5A D =cm ，9B C =cm ，60
C ∠= ，则梯形的腰长是 cm ．
32．若等腰梯形A B C D 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60 ，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．
33．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AC ⊥BD ，AD ＝6,BC ＝8,则梯形的高
为 。
34．如图，梯形A B C D 中，A D B C ∥，AD AB =，B C B D =，100A =
∠，则C =
∠（ ） A ．80
B ．70
C ．75
D ．60
40.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90?，AB=10cm ，D 为AB 的中点，则CD = cm .
第27题图
y
x A
E
C D
A B
C D
E
第23题图
第24题图 图 8
E
D
A B
C
第30题图
第33题图
C
D A B
第34题图
41．如图，D E 是A B C △的中位线，2D E =cm ，12A B A C +=cm ，则B C = cm ，梯形D B C E 的周长为 cm ．
48．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ ）
A ．六边形
B ．八边形
C ．十二边形
D ．十六边形
54．如图，点O （0，0)，B(0，1)是正方形OBB 1C 的两个顶点，以对角线OB 1为一边作正方形OB 1B 2C 1，再以正方形OB 1B 2C 1的对角线OB 2为一边作正方形OB 2B 3C 1，……，依次下去．则 点B 6的坐标是________________．
55．平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （32-，0），C （0，2-），D （
32，0）， 则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
62．如图，在A B C △中，D 是B C 边的中点，F E ，分别是A D 及其延长线上的点，C F BE ∥．
（1）求证：B D E C D F △≌△． （2）请连结B F C E ，，试判断
四边形B E C F 是何种特殊四边形，并说明理由．
63．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =； (2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，
四边形ABFC 是矩形，并说明理由．
第48题图
F
E D C B A 第54题图
68.已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,E F ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.
72.如图，在□ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点.
（1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积.
76．如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．
（1）求四边形CEFB 的面积；
（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长．
82．有一底角为60
的直角梯形，上底长为10cm ，与底垂直的腰长为10cm ，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm ，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
84在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．
求证：CE ⊥BE ．
（第23题）
E
D
B
A F 第68题图 A
F
第72题图
第76题图
A C
B
D
E 第84题图
85．如图，在平面直角坐标系中，直线b x 2
1y +-=(b ＞0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，
以OA 、OB 为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以M(4，0)，N(8，0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与△PMN 重叠部分的面积为S ．
(1)求点P 的坐标； (2)当b 值由小到大变化时，求S 与b
的函数关系式．
90．已知：如图，正方形ABC D 中，E 、F 都是C D 上的点，且D E EC =，EF FC =．
求证：2BAF EAD ∠=∠．
第二十章 数据的分析
一、本章知识结构图：
二、例题与习题：
2．一组数据1，2，4，x ，6的众数是2，则x 的值是（ ） A ．1 B ．4 C ．2
D ．6
5．在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ．20万、15万
B ．10万、20万
C ．10万、15万
D ．20万、10万
A B
C
D E F
第90题图
A B
C M N
D P
O y
x
(第85题图)
6．七（1）班四个绿化小组植树的棵树如下：10，10，x ，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_______棵.
10．某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A B ，两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如右表所示．根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3:2的比例计算两人的总成绩，那么 （填A 或B ）将被录用．
11．四川省汶川发生大地震后，全国人民“众志成城，抗震救灾”，积极开展捐款捐物献
爱心活动．下表是我市某中学初一·八班50名同学捐款情况统计表：
A ．15
B ．20
C ．30
D ．100
14．汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“献出我们的爱” 赈灾捐款活动．八年级（1）班50名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：
捐款（元）
10 15 30 50
60 人数
3
6
11
13
6
因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款38元． （1）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．
（2）该班捐款金额的众数、中位数分别是多少？
15
得分（分） 10 9 8 7 人数（人）
5
8
4
3
②这20位同学实验操作得分的平均分是多少？
③将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图．
扇形①的圆心角度数是多少？
16．八年级（1）班开展了为期一周的“孝敬父母，帮做家务”社会活动，并根据学生帮家长做家务的时间来评价学生在活动中的表现，把结果划分成A B C D E ，，，，五个等级．老师通过家长调查了全班50名学生在这次活动中帮父母做家务的时间，制作成如下的频数分布表和扇形统计图．
学生帮父母做家务活动时间频数分布表
测试项目
测试成绩
A
B
面试 90
95 综合知识测试 85 80
捐款数（元） 10 15 20 30 50 60 70 80 90 100 人 数（人）
3
10
10
15
5
2
1
1
1
2
20%
① 25%
40% 第15题图
等级 帮助父母做家务时间
（小时）
频数
A 2.53t <≤ 2
B 2 2.5t <≤ 10
C 1.52t <≤ a
D 1 1.5t <≤ b E
0.51t <≤
3
（1）求a b ，的值；
（2）根据频数分布表估计该班学生在这次社会活动中帮父母做家务的平均时间； （3）该班的小明同学这一周帮父母做家务2小时，他认为自己帮父母做家务的时间比班级里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计量说明理由． 18.一交通管理人员星期天在市中心的某十字路口，对闯红灯的人次进行统计，根据上午7∶00 ~ 12∶00中各时间段（以1小时为一个时间段）闯红灯的人次，制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别为（ ）
（A ）15，15 （B ）10，15 （C ）15，20 （D ）10，20
22．振兴中学某班的学生对本校学生会倡导的“抗震救灾，众志成城”自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3︰4︰5︰8︰6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款多少元？
25．为了减轻学生的作业负担，烟台市教育局规定：初中学段学生每晚的作业总量不超过1.5小时.一个月后，九（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下面的问题：
B A E D
C 40% （第22题）
学生帮父母做家务活动评价
等级分布扇形统计图
第18题图
/元
人数
第22题图
（1）该班共有多少名学生？
（2）将①的条形图补充完整.
（3）计算出作业完成时间在0.5～1小时的部分对应的扇形圆心角.
（4）完成作业时间的中位数在哪个时间段内？
（5）如果九年级共有500名学生，请估计九年级学生完成作业时间超过1.5小时的有多少人？
26．为了解九年级学生每周的课外阅读情况，某校语文组调查了该校九年级部分学生某周的课外阅读量（精确到千字），将调查数据经过统计整理后，得到如下频数分布直方图．请根据该频数分布直方图，回答下列问题：
（1）填空：
①该校语文组调查了名学生的课外阅读量；
②左边第一组的频数＝，频率＝．
（2）求阅读量在14千字及以上的人数．
（3）估计被调查学生这一周的平均阅读量（精确到千字）．
29．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
30．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下
（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的（ ） A ．众数是10.5 B ．中位数是10 C ．平均数是11 D ．方差是3.9
31．已知甲、乙两组数据的平均数分别是80x =甲，90x =乙，方差分别是210S =甲，
2
5S =乙，比较这两组数据，下列说法正确的是（ ）
A ．甲组数据较好
B ．乙组数据较好
C ．甲组数据的极差较大
D ．乙组数据的波动较小 33．小华五次跳远的成绩如下（单位：m ）：3.9，4.1, 3.9, 3.8, 4.2．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A ．极差是0.4
B ．众数是3.9
C ．中位数是3.98
D ．平均数是3.98 35. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为 1.85米，方差分别为
2
甲S =0.32，2
乙S =0.26，则身高较整齐的球队是 队.
36．质检部门对甲、乙两工厂生产的同样产品抽样调查，计算出甲厂的样本方差为0.99，乙厂的样本方差为1.02，那么，由此可以推断出生产此类产品，质量比较稳定的是___厂． 38．5月12日，一场突如其来的强烈地震给我省汶川等地带来了巨大的灾难， “一方有难，八方支援”，某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示：
捐款数（元）
10
20
30
40 50 捐款人数（人） 8 17 16 2
2
．．
A 、中位数是30元
B 、众数是20元
C 、平均数是24元
D 、极差是40元 41．如图是根据某地某段时间的每天最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的
极差、众数、平均数依次是（ ） A ．5°，5°，4°
B ．5°，5°，4.5°
C ．2.8°，5°，4°
D ．2.8°，5°，4.5°
43．甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；
（1）将下表填完整：
7 6 5 4 3 2 1 0
1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日
第41题图
2008年4月上旬最低气温统计图 温度（℃）
（2）甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米； （3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．
3月 4月 5月 6月 7月 8月 吐鲁番葡萄（吨） 4 8 5 8 10 13 哈密大枣（吨） 8
7
9
7
10
7
（1）请你根据以上数据填写下表：
平均数 方差 吐鲁番葡萄 8 9 哈密大枣
（2）补全折线统计图．
（3）请你从以下两个不同的方面对这两种水果在去年3月份至8月份的销售情况进行分析：
①根据平均数和方差分析；
②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析．
第二十一章 二次根式
一、本章知识结构图：（略） 二、例题与习题： 1．概念与性质： （1）.若式子
5x +,则x 的取值范围是（ ）
A.x >-5
B.x <-5
C.x ≠-5
D.x ≥-5
（5）若220x y y -+-=，则2
()xy -的值为（ ）
A ．64
B ．64-
C ．16
D ．16-
（6）函数y
=
1
x -,自变量x 的取值范围是 .
（7）函数1
y x =
-x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
（8）已知a 2
284a a a +--的值.
（9）化简(－3)2 的结果是（ ）
A.3
B.－3
C.±3 D ．9 （10）若2(1)1a a -=-，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥ C ．1a < D ．1a ≤
（11）已知
2
11a a a
a
--=
，则a 的取值范围是（ ）
A ．0a ≤
B ．0a <
C ．01a <≤
D ．0a >
（12）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A.2
1a + 12
8 D.27
（1624a -2a 值可以是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 2.运算： （1）123的结果是 ．（2）计算： 3 ＋（5－ 3 ）= ．
（3）化简：x x = ．（4）计算：825-
= ．
（5）计算：27124
148÷??
?
?
?
+
＝_________．
（60
11822??
- ???
．
A ．
B ．
C ．
D ．
初二数学总复习 第十六章 分式（分式方程部分） 一、本单元 知识结构图： 二、例题与习题： 1．解方程： （1） 233x x =- （2）1222x x x +=-- （3）263111x x -=-- （4）01 2 142=---x x 2．2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。 4．某人往返于A 、B 两地，去时先步行2千米，再乘汽车行10千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米，步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？
第十七章 反比例函数 一、本章知识结构图： 二、例题与习题： 1．下面的函数是反比例函数的是 （ ） A ． 13+=x y B ．x x y 22 += C ． 2x y = D ．x y 2= 5．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p ＝ ． 6．点(231) P m -，在反比例函数1 y x =的图象上，则m = ． 7.点（3，－4）在反比例函数k y x = 的图象上，则下列各点中，在此图象上的是（ ） A.（3,4） B. （－2，－6） C.（－2，6） D.（－3，－4） 12.对于反比例函数x k y 2 =(0≠k )，下列说法不正确．．．的是（ ） A. 它的图象分布在第一、三象限 B. 点（k ，k ）在它的图象上 C. 它的图象是中心对称图形 D. 每个象限，y 随x 的增大而增大 14．已知反比例函数y ＝ x 2 k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值围是（ ）． ( 第 15 题 ） 2
初二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（ ） A. x 的次数是0 B. y 1是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是 （ ） A.单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B.单独一个数或字母也是单项式 C.一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D.多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ） A ． B ． C ．
4、只含有z y x ,,的三次多项式中，不可能含有的项是 （ ） A.32x B.xyz 5 C.37y - D.yz x 24 1 5、与方程12x x -=的解相同的方程是( ) A 、212x x -=+ B 、21x x =+ C 、21x x =- D 、1 2 x x += 6、把方程112 3 x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段长3.现延长到点C ，使3.取线段的中点D ， 线段的长为（ ） A 、4.5 B 、6 C 、7 D 、7.5. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（ ） A ． 2 12 y 和2 B ．-3和0 C ．2和2 c D ．和-8 10、若都是4次多项式, 则多项式的次数为( ) A.一定是4 B.不超过4. C.不低于4. D.一定是8. 11、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ）
初二数学经典难题 一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 》 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
； 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ周长的最小值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． 、 ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.
简单的极端原理 1 钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等 于零，则至少要添 n 个负号，这个数 n 是（ A、4 B、5 ） C、6 D、7
2、
学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票 1500 张，统计其中 1000 张选票的结果是：甲 350 张，乙 370 张，丙 280 张，则甲在剩下的 500 张选票中至少再得 票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．
（a+b+c）2、 （a+b-c）2、 （b+c-a）2、 （c+a-b）2这四个代数 3 已知 a、b、c 为实数．证明： 式的值中至少有一个不小于 a2+b2+c2的值，也至少有一个不大于 a2+b2+c2的值．
4
（b+1） （c+1）的最小值是（ 如果 a，b，c 是正实数且满足 abc=1，则代数式（a+1） ， ， ，则代数式（ ） （ ） （ ）的最小值是（ A、64 、 B、8 2 、 C、8 、 D、 2 、 ）
5
如图，在矩形 ABCD 中，AE，AF 三等分∠BAD，若 BE=2，CF=1，则最接近矩形 面积的是（ A、13 ） B、14 C、15 D、16
y
6.正方形 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2， 正方形 ， ， ， …按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3， 按如图所示的方式放置． 按如图所示的方式放置 ， ， ， …和点 ，C2，C3，…分别在直线 和点C1， ， ， 分别在直线 分别在直线y=kx+b 和点 轴上， (k＞0)和x轴上，已知点 ＞ 和 轴上 已知点B1(1，1)， ， ， B2(3，2)，则 Bn 的坐标是 的坐标是_________． ， ， ．
A3
B3
A2 B2 A1 B1
O
C1
C
C3
x
7（2005?烟台） （1）如图1，以△ABC 的边 AB、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方 形 ACFG，连接 EG，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由． （2） 园林小路， 曲径通幽， 如图2所示， 小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成． 已 知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这 条小路一共占地多少平方
米．
C2 C1 A2 B2 B1 O1 O A1 D C B A 八年级（下）数学精选压轴题、新题 1. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形C OBB 1 ，对角线相交于 点 1 A；再以C A B A 1 1 1 、为邻边作第2个平行四边形C C B A 1 1 1 ，对角线相交于点 1 O；再以 1 1 1 1 C O B O、为邻边作第3个平行四边形1 2 1 1 C B B O……依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形 1 OBB C、第2个平行四边形 111 A B C C和第6个平行四边形的面积。 2、如图，菱形ABCD的对角线长分别为b a、，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011的面积用含b a、的代数式表示为． 3、在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：CFGE是菱形。 4．如图，在梯形ABCD中，,6,5,30 AD BC AC BD OCB ==∠=?，求BC+AD的值及梯形面积. 5.已知数x1,x2,x3,x4, …,x n的平均数是5，方差为2，则3x1+4,3x2+4, …,3x n+4的平均数是_______________，方差是_______________. 6、一组数据 0，-1，5，x，3，-2的极差是8，那么x的值为（） A、6 B、7 C、6或-3 D、7或-3 7．观察式子： a b3 ，－ 2 5 a b ， 3 7 a b ，－ 4 9 a b ，……，根据你发现的规律知，第8个式子为． 8、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，依此规律第10个图形的周长为。 …… 第一个图第二个图第三个图 9、如图，矩形ABCD对角线AC经过原点O，B点坐标为（―1，―3），若一反比例函数 x k y=的图象过点D，则其解析式为。 _F _A_B _C _D _E _G B C A D O
初二（下册）数学题精选 分式： 一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +1 1 ++c ac =1 解： 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 解： 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 解： 四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整，条件充分并写出解答过程。 解略 五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2 22 2y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的 形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。
解： 反比例函数： 一：一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）“E”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围.
二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例 函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△ OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说 明理由；
初二数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共14小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共56分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分． 1、下列说法中正确的是（ ） A. x 的次数是0 B. y 1 是单项式 C. 2 1 是单项式 D. a 5- 的系数是5 2、下列说法中，不正确的是 （ ） A .单项式中的数字因数叫这个单项式的系数 B .单独一个数或字母也是单项式 C .一个单项式中，所有字母的指数的和叫这个单项式的次数 D .多项式中含字母的单项式的次数即为多项式的次数 3、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ） 4 A . D 5A 、、21x =- D 、2 x x += 6、把方程 1 123 x x --=去分母后，正确的是( ) A 、32(1)1x x --= B 、32(1)6x x --= C 、3226x x --= D 、3226x x +-= 7、某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( ) A 、赚16元 B 、赔16元 C 、不赚不赔 D 、无法确定 8、已知线段AB 长3cm.现延长AB 到点C ，使BC=3AB.取线段BC 的中点D ， 线段AD 的长为（ ） A 、4.5cm B 、6cm C 、7cm D 、7.5cm. 9、在下列单项式中，不是同类项的是（ ） A ．-2 1 x 2y 和-yx 2 B ．-3和0 C ．-a 2bc 和ab 2c D ．-mnt 和-8mnt 10、若M,N 都是4次多项式, 则多项式M+N 的次数为( ) A ． B ． C ． D ．
初二数学难题30道
1已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2已知：如图，在四边形ABCD M 、N 分别是AB 、、BC 的延长线交MN 于求证：∠DEN ＝∠F ． 3、如图，分别以△ABC 的 A P C D B B
在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） 4、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）Array 5、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，
且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF 6、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ． （初二） 7、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二） E
8、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二） 9、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值． 10、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC=3a 正方形的边长． 1.如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE， 且DA=DB ，BE=EC ，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE 交AB 于点F ，试探究线段DF 与EF 的数量关系，并加以证明。 3：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形. (1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形； (2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪 P A D C B A C B P D F
A P C D B 初二数学经典题型 1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。 首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线 交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2 又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF 所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2. 4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ． 过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接 BE
初二数学提高题[附答案]
综合题 1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=2，∠BCO= 60°。 （1）求证：OBC 为等边三角形；（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线 段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向 点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之 间的函数关系式，并求出t 的取值范围； （3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。3?图(1)60?B C A o 图(2)60?M P Q H B A （备用图）H 60? B C A
333 33333解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=2，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角形。 ∵AB//CO ，∠A=90°∴∠AOC=180°-90°=90° ∵∠AOB=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°=∠C ∴△OBC 为等边三角形 2)∵点P 运动的时间为t 秒，∴OQ=PH=t ∵OH ⊥BC ，∴∠CHO=90°， ∴∠COH=30°，OH=( /2)BC=2 ∴∠QOP=60°，OP=2 -t ∴S=1/2t(2 -t)× /2=3/2t- /4t 2，且(0 2. 如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B 在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°。AH⊥OB，垂足为点H。 （1）求直线l所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH和OB的长度； （3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。 解：1)设y=kx为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH即A的纵坐标，∴AH=5 ∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH即A的横坐标，∴OH=3 ∵OB=OH+BH，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x，∴BP=8-x 初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE 和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小 值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值． 9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值． （2）直接写出时x的取值范围； ，AE⊥于EBD交BCAB=AC、如图，1Rt△ABC中，∠BAC=90°，，D是AC的中点，CDE ADB=∠连接ED，求证；∠ D ，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4ABC，PC＝5．求∠2APB度数、。正三角形△ 3、P是等边三角形ABC内一点，∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7，以PA，PB，PC为边的三角形三个内角的大小。 求证：AE=CF.的中点，AB为D点AC=BC,，°ACB=90中，∠ABC已知：在三角形、4．DF? ⊥DE ，FAB于且延长线上一点，AD=1/2AC，DE交E5、△ABC中，是BC的中点，D是CA 。求证：DF=EF 6、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC， 连接EF、EB． （1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形． 答案：1、解：过C作CG⊥AC交AE延长线于G 互余）EAB都与∠GAC(∠DBA=，所以∠F于BD⊥AE∵． °DAB=∠GCA=90又∵AB=CA，∠)≌△GCA(角边角∴△DAB∴∠ADB=∠CGA,AD=CG 又∵AD=DC,所以CD=CG 又∵∠GCE=∠DCE=45°，CE=CE ∴△GCE≌△DCE（边角边） ∴∠CGA=∠CDE ∴∠ADB=∠CDE 2、解：以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，可知 PQ=PA=3，∠APQ=60°， 由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ 所以△CAP≌△BAQ 可得：CP=BQ=5， 在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以 ∠BPQ=90° 所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。 3、解：在AP的一侧以AP长为边作等边△APD，使D位于△ABC外AC边一侧， 易证△ABP≌△ACD（SAS） 因此，CD＝PB，PD＝PA，△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形 设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x, 由周角为360°，得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°∴x=20°, 26．（本题满分10分） 已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2. （1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分） （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式 表示）；（5分） D (第26题图1) F D C A B E (第26题图2) F H G 26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M . …………………………………………（1分） 在正方形EFGH 中， 90,HEF EH EF ∠==o . …………………………………………………………（1 分） 90. 90,. AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠o o Q 又∵90A B ∠=∠=o ， ∴⊿AH E ≌⊿BEF …………………………………………………………（1 分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分） ∴GM=BF=AE =2. ∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点 G 作GM BC ⊥于 M .连接 HF . …………………………………………（1分） //,. //,. AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠Q Q .AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分） 又90,,A GMF EH GF ∠=∠==o Q ∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1 分） ∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1 分） 11 (12)12. 22 GFC S FC GM a a ∴=?=-=-V …………………………………………（1分） F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ． . 4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ． B 5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ． 6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ． 7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。 求证：EF=FD 。 8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A A P C D B 初二数学经典题型练习 1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ．求证：△PBC 是正三角形． 证明如下。 首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。 在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则 ∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中， ∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°， PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC 是正三角形。 2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、 F ．求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM. 又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2) 又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN. 3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底 八年级下册数学好题难题精选 分式： 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。 四：联系实际编拟一道关于分式方程228 8+=x x 的应用题。要求表述完整，条件 充分并写出解答过程。 五：已知M ＝2 22y x xy -、N ＝22 22y x y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的 形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5： 2。 反比例函数： 一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？ （3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围. 二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点． （1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比 例函数1 y x 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 初二数学平行线难题训练 一．选择题（共1小题） 1．（2014春?山西校级期中）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（） A．42°、138°B．都是10° C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对 二．解答题（共28小题） 2．（2015?六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由． 3．（2014春?宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC 交直线GH于D． （1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=______． （2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α． ①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）． ②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由． （3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠ DBA=______．（直接写出结果，不必证明） 4．（2014春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB=90°； （2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．（3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 5．如图所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积． 6．（1）如图①，如果直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？ 4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 N F E C D P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E 八年级数学经典练习题附答案 ( 因式分解 ) 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a －3)(3 －2a)=_______(3 － a)(3 － 2a) ； 12．若 m 2－3m ＋ 2=(m ＋ a)(m ＋ b) ，则 a=______， b=______； 15．当 m=______时， x 2＋2(m －3)x ＋ 25 是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是 ( ) A ．a 2b ＋ 7ab －b ＝b(a 2＋ 7a) B ．3x 2y －3xy －6y=3y(x －2)(x ＋1) C ．8xyz －6x 2y 2＝ 2xyz(4 －3xy) D ．－ 2a 2＋4ab － 6ac ＝－ 2a(a ＋2b － 3c) 2．多项式 m(n －2) － m 2(2 －n) 分解因式等于 ( ) A ．(n －2)(m ＋m 2) B ． (n －2)(m －m 2) C ．m(n －2)(m ＋1) D ． m(n － 2)(m － 1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是 ( ) A ．a(x － y) ＋b(m ＋ n) ＝ax ＋ bm －ay ＋bn B ． a －2ab ＋b ＋1=(a －b) 2 ＋1 2 2 C ．－ 4a ＋9b ＝( －2a ＋ 3b)(2a ＋3b) D ．x － 7x －8=x(x － 7) －8 2 2 2 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( ) A ．a 2＋b 2 B ．－ a 2＋ b 2 C ．－ a 2－b 2 D ．－ ( － a 2) ＋ b 2 初二数学经典难题(带答案及解析) 初二数学经典难题 一、解答题（共10小题，满分100分） 1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点， ∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二） 2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN=∠F． 3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半． 4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且 ∠PBA=∠PDA． 求证：∠PAB=∠PCB． 5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长． 6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度． 7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双 曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小 值． 8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC 上，且PE=PB． （1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD； （2）设AP=x，△PBE的面积为y． ①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．初二数学经典难题带答案及解析
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