10年考研数学强化线性代数讲义(一至二讲)[1]...

2010考研强化班线形代数讲义

主讲：尤承业

欢迎使用新东方在线电子教材

第一讲基本概念

一. 关于矩阵和向量的几个问题。

1．行向量和列向量

3

问题:(3,-2,1)和 -2 是不是一样?

1

2. 下列矩阵都是什么矩阵?

① 1 0 0 ② c 0 0 ③ 2 -1 1 ④ 0 0 1 ⑤ 0 0 0

0 0 0 0 c 0 0 1 7 0 2 0 0 0 0

0 0 2 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 0 0

⑥ 2 2 2 ⑦ 2 -1 0 1

2 2 0 0 1 2 7

2 0 0 0 0 2 0

对角矩阵: ①②⑤ .

上三角矩阵: ①②③⑤ .

下三角矩阵: ①②⑤ .

对称矩阵: ①②⑤④⑥ .

3. 3 -1 4

例:求矩阵A= 50 7 的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.

0 8 -6

解:2 5- 0 +3 7 = 10 - 0 + 21= 31 .

0 8 -6 0 8 -18 -26

二．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,

a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,

…………

a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=

b m,

对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.

(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组:b1=b2=…=b m=0的线性方程组.

n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.

因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

称矩阵

a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1

A= a21 a22… a2n 和(A| )= a21 a22… a2n b2

…………………

a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mn

b m

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.

三. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

1.初等变换

矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.

初等行变换:

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)

2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行, 也有非零行,则零行都在下,非零行在上.

②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调

上升.

1 -3

2 6 5 1

0 0 2 4 -6 3

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

0 -3 2 6 5 2

0 0 2 4 -6 3

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

1 -3

2 6 5 1

0 0 0 4 -6 4

0 0 0 -3 9 4

0 0 0 0 0

问题1.设A是n阶矩阵, 下列命题中哪个正确?

(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.

(2) 如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.

(3) 如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.

(4) 如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.

问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?

(1) A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.

(2) A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.

(3) A去掉右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.

3.简单阶梯形矩阵

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.

每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.

用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.

(1) 2 -1 0 1 1 (2) 1 1 1 1

1 1 1 0

2 0 1 -1 2

2 5 4 -2 9 2

3 1 6

3 3 3 -1 8 , 3 a 1 7 .

解：

1 1 1 0

2 1 1 1 0 2 1 1 1 0 2

(1) → 2 -1 0 1 1 → 0 -3 -2 1 -3 → 0 -3 -2 1 -3 →

2 5 4 -2 9 0 6 4 -

3 8 0 0 0 -1 2

3 3 3 -1 8 0 0 0 -1 2 0 0 0 -1 2

1 1 1 0

2 1 1 1 0 2 1 0 1/

3 0 5/3

0 -3 -2 1 -3 0 -3 -2 0 -3 0 1 2/3 0 1/3

0 0 0 -1 2 → 0 0 0 -1 2 → 0 0 0 1 -2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(2) 0 1 -1 2 0 1 -1 2 0 1 -1 2

2 3 1 6 → 0 1 -1 4 → 0 0 0 2

3 a 1 7 0 a-3 -2

4 0 0 a-

5 10-2a

1 1 1 1 1 1 1 1

若a≠5 0 1 -1 2 0 1 -1 2

→ 0 0 a-5 10-2a → 0 0 1 -2

0 0 0 2 0 0 0 2

1 1 1 1 1 0

2 0

若a=5 0 1 -1 2 0 1 -1 0

→0 0 0 2 → 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0

请注意:

①从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.

②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

四. 线性方程组的矩阵消元法

消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.

线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.

例:

1 5 1 1 1

0 3 -2 -1 -2

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 -2 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x2-2x3-x4=-2,

3x3+x4=4,

-2x4=4,

1 5 1 1 1

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 -2 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x3+x4=4,

-2x4=4,

1 5 1 1 1

0 3 -2 -1 -2

(A|β)→ 0 0 3 1 4

0 0 0 0 4

0 0 0 0 0

x1+5x2+x3+x4=1,

3x2-2x3+x4=-2,

3x3+x4=4,

0=4,

矩阵消元法步骤如下:

(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B |γ).

(2)用(B |γ)判别解的情况:

如果最下面的非零行为(0,0, ?,0 | d),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B |γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0 |γ0 ),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E |η),则η就是解.

b11 * * … * 1 0 0 … 0 c1 x1=c1

(B0|γ0)= 0 b22 * … * γ0 → 0 1 0 … 0 c2 x2=c2

……………………… ,

0 0 0 …b nn 0 0 0 … 1 c n x n=c n

(c1, c2, …,c n)T就是解.

(A|β)→ (B |γ)

↓

(B0 |γ0 ) →(E |η),η就是解.

1 5 1 1 1 1 5 1 0 3 1 0 0 0 1

0 3 -2 -1 -2 0 3 -2 0 -4 0 3 0 0 0

(B0 |γ0 )→ 0 0 3 1 4 → 0 0 3 0 6 → 0 0 1 0 2

0 0 0 -2 4 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 -2

解为(1,0,2,-2)T.

对齐次线性方程组:

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r

推论:当齐次方程组方程的个数m

问题η1=(1,1,1)T,η2=(1,2,4)T,η3=(1,3,9)T,α=(1,1,3)T,将α写为η1，η2，η3的线性组合.

解：假设 x1η1+x2η2+x3η3=α ,

x1+x2+x3=1,

x1+2x2+3x3=1,

x1+4x2+9x3=3.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(A|β) = 1 2 3 1 → 0 1 2 0 → 0 1 2 0

1 4 9 3 0 3 8

2 0 0 2 2

1 0 0 2

→ 0 1 0 -2 .

0 0 1 1 2η1-2η2+η3=α.

第二讲行列式

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

……… (简记为|a ij|)

a n1 a n2… a nn

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.

意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

一. 定义(完全展开式)

2阶和3阶行列式的计算公式:

a11 a12

a21 a22 = a11a22-a12a21 .

a1112

a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 a 31 a 32

一般地,一个n 阶行列式

|a ij |= .)

1(21212121)

(n n n

nj j j j j j j j j a a a τ-∑

① 是许多(n!个)项的代数和(在求和时每项先要乘+1或-1.)

② 每一项n nj j j a a a 2121,都是n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列. 即列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.

∑

n

j j j 21表示对所有n 元排列求和.

③ 规定 (j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数.

称1,2…n 为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,就说它们构成一个逆序. 全排列j1j2…jn 的逆序数就是其中出现的逆序的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数. 例如求8元排列62874513的逆序数:

022451531547826, (62874513)=5+1+5+4+2+2+0+0=19.

对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积. 求下三角行列式

a 11 0 0 … 0 0

a 21 a 22 0 … 0 0 … … … …

a n-11 a n-12 … a n-1n-1 0 a n1 a n2 … a nn-1 a nn

=)

12()

1(n τ-a 11a 11…a nn =a 11a 11…a nn

例1 求

x-3 a -1 4

f(x)= 5 x-8 0 2 的x4和x3的系数.

0 b x+1 1

2 2 1 x

解：多项式f(x)的最高次项是4次项.

由于从完全展开式看出,24项中除了对角线乘积这一项,其余项的次数不超过2.于是, x4, x3的系数可从(x-3) (x-8) (x+1)x这一项中求得：

(x-3) (x-8) (x+1)x= x4+(-3-8+1) x3+…

=x4-10 x3+…

所以,系数分别为1和-10.

例2 设3阶矩阵

a11 a12 a13

A= a21 a22 a23 , 设|x E-A|的3个根为x1,x2.x3.证明x1+x2+x3= a11+a 22+a 33 .

a31 a32 a33

证: x-a11 -a12 -a13

|x E-A|= -a21 x-a22 -a23 =(x- x1) (x- x2) (x- x3)

-a31 -a32 x-a33

看两边x2项的系数：

右边=-(x1+x2+x3),

左边看(x- a11) (x- a22) (x- a33)这一项,系数为-( a11+ a22+ a33),

右边=左边, 得结论.

二. 化零降阶法

1.余子式和代数余子式

元素a ij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作M ij.

a ij的代数余子式为A ij=(-1)i+j M ij.

2.定理

(对某一行或列的展开)行列式的值等于某行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

n=4, |a ij|=a21A21+a22A22+a23A23+a24A24

例 3 1 a1 0 0

0 1 a2 0

求 0 0 1 a3… 0 的值等于0的条件 .

…………a n-1

a n 0 0 … 0 1

解:对第一列展开,得

值= A11+a n A n1=1+(-1)n+1M n1.

a1 0 0

M n1= 1 a2…… 0 = a1 a2…a n-1,

…………

0 0 … 1 a n-1

代入得到值=1+(-1)n+1 a1 a2…a n,

则，当a1 a2…a n=(-1)n时，值为0.

3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.

4. 化零降阶法

用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

例4 求行列式 3 0 4 0

2 2 2 2

0 -7 0 0

5 3 -2 2

的第四行各元素的余子式的和.(01)

解：所求为 M41+ M42+ M43+ M44=-A41+A42-A43+A44

3 0

4 0 3 4 0 3 4 0

= 2 2 2 2 = -7 A32=7 2 2 2 =7 0 0 4

0 -7 0 0 -1 -1 1 -1 -1 1

-1 1 -1 1

3 4

=-28 -1 -1 =-28

例5 4阶行列式

2 4 5 -2

-3 7 8 4 的第3列元素的代数余子式记作 A13，A23，A33，A43，

5 –9 -5 7

2 –5 2 2

求①-A13-A23+2A33+A43. ②2A13-3A23+5A33+2A43.

解：① 2 4 -1 -2

-A13-A23+2A33+A43 = -3 7 -1 4

5 –9 2 7

2 –5 1 2

2 4 -1 -2 -5

3 6

= -5 3 0 6 = (-1) A13= - 9 -1 3

9 -1 0 3 4 -1 0

4 -1 0 0

7 3 6 7 6

= - 5 -1 3 = - 5 3 = 9.

0 -1 0

②

2 4 2 -2

2A13-3A23+5A33+2A43= -3 7 -3 4 = 0

5 9 5 7

2 5 2 2

5. 性质

某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.

例6

a b c d

已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.

1 -z x+3 y

y-2 x+1 0 z+3

解：理由上述性质，A11,A12,A13,A14与第2，3，4各行元素乘积之和等于0，得方程组：

-9x-3+y+3z+3=0 -9x+y+3z=0

-9-3z-x-3+3y=0 -x+3y-3z=12

-9 1 3 0

-1 3 -3 12

3 -9 3 -27

-1 3 -3 12

0 0 -6 6

0 -26 12 -9

-1 -3 0 -9

0 -26 0 -78

0 0 1 -1

1 0 0 0

0 1 0 3

0 0 1 -1

解得x=0,y=3,z=-1.

三.其它性质

3．把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .

4．作第一类初等变换, 行列式的值变号.

5．作第二类初等变换, 行列式的值乘c.

问题： |c A|=?

c|A|;|c||A|; c n|A|;|c|n|A|;

6．对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ所得到的行列式.例如

|α，β1+β2，γ|=|α，β1，γ|+|α，β2，γ|.

问题：|A+B |=|A|+|B |?

解：设A，B都是4阶矩阵，

A=(α1，α2，α3，α4)，B =(β1，β2，β3，β4)，

则A+B =(α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4)

|A+B|=|α1+β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

=|α1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

+|β1，α2+β2，α3+β3，α4+β4|

=…=…

|A+B|可分解为16个行列式之和，它们的各列都有两个可能：αi 或βi .

例7 设4阶矩阵A =(α, γ1, γ2 , γ3),B =(β,γ1, γ2 , γ3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | .

解：A +B =(α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3),

|A +B |=|α+β, 2γ1, 2γ2 ,2γ3|=8|α+β, γ1, γ2 , γ3|

=8|α, γ1, γ2 , γ3|+8|β, γ1,γ2 ,γ3|=40.

7．如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.

拉普拉斯公式的一个特殊情形： 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B

范德蒙行列式： 形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i

的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于

).(i j j

i a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

四.克莱姆法则

克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵A 为n 阶矩阵)时.

|A |≠0?方程组有唯一解.

此解为 (D 1/|A |, D 2/|A |,?,D n /|A |)T ,

D i 是把|A |的第i 个列向量换成常数列向量β所得到的行列式.

1.|A|≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.

(A|β)→(B |γ)

问题:|A |=|B |？

|A |≠0?|B |≠0.

于是只用说明|B |≠0是方程组有唯一解的充分必要条件.

b11 * * … *

(B |γ)= 0 b22 * … * γ

…………

0 0 0 …b nn

2. 实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|β)作初等行变换,使A变为单位矩阵:

(A|β)→(E |η), η就是解.

用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|≠0.

例 7设有方程组

x1+x2+x3=a+b+c,

ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,

bcx1+acx2+abx3=3abc.

(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.

(2)在此情况求解.

1 1 1 a+b+c 1 1 1 a+b+c

(A|β)= a b c a2+b2+c2→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a)

bc ac ab 3abc 0 c(a-b) b(a-c) 2abc-b2c-b2c

1 1 1 a+b+c 1 1 0 a+b

→ 0 b-a c-a b(b-a)+c(c-a) → 0 b-a 0 b(b-a)

0 0 (c-a)(c-b) c(c-a)(c-b) 0 0 1 c

1 0 0 a

→ 0 1 0 b

0 0 1 c

例8 A 其中 A是k阶矩阵, B是h阶矩阵。

B *

(A)|A||B|.

(B)-|A||B|.

(C)(-1)kh|A||B|.

(D) (-1)k+h|A||B|.

例9 求

① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1

a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2

a a 2 a a 1 1 1+x 1 3 3 3+a 3

a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a

a a a a 2

④对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式.

解：①

4a+2 a a a a

4a+2 2 a a a

D = 4a+2 a 2 a a

4a+2 a a 2 a

4a+2 a a a 2

4a+2 a a a a

0 2-a a a a

= 0 0 2-a a a = (4a+2)( 2-a)4

0 0 0 2-a a

0 0 0 0 2-a

当a=2或

1

2

时，D=0.

例10 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2 .

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

解：

1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

3 4 5 1 2 =

4 5 1 2 3

5 1 2 3 4

15 2 3 4 5

15 3 4 5 1

15 4 5 1 2 =

15 5 1 2 3

15 1 2 3 4

15 2 3 4 5

0 1 1 1 -4

0 1 1 -4 1 =

0 1 -4 1 1

0 -4 1 1 1

1 1 1 -4

15 1 1 -4 1 =

1 -4 1 1

-4 1 1 1

-1 1 1 -4

15 -1 1 -4 1 =

-1 -4 1 1

-1 1 1 1

-1 0 0 -5

15 -1 0 -5 0 =15x53 x（-1）τ（4321）=15x53=1875.

-1 -5 0 0

-1 0 0 0

例11 1-a a 0 0 0

-1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 .

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

解：方法一：对第一列展开得

a 0 0 0

-1 1-a a 0

D5=(1-a)D4+ 0 -1 1-a a = (1-a)D4+aD3

0 0 -1 1-a

D4=(1-a)D3+aD2 , D3=(1-a)D2+aD1 ,

D2= 1-a a =1-a+a2 D1=1-a,

-1 1-a

D3=(1-a) (1-a+a2)+a(1-a)= (1-a) (1 +a2)= 1-a+a2- a3 D4=(1-a) (1-a+a2- a3) +a(1-a+a2)= 1-a+a2- a3+a4

D5=(1-a) (1-a+a2- a3+a4) +a(1-a+a2- a3)= 1-a+a2- a3+a4- a5

方法二：把第一行拆成（1 a 0 0 0）+（-a 0 0 0 0）

1 a 0 0 0

-1 1-a a 0 0

则D5= 0 -1 1-a a 0 +

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

-a 0 0 0 0

-1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 =1-aD4

0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

D4=1-aD3 , D3=1-aD2 , D2=1-a+a2

D3=1-a+a2-a3 ,D4= 1-a+a2- a3+a4

D5=1-a+a2- a3+a4- a5

方法三：

1 a 0 0 0

0 1-a a 0 0

则D5= 0 -1 1-a a 0

0 0 -1 1-a a

-a 0 0 0 0

= A 11+(-a) A 51= D 4+(-a) (-1)6 M 51= D 4- a 5

D 4=D 3+a 4, D 3= D 2-a 3, D 2=1-a+a 2

D 5=1-a+a 2- a 3+a 4- a 5

例11求 1+x 1 1 1 1 1 1+ x 2 1 1 . 1 1 1+x 3 1

1 1 1 1+x 4

解：

方法一：如果x 1x 2x 3x 4≠0，则

1+x 1 1 1 1

1 1+ x

2 1 1 = 1 1 1+x

3 1

1 1 1 1+x 4

11x +1 11x 11x 1

1

x x 1x 2x 3x 4

21x 21x + 1 21x 21

x =

31x 31x 31x +1 3

1x 41x 41x 41x 4

1

x +1 411i i x =∑+1 411i i x =∑+1 4

11i i

x =∑+1 4

11

i i

x =∑+1 x 1x 2x 3x 4

21x 21x + 1 21x 21

x =

31x 31x 31x +1 3

1x

41x 41x 41x 4

1

x +1 1 1 1 1

x 1x 2x 3x 4（

11x +21x +31x +4

1

x +1） 0 1 0 0 = 0 0 1 0

0 0 0 1

x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3+x 1x 2x 3x 4

如果有一个x i =0,例如x 2=0,则各列减第2列，得

x 1 1 0 0

0 1 0 0 = x 1x 3x 4 0 1 x 3 0

0 1 0 x 4 方法二：对各行作分解:

（1+x 1 1 1 1）=（1 1 1 1）+（x 1 0 0 0） （1 1+x 2 1 1）=（1 1 1 1）+（0 x 2 0 0） ? ?

于是，原行列式可分为16个行列式之和，这16个行列式的各行或为 （1 1 1 1）或为另一向量.如果有两行为（1 1 1 1），则值为0，因此，要计算的只有5个：

各行都不为（1 1 1 1）的一个

x 1 0 0 0

0 x 2 0 0 = x 1x 2x 3x 4 0 0 x 3 0

0 0 0 x 4

各行中只有一行为（1 1 1 1）的共4个，

1 1 1 1

0 x 2 0 0 0 0 x 3 0

0 0 0 x 4 ，

x 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0 x 3 0

0 0 0 x 4 ，

x 1 0 0 0

0 x 2 0 0 1 1 1 1

0 0 0 x 4 ，

x 1 0 0 0

0 x 2 0 0 0 0 x 3 0

1 1 1 1 ，

计算出它们的值依次为 x 2x 3x 4，x 1x 3x 4，x 1x 2x 4，x 1x 2x 3 .

例13 证明

a+b b 0 ? 0 a a+b b ? 0

D n = ? ? ? ? = 110

n n n

n i i

i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).

0 0 ? a+b b

0 0 ? a a+b

证:一般做法：对第一行展开，得 D n =(a+b)A 11+ bA 12=(a+b)M 11-bM 12 M 11=D n-1,

a b 0 ? 0 0 a+b b ? 0 M 12 = ? ? ? ? = aD n-2

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按 行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲：尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ?行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。

考研数学三(线性代数)-试卷15.doc

考研数学三（线性代数）-试卷15 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设A为3阶非零矩阵，且满足a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中A ij为a ij的代数余子式，则下列结论： ①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为 ( )（分数： 2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则下列命题中：①若A可逆，则B可逆；②若A+B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A+B可逆；④A－E恒可逆．正确的个数为 ( )（分数：2.00） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知 2.00） A.t=6时P的秩必为1 B.t=6时P的秩必为2 C.t≠6时P的秩必为1 D.t≠6时P的秩必为2 5.设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00） A.若｜A｜＞0，则｜B｜＞0 B.如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E C.如果A≌E，则｜B｜≠0 D.存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B 6.设 2.00） A.1 B.3 C.1或3 D.无法确定 7. 2.00） A.AP 1 P 2 =B B.AP 2 P 1 =B C.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B 8.设 2.00） A.A －1 P 1 P 2 B.P 1 A －1 P 2 C.P 1 P 2 A －1

2020考研数学复习指导

2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也

相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握

考研数学线性代数行列式的计算方法

考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;

(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量

最新线性代数冲刺讲义-邓泽华汇总

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华

2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编

第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。 1.（06-1-2-3）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，2】 2.（06-4）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵方程，?Skip Record If...?】 3.（04-1-2）设矩阵?Skip Record If...?，矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 4.（03-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?均为三阶矩阵，已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程，?Skip Record If...?】 5.（04-4）设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵，则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】 6.（06-4）已知?Skip Record If...?为二维列向量，矩阵?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 7.（03-2）设?Skip Record If...?为三维列向量，若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积，?Skip Record If...?】 8.（05-1-2-4）设?Skip Record If...?均为三维列向量，记矩阵 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵行列式，?Skip Record If...?】 9.（03-3-4）设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【矩阵运算，?Skip Record If...?】

(完整版 )2021年考研数学(二)线性代数考试大纲原文范围及内容

2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文范围 及内容 2021年考研数学（二）线性代数考试大纲由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社出版的，规定线性代数考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等政策，2021年考研数学（二）线性代数考试大纲原文如下： 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理 考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式； 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念、矩阵的线件运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价及其运算。 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质； 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质；

3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵； 4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法； 5．了解分块矩阵及其运算； 三、向量 考试内容 向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系； 5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法； 四、线性方程组 考试内容

考研数学三(线性代数)-试卷3

考研数学三（线性代数）-试卷3 (总分：64.00，做题时间：90分钟) 一、 选择题(总题数：10，分数：20.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设λ 1 ，λ 2 是n 阶矩阵A 的特征值，α 1 ，α 2 分别是A 的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，则 ( ) （分数：2.00） A.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 B.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量不成比例 C.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例 D.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必不成比例 √ 解析：解析：当λ 1 =λ 2 时，α 1 与α 2 可以线性相关也可以线性无关，所以α 1 ，α 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)． 3.已知α 1 =[－1，1，a ，4] T ，α 2 =[－2，1，5，a] T ，α 3 =[a ，2，10，1] T 是4阶方阵A 的3个不同特征值对应的特征向量，则a 的取值为 ( ) （分数：2.00） A.a≠5 √ B.a≠－4 C.a≠－3 D.a≠－3且a≠－4 解析：解析：α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由a≠5．故应选 (A)． 4.设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( ) （分数：2.00） A.λE －A=λE －B B.A 与B 有相同的特征值和特征向量 C.A 与B 都相似于一个对角矩阵 D.对任意常数t ，tE －A 与tE －B 相似 √ 解析：解析：A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得P －1 AP=B ，则 tE －B=tE －P －1 AP=P －1 (tE)P －P －1 AP=P －1 (tE －A)P ， 即tE －A 与tE －B 相似，选(D)．对于(A)：由λE －A=λE －B ，有A=B ；对于(B)：A 与B 相 似，则A 与B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与B 不一定能够相似对角化． 5.设A 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00） A.若α为A T 的特征向量，那么α为A 的特征向量 B.若α为A * 的特征向量，那么α为A 的特征向量 C.若α为A 2 的特征向量，那么α为A 的特征向量 D.若α为2A 的特征向量，那么α为A 的特征向量 √ 解析：解析：①矩阵A T 与A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误． ②假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A * 的特征向量．这是由于 A α=λα=>A * A α=λ A * α=A * α= λ －1 ｜A ｜α． 但反之，α为A * 的特征向量，那么α不一定为A 的特征向量．例如：当r(A)＜n －1时，A * =O ，此时，任意n 维非零列向量都是A * 的特征向量，故A * 的特征向量不一定是A 的特征向量．可知(B)错误． ③假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，则α为A 2 的特征向量．这是由于 A 2 α=A(A α)=λA α=λ 2 α． 但反之，若α为A 2 的特征向量，α不一定为A 的特征向量．例如：假设A β 1 =β 1 ，A β 2 =－β 2 ，其中 β 1 ，β 2 ≠0．此时有A 2 (β 1 +β 2 )=A 2 β 1 +A 2 β 2 =β 1 +β

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲：汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

考研数学线性代数知识点梳理

从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路 线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习 来源：智阅网 高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容，有哪些考点。 极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 而线性代数的复习，首先要做到基础过关。 线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。 而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 其次，加强抽象及推理能力。

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式（值，不是矩阵） 1．行列式的定义：用2 n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法 定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ? 行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元 素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑2 1t 211-D ）（，t 为n q q q ?2 1的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解 D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。 ：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。 ：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。 6. 1 1 2 n r r r n r r r r ==∏O ， () 1 1 (1)2 2 1n r n n r r n r r r r -==-∏N ()n a b a b ad bc c d c d =-O N N O , 12322221231 1 11112 3 1111() n n i j n i j n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏L L L M M M M L ，（两式要会计算） 题型：Page21（例13） 第二章、矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 范德蒙德行列

考研数学(数学三)公认教材及参考书：

考研数学（数学三）公认教材及参考书 高等数学：同济五版 线性代数：同济六版 概率论与数理统计：浙大三版 推荐资料： 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》 考研数学规划： 课本＋复习指导书＋习题集＋模拟题＋真题＝KO 复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的（经济类数学重基础不重难度），基础好的话可以考虑下陈文灯的书。李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）考试大纲 考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构： （一）试卷满分为150分考试时间为180分钟. （二）内容结构：高等教学约56％线性代数约22% 概率论与数理统计约22％ （三）题型结构： 单项选择：8小题，每小题4分，共32分 填空题：6小题，每小题4分，共24 解答题(包括证明题)：9小题，共94分 全国硕士研究生入学统一考试英语考试大纲 完形填空：10分（20道选择题每题0.5分）[可以抛弃的题型] 阅读：60分 其中阅读A部分（阅读理解）：40分（20道选择题每题2分）（这个是重中之重） 阅读B部分（新题型）：10分（5道题每题2分一共有四种题型） 阅读C部分（翻译）：10分（5道题每题2分） 作文：30分（除了阅读A之外最重要的部分） 小作文（书信作文）：10分 大作文（图画作文）：20分

微积分 一函数极限连续 考试内容 函数的概念及表示方法函数的有届性单调性周期性和奇偶性复合函数反函数分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数的关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质和无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 二一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数的单调性判别函数的极值函数的图形的凹凸性拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值 三一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱不尼茨公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法反常积分定积分的应用 四多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法语隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的机制和条件极值最大值最小值二重积分的概念基本性质和计算无界区域上的简单的反常二重积分 五无穷级数 考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理冥级数及其收敛半径收敛区间（指开区间）和收敛域冥级数的和函数冥级数在其收敛区间的基本性质简单冥级数的和函数的求法初等函数的冥级数展开式 六常微分方程和差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用

2020考研数学线性代数六大重要知识点

2020考研数学线性代数六大重要知识点 出国留学考研网为大家提供2016考研数学线性代数六大重要知 识点，更多考研资讯请关注我们网站的更新! 2016考研数学线性代数六大重要知识点 一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法 行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法， 比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对 行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列 式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶 抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩 阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的 细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩 阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析， 备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加 以巩固。 三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的 理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或 者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判 定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量