2014-2015学年湖北省襄阳市实验中学高一（下）4月月考数学
试卷
一、选择题
1．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
2．已知，则sin2x的值为（）
A．B．C．D．
3．若α∈（0，π），且，则cos2α=（）
A．B．C．D．
4．函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为（）
A．B．C．πD．2π
5．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定
6．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）
A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，]D．[﹣，]
7．把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示）．则第七个三角形数是（）
A．27 B．28 C．29 D．30
8．{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．33
9．在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A=（）
A．90°B．60°C．120°D．150°
10．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列D．非等差数列
二、填空题
11．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．
12．函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx的最小正周期是．
13．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=．14．在△ABC中，边a，b的长是方程x2﹣5x+2=0的两个根，C=60°，则边c=．
15．按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a8的值为．
三、解答题
1013春?桐乡市校级期中）已知A+B=，求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．
1015春?湖北校级月考）在数列{a n}中，a1=2，a7=26，通项公式是项数n的一次函数．（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）88是否是数列中{a n}的项．
1015春?湖北校级月考）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，求数列{a n}的通项公式．
1015春?湖北校级月考）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc
（1）求角A的大小
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．
2011?福建模拟）已知函数．
（1）求y取最大值时相应的x的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．
2013?湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
2014-2015学年湖北省襄阳市实验中学高一（下）4月月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．
分析：通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．
解答：解：原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°
=cos（163°﹣223°）
=cos（﹣60°）
=．
故答案选B
点评：本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．2．已知，则sin2x的值为（）
A．B．C．D．
考点：二倍角的正弦．
专题：计算题．
分析：解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；
解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．
解答：解：法1：由已知得，
两边平方得，求得；
法2：令，则，
所以．
故选D
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
3．若α∈（0，π），且，则cos2α=（）
A．B．C．D．
考点：三角函数的恒等变换及化简求值．
专题：计算题．
分析：通过对表达式平方，求出cosα﹣sinα的值，然后利用二倍角公式求出cos2α的值，得到选项．
解答：解：（cosα+sinα）2=，而sinα＞0，
cosα＜0cosα﹣sinα=﹣，
cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=﹣=，
故选A．
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，本题的解答策略比较多，注意角的范围，三角函数的符号的确定是解题的关键．
4．函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为（）
A．B．C．πD．2π
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：压轴题．
分析：用二倍角公式化简原式，变成y═cos4x+，再利用余弦函数关于周期性的性质可
得答案．
解答：解析：y=sin4x+cos2x
=（）2+
==+
=cos4x+．
故最小正周期T==．
故选B
点评：本题主要考查三角函数的周期性的问题．转化成y=Asin（ωx+φ）的形式是关键．
5．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：利用余弦的两角和公式整理题设不等式求得cos（A+B）＞0进而判断出cosC＜O，进而断定C为钝角．
解答：解：依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）＞0，﹣cosC＞O，cosC＜O，∴C为钝角
故选C
点评：本题主要考查了三角形形状的判断，两角和公式的化简求值．在判断三角形的形状的问题上，可利用边的关系或角的范围来判断．
6．A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（）
A．（，2）B．（﹣，）C．（﹣1，]D．[﹣，]
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由0＜A＜π，利用辅助角公式可求得sinA+cosA的取值范围．
解答：解：∵∠A为三角形的内角，
∴0＜A＜π，
又sinA+cosA=sin（A+）
∴＜A+＜
∴﹣＜sin（A+）≤1，
∴﹣1＜sin（A）≤，即﹣1＜sinA+cosA≤．
故选：C．
点评：本题考查三角函数的化简求值，利用辅助角公式将sinA+cosA化为sin（A+）是关键，考查分析与转化能力，属于中档题．
7．把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示）．则第七个三角形数是（）
A．27 B．28 C．29 D．30
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．
解答：解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．
l是第一个三角形数，第1个数是1；
3是第二个三角形数，第2个数是3=1+2；
6是第三个三角形数，第3个数是：6=1+2+3；
10是第四个三角形数，第4个数是：10=1+2+3+4；
15是第五个三角形数，第5个数是：15=1+2+3+4+5；
…
那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．
故选：B．
点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律，属于中档题．
8．{a n}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9的值是（）A．24 B．27 C．30 D．33
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由已知的第2个等式减去第1个等式，利用等差数列的性质得到差为公差d的3倍，且求出3d的值，然后再由所求式子减去第2个等式，利用等差数列的性质也得到其差等于3d，把3d的值代入即可求出所求式子的值．
解答：解：设等差数列的公差为d，
由a1+a4+a7=45①，a2+a5+a8=39②，
②﹣①得：（a2﹣a1）+（a5﹣a4）+（a8﹣a7）=3d=39﹣45=﹣6，
则（a3+a6+a9）﹣（a2+a5+a8）=（a3﹣a2）+（a6﹣a5）+（a9﹣a8）=3d=﹣6，
所以a3+a6+a9=（a2+a5+a8）+3d=39﹣6=33
故选D．
点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，是一道基础题．解题的突破点是将已知的两等式相减．
9．在△ABC中，若（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则∠A=（）
A．90°B．60°C．120°D．150°
考点：余弦定理．
专题：计算题．
分析：把已知的等式左边利用平方差公式化简，右边去括号化简，变形后得到a，b及c的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式代入即可求出cosA的值，由A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
解答：解：由（a+c）（a﹣c）=b（b+c）变形得：
a2﹣c2=b2+bc，即a2=c2+b2+bc
根据余弦定理得cosA===﹣，
因为A为三角形的内角，所以∠A=120°．
故选C
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理的结构特点是解本题的关键．
10．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列D．非等差数列
考点：等差数列的性质．
专题：证明题．
分析：利用等差数列{a n}的首项及公差，表示出新数列的通项公式b n，再求出b n+1﹣b n=2d，即判断出新数列是公差为2d的等差数列．
解答：解：设新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…的第n项是b n，
则b n=a n+a n+3=2a1+（n﹣1）d+（n+2）d=2a1+（2n+1）d，
∴b n+1﹣b n=2d，
∴此新数列是以2d为公差的等差数列，
故选B．
点评：本题考查了等差数列的定义和通项公式，一般利用“定义法”证明一个数列是等差数列．
二、填空题
11．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．
解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==
tan20°+tan40°+tan20°tan40
故答案为：
点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．
12．函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx的最小正周期是π．
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性得出结论．
解答：解：函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+）的最小正周期为=π，
故答案为：π．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的周期性和求法，属于基础题．
13．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|=1．
考点：三角形中的几何计算；三角形的面积公式．
专题：解三角形．
分析：直接利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，
所以，
则|AC|=1．
故答案为：1．
点评：本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查．
14．在△ABC中，边a，b的长是方程x2﹣5x+2=0的两个根，C=60°，则边c=．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据根与系数之间的关系求出a+b，ab，结合余弦定理进行求解即可．
解答：解：∵a，b的长是方程x2﹣5x+2=0的两个根，
∴a+b=5，ab=2，
∵C=60°，
∴边c2=a2+b2﹣2abcos60°=（a+b）2﹣2ab﹣ab=25﹣3×2=19，
故c=，
故答案为：
点评：本题主要考查解三角形的应用，根据根与系数之间的关系，结合余弦定理是解决本题的关键．
15．按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a8的值为3．
考点：等差数列的性质．
专题：新定义；等差数列与等比数列．
分析：由等和数列的定义，我们可得等和数列的所有奇数项相等，所有偶数项也相等，进而根据a1=2，公和为5，即可得到结论．
解答：解：∵a1=2，公和为5，
∴a2=3，a3=2，a4=3，a5=2，…a2n=3，a2n+1=2，（n∈N）
∴a8=3，
故答案为：3
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题
1013春?桐乡市校级期中）已知A+B=，求证：（1+tanA）（1+tanB）=2．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：证明题；三角函数的求值．
分析：由条件，运用两角和的正切公式，再化简和整理，注意运用因式分解的方法，即可得证．
解答：证明：∵A+B=，
∴tan（A+B）==1，
∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，
∴1+tanA+tanB+tanAtanB=2，
∴（1+tanA）（1+tanB）=2．
点评：本题考查两角和的正切公式，考查化简和运算能力，属于基础题．
1015春?湖北校级月考）在数列{a n}中，a1=2，a7=26，通项公式是项数n的一次函数．（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）88是否是数列中{a n}的项．
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出a n=kn+b（k≠0），由已知列方程组求得k，b的值，则数列{a n}的通项公式可求．
（2）由a n=88求得n?N*，说明88是不是数列中{a n}的项．
解答：解：（1）设a n=kn+b（k≠0），
由a1=2，a7=26，得，解得．
∴a n=4n﹣2；
（2）由4n﹣2=88，得n=．
∴88不是数列中{a n}的项．
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查了待定系数法，是基础题．
1015春?湖北校级月考）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，求数列{a n}的通项公式．
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差中项可知3a2=12即a2=4，进而可得公差，计算即得结论．
解答：解：依题意a1+a2+a3=3a2=12，即a2=4，
又∵a1=2，∴公差d=a2﹣a1=2，
∴数列{a n}是以首项、公差均为2的等差数列，
∴a n=2+2（n﹣1）=2n．
点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．
1015春?湖北校级月考）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc
（1）求角A的大小
（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由余弦定理b2+c2﹣a2=2bccosA，结合已知化简可求cosA，结合A∈（0，π），可求A．
（2）由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，由勾股定理可求C，结合（1）可求B．
解答：解：（1）由余弦定理有：b2+c2﹣a2=2bccosA，…（2分）
所以2bccosA=bc，于是cosA=，…（4分）
又因为A∈（0，π），所以A=…（7分）
（2）由正弦定理有a2+b2=c2，…（9分）
于是△ABC为以角C为直角的直角三角形，…（12分）
所以B==…（14分）
点评：本题主要考查余弦定理、正弦定理、勾股定理、三角形内角和定理的应用．解本题的关键是通过余弦定理及题设条件求出cosA的值，属于基础题．
2011?福建模拟）已知函数．
（1）求y取最大值时相应的x的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．
考点：三角函数的最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；转化思想．
分析：（1）先利用两角和的正弦函数对函数解析式化简整理，利用三角函数的性质求得y取最大值时x的集合．
（2）利用三角函数图象的平移法则，利用左加右减，上加下减，对函数图象进行平移．
解答：解：
（1）当，即时，y取得最大值为所求
（2）y=2sin（）
y=2sin y=2sinx y=sinx
点评：本题主要考查了三角函数的最值和三角函数图象平移变换．注重了数学基础知识的考查．
2013?湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；
（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到
即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，
即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．
因为0＜A＜π，所以．
（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．
又由正弦定理得．
点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．