作业20 §7.2.1 三角形的内角
典型例题
【例1】 (1)(2010江西)在△ABC 中，∠A=80°，∠B=60°，则∠C=_______.
(2)(2010湖南)如图7-35，若AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP 上BF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP=40°，则∠EPF=_________.
图7-35
【解析】 (1)可直接根据三角形内角和为180°计算出∠C 的大小；∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-60°=40°；
(2)本题关键是根据平行线的性质求出∠EFP ，然后利用直角三角形中两锐角互余计算出∠EPF 的大小.因为∠BEP=40°，EP ⊥EF ，所以∠BEF=130°，因为AB ∥CD ，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠BEF+∠EFD=180°，因此∠EFD=50°.又因为EP 平分∠EFD ，所以∠EFP=25°.由于△EFP 是直角三角形，故∠EPF=90°-∠EFP=90°-25°=65°
【答案】 (1)40° (2)65°
【例2】已知三角形的第一个角是第二个角的1.5倍，第三个角比这两个角的和大30°，求这三个角的度数.
【解析】 这类题一般先用代数式表示每一个角，再列方程求解，用代数方程的方法解决几何问题是常见的方法.本题告诉了三角形中三个角之间的关系，可列方程求解.
【答案】设这个三角形的第二个角为x °，则第一个角为(1.5x)°，第三个角为(x+1.5x+30)°，由三角形的内角和等于180°可列方程x+1.5x+(x+1.5x+30)°=180°
解得x=30.
所以1.5x=45，x+1.5x+30=105
所以这个三角形的三个内角分别为30°、45°和105°.
【例3】如图7-36，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE 的度数.
图7-36
【解析】 由图知∠DAE 是△ADE 的一个内角，可利用三角形的内角和为180°来求解，此时需求出∠AEB ；∠DAE 还等于∠BAE-∠BAD=∠DAC-∠CAE ，利用这些结论解题都可以.这说明求一个角的度数，除了可用角的和差来求解外，还往往利用三角形的内角和定理进行转化.
【答案】 ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-75°-45°=60°.
由AE 平分∠BAC ，可得∠B AE=∠EAC=2
1∠BAC=30°. 解法一 在△ABD 中，因为∠ADB=90°，则∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°，
解法二在△ABC中，因为∠ADC=90°,则∠DAC=90°-∠C=90°-45°=45°.
所以∠DAE=∠DAC-∠EAC=45°-30°=15°，
总分100分时间60分钟成绩评定____________
一、填空题(每题5分，共50分)
课前热身
1.亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图7-37，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论:“三角形的三个内角和等于_____________.”
图7-37
答案：180
2.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠B=___________.
答案：60°
课上作业
3.在△ABC中，∠C=90°，则∠A与∠B的关系是___________.
答案：互为余角(或∠A+∠B=90°)
4.△ABC中，若∠A=60°，∠B=40°，CE是角平分线，则∠ACE=_________.
答案：40°
5.如图7-38，一个顶角/为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=__________.
图7-38 图7-39
答案：220°
6.如图7-39，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BCD=_____________.
答案：80°
课下作业
7.如图7-40，CD平分∠ACB,AE∥DC交BC的延长线于E，若∠ACE=80°，则∠CAE=___________.
图7-40
答案：50°
8.直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是____________.
答案：45°或135°
9.如图7-41，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________.
答案：360°
10.如图7-42，∠ABO=20°，∠ACO=40°，∠BOC=2∠A，则∠A=__________.
答案：60°
二、选择题(每题5分，共10分)
模拟在线
11.(江苏)如图7-43，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A=( )
A.60° D.45° C.30° D.20°
图7-41 图7-42 图7-43
答案：C
12.(2010广西)如图7-44所示，则△ABC的形状是( )
图7-44
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案：C(点拨：草坪面积是三个长方形面积和以三角形的三个顶点为圆心的三个扇形面积之和)
三、解答题(每题20分，共40分)
13.△ABC中，AD、AE分别是高和角的平分线，∠B=70°，∠C=40°，求∠DAF的度数. 答案：∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°
14.在△ABC中，已知∠A=55°，高BD、CE交于点O，且点O不与点B、C重合，求∠BOC 的度数.
答案：(1)若△ABC是锐角三角形，
如图所示.
因为CE，BD是△ABC的两条高，所以∠CEB=90°，∠BDA=90°(三角形的高的定义).
所以∠A=180°-90°-∠ABO=90°-∠ABO(三角形的内角和定理)，∠EOD=180°-90°-∠ABO=90°-∠ABO(三角形的内角和定理).
第14题图
所以∠A=∠EOB(等量代换).
又∠EOB+∠BOC=180°(邻补角定义)，
所以∠A+∠BOC=180(等量代换).又∠A=55°(已知)，
所以∠BOC=180°-∠A=180°-55°=125°.
(2)若△ABC是钝角三角形，如图7-48所示.
因为∠BDA=90°，∠BEO=90°，
所以∠BOC=180°-90°-∠EBO=90°-∠EBO(三角形的内角和定理)，∠A=180°-90°-∠ABD-90°-∠ABD
(三角形的内角和定理).
又∠ABD=∠EBO(对顶角相等)，∠A=55°(已知)，
所以∠BOC=∠A=55°(等量代换)。