在(2)中取a =1,可得ln(1+x)>x
1+x ,x>0.
令x =1n ,n∈N+,则ln n +1n >1n +1.
故有ln 2-ln 1>12,
ln 3-ln 2>1
3,
……
ln(n +1)-ln n>1
n +1
,
上述各式相加可得ln(n +1)>12+13+…+1
n +1,
结论得证.
方法三:如图,??0n x x +1
dx 是由曲线y =x x +1,x =n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积,而12+
2
3
+…+
n
n +1
是图中所示各矩形的面积和,
∴12+23+…+n n +1>??0
n x x +1
dx = ??0n ?
??
??1-1x +1dx =n -ln(n +1),
结论得证.
【2014·四川卷】设等差数列{an}的公差为d ,点(an ,bn)在函数f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上,求数列{an}的前n 项和Sn ;
(2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x 轴上的截距为2-1
ln 2,求数列?????
?an bn 的前n 项和Tn.
【解析】(1)由已知得,b7=2a7,b8=2a8=4b7,所以 2a8=4×2a7=2a7+2,解得d =a8-a7=2, 所以Sn =na1+n (n -1)
2
d =-2n +n(n -1)=n2-3n.
(2)函数f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为y -2a2=(2a2ln 2)(x -a2), 其在x 轴上的截距为a2-1
ln 2
.
由题意有a2-1ln 2=2-1
ln 2,解得a2=2.
所以d =a2-a1=1.
从而an =n ,bn =2n ,
所以数列{an bn }的通项公式为an bn =n
2n ,
所以Tn =12+222+323+…+n -12n -1+n
2n ,
2Tn =11+22+322+…+n
2n -1
,
因此,2Tn -Tn =1+12+122+…+12n -1-n 2n =2-12n -1-n 2n =2n +1-n -22n .
所以,Tn =2n +1-n -2
2n
.
1.设曲线y =eax -ln(x +1)在x =0处的切线方程为2x -y +1=0,则a =( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ∵y=eax -ln(x +1),∴y′=aeax -1
x +1,∴当x =0时,y′=a -1.∵曲线y =eax
-ln(x +1)在x =0处的切线方程为2x -y +1=0,∴a-1=2,即a =3.故选D. 答案 D
2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4
解析 ∵f′(x)=2f′(1)+2x ,∴令x =1,得f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案 D
3.曲线f(x)=x3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P 点的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3)
D.(1,-3)
解析 f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x =1或x =-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y =2x -1上,故选C. 答案 C
4.已知曲线y =ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1
e
D.-1e
5.已知y =f(x)是可导函数,如图,直线y =kx +2是曲线y =f(x)在x =3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=( )
A.-1
B.0
C.2
D.4
解析 由题图可知曲线y =f(x)在x =3处切线的斜率等于-13,∴f′(3)=-1
3,∵g(x)=
xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知f(3)=1,所
以g′(3)=1+3×? ??
??-13=0.
答案 B
6.已知f1(x)=sin x +cos x ,fn +1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f′2(x),…,fn +1(x)=fn′(x),n∈N+,则f2 017(x)等于( ) A.-sin x -cos x B.sin x -cos x C.-sin x +cos x D.sin x +cos x
解析 ∵f1(x)=sin x +cos x , ∴f2(x)=f1′(x)=cos x -sin x , ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x -cos x , ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x +sin x , ∴f5(x)=f4′(x)=sin x +cos x , ∴fn(x)是以4为周期的函数,
∴f2 017(x)=f1(x)=sin x +cos x ,故选D. 答案 D
7.已知函数f(x)=g(x)+x2,曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1,则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ) A.4 B.-14 C.2 D.-1
2
解析 f′(x)=g′(x)+2x.∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1,∴g′(1)
=2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4,
∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为4. 答案 A
8.已知点M 是曲线y =1
3x3-2x2+3x +1上任意一点,曲线在M 处的切线为l ,求:
(1)斜率最小的切线方程;
(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.
解 (1)y′=x2-4x +3=(x -2)2-1≥-1, ∴当x =2时,y′=-1,y =5
3
,
∴斜率最小的切线过点? ??
??2,53,斜率k =-1, ∴切线方程为3x +3y -11=0.
(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,
又∵α∈[0,π),∴α∈??????0,π2∪??????3π4,π.
故α的取值范围为??????0,π2∪????
??3π4,π. 9.已知曲线y =13x3+4
3
.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解 (1)∵P(2,4)在曲线y =13x3+4
3上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y -4=4(x -2), 即4x -y -4=0.
10.设函数f(x)=ax -b
x ,曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x -4y -12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
解 (1)方程7x -4y -12=0可化为y =7
4x -3,
当x =2时,y =12.又f′(x)=a +b
x2,于是?
????2a -b 2=12,
a +
b 4=7
4
,
解得?
????a =1,b =3.故f(x)=x -3
x .
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,
由y′=1+3x2知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y -y0=? ????1+3x20(x -x0),即y -? ????x0-3x0=? ????1+3x20(x -x0).令x =0,得y =-6x0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为? ????0,-6x0.
令y =x ,得y =x =2x0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为S =12??????
-6x0|2x0|=
6.
故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.
2018年高考数学二轮复习第一部分专题一第五讲导数的应用第五讲导数的应用(一)习题
第五讲 导数的应用(一) 限时规范训练 A 组——高考热点强化练 一、选择题 1.曲线y =e x 在点A 处的切线与直线x +y +3=0垂直,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1 ) B .(0,1) C .(1,e) D .(0,2) 解析:与直线x +y +3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y ′=e x ,所以由y ′=e x =1,解得x =0,此时y =e 0 =1,即点A 的坐标为(0,1),选B. 答案:B 2.已知函数f (x )=x 2 +2cos x ,若f ′(x )是f (x )的导函数,则函数f ′(x )在原点附近的图象大致是( ) 解析:因为f ′(x )=2x -2sin x ,[f ′(x )]′=2-2cos x ≥0,所以函数f ′(x )在R 上单调递增,故选A. 答案:A 3.曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 解析:因为f (x )=x ln x ,所以f ′(x )=ln x +1,所以f ′(1)=1,所以曲线f (x )=x ln x 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为π 4 .
答案:B 4.若函数f (x )=2x 3 -3mx 2 +6x 在(2,+∞)上为增函数,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C.? ????-∞,52 D.? ????-∞,52 解析:因为f ′(x )=6x 2-6mx +6,当x ∈(2,+∞)时,令f ′(x )≥0,即6x 2 -6mx +6≥0,则m ≤x +1x ,又因为y =x +1x 在(2,+∞)上为增函数,故当x ∈(2,+∞)时,x +1x >52,故m ≤5 2,故选D. 答案:D 5.函数f (x )=12x 2 -ln x 的最小值为( ) A.12 B .1 C .0 D .不存在 解析:f ′(x )=x -1x =x 2 -1 x ,且x >0.令f ′(x )>0,得x >1;令f ′(x )<0,得00, -2+3=-2b 3a ,-2×3=c 3a , f 3=27a +9b +3c -34=-115, 解得a =2. 答案:C 7.(2017·沈阳模拟)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (1)=0,当x >0时, xf ′(x )<2f (x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A .(-∞,-1)∪(0,1) B .(-∞,-1)∪(1,+∞)
《函数的单调性与导数》教学设计
教学设计 普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1 (人教A版) 函数的单调性与导数 (第一课时) 张丽园 安阳市实验中学(第39中学) 2016年6月15日
《函数的单调性与导数》教学设计 安阳市实验中学(第39中学)张丽园 【课题】函数的单调性与导数 【教材】人教A版《数学》选修1-1 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念,对单调性有了一定的感性和理性的认识,同时在第二章中已经学习了导数的概念,对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时,在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值,学习了导数研究函数的单调性,对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此,学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点:1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点:1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点:通过问题的探究,体会知识的类比迁移.以已知探求未知,从特殊到一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时
高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A 版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后,过渡到瞬时变化率,从而得出导数的概念,再从平均变化率的几何意义,迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具, 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展, 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础, 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度, 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型, 并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 而在第一课时平均变化率的学习中,课本给出了一个思考,观察函数 )(x f y 的图像,平均变化x y 表示什么?这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此,在将瞬时变化率定义为导数之后, 立即让学生继续探索导数的几何意义,学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知,解析式抽象三个角度认识导数的含义,应用导数的定义求简单函数在某点处的导数, 掌握求导数的基本步骤,初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力,通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
《导数的概念与基本运算》教案1
导数的概念与基本运算 1.导数的概念 设函数y =f (x )在x 0附近有定义,自变量x 在点x 0有增量△x ,函数y =f (x )相应有增量 △y =f (x 0+△x )-f (x 0),比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00是函数y =f (x )在x 0到x 0+△x 的平均变化率。如果当0→?x 时, x y ??有极限,则称函数y =f (x )在点x 0处有导数(又称可导),而这个极限值就叫做函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率),记作f ' (x 0)或y'|0x x =,即 )(x f '=x y x ??→?0lim =x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 2.导数概念的某些实际背景 瞬时速度是导数概念的一个物理背景,切线的斜率是导数概念的一个几何背景。 3.求导数的方法 导数应用很广泛,经常需要求导,如果都用定义求一遍,不胜其烦,人们就用定义推导出一些常见函数的导函数,并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式:C'=0, 及()n x '= (n 为正整数);两个法则:[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x), [Cf (x )]'=C f '(x) 。 根据定义不难证明上述两个法则: [f(x)±g(x)]'= = = ±= ()f x '()g x '±; ()Cf x '????0 lim x C ?→==()Cf x ' 。 有了这些工具,我们就能求出一切多项式函数的导数了。 另外,∵=≈, ∴当△x 很小时,可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 (1)几种常用函数的导数公式如下:
《导数的概念》(第1课时)教案1
导数的概念(第1课时) 一、教学目标: 1.了解曲线的切线的概念. 2.在了解瞬时速度的基础上,抽象出变化率的概念. 3.掌握切线的斜率、瞬时速度,它们都是一种特殊的极限,为学习导数的定义奠定基础. 二、教学重点:切线的概念和瞬时速度的概念. 教学难点:在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念. 三、教学用具:多媒体 四、教学过程: 1.曲线的切线 如图,设曲线C 是函数)(x f y =的图像,点),(00y x P 是曲线C 上一点,点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点.作割线PQ ,当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ,割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT .我们就把极限位置上的直线PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线. 问:怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢?因为P 是给定的,根据解析几何中直线的点斜式方程的知识,只要求出切线的斜率就够了.设割线PQ 的倾斜角为β,切线PT 的倾斜角为α,既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线,所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ,即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P (1,2)处的切线的斜率k . 解:x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ,即2=k . 2.瞬时速度 我们知道,物体作直线运动时,它的运动规律可用函数)(t s s =描述.
高考数学真题汇编——函数与导数
高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C.
点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则
2012届高考数学复习 第95课时 第十三章 导数-导数的概念及运算名师精品教案
第95课时:第十三章 导数——导数的概念及运算 课题:导数的概念及运算 一.复习目标: 理解导数的概念和导数的几何意义,会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程. 二.知识要点: 1.导数的概念:0()f x '= ; ()f x '= . 2.求导数的步骤是 3.导数的几何意义是 . 三.课前预习: 1.函数2 2 (21)y x =+的导数是 ( C ) ()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可( A ) ()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f 3.曲线2 4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ,若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ,则点P 的坐标为 ( B ) ()A (1,3) ()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4.若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数()f x '的图象是( A ) 5.已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为 34 π ,则(2)f '-=1-,[( 2)]f '-=0.
6.曲线2122y x =- 与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4 π. 四.例题分析: 例1.(1)设函数2 ()(31)(23)f x x x x =+++,求(),(1)f x f ''-; (2)设函数32 ()25f x x x x =-++,若()0f x '=,求x 的值. (3)设函数()(2)n f x x a =-,求()f x '. 解:(1)32()61153f x x x x =+++,∴2 ()18225f x x x '=++ (2)∵32()25f x x x x =-++,∴2 ()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得:2 03410x x -+=,解得:01x =或013 x = (3)0(22)(2)()lim n n x x a x x a f x x ?→-+?--'=? 112 210 lim[(2)24(2)2()]n n n n n n n n x C x a C x x a C x ---?→=-?+?-++?12(2)n n x a -=- 例2.物体在地球上作自由落体运动时,下落距离2 12 S gt = 其中t 为经历的时间,29.8/g m s =,若 0(1)(1) lim t S t S V t ?→+?-=?9.8/m s =,则下列说法正确的是( C ) (A )0~1s 时间段内的速率为9.8/m s (B )在1~1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s (C )在1s 末的速率为9.8/m s (D )若△t >0,则9.8/m s 是1~1+△ts 时段的速率; 若△t <0,则9.8/m s 是1+△ts ~1时段的速率. 小结:本例旨在强化对导数意义的理解,0lim →?t t S t S ?-?+) 1()1(中的△t 可正可负 例3.(1)曲线C :3 2 y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+,求曲线C 的方程; (2)求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程. 解:(1)已知两点均在曲线C 上. ∴? ??=+++=439271 d c b a d ∵2 32y ax bx c '=++ / (0)f c = / (3)276f a b c =++
高等数学导数的概念学习教案.docx
教学合班 1:专业班合计人授课 合班 2:专业班合计人日期对象 合班 3:专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 (课题) 通过学习,学生能够: 1.理解导数概念,会用定义求函数在一点处的导数; 2.理解导数的几何意义,会求曲线的切线; 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下: 教学 目的 知识目标:技能目标:素养目标: 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念;1.会用定义求函数在一点处 1 .培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义;的导数;能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2.会求曲线的切线。力; 2.培养学生严谨、求实 的作风。 重点:导数的定义。 难点:理解导数的几何意义。 教材、例子(幻灯片)、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任:系主任:教务处:
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固,并简述 1.极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题,明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins (略。详见教案首页)内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念,要更好地理解导数 的概念,应从解决实际问题的背景出发,在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动,质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ,求质点在 t0时刻的瞬时速度. 分析:如果质点做匀速直线运动,给时间一个增量t ,讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中,这个比值是常数,但是如果质点作 变速直线运动,它的运行速度时刻都在发生变化,为了计算 瞬时速度,首先在时刻 t0任给时间一个增量t ,考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度:v s(t0t )s(t0 ) t
2018年高考数学—导数专题
导数 (选修2-2P18A7改编)曲线y=sin x x在x= π 2处的切线方程为() A.y=0 B.y=2π C.y=- 4 π2 x+ 4 π D.y= 4 π2 x 解析∵y′=x cos x-sin x x2,∴y′|x= π 2=- 4 π2 , 当x=π 2时,y= 2 π , ∴切线方程为y-2 π =- 4 π2? ? ? ? ? x- π 2 ,即y=- 4 π2 x+ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)=(2x+1)e x, 所以f′(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x, 所以f′(0)=3e0=3. (2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________. 解析y′=a- 1 x+1 ,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2, 所以a=3. (2017·威海质检)已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
解析 ∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0). 又∵f ′(x )=1+ln x ,∴?????y 0=x 0ln x 0, y 0+1=(1+ln x 0)x 0, 解得x 0=1,y 0=0. ∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________. 解析 法一 ∵y =x +ln x ,∴y ′=1+1 x ,y ′|x =1=2. ∴曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. ∵y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切, ∴a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行). 由?????y =2x -1,y =ax 2 +(a +2)x +1消去y ,得ax 2+ax +2=0. 由Δ=a 2-8a =0,解得a =8. 法二 同法一得切线方程为y =2x -1. 设y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切于点(x 0,ax 20+(a +2)x 0+1). ∵y ′=2ax +(a +2),∴y ′|x =x 0=2ax 0+(a +2). 由?????2ax 0+(a +2)=2,ax 20+(a +2)x 0+1=2x 0-1,解得???x 0=-12,a =8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )=x 3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P
《导数的概念》说课稿(完成稿)
实验探究,让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容:本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”,导数的概念包括三部分教学内容,即平均变化率、瞬时变化率、导数,其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度,本节课之前学生已完成平均变化率的学习. 2、内容解析:导数是研究现代科学技术必不可少的工具,是进一步学习数学和其他自然科学的基础,在物理学、经济学等领域都有广泛的应用.对于中学阶段而言,导数是研究函数的有力工具,在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用,同时对研究几何、不等式起着重要作用.从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点,但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,导数的概念无疑是教学的起点也是关键,否则学生很难体会导数的思想及其内涵.事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程,这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同.囿于学生的认知水平和可接受能力,教材中并没有引进极限概念(过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解),而是从学生的生活经验出发,通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,直至建立起导数的数学模型. 3、教学设想:导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”,而无限逼近有三种方式:数值逼近、几何直观感知、解析式抽象;而达成学生极限思想形成之教学目标,需要以问题为背景,关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程.因此教学处理时,试图还 原知识建构的完整过 程,实现导数概念的“再 创造”,其中数学探究 环节采用数学实验的方
《导数的概念》说课稿与教学说明
《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》,《导数的概念》是第2课时. 教学内容分析 1.导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 2.本课内容剖析 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生学习和研究函数. 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度,因此,先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度,再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的. 进行导数概念教学时还应该看到,通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度;从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想.
教学目的 1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念; 3.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤; 4.通过导数概念的构建,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验; 5.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求,抽象概括出函数导数的概念. 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义,由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此得出导数的概念. 教学准备 1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法; 2.为学生每人准备一台Ti-nspire CAS图形计算器,并对学生进行技术培训; 3.制作《数学实验记录单》及上课课件. 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律,使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象,再通过表象抽象出导数概念,并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质.教学的主要过程设计如下:
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.
高中数学选修2-2教学设计9:1.1.2 导数的概念教案
1.1.2 导数的概念 教学目标:1、会用极限给瞬时速度下精确的定义;并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度. 教学重难点: 重点:1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用 难点:导数概念的理解. 教学过程: 情境导入: 高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为: 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习,我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度,例当t =1时的瞬时速度. 合作探究: 探究任务一:瞬时速度 问题1:在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知: 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数 问题2: 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义:函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??,我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意:(1)函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中,x ?趋近于0可正、可负、但不为0,而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线)(x f y =上点()(,00x f x )及点)(,(00x x f x x ?+?+)的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
导数的概念教学设计
《导数的概念》教学设计 安阳县实验中学申现军一、内容和内容解析 (一)内容 导数的概念 (二)内容解析 导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时,学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象,不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面,函数是高中的重要数学概念,而导数是研究函数的有力工具,因此,安排先学习导数方便学生学习和研究函数. 二、学生学情分析 1. 有利因素:学生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学习了平均变化率,本节课继续以高台跳水问题为背景,进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习,并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫了大量的关于函数变化率的经验;另外,正一中学学生思维比较活跃,对数学新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础. 2. 不利因素:导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一定难度题基本思想. 三、目标和目标解析 1.使学生认识到:当时间间隔越来越小时,运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度; 2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率,并由此建构导数的概念;
人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案
导数的概念及运算 【考点指津】 1.了解导数的概念,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义. 2.熟记基本导数公式.掌握两个函数四则运算的求导法则,会求多项式的导数. 【知识在线】 1.函数y =14223++x x 的导数是 . 2.曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6,则点P 的坐标是 . 3.设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8,则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = . 4.已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ,若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a . 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 ( ) A . (6x+1)(2x+3) B . 2(6x+1) C . 2(3x 2+x+1) D . 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开,再用和的求导法则求导数. 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5,故应选D 点评 要善于化归,本题函数解析式就可转化为多项式. 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5, 若f'(x 0)=0,则x 0= . 分析 x 0是方程f'(x)=0的根,只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5, 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0, 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n .x n -1, 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具. 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为1, 求a ,b ,c 的值. 分析 题中涉及三个未知数,而已知中有三个独立条件,故可通过解方程组来确定a ,b ,c . 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过(1,1)点和(2,1)点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得,a=3,b=-11,c=9. 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系.利用导数能解决许多曲线的切线的问题,使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求. 【知能集成】 1.两种常见函数的导数:c'=0 (C 是常数);(x n )'= nx n - 1(n ∈N *). 导数和运算法则:若 f(x),g(x)的导数存在,则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x), [cf(x)]' = cf '(x).(C 是常数) 2.能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式,掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则,能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数.
导数概念 教案
导数的概念 (教案?讲稿?PPT) 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容,初步会用它进行有关的计算求解. 3.使学生深刻理解导数的概念,理解导数在几何、物理上的意义,能够根据导数的定义求函数在区间上的导数. (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例,培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2.通过探究导数定义的过程,体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史,感受数学知识所蕴含的数学文化,培养学生学习数学,探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中,体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想,培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念,并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题,曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言,通过文、理结合的方式,最后以口诀的形式结尾,讲解抽象的内容,体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义,由例题1和例题2,来讲述在一点上求导的方法;接着由例题2,引出函数左、右导数的概念;用例题3引出在开区间上的导数,即导函数的定义,在此基础上给出求导函数的例子,例题4;最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念
00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数: ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 00
2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数
导数 一.基础题组 1. 【2010新课标,理3】曲线y = 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A .y =2x +1 B .y =2x -1 C .y =-2x -3 D .y =-2x -2 【答案】A 2. 【2008全国1,理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称,则( ) A . B . C . D . 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国,理21】已知函数f (x )满足f (x )=f ′(1)e x -1 -f (0)x + x 2 . (1)求f (x )的解析式及单调区间; (2)若f (x )≥ x 2 +ax +b ,求(a +1)b 的最大值. 【解析】(1)由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1 -f (0)+x . 所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f ′(1)e -1 ,所以f ′(1)=e. 从而f (x )=e x -x + x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12
由于f ′(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 从而,f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .① (ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立. (ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0. 所以f (x )≥ x 2 +ax +b 等价于 b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).② 因此(a +1)b ≤(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2 -(a +1)2 ln(a +1), 则h ′(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)). 所以h (a )在(-1,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, 故h (a )在处取得最大值. 从而,即(a +1)b ≤. 当,时,②式成立, 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b =
2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教学案理北师大版
第1讲变化率与导数、导数的计算 一、知识梳理 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 Δy Δx 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0), 即f′(x0)=lim Δx→0Δy Δx =lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x -x0). (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)=_lim Δx→0_ f(x+Δx)-f(x) Δx 为f(x)的导函数. 2.基本初等函数的导数公式 原函数导函数y=c(c为常数) y′=0 y=xα(α为实数) y′=αxα-1 y=a x (a>0且a≠1) y′=a x ln a 特别地(e x)′=e x y=log a x (x>0,a>0,且a≠1) y′= 1 x ln a 特别地(ln x)′= 1 x y=sin x y′=cos__x
(1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)?? ?? ??f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0). 4.复合函数的导数 复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y x ′= y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 常用结论 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.[af (x )+bg (x )]′=af ′(x )+bg ′(x ). 3.函数y =f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢,|f ′(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 二、教材衍化 1.函数y =x cos x -sin x 的导数为( ) A .x sin x B .-x sin x C .x cos x D .-x cos x 解析:选B.y ′=x ′cos x +x (cos x )′-(sin x )′=cos x -x sin x -cos x =-x sin x . 2.曲线y =1- 2 x +2 在点(-1,-1)处的切线方程为________. 解析:因为y ′=2 (x +2)2,所以y ′|x =-1=2. 故所求切线方程为2x -y +1=0. 答案:2x -y +1=0 3.有一机器人的运动方程为s =t 2 +3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在t =2时的 瞬时速度为________. 解析:因为s =t 2 +3t ,所以s ′=2t -3t 2,