§_4_不定积分习题与答案

第四章 不定积分

（Ａ）

１、求下列不定积分

１）?2x dx ２）?x x dx 2

３）dx x ?-2

)2( ４）dx x

x ?+2

2

1

５）??-?dx x

x

x 3

2532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos

７）dx x e x

)32(?

+

８）dx x x x

)1

1(2?-

２、求下列不定积分（第一换元法）

１）dx x ?-3

)23( ２）

?

-3

32x

dx

３）dt t

t ?

sin ４）?

)

ln(ln ln x x x dx

５）?x

x dx

sin cos ６）?-+x x e e dx

７）dx x x )cos(2

? ８）dx x x ?-4

3

13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x

?--2491

11）?-1

22x dx 12）dx x ?3

cos

13)?xdx x 3cos 2sin 14)?

xdx x sec tan 3

15) dx x x ?+2

3

9 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17)

dx x

x ?

-2

arccos 2110 18)dx x x x

?

+)

1(arctan

3、求下列不定积分（第二换元法）

１）dx x

x

?+2

11 ２）dx x ?sin

３）dx x x ?

-42 ４）?>-)0(,222

a dx x

a x

５）?

+3

2

)

1(x dx ６）

?+

x

dx 21

７）

?-+

2

1x

x dx ８）

?-+

2

11x

dx

４、求下列不定积分（分部积分法）

１）inxdx xs ? ２）?

xdx arcsin

３）?xdx x ln 2

４）dx x

e

x

?

-2

sin 2

５）?xdx x arctan 2 ６）?

xdx x cos 2

７）?xdx 2

ln ８）

dx x x 2

cos 2

2?

５、求下列不定积分（有理函数积分）

１）dx x x ?+3

3

２）?-++dx x x x 1033

22

3）

?+)1(2x x dx

（Ｂ） １、

一曲线通过点)3,(2

e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲

线的方程。

２、

已知一个函数)(x F 的导函数为

2

11x -，且当1=x 时函数值为π2

3

，试求此函数。

３、

证明：若

?+=c x F dx x f )()(，则

)0(,)(1

)(≠++=+?

a c

b ax F a

dx b ax f 。

证明：由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故

c b ax F a

dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+?)(1

)(),(])(1[。

４、 设)(x f 的一个原函数为

x

x

sin ，求?'dx x f x )(。

５、

求下列不定积分

１）dx x

?

2

cos 2

２）dx x ?-2sin 1

３）?

+dx x x

2

11arctan

４）dx x x x ?+-11 ５）

?++))((2222b x a x dx

６）dx x a x x ?-2

7）

?+dx x

x

x ln 1ln 8）?

+dx x xe x 2

32arctan )

1(

（Ｃ）

１、求以下积分

１）?

-dx e xe x x 1

2)?

+x

x dx

sin 2)2sin(

３）dx e e x x ?2arctan ４）dx x x ?+435

1

５）dx x x

x ?+-1

8

5 ６）dx x x x x ?+cos sin cos sin

第四章 不定积分 习 题 答 案

（Ａ）

１、（１）c x +-1 （２）c x +--2

3

3

2

（３）

c x x x ++-423

123

（４）c x x +-arctan （５）c x x

+--3

ln 2ln )32(52 （６）c x x ++-)tan (cot （７）c x e x

++ln 32 （８）

c x

x ++4

27)7(4

２、（１）c x +--4

)23(81 （２）c x +--32

)32(2

1

（３）c t +-cos 2 （４）c x +ln ln ln （５）c x +tan ln （６）c e x

+arctan

（7）

c x +)sin(212 （８）c x +--41ln 43

（9）c x

+2

cos 21 (10)c x x +-+2

494132arcsin 21 (11)

c x x ++-1

21

2ln 221

(12)c x

x +-3sin sin 3 (13)

c x x +-5cos 101cos 21 (14)c x x +-sec sec 31

3 (15)

c x x ++-)9ln(292122 (16)c +3

2arctan 321 (17)c x

+-

10

ln 210arccos 2 (18)c x +2)(arctan 3、(1)c t t +-cot csc ln （2）c x x x +--)sin cos (2

（3）c x

x +--)2

arccos 24(tan 22

(4)c x a a

x a x a +--)(arcsin 22222

(5)

c x

x ++2

1 (6)c x x ++-)21ln(2

(7)

c x x x +-++)1ln (arcsin 212 (8)c x

x x +-+-211arcsin

4、(1)c x x x ++-sin cos (2)c x x x +-+21arcsin

(3)

c x x x +-3391ln 31 (4)c x

x e x ++--)2sin 42(cos 1722 (5)c x x x x +++-)1ln(6

161arctan 312

23 (6)c x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2

（7）c x x x x x ++-2ln 2ln 2

(8)

c x x x x x x +-++sin cos sin 21612

3 5、(1)c x x x x ++-+-3ln 2792

3312

3 (2)c x x +++-5ln 2ln

(3)c x x ++-)1ln(21ln 2

(4) c x x x x +-+-+-arctan 2

1)1ln(411ln 21ln 2

(5)c x x x x ++++++-3

1

2arctan 3311ln 2122

(B)

1、 设曲线)(x f y =，由导数的几何意义：x y 1='，c x dx x

+=?ln 1，点)3,(2

e 代入即可。

2、 设函数为)(x F ，由2

11)()(x

x f x F -=

='，得

C x dx x f x F +==?arcsin )()(，代入)2

3

,1(π即可解出C 。

3、 由假设得)()(),()(b ax f b ax F x f x F +=+'∴='，故

c b ax F a

dx b ax f b ax F b ax F a ++=+∴+'='+?)(1

)(),(])(1[。 ４、把)(x f '凑微分后用分部积分法。

５、（１）用倍角公式：2

cos 12cos

2

x

x += （２）注意0sin cos ≥-x x 或0sin cos <-x x 两种情况。

（３）利用)cot (11,cot 1arctan

2

x arc d dx x x arc x -=+=。 （４）先分子有理化，在分开作三角代换。

（５）化为部分分式之和后积分。 （６）可令t a x 2

sin 2=。

（７）可令,sin )(2t a b a x -=-则t a b x b 2cos )(-=-。 （８）令t x =+ln 1。 （９）分部积分后移项，整理。 （１０）凑x

e

arctan 后分部积分，再移项，整理。

（１１）令t x

=2

tan

。 （１２）变形为

?

-?--4

)2(2

3

x x x dx 后，令

t x x =--2

3

， 再由2211t x =--

，两端微分得tdt dx x 2)

2(1

2

=-。

（Ｃ）

1） 解：令1-=x e u ，则du u

u

dx u x 2

2

12),1ln(+=

+= 所以原式du u

u u u du u ??+-+=+=2

2

22

14)1ln(2)1ln(2 c u u u u ++-+=arctan 44)1ln(22

c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412

2）解：方法一：

原式???==+=2

cos 2tan )

2(tan 412cos 2sin )2(4

1)cos 1(sin 22

3x x x d x x x d x x dx c x x x d x x

++=+=?2

tan ln 412tan 81)2(tan 2tan 2tan 14122 方法二：令t x

=2

tan

方法三：变形为

?+-)cos 1)(cos 1(2sin 2x x xdx

，然后令u x =cos 再化成部分分式积分。 3）解：原式)(arctan 212?

--

=x

x e d e ])

1()(arctan [21222?+--=-x x x x

x e e e d e e

（令u e x

=）])1(arctan [21222?+-

-=-u u du

e e x

x

]1arctan [21222??++--=-u du u du e e x x

[]

c e e e e x x x x +++-=--arctan arctan 2

1

2

4）解：原式)](1

1)(11[31)(131********

433x d x x d x x x d x x ???+-++=+=

)]1()1()1()1([3

13

41

3343

3++-++=??-x d x x d x

c x x ++-+=43

3473)1(9

4

)1(214 5）解：原式??-++=

+-=----2)()(21222224

43x x x x d dx x x x x ，令2

2-+=x x u c u u u du ++-=-=

?22ln 2412212

c x x x x ++++-=

1

212ln

2

412424

6）解：原式dx x

x x x ?+-+=

cos sin 1

1cos sin 221 dx x

x dx x x x x ??+-++=cos sin 1

21cos sin )cos (sin 212 ?++

--=)

4

sin()

4(2

21)cos (sin 21π

x x d x x

?+-++-=)

4

(cos 1)

4cos(221)cos (sin 212π

x x d x x

)4cos(])

4cos(11)4cos(11[241)cos (sin 21πππ+++++-+-=?x d x x x x c x x x x ++-+++-=)

4

cos(1)

4cos(1ln 241)cos (sin 21ππ

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

定积分测试题及答案

定积分测试题及答案 班级： 姓名： 分数： 一、选择题：（每小题5分） 1.0=?（ ） A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

8．函数F (x )＝??0 x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝??1 x 1t d t ，若f (x )

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌

第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积

３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成

正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π ，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

定积分练习题及答案(基础)

第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义，?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2）设?-=1110)(2dx x f ，则?-=1 1)(dx x f _____5____， ?-=1 1)(dx x f ____-5___，?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 （1） 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 （B ） .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定

三、计算题 1.估计积分的值：dx x x ?-+3 121 解：设1)(2+=x x x f ，先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值， ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ，由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续，且?- =10)()(dx x f x x f ，求函数)(x f . 解：设 a dx x f =?10)(，则a x x f -=)(，于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010， 得41=a ，所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解：原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x

§4不定积分习题与答案

第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx

５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan

3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2

不定积分例题及答案

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

最新不定积分习题与答案

精品文档不定积分（Ａ） １、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１） ?dx2?dx)(x?22x1?４）３） 2x ??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos 13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７） ２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５） ?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７） 3x3 x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９） dx?3?dxxcos21?2x12）11 ） 3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13) ??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15) 3x1 ??dxdx)x?(x12x?117) 18) x2arccos arctanx10 精品文档． 精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１） ?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３） 2x24x? dx dx??32)1(x?x21?６）５） dxdx??22?1?x1?x1?x７）８） ４、求下列不定积分（分部积分法） ??xdxarcsinxsinxdx１）２） x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）

?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22 ５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１） 3x?2?dx210??3xx２） dx?2)?x(x1 3 ） （Ｂ） 2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。时函数值为 精品文档． 精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。xsin??dxx(xf) )(xfx。4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１） 1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４） dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx ?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7） ?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx ?dx?dx341x?x2e４）３） 5x x earctan ??dxdx8xxsincos?1?x５）６） 5x?xxxsincos 精品文档． 精品文档不定积分第四章 答案习题 （Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<

定积分测试题及答案(可编辑修改word版)

1 D ， 3 9 ， 5 9 ， 3 7 ， 5 7 4 定积分测试题及答案 班级：姓名：分数： 一、选择题：（每小题5 分） 1. ? 1-x2dx =（） A.0 B.1 C. 2 2(2010·ft东日照模考)a＝∫0的大小关系是( ) 2 x d x，b＝∫0 2 e x d x，c＝∫0sin x d x，则a、b、c A．a

1 6 6．(2010·湖南省考试院调研) -1 (sin x ＋1)d x 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 7. 曲线 y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π 2 D ．π x 8．函数 F (x )＝ ∫0 t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值 0，无最小值 B ．有最大值 0 和最小值－32 3 32 C ．有最小值－ ，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 3 x 9．已知等差数列{a }的前 n 项和 S ＝2n 2＋n ，函数 f (x )＝ 1 ，若 n n f (x )

定积分测试题及答案

定积分测试题及答案 班级：姓名：分数: 一、选择题：（每小题5分） 1. ! A-X dx 二（） A.0 B.1 C.二 D -4 2(2010 山东日照模考)a= 2 xdx ， b= 2 e X dx ， c= sinxdx ，则 a 、 b 、 c 的大小关系是（) A. a

D. 1 6. （2010湖南省考试院调研）.（sinx + 1）dx 的值为（ ） A . 0 B . 2 C . 2 + 2cos1 D . 2— 2cos1 7.曲线y = cosx(0< x < 2 n 与直线y = 1所围成的图形面积是( ) 3 n A . 2 n B . 3 n D . n 函数 F(x) = x t(t — 4)dt 在［—1,5］上( 丿0 10. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为 n,宽为2的矩形 OABC 内，曲线y = sinx （0w x < n 与 x 轴围成如图所示的阴影部分， 向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可 能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（） A .有最大值0,无最小值 32 B .有最大值0和最小值— 32 c.有最小值-32，无最大值 D .既无最大值也无最小值 9. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和= 2n 2+n ,函数 f （x ）va 3，则x 的取值范围是（ ） A. W 3 <6 ， B . (0, e 21 ) C . (e — 11, e) D . (0, e 11)

不定积分习题与答案

不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ?x x dx 2 ３）dx x ?-2)2( ４）dx x x ?+22 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(?+ ８） dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3 )23( ２） ? -3 32x dx ３） dt t t ? sin ４）? )ln(ln ln x x x dx ５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2? ８）dx x x ?-43 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122 x dx 12）dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31

17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ? sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,2 22 a dx x a x ５）? +3 2)1(x dx ６）?+ x dx 21 ７） ?-+2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?-2sin 2 ５）? xdx x arctan 2 ６）? xdx x cos 2 ７）? xdx 2 ln ８） dx x x 2cos 2 2? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １）dx x x ?+33 ２）?-++dx x x x 1033 22 3）?+)1(2x x dx （Ｂ）