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目录
浅谈三角函数公式的应用 (1)
公式的应用 (1)
一、引言 (1)
二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》） (2)
（一）、三角学的产生 (2)
（二）、三角学的独立与发展 (2)
1、三角学的独立 (2)
2、三角学的发展 (3)
三、浅谈三角函数在三角函数的应用 (3)
（一）三角函数的基本知识 (3)
（二）、三角函数在三角函数中的应用 (6)
1、化简求值 (6)
2、角的变换 (10)
3、函数名称的变换 (11)
4公式的变形和逆用 (12)
5变换结构(降次升幂) (13)
致谢词 (14)
独撰声明 (14)
三角函数公式的应用
摘要：简述三件函数的发展史，三角函数在在三角函数的正用、逆用、变形、升降幂、引入辅助角等的应用。）
关键字：三角函数计算应用
Abstract: Describes the development history of the three functions, trigonometric functions in the inverse trigonometric functions are used, with introducing auxiliary Angle, deformation, lifting power, etc.
Key Words：Trigonometric function computing applications
一、引言
三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。三角函数是高中数学重要的基础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、
三角函数的图象和性质、正弦型函数Y=Asin（
x
ω?
+）的图象及应用、三角
恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。
在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。
二、三角函数的发展史（参考资料-------------张红《数学简史》）（一）、三角学的产生
三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形。与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。
早期的三角学依附于天文学，是天文学观测结果推算的一种方法，因此最先发展前来的是球面三角学。古希腊梅内劳斯著《球面学》，提出了三角学的基础
问题和基本概念；50年后的托勒密著《天文学大成》，初步发展三角学。在公园499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；气候的瓦拉哈米西拉最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的阿拉伯学者进一步探
讨了三角学。当然，所有这些工作都是天文研究的组成部分，还谈不上作为数学的独立分支的三角学，甚至连三角学这名称还未出现。约定名早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具。
（二）、三角学的独立与发展
1、三角学的独立
从前面可知，古埃及、古希腊通商航海、天文观测等的需要产生了三角学知识。到了13世纪，阿波罗的纳西尔丁著《论完全四边形》中第
一次吧三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论述了正弦定理，
由球面三角形的三个角可求得它的三条边，反之成立。这是区别球面三
角形和平面三角形的重要标志。至此，三角学开始脱离了天文学，走上
路独立发展之路。
2、三角学的发展
①三角学在西方的发展
文艺复兴的欧洲，德国数学家雷格蒙格努斯出版的《论各种三角形》对平面三角学和球面三角学都进行了全面阐述，还编制了精密的正弦
表，并且应用了三角学解决了一些几何问题。
17世纪初对数的发明后大大简化了三角函数的计算，人们的注意力转向了三角函数的理论研究。
于1595年德国数学家皮蒂斯楚斯不仅首次创用“三角学”一名词，而且于1613年艰苦修订并出版了三角函数表。至此一个敬你的三角函数
表正式完成。
文艺复兴后期，法国数学家韦达首次把代数变换引进了三角学，补充了正切定律，把斜三角形问题转化为直角三角形的问题来解决。对球
面三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则。
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。欧拉用小写的拉丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。欧拉还引
用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的
现代形式。
由于上述数学家及19世纪许多数学家的女里，形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论。
②三角学在中国的发展
我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为「重差术」。明崇祯四年西方三角学首次输入，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启(p20)合编的《大测》为代表。清同治十二年华蘅芳和英国傅兰雅合译，书名《三角数理》。
三、浅谈三角函数在三角函数的应用
（一）三角函数的基本知识
1、如图1 y叫做α的正弦，记作sinα；x叫做α的余弦，记作cosα；y/x
（x≠0）叫正切记作tanα，tanα=
sin
cos
y
x
α
α=
。
图1
2、下列是关于三角函数的诱导公式
①终边相同的角的同一三角函数的值相等。由此可得到下列公式：
公式一：
sin(2)sin ,
cos(2)cos ,
tan(2.)tan .k Z.
k k k πααπααπαα+=+=+=∈其中
②如图2 P （x ，y ），直线OP 的反向延长线OE 交圆O 于F 点，则F 点的坐标为F(－x, －y)由此可得到下列公式： 公式二：
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα+=-+=-+=
图2
③同理可得到： 公式三：
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
αααααα-=--=-=- ④公式四：
sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .
πααπααπαα-=-=--=- ()~2,,a k k z παπααα+∈-±我们可以用下面的话来概括公式一四：
的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
⑤如图3所示∠ xOL=∠yOE=α∠ ,∠xOE=
2
π
α- ,射线OL 、射线OE 关于直线BC 对称，若L （x ，y ）则E （y ，x ），由此可以得到： 公式五：
sin()cos ,
2cos()sin .
2
π
ααπ
αα-=-=
⑥由于
()22
ππ
απα+=-- ，由公式四及公式五可得： 公式六：
sin(
)cos ,2
cos(
)sin .
2
π
ααπ
αα+=+=-
公式五、公式六可以概括如下：
2
π
α± 的正弦（余弦）函数值，分别等于α 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α 看成锐角的符号。
3、两角和、差的正弦、余弦、正切公式
sin()sin cos cos sin ,sin()sin cos cos sin ;cos()cos cos sin sin ,cos()cos cos sin sin ;
tan tan tan(),
1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβαβαβ
αβαβ
+=+-=-+=--=++=-+=
-
4、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2222222
sin 22sin cos ,
cos 2cos sin 12sin 2cos 1,1cos 2sin ,
2
1cos 2cos 22tan tan 2,1tan ααααααααα
αα
αα
αα
==-=-=--=
+=
=-
（二）、三角函数在三角函数中的应用
1、化简求值
在三角函数的化简求值中，有些的利用三角函数的诱导公式，有些是三角知识的应用，有些需要利用以前学的函数知识，数学的基础知识，有的需要代入“2
2
1sin cos αα=+” ①给角求值
例1、求值：117119cos()sin()tan()3
6
3
πππ-+--
解：117119cos()sin()tan()3
6
3
πππ-+--
(
)c o s (4)
s i n (12)t a n (6)3
6
3
c o s s i n t a n 363
11
221π
π
π
ππππππ
=-+
+-+-
+=+-
=+-=-利用公式一化简
(
)
()sin 50=sin 50=sin 501cos10222sin 50cos10sin 30cos10cos30sin102sin 50cos10sin(302sin 50o o o o o
o ? ?
??
?? ? ?= ?
???
??+= ???
=。。。
。。。
。。
。
。
例2、求的值。解：原式两角和的正弦公式()0
00
010cos10sin 402sin 50cos10cos 40sin 402cos10sin 801cos10o o o o o ??+ ?????
= ???===。
）二倍角的正弦公式
②给值求值
例1、已知sin 2cos αα=- ，求2sin 5sin cos 2ααα-+ 的值
()()()22222222222
22
sin 2cos ,tan 2.sin 5sin cos 2
sin 5sin cos 2(sin cos )"1"3sin 5sin cos 2cos 1
3sin 5sin cos 2cos cos sin cos 3tan 5tan 2tan 1
tan 2245
αααααααααααααααααααααα
αααα=-∴=-∴-+=-++-+=-+=+-+=--------+=-=
解：代入法同上分子分母同时除以①将代入①b
2tan =a cos 2+bsin2a b
tan =
a
b=a tan a cos 2+bsin2=a cos 2+atan sin2sin sin 2=a cos 2+
cos a cos cos 2+sin sin 2=cos a cos 2-==a
cos θθθ
θθ
θθθθθθθ
θθ
θθθθθ
θθθ∴例、，求解：将其代入（）
（）（和角的余弦公式）
（）
③给值求角
(
)[][](
)cos +x ,,x 2
,0x+2.
11cos x+=+x=+x=266
55x x 66
x x πππππππππ
πππππ
=
∈-∈-∴≤≤∴∴=-=
例1、若则的值？解：，又或。
或
④化简问题 例1、化简33223
sin cos sin cos sin cos cos αα
ααααα
-++ 解：原式
2222(sin cos )(sin sin cos cos )cos (sin sin cos cos )sin cos cos tan 1
αααααααααααααα
α-++=
++-==-
例2、化简 cos20o cos40o cos60o cos80o 解： cos20o cos40o cos60o cos80o
=0000000000
00000
0000
000
000000
1
2sin 204sin 2204060802sin 2020406080sin 404060802sin 806080sin160608sin 208sin 2018sin 208sin 2010sin(160)60sin 2006
6cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos π=
=
=
==-=
=-=
⑤证明问题
例1、 求证：66442cos )3() 1.sin sin sin θθθθ+-+=-（ 证明：
()
()()222
2
2
422444223
22642246662222662sin cos 1,sin sin 2sin cos cos 1
sin cos 12sin cos sin =
sin 3sin cos 3sin cos +cos =1sin +cos =13sin cos sin cos sin +cos =13sin cos cos cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+=∴+=++=∴+=-------+++∴-+∴-①又，()22222=13sin cos 12sin cos 1θθθθθ---------=-=②由①②得
左边2（）-3右边
2、角的变换
三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知。常见的变角公式有：
()()()();2;2ααββααβαβαβαβ
α=+-=++--=-+等。 许多相异角，可根据角与角之间之间的和差、倍半、互补、互余的关系进行变换。
例1、已知tan()tan(),1n n αβαβ+=-≠- ，求证：
sin 21
sin 21
n n βα-=+ 。
2()(),2()(),
sin 2sin[()()]sin 2sin[()()]
sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()
tan()tan()
tan()tan()tan()tan()n n βαβαβααβαββαβαβααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-+--∴=
++-+--+-=
+-++-+--=
++----=
证明：tan()tan()11
n n αβαβ-+--=
+ 例2、已知锐角α，β满足sin csc 2cos(),,2
π
βααβαβ=++≠ 求tan β的最大值，
求出β的值。
解：,(0,),tan 0,2
π
αβα∈> 由条件sin 2sin()sin βαβα=+ ，而
s i n s i n [()]s i n (
)c o s c o s ()s i n
2c o s ()s i n ,c o s ()0,
2
αβααβααβα
π
αβ
ααβαβ=+-=+-+=++≠
?
+≠
两边同除以cos （αβ+）cos α ，∴tan （αβ+）=3tan α 。 从而tan β =tan[(αβ+)()()tan tan ]1tan tan αβα
ααβα
+--=
++
tan β 在（0，
2
π
）上是增函数。 所以tan β
的最大值为
3
，此时β的值为6π 。
3、函数名称的变换
三角变形中，常常需要变不同名函数为相同名函数。其目的在于“消除差异，化异为同”。变换的依据是同角三角函数的关系式和诱导公式，常见的方法是切割化弦。切割化弦就是把三角韩式中国的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦。还有就是化弦为切，入把含有sin α 、cos α的式子转化为只含tan
2
α
的式子。 例1、求证
tan sec 11sin .tan sec 1cos ααα
ααα
+-+=-+
()()22sin 1
1
cos cos =(sin 1
1cos cos sin 1cos =
sin 1cos (sin 1cos )(1sin )1sin sin 1cos (1sin )(sin 1cos )(1sin )sin 1cos (1sin )(sin 1cos )(1sin )cos cos (1sin )αααααα
αααα
ααααααααααααααααααα+--++--++-+=+-+++-+=
-+++-+=
-++证明：左边切割化弦）
同乘以(sin 1cos )(1sin )cos (1in cos )1sin cos s αααααααα+-+=
+-+==右边∴等式成立
()()()()()()1212121212
12121212211212
12121tan ,0,,0,221+.
22sin sin tan tan cos cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos 2sin cos()cos(f x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππ????
=∈∈≠ ? ?????
+??> ???
+=+++=
=
+=++-例2、已知函数若、，且，
求证：证明：切割化弦()
()()212121212121212121212121212.)0,,cos cos 0,
20cos +1,0cos +cos()1cos().2sin tan tan ,
cos()1
1
tan tan ,221+.22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f π??
∈> ???
<<<+-<+-++>
+++++??> ???因、，且（）从而有
（）由此得故（）>tan 即
4公式的变形和逆用
三角变换中，我们经常顺用公式，但是有时我们也要逆用和变形公式，来达到化简求值的目的。
)
(
)
)
(
)2123csc1214cos 1223sin 12=4cos 122
3cos122sin12cos122cos121sin12cos 60cos12sin 60sin 24cos 2448=sin 48---?-??
?--=--=-=
-。。
。
。
。。。
。。。
。。。。。。
。。
例、求
的值。解：原式
()221+sin cos 1+sin cos 21sin cos 1sin cos 1+2sin cos 12sin 1+sin -cos 222=1sin cos 12sin cos 2cos 1
222
2sin cos +sin 222tan
22cos sin cos 2221+sin cos θθθθ
θθθθ
θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-+++-??-- ?
??++++-?? ?
??
==??+ ?
??+∴例、化简。
解：正余弦半角公式()
221=
1sin cos tan 2
1+sin cos 1+sin cos 1=tan 1sin cos 1sin cos 2tan 2tan 11tan 2
22
tan
2tan
22
122cot tan θ
θθθθθθθθ
θθθθθθ
θθ
θ
θ
+--+∴--+++---=
=-=-=-正切二倍角公式的变形用
5变换结构(降次升幂)
()()()()()()()()()22422422221
1csc -=3sin +sin 2+sin +cos 4
1
sin 2+sin +cos 411-cos 21+cos 2=sin 2++421111=sin 2+cos 2+++cos 2cos 24242
=1-sin sin .---------------------csc 3sin ,sin si αβαβαβααβαβαααααβαβαβαβαβαβ--+-=+∴-例、，求的值。
解：（）（）化为同角（）②()()()1n .
3
21-sin sin =
3
αβαβαβ+=-+代入②
致谢词
本文得到老师的悉心指导和帮助，尹绍君老师耐心严谨，在百忙之中抽出时间为本人提供了宝贵的建议和指导，论文的完成也得到了尹绍君帮助。在这里谨向他们表示衷心的感谢！
独撰声明
我声明，本论文（设计）是由本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成论文（设计）时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。
第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z)
[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa
cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数
名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
2011 中考数学复习专题—三角函数和圆 考点 1三角形的边角关系 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。 1. 如图所示， Rt △ ABC～ Rt △ DEF，则 cosE 的值等于（） A ．1 B．2C．3D． 3 2223 2. 如图，已知直角三角形ABC中，斜边 AB的长为 m，∠ B=40，则直角边 BC的长是（） A． msin 40B． mcos 40 C ． mtan40D． m tan 40 3. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树CD 的顶端 C 的俯角为 60，又知水平距离BD=10m，楼高 AB=24m，则树高 CD为（） A ． 24 10 3 m B．2410 3 m C ． 24 5 3 m D．9m 3 4. 如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P 处放一水平的平面镜， 光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB⊥ BD， CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度是（） A ． 6 米B． 8 米C． 18 米D． 24 米 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BC∥ AD，迎水坡 AB长 13 米，且 tan ∠ BAE=12 ， 5 则河堤的高 BE为米。 6．如果，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔P 在北偏东 60 方向上，在A 处东 500 米的 B 处，测得海中灯塔P 在北偏东 30 方向上，则灯塔 P到环海路的距离PC=米（用根号表示）。
7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40 千米的 A、 B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45 、B 地北偏西 60方向上有一牧民区C。一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案 I ：从 A 地开车沿公路到离牧民区 C 最近的 D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区 C。方案Ⅱ：从 A 地开车穿越草沿 AC方向到牧民区 C。已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的 3 倍。（ 1）求牧民区到公路的最短距离CD。 （ 2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理并说明理由。（结果精确到，参考数据： 3 取，2取） 年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴。如图，现有某处山坡上一座发射 塔被冰雪从 C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点 B 处，在 B 处测得点C的仰角为 38 8，塔基 A 的俯角为 21 ，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离AB 为 15 米，求折断前发射塔的高。（精确到 0.1 米）。 9.如图，山脚下有一棵树 AB，小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪CD测得树顶的仰角为 10 ，已知山坡的坡角为 15 ，求树 AB的高。（精确到 0.1 米）
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) = cot(A+B) =cot(A-B) = 倍角公式 tan2A =Sin2A=2SinA?CosA Cos2A =Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a) 半角公式 sin()=cos()= tan()=cot()= tan()== 和差化积 sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossin cosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsin tana+tanb= 积化和差 sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sinacos(-a) = cosa sin(-a) = cosacos(-a) = sina sin(+a) = cosacos(+a) = -sina sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA =
一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 .
故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( )
第21题专练 课前练习： 南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价） (1)求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BO 平分∠ABC 交AC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交AC 于点D ． (1)判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AD =2，tan ∠BOC =2，求⊙O 的半径． 2.在⊙O 中，AB ⌒=AC ⌒，点F 是AC 上一点，连接AO 并延长交BF 于E. (1)如图1，若BF 是△ABC 高，求证：∠CBF=∠CAE ; （2）如图2，若BF 是△ABC 内的角平分线，BC=10，COS ∠BCA=13,求AE 的长. 图2 图1
3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，弦CD 与AB 相交于E (1) 若∠AOD ＝45°，求证：CE ＝2ED (2) 若AE ＝EO ，求tan ∠AOD 的值 4.如图，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 、C 均在⊙O 上，且P A ＝PB (1) 求证：PB 为⊙O 的切线 (2) 连AB ，若AB ＝6，tanC ＝2 3，求P A 的长 5.如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ． (1) 求证：AC 平分∠DAB ； (2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝ 4 5 ，求AF FC 的值． A
定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1
π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏．
． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)
是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
2011中考数学复习专题—三角函数和圆 考点1 三角形的边角关系 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。 1.如图所示 ，Rt △ABC ～Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A ．2 1 B ．2 2 C ．2 3 D ．33 2.如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B=ο40，则直角边BC 的长是（ ） A ．ο40sin m B ．ο40cos m C ．ο40tan m D ．ο40tan m 3.王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为ο60，又知水平距离BD=10m ，楼高AB=24m ，则树高CD 为（ ） A ．()m 31024- B ．m ???? ??-331024 C ．()m 3524- D ．9m 4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ） A ．6米 B ．8米 C ．18米 D ．24米 5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE= 512，则河堤的高BE 为 米。 6．如果，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο60方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东ο30方向上，则灯塔P 到环海路的距离 PC= 米（用根号表示）。
三角函数公式大全 三角函数定义 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直 任 角三角形 意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要项数要 最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数公式推导和应用大全 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的部规律及本质也是学好三角函数的关键所在 中文名 三角函数公式 外文名 Formulas of trigonometric functions 应用学科 数学、物理、地理、天文等 适用领域围 几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等 适用领域围 高考复习 目录 1 定义式 2 函数关系 3 诱导公式 4 基本公式 ?和差角公式 ?和差化积 ?积化和差 ?倍角公式 ?半角公式 ?万能公式 ?辅助角公式 5 三角形定理 ?正弦定理 ?余弦定理 三角函数公式定义式 编辑 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形
任意角三角函数正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan 或tg） 余切（cot 或ctg） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典． 三角函数公式函数关系 编辑 倒数关系： ； ； 商数关系： ； ． 平方关系： ； ； ． 三角函数公式诱导公式 编辑 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系： 公式四： 与 的三角函数值之间的关系： 公式五： 与 的三角函数值之间的关系：
§1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
锐角三角函数和圆 复习目标 ● 巩固三角函数的概念、熟记30°，45°, 60°角的三角函数值； ● 熟练运用三角函数的定义，结合圆的特点，解决问题。 考察重点 ● 求三角函数值； ● 运用三角函数的知识，解决数学中的其他问题。 课前热身 1. 如图，PM 是⊙O 的切线，M 为切点，OM=5，PM=12，则sin ∠OPM 的 值为（ ） A ． B ． C ． D ． 2. 如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形 顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB 等于（ ） A ．1 B ． C ． D ． 3. 如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB=60°，则sin ∠ADC= ． 夯实基础 4. 根据三角函数的定义填空： 如图，△ABC 中，sinA= ，cosA= ，tanA= 。 例1 如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ） A ． B ． C ．2 D ． 6. （2016?衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作 ⊙ O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． c b a B A C C A P E A D C A B
解答精练 例3 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，过点C 的切线交AD 的延长线于点E ，且AE ⊥CE ，连接CD ． （1）求证：DC=BC ； （2）若AB=5，AC=4，求tan ∠DCE 的值． 8. 已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA=4， OA=3，则cos ∠APO 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 9. 如图，点D （0，3），O （0，0），C （4，0）在⊙A 上，BD 弦，则sin ∠OBD=（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 如图，∠1的正切值等于 ． A 备用图 A
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域