2017~2018学人教A版高中数学选修2-2全册导学案汇编
目录
第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义
第一章导数及其应用1.2导数的计算1
第一章导数及其应用1.2导数的计算2
第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数
第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数
第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数
第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例
第一章导数及其应用1.5定积分的概念
第一章导数及其应用1.5.2汽车行驶的路程
第二章推理与证明2.1.1合情推理
第二章推理与证明2.1.2演绎推理
第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法
第二章推理与证明2.2.2反证法
第二章推理与证明2.3数学归纳法
第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念
第一章导数及其应用1.6微积分基本定理
第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用
第三章数系的扩展与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义
第三章数系的扩展与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
第三章数系的扩展与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算
1．1.1～1.1.2 变化率问题 导数的概念
A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．
自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点
A 的坐标为(x 1，y 1)，点
B 的坐标为(x 2，y 2)．
问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？
提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：能否根据Δy 的大小判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．
问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1
x 2－x 1可以近似地刻画．
问题4：能用Δy
Δx
刻画山路陡峭程度的原因是什么？
提示：因Δy
Δx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，
山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比Δy
Δx
越大，山路越陡；反之，山路越缓．
问题5：从A 到B 与从A 到C ，两者Δy
Δx 相同吗？
提示：不相同．
1．函数的平均变化率
对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1和x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子
f x 2 －f x 1
x 2－x 1
称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．
习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，
可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为Δy
Δx
.
2．平均变化率的几何意义
设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx
为割线AB 的斜率，如右图所示．
对Δx ，Δy 的理解
(1)Δx ，Δy 是一个整体符号，而不是Δ与x ，y 相乘．
(2)x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.
一质点的运动方程为s ＝8－3t 2
，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝8－3 1＋Δt 2
－8＋3312
Δt
＝－6－3Δt .
问题2：当Δt 趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs
Δt
趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 1．瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：
若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到
t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0
Δt
趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体
在t 0时刻的瞬时速度．
2．导数的定义
一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0
Δy
Δx
＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0
Δx
，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x
＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0
Δx
.
导数概念的解读
(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关．
(2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
无限
接近．如果当Δx →0时，li m Δx →0 Δy
Δx
不存在，则称函数f (x )在x ＝x 0处不可导．
(1)已知函数( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43
D ．0.44
(2)已知函数f (x )＝x ＋1
x
，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均
变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
(1)选B Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12
－22
＝0.41. (2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f 2 －f 1 2－1＝2＋1
2－ 1＋1 1＝12
；
自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f 5 －f 3 5－3＝5＋15－? ????
3＋132＝1415
.
因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1
x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．
求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f x 2 －f x 1 x 2－x 1.
分别计算下面三个图象表示的函数h (t )在区间上的平均变化率．
解：对于图①，Δh ＝h (3)－h (0)＝10－0＝10， ∴
Δh Δt ＝103－0＝103，即平均变化率为103
.同理可以算得图②、图③中函数h (t )在区间上的平均变化率均为103
.
(1)设函数000x ＋b (Δx )2
(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
(2)求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数． (1)选C f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝li m Δx →0
(a ＋b 2Δx )＝a . (2)由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝li m Δx →0
f 1＋Δx －f 1
Δx
，而
f 1＋Δx －f 1 Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝1
2
，所以f ′(1)＝1
2
.
利用定义求导数的三步曲
由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0
Δx ；
(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy
Δx . 简认为：一差，二比，三趋近．
求函数y ＝4
x
2 在x ＝2处的导数．
解：∵Δy ＝4 Δx ＋2 2－4
22
＝
4
Δx ＋2
2－1
＝－ Δx 2
＋4Δx Δx ＋2 2，
∴
Δy Δx ＝－Δx ＋4 Δx ＋2
2. ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝－li m Δx →0 Δx ＋4 Δx ＋2 2 ＝－1.
若一物体的运动方程为s ＝?????29＋3 t －3 ，0≤t ＜3，3t 2
＋2，t ≥3，
(路程单位：m ，时间单位：
s)．求：
(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．
(1)因为Δs ＝3352
＋2－(3332
＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝48
2
＝24(m/s)．
(2)因为Δs ＝29＋32
－29－33(1－3)2
＝3(Δt )2
－12Δt ，所以Δs Δt ＝
3 Δt 2
－12Δt
Δt
＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为s ′(1)＝li m Δt →0 Δs
Δt ＝li m Δt →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；
(2)求平均速度，v －
＝
Δs
Δt
； (3)取极限，li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0
Δt ； (4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0
Δs
Δt
.
一质点按规律s (t )＝at 2
＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．
解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2
＋1－a 222
－1＝4a Δt ＋a (Δt )2
，所以Δs
Δt
＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝li m Δt →0 Δs Δt
＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.
1.对导数的概念理解不透彻
已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0
Δx
＝________.
li m Δx →0
f x 0＋2Δx －f x 0
Δx
＝li m Δx →0
????
??f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx 32
＝2li m Δx →0
f x 0＋2Δx －f x 0 2Δx
＝2f ′(x 0)＝234＝8. 8
1．本题分子中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案．
2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：
li m Δx →0
f x 0－Δx －f x 0
Δx
＝－li m Δx →0
f x 0－Δx －f x 0
－Δx
＝－f ′(x 0)．
已知f ′(1)＝－2，则li m Δx →0 f 1－2Δx －f 1
Δx
＝
________.
解析：li m Δx →0
f 1－2Δx －f 1
Δx
＝(－2)3li m Δx →0
f 1－2Δx －f 1
－2Δx
＝(－2)3(－2)＝4. 答案：4
1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．3
D ．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx ＝ 2a ＋b － a ＋b 2－1＝a ＝3.
2．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则li m h →0 f x 0＋h －f x 0
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．
3．已知函数y ＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于
________．
解析：Δy Δx ＝2 1＋Δx 2
－1－1Δx ＝4＋2Δx .
答案：4＋2Δx
4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2
(t ≥0)，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．
解析：∵Δs Δt ＝s 3＋Δt －s 3 Δt ＝Δt ＋5，li m Δt →0 (Δt ＋5)＝5， ∴该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒． 答案：5米/秒
5．求y ＝x 2
＋1x
＋5在x ＝2处的导数．
解：∵Δy ＝(2＋Δx )2
＋12＋Δx ＋5－? ????22＋12＋5
＝4Δx ＋(Δx )2
－Δx 2 2＋Δx ，
∴
Δy Δx ＝4＋Δx －14＋2Δx
， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 Δy Δx
＝li m Δx →0 ? ??
??4＋Δx －14＋2Δ
x ＝4＋0－14＋230＝154
.
一、选择题
1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A ．Δx ＜0 B ．Δx ＞0 C ．Δx ＝0 D ．Δx ≠0
解析：选D 根据定义知Δx 可正、可负，但不能为0. 2．设f (x )＝1
x
，则f ′(a )等于( )
A ．－1a B.2a
C ．－1a
2 D.1a
2
解析：选C ∵f a ＋Δx －f a Δx ＝1a ＋Δx －
1
a
Δx
＝
－Δx a Δx a ＋Δx ＝－1a a ＋Δx
，
∴f ′(a )＝li m Δx →0
－1a a ＋Δx ＝－1
a
2.
3．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 20
Δx
＝2x 0＋Δx ；
k 2＝f x 0 －f x 0－Δx Δx ＝x 20－ x 0－Δx 2
Δx
＝2x 0－Δx .
因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定．
4．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2
，若该质点在时间段内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )
A ．－3
B ．3
C ．6
D ．－6
解析：选D 当Δt 趋于0时，式子－3Δt －6趋于－6. 5．设函数在x ＝1处存在导数，则li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1
3Δx
等于( )
A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.1
3f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0
f 1＋Δx －f 1
3Δx
＝13li m Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝13f ′(1)． 二、填空题
6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h 内发现水位从102.7 m 上涨到105.1 m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
解析：水位涨幅的平均变化率为105.1－102.724＝0.1(m/h)．
答案：0.1
7．已知曲线y ＝1x －1上两点A ?
????2，－12，B ? ??
??2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线
AB 的斜率为________．
解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，
∴Δy ＝? ????13－1－? ??
??12－1
＝13－12＝－16， ∴k AB ＝Δy Δx ＝－16.
答案：－1
6
8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半
径的变化量之比)为28π
3
，则m 的值为________．
解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3313
＝4π3(m 3－1)，
∴ΔV ΔR ＝4π3 m 3
－1
m －1＝28π3
， 即m 2
＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：2 三、解答题
9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2
，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0
Δy
Δx
＝li m Δx →0 [13－8 x 0＋Δx ＋2 x 0＋Δx 2
]－ 13－8x 0＋2x 2
Δx ＝li m Δx →0 －8Δx ＋22x 0Δx ＋2 Δx 2
Δx ＝li m Δx →0 (－8＋22x 0
＋2Δx ) ＝－8＋22x 0， ∴－8＋22x 0＝4， ∴x 0＝3 2.
10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2
(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度．
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v 0＝li m Δt →0
s Δt －s 0
Δt
＝li m Δt →0 3Δt － Δt
2
Δt ＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)， 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0
s 2＋Δt －s 2
Δt
＝li m Δt →0 3 2＋Δt － 2＋Δt 2
－ 332－4
Δt
＝li m
Δt→0－ Δt 2－Δt
Δt
＝li m
Δt→0
(－Δt－1)＝－1(m/s)，
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)v＝s 2 －s 0
2－0
＝
6－4－0
2
＝1(m/s)，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
1．1.3 导数的几何意义
如下图，P n n n 00)，直线PT 为过点P 的切线．
问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？
提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0
x n －x 0
.
问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与过点P 的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？
提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝f ′(x 0)．
导数的几何意义
函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
.
导数与函数图象升降的关系
若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
对于函数f(x)＝－x2＋2. 问题1：如何求f′(x0)?
提示：f′(x0)＝li m
Δx→0－ x0＋Δx 2＋2－ －x20＋2
Δx
＝li m
Δx→0
(－2x0－Δx)＝－2x0.
问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？
提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．
导函数的定义
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数．当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，
即f′(x)＝y′＝li m
Δx→0f x＋Δx －f x
Δx
.
f′(x0)与f′(x)的异同
(1)y＝－3x2＋2x－1；
(2)y＝3
x2
＋a(a为常数)．
(1)∵Δy＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－
1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，
∴Δy
Δx
＝
2－6x Δx－3 Δx 2
Δx
＝2－6x－3Δx，
∴y ′＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 (2－6x －3Δx )＝2－6x . (2)∵Δy ＝
3 x ＋Δx 2＋a －3
x
2－a
＝－6x 2Δx －3 Δx
2
x 2 x ＋Δx 2
，
∴Δy Δx ＝－6x 2Δx －3 Δx 2
x 2 x ＋Δx 2
Δx ＝－6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －6x －3Δx x 2 x ＋Δx 2＝－6x 3， 即y ′＝－6x
3.
求函数y ＝f (x )的导数的步骤
(1)求Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (2)求Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ；
(3)计算f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx .
利用导数的定义求函数f (x )＝x 3
＋x －2的导数f ′(x )，并利用f ′(x )求f ′(－1)，
f ′(1)．
解：利用导数的定义， 得f ′(x )＝li m Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
＝li m Δx →0 x ＋Δx 3
＋ x ＋Δx －2－ x 3
＋x －2
Δx ＝li m Δx →0
＝3x 2
＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋1，则f ′(－1)＝4，f ′(1)＝4.
已知曲线y ＝3x 3及其上一点P ? ????2，3.
(1)求点P 处切线的斜率； (2)写出点P 处的切线方程． (1)∵y ＝13
x 3
，
∴y ′＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3
－13x 3Δx ＝13li m Δx →0 3x 2
Δx ＋3x Δx 2
＋ Δx 3
Δx ＝1
3li m Δx →0 ＝x 2
，
∴y ′|x ＝2＝22
＝4， ∴点P 处切线的斜率为4.
(2)由(1)知，点P 处切线斜率为4，
且点P 的坐标为? ??
??2，83，
∴在点P 处的切线方程是y －8
3＝4(x －2)，
即12x －3y －16＝0.
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)2(x －x 0)．
特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π
2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直
接得切线方程为x ＝x 0.
求曲线y ＝1x 在点? ????12，2处的切线的斜率． 解：因为y ′＝li m Δx →0 Δy
Δx ＝li m Δx →0 1x ＋Δx －1
x Δx ＝li m Δx →0
－1x 2
＋x 2Δx ＝－1
x
2，
所以曲线在点? ??
??12，2的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.
若曲线y ＝x 2
＋6P 的坐标及切线方程． 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为f ′(x 0)＝li m Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0 Δx
＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋6－ x 2
0＋6
Δx ＝li m Δx →0
(2x 0＋Δx )＝2x 0， 所以2x 022＝－1，解得x 0＝－14
，
所以y 0＝x 2
0＋6＝9716，故点P 的坐标为? ????－14，9716，
切线方程为y －9716＝－12? ????
x ＋14，
即8x ＋16y －95＝0.
根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；
(5)由点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．
曲线y ＝x 3
－3x 2
＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝9x －1，则切线方程为( ) A ．y ＝9x B ．y ＝9x －26 C ．y ＝9x ＋26
D ．y ＝9x ＋6或y ＝9x －26 解析：选D
Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx
＝ x 0＋Δx 3
－3 x 0＋Δx 2
＋1－x 3
0＋3x 2
0－1
Δx
＝(Δx )2
＋3x 0Δx －3Δx ＋3x 2
0－6x 0. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0
＝3x 2
0－6x 0， 于是3x 2
0－6x 0＝9，解得x 0＝3或x 0＝－1， 因此，点P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为9，所以曲线在点P 处的切线方程为y ＝9(x －3)＋1或y ＝9(x ＋1)－3，即y ＝9x －26或y ＝9x ＋6.
2.搞错导数的几何意义致误
若函数y＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y＝f(x)在区间上的图象可能是下图中的( )
由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线的斜率随x增大而变大，因此应选A.应会灵活运用导数的几何意义辨析曲线的凹凸性．
A
1．本题易搞错导数的几何意义，混淆导函数的单调性与函数图象的凹凸变化间的关系而误选B或D.
2．导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．
已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：选D 从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
1．下列说法正确的是( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在
解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A 、B 、D 错误．
2．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
解析：选B 根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故
f ′(x 0)＝－1
2
＜0.
3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝________.
解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝1231＋2＝5
2
，所以
f (1)＋f ′(1)＝3.
答案：3
4．曲线y ＝13x 3－2在点? ????－1，－73处切线的倾斜角为________． 解析：因为li m Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
＝li m Δx →0 13 x ＋Δx 3
－2－13
x 3＋2Δx ＝x 2
，
所以y ′＝x 2
，y ′|x ＝－1＝1，因此倾斜角为45°. 答案：45°
5．已知抛物线y ＝x 2
＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x成立”，记作“x ?∈M，() p x”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x成立”，记作“x?∈M，() p x”． 10、全称命题p：x ?∈M，() p x，它的否定p ?：x?∈M，() p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 12 F F）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 原命题逆命题否命题逆否命题真真真真 真假假真 假真真真 假假假假
1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④
选修2-3课本例题习题改编 1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第四题）改编1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁 也 不 能 相 邻 ， 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法 （ ）A ．336 B ．408 C ．240 D ．264 解：方法数为：选 改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同 时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ． B ． C ． D ． 解：若同学甲坐在四角的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在四边（不在角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在中间（不在四边、角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；故所求概率为答 案选 2.原题（选修2-3第二十七页习题 1.2A 组第九题）改编 1 在正方体 的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成 直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为_________． 解：如图，分别为相应棱上的中点，容 易证明正六边形，此时在正六边形上有条，直 线与直线垂直；与直线垂直的平面还有平面、平面、 平面、平面，共有直线条．正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线（每条棱上如直线其实 为一条），故对角线垂直的概率为 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A ） （B ） （C ） （D ） 解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意 625224 6252242336,A A A A A A -+=.A ????276119272 119136119138119 42112208194211220819119 ,2423138 ?+?+?=?.D 1111ABCD A B C D -1BD ,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 1BD ⊥EFGHIJ 2 615C =1BD 1BD ACB NPQ KLM 11A C B 2 3412C ?=1111ABCD A B C D -22 20312(1)166C C -?-=,,AE ED AD 1BD 151227 .166166 +=1752753754 75 ???? ?B C D E F 图4
-可编辑- 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割 线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ', 即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 考点：导数的求导及运算 ★1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ， 4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19.3 16 .3 13.3 10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4 1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2 932 y x = +与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
高中数学选修2-3知识点总结
第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的 方法，在第二类办法中有M 2种不同的方 法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的 方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要 分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的 方法，做第二步有M 2不同的方法，……， 做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件 事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元 素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个 元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+
7、二项式定理 ：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 9.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2n n C -，1 2n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L 第二章 随机变量及其分布 知识点： （3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着 试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、 Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 （4）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于随机变量X 可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量．
教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x
v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．
1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.
知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故
高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
高中数学选修2-3知识点汇总 目录 第一章计数原理 (2) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 (2) 二项式定理 (2) 第二章随机变量及其分布 (3) 第三章统计案例 (6)
高中数学选修2-3知识点总结 第一章计数原理 知识点： 分类加法计数原理 做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 二项式定理 ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101()
人教版高中数学选修2-1 全册导学案
目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法
§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.
111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点 第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一 个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。 ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、公式： ， 11 --=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 8、二项式定理： ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 10、二项式系数C n r 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角： () （）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n n n n 012+++=
教学目标： 1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数． 教学重点： 基本初等函数的导数公式的应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？ （2）求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标； ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程． （3）函数导函数的概念
2．探究活动． 用导数的定义求下列各函数的导数： 思考由上面的结果，你能发现什么规律？ 二、建构数学 1．几个常用函数的导数： 思考由上面的求导公式（3）～（7），你能发现什么规律？ 2．基本初等函数的导数：
三、数学运用 例1 利用求导公式求下列函数导数． （1）5y x -＝； （2）y (3)πsin 3 y ＝； （4）4x y ＝； （5）3log y x ＝； （6）πsin()2 y x ＝＋； （7）cos(2π)y x ＝－． 例2 若直线y x b ＝－＋为函数1y x ＝图象的切线，求b 及切点坐标． 点评 求切线问题的基本步骤：找切点—求导数—得斜率． 变式1 求曲线2y x ＝在点(1，1)处的切线方程． 变式2 求曲线2y x ＝过点 (0，－1)的切线方程． 点评 求曲线“在某点”与“过某点”的切线是不一样的． 变式3 已知直线l ：1y x ＝－，点P 为2y x ＝上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短． 练习： 1．见课本P20练习． 第3题： ； 第5题： （1） ； （2） ；
§1.2 充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 知识点一充分条件与必要条件 命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题 推出关系p?q p?q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件 知识点二充要条件 如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p； (2)充分不必要条件，即p?q且q?p； (3)必要不充分条件，即p?q且q?p； (4)既不充分也不必要条件，即p?q且q?p. 1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×) 2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√) 4．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√) 一、充分、必要、充要条件的判断 例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答)． (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)对非空集合A，B，p：x∈A∪B，q：x∈B； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解(1)在△ABC中，显然有A>B?BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)显然x∈A∪B?x∈B，但x∈B?x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p?q，又取A＝30°，B＝120°，q?p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)p?q且q?p，所以p是q的充分不必要条件． 反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p?q，q?p，则p是q的充分不必要条件； 若p?q，q?p，则p是q的必要不充分条件； 若p?q，q?p，则p是q的充要条件； 若p?q，q?p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A?B，则p是q的充分条件； 若A?B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件． 跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．