2019年包头中考模拟试卷(一)(满分:120分考试时间:120分钟)

一、选择题(每小题3分,共36分)

1.下列各数:-2,0,,0.020020002…,π,,其中无理数的个数是()

A.4

B.3

C.2

D.1

2.函数y=-

中自变量x的取值范围是()

A.x≠-3

B.x≥2

C.x>2

D.x≠0

3.统计显示,2018年底某市各类高中在校学生人数约是11.4万人,将11.4万用科学记数法表示应为()

A.11.4×104

B.1.14×104

C.1.14×105

D.0.114×106

4.下列运算正确的是()

A.a2+a3=a5

B.(-2a2)3÷()2=-16a4

C.3a-1=

D.(2a2-a)2÷3a2=4a2-4a+1

5.如图M1-1,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为 ()

图M1-1

A.4

B.2

C.

D.2

6.一个袋子中装有3个红球和2个黄球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机从袋子里同时摸出2个球,其中摸出的2个球的颜色相同的概率是()

A.B.C.D.

7.若关于x的方程(m-2)x2--x+=0有两个实数根,则m的取值范围为()

A.m>

B.m≤且m≠2

C.m≥3

D.m≤3且m≠2

8.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为()

A.B.C.D.不能确定

9.下列命题中,原命题与逆命题均为真命题的有()

①若a=b,则a2=b2; ②若x>0,则|x|=x; ③一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形;④一组对边平行且不相等的四边形是梯形.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

10.如图M1-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE的位置,连接EC交BD于点F,则CF∶FE的值是()

图M1-2

A.3∶4

B.3∶5

C.4∶3

D.5∶3

11.如图M1-3,正六边形ABCDEF内接于☉O,正六边形的周长是18,则☉O的半径是 ()

图M1-3

A.B.C.3D.3

12.如图M1-4,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,M是BC边上的动点(点M不与点B,C重合),CN⊥DM,CN 与AB交于点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论:①△CNB≌△DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN的最小值是.其中正确的结论是()

图M1-4

A.①②③⑤

B.①②④⑤

C.②③⑤

D.①②③④⑤

二、填空题(每小题3分,共24分)

13.计算:-3+=.

14.不等式组--,

-的解集为.

15.若关于x的分式方程-=2的解为非正数,则k的取值范围为.

16.小亮应聘小记者,进行了三项素质测试,测试成绩分别是:采访写作90分,计算机输入85分,创意设计70分,若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按5∶2∶3的比例来计算平均成绩,则小亮的平均成绩是分.

17.如图M1-5,已知直线y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象交于M,N两点.若点M的坐标是(1,2),则点N的坐标是.

图M1-5

18.化简÷(1-)=.

19.如图M1-6,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有?ADCE中,DE的最小值为.

图M1-6

20.如图M1-7,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与点B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA 的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△F AB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中所有正确结论的序号是.

图M1-7

三、解答题(共60分)

21.(8分)某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛,初赛后对选手成绩进行了整理,分成5个小组(x表示成绩,单位:分).A组:75≤x<80;B组:80≤x<85;C组:85≤x<90;D组:90≤x<95;E组:95≤x<100,并绘制成如图M1-8两幅不完整的统计图.

请根据图中信息,解答下列问题:

(1)参加初赛的选手共有名,请补全频数分布直方图;

(2)扇形统计图中,C组对应的圆心角是,E组人数占参赛选手的百分比是;

(3)学校准备组成8人的代表队参加市级决赛,E组6名选手直接进入代表队,现要从D组中的两名男生和两名女生中,随机选取两名选手进入代表队,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中一名男生和一名女生的概率.

图M1-8

22.(8分)如图M1-9是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面AC的倾斜角∠CAB=45°,在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,则该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数)?(参考数据:≈1.414,≈1.732)

图M1-9

23.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系.关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表:

注:日销售利润=日销售量×(销售单价-成本单价)

(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值;

(2)根据以上信息,填空:

该产品的成本单价是元.当日销售单价x=元时,日销售利润W最大,最大值是元;

(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?

24.(10分)如图M1-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,经过点A的☉O与BC相切于点D,与AC,AB分别相交于点E,F,连接AD与EF相交于点G.

(1)求证:AD平分∠CAB.

(2)若OH⊥AD于点H,FH平分∠AFE,DG=1.

①试判断DF与DH的数量关系,并说明理由;

②求☉O的半径.

图M1-10

25.(12分)(1)提出问题:如图M1-11①,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证:AE=DH. (2)类比探究:如图②,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上.若EF⊥HG于点O.探究线段EF与GH的数量关系,并说明理由.

(3)综合运用:在(2)问条件下,HF∥GE,如图③所示,已知BE=EC=2,OE=2OF,求图中阴影部分的面积.

图M1-11

26.(12分)如图M1-12,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).

(1)求该抛物线所对应的函数解析式.

(2)该抛物线与直线y=x+3相交于C,D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴,分别与x轴和直线CD交于点M,N.

①连接PC,PD,如图①,在点P的运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.

②连接PB,过点C作CQ⊥PM,垂足为Q,如图②.是否存在点P,使得△CNQ与△PBM相似?若存在,求出满足条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由.

图M1-12

参考答案

1.C[解析] ∵=3,则-2,0,,都是有理数,0.020020002…,π是无理数,故选C.

2.B

3.C

4.D

5.D[解析] 如图,设OA与BC交于点E.

∵OA⊥BC,OA为半径,

∴=,CE=BE,∴∠AOB=2∠ADC=60°.

在Rt△BOE中,∵∠BOE=60°,

∴BE=OB·sin60°=,∴BC=2BE=2.

故选D.

6.D

7.B[解析] 因为方程有两个实数根,

所以

-,

----,

解得m≤且m≠2.故选B.

8.B[解析] 如图,△ABC是等边三角形,AB=3,点P是△ABC内任意一点,过点P分别向三边AB,BC,CA作垂线,垂足依次为D,E,F,过点A作AH⊥BC于点H,则BH=,AH=-=.

连接P A,PB,PC,则S△P AB+S△PBC+S△PCA=S△ABC,

∴AB·PD+BC·PE+CA·PF=BC·AH.

∴PD+PE+PF=AH=.故选B.

9.A

10.A

11.D

12.D[解析] ∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,

∴∠BCN+∠DCN=90°.

∵CN⊥DM,∴∠CDM+∠DCN=90°,

∴∠BCN=∠CDM.

又∵∠CBN=∠DCM=90°,

∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;

根据△CNB≌△DMC,可得CM=BN.

又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,

∴△OCM≌△OBN(SAS),

∴OM=ON,∠COM=∠BON,

∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON,

即∠DOM=∠CON.

又∵DO=CO,∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确; ∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,

∴∠MON=90°,则△OMN是等腰直角三角形.

又∵△OAD是等腰直角三角形,

∴△OMN∽△OAD,故③正确;

∵AB=BC,CM=BN,∴BM=AN.

又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,

∴AN2+CM2=MN2,故④正确;

∵△OCM≌△OBN,

∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1,

即四边形BMON的面积是定值1,

∴当△MNB的面积最大时,△MNO的面积最小.设BN=x=CM,则BM=2-x,

∴△MNB的面积=x×(2-x)=-x2+x=-(x-1)2+,

∴当x=1时,△MNB的面积有最大值,

此时S△OMN的最小值是1-=,故⑤正确.

综上所述,正确的结论有①②③④⑤,故选D.

13.

14.-3

15.k≤3且k≠1[解析] 去分母,得k-1=2x+2,

解得x=-.

由分式方程的解为非正数,

得-≤0,且x+1≠0,即-≠-1,

解得k≤3且k≠1.

16.83

17.(-1,-2)

18.

19.3

20.①②③④[解析] ∵∠G=∠C=∠F AD=90°,

∴∠CAD=∠AFG.

∵AD=F A,∴△ACD≌△FGA,

∴AC=FG,故①正确;

∵FG=AC=BC,FG∥BC,∠C=90°,

∴四边形CBFG为矩形,

∴S△F AB=FB·FG=S四边形CBFG,

故②正确;

∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,

∴∠ABC=∠ABF=45°,

故③正确;

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,

∴△ACD∽△FEQ,∴AC∶FE=AD∶FQ,

∴AD·FE=AD2=FQ·AC,

④正确.

21.[解析] (1)由A组或D组对应频数和百分比可求选手总数为40,进而求出B组频数;(2)C组对应的圆心角=×360°,E 组人数占参赛选手的百分比是×100%;(3)用列表或画树状图表示出所有可能的结果,注意选取不放回.

解:(1)40补全频数分布直方图如图:

(2)108°15%

(3)两名男生分别用A1,A2表示,两名女生分别用B1,B2表示.根据题意可画出如下树状图:

或列表如下:

综上可知,所有可能出现的结果有12种,这些结果出现的可能性相等,选中一名男生和一名女生的结果有8种.∴恰好选中一名男生和一名女生的概率是=.

22.解:由题意得,AH=10米,BC=10米.

在Rt△ABC中,∠CAB=45°,

∴AB=BC=10米.

在Rt△DBC中,∠CDB=30°,

∴DB==10米,

∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-10+10=20-10≈2.7(米).

∵2.7米<3米,

∴该建筑物需要拆除.

23.解:(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b,

由题意得,

,解得

-,

,

∴y=-5x+600.当x=105时,y=-5×105+600=75.

∴y关于x的函数解析式为y=-5x+600.

当x=115时,m=-5×115+600=25.

(2)801002000

(3)设该产品的成本单价为a元.

由题意得(-5×90+600)(90-a)≥3750,解得a≤65.

∴该产品的成本单价应不超过65元.

24.解:(1)证明:连接OD.

∵BC与☉O相切于点D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.又∵∠C=90°,∴OD∥AC,∴∠CAD=∠ODA.

∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,

∴∠CAD=∠BAD,∴AD平分∠CAB.

(2)①DF=DH.理由如下:

∵FH平分∠AFE,∴∠AFH=∠EFH.

又∠DFG=∠EAD=∠HAF,

∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HF A,

则∠DFH=∠DHF,∴DF=DH.

②设HG=x,则DH=DF=1+x.

∵OH⊥AD,∴AD=2DH=2(1+x).

∵∠DFG=∠DAF,∠FDG=∠ADF,

∴△DFG∽△DAF,

∴=,∴=,∴x=1,

∴DF=2,AD=4.

∵AF为直径,∴∠ADF=90°,

∴AF===2,

∴☉O的半径为.

25.解:(1)证明:如图①,在正方形ABCD中,AD=AB,∠B=∠HAD=90°,∴∠1+∠3=90°.

∵AE⊥DH,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3, ∴△ADH≌△BAE(AAS), ∴AE=DH.

(2)EF=GH.理由如下:如图②,过点D作DH'∥GH交AB于点H',过点A作AE'∥FE交BC于点E', AE'分别交DH',GH于点S,T,DH'交EF于点R,

∴四边形ORST为平行四边形.

又∵EF⊥HG, ∴四边形ORST为矩形,∴∠RST=90°.

由(1)可知,DH'=AE'.

∵AF∥EE',∴四边形AE'EF是平行四边形, ∴EF=AE'.

同理,GH=DH',∴EF=GH.

(3)如图③,延长FH,CB交于点P,过点F作FQ⊥BC于点Q.

∵AD∥BC,∴∠AFH=∠P.

∵HF∥GE,∴∠GEC=∠P,

∴∠AFH=∠GEC.

又∵∠A=∠C=90°,∴△AFH∽△CEG, ∴====.

∵BE=EC=2,∴AF=1, ∴BQ=AF=1,QE=1.

设OF=x,∴OE=2OF=2x,∴EF=3x, ∴GH=EF=3x.

∵HF∥GE,∴==, ∴OH=OF=x,OG=OE=2x.

在Rt△EFQ中,∵QF2+QE2=EF2,

∴42+12=(3x)2,解得x=, ∴S阴影=S△HOF+S△EOG=x2+(2x)2=x2=×(2=.

26.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0),

∴,

,解得

,

-,

∴抛物线的解析式为y=x2-x+3.

(2)∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,可设P(t,t2-t+3),其中1

①存在.∵点C,D是直线y=x+3与抛物线y=x2-x+3的交点,

∴令x2-x+3=x+3, 解得x1=0,x2=7.

当x=0时,y=x+3=3; 当x=7时,y=x+3=.

如图,分别过点C和点D作直线PN的垂线,垂足分别为E,F,

则CE=t,DF=7-t,

S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PN·DF=PN·(CE+DF)=PN×7,

∴当PN最大时,△PCD的面积最大.

∵PN=t+3-(t2-t+3)=-(t-)2+,

∴当t=时,PN的最大值为,

此时,△PCD的面积最大,且为×7×=.

②存在.

∵∠CQN=∠PMB=90°,

∴当=或=时,△CNQ与△PBM相似.

∵CQ⊥PM,垂足为Q,Q(t,3).

又C(0,3),N(t,t+3),

∴CQ=t,NQ=(t+3)-3=t,

∴=.

∵P(t,t2-t+3),M(t,0),B(5,0),

∴BM=5-t,PM=-t2+t-3,

情况1:当=时,PM=BM,

即-t2+t-3=(5-t),

解得t1=2,t2=5(舍去),

此时P(2,-).

情况2:当=时,BM=PM,

即5-t=(-t2+t-3),

解得t1=,t2=5(舍去),此时,P(,-).

综上所述,存在点P(2,-)或者P(,-)使得△CNQ与△PBM相似.