两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数
一、两个随机变量的和的分布
设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为：
(){}
{}(,)((,))Z D z
z y
F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy
+∞--∞
-∞
=≤=+≤==???
?
（1.1）
固定z 和y 对积分(,)z y
f x y dx --∞
?
作换元，令x y u +=，得
(,)(,)z y
z f x y dx f u y y du --∞
-∞
=-??
（1.2）
于是
()(,)[(,)]z
z
Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞
-∞-∞
-∞
-∞
=-=-?
???
（1.3）
由概率论定义，即得Z 的概率密度为
()(,)Z f z f z y y dy +∞
-∞
=-?
注意：积分限为?∞到+∞ （1.4）
由X 与Y 的对称性，又可得
()(,)Z f z f x z x dx +∞
-∞
=-?
注意：积分限为?∞到+∞ （1.5）
（1.4）与（1.5）相当于分别在
x z y y z x =-=-或条件下，求X 或Y 的边缘概率密度。
特别的，当X 与Y 相互独立时，有
()()()()()Z X Y X Y f z f z y f y dy f x f z x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=-=-?
?
（1.6）
其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的边缘概率密度。
式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积公式，常记为()*()X Y f z f z 。因此式（1.6）又称为独立随机变量和的分布的卷积公式。
二、两个随机变量的商的分布
设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求X
Z Y
=的概率密度，Z 的分布函数为
1
2
(){}
(,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1）
而
01
(,)(,)yz
D f x y dxdy f x y dxdy +∞-∞=???? （2.2）
对于固定的z ，y ，积分(,)yz
f x y dx -∞?作换元x
u y
=（这里y > 0），得
(,)(,)yz z
f x y dx yf yu y du -∞-∞=?? （2.3）
于是
01
(,)(,)(,)z
D z
f x y dxdy yf yu y dudy
yf yu y dydu
+∞-∞+∞
-∞==?????
?
（2.4）
类似的可得
2
(,)(,)(,)yz D z
f x y dxdy f x y dxdy
yf yu y dydu
+∞
-∞-∞-∞
==-???
?
?
?
(2.5)
故有
12
0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z
z F z f x y dxdy f x y dxdy
yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du
+∞-∞-∞
+∞-∞-∞
=+=-=??????
?
??
(2.6)
由概率密度定义可得X
Z Y =
的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞
-∞
=?
(2.7)
特别的，当X 与Y 相互独立时，有
()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞
-∞
=?
(2.8)
随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ，
00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
8.随机变量的函数的分布 【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。
设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分 (,)z y f x y dx --∞ ?作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-???? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞ =-? （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ =-? ， （1.5） 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。
设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 1 2 (){} (,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1） 而 1 (,)(,)yz D f x y dxdy f x y dxdy +∞ -∞=?? ? ? （2.2） 对于固定的z ，y ，积分 (,)yz f x y dx -∞ ?作换元x u y = （这里y>0），得 (,)(,)yz z f x y dx yf yu y du -∞ -∞ =?? （2.3） 于是 01 (,)(,)(,)z D z f x y dxdy yf yu y dudy yf yu y dydu +∞-∞+∞ -∞==????? ? （2.4） 类似的可得 2 (,)(,)(,)yz D z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dydu +∞ -∞-∞-∞ ==-??? ? ? ? (2.5) 故有 12 0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z z F z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du +∞-∞ -∞ +∞-∞-∞ =+=-=?????? ? ?? (2.6) 有概率密度定义可得X Z Y = 的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞ -∞ =? (2.7) 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞ =? (2.8)
浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法 摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理1[1] 关键字：随机变量函数概率密度 一、 定义1：如果存在一个函数()g x ，使得随机变量,X Y 满足()Y g X =则称随机变 量Y 是随机变量X 的函数，那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 （经典公式法）定理1：设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈，又设 ()y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =是一个连续性随 机变量，其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???<
§3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分 第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21Λ和n 个复数n z z z Λ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定； 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方 法 摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理1[1] 关键字：随机变量函数概率密度 一、定义1：如果存在一个函数() g x，使 得随机变量,X Y满足() =则称随机变量 Y g X Y是随机变量X的函数，那么随机变量Y的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 （经典公式法）定理1：设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈，又设 () y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =是一个连续性随 机变量，其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???< 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(510 41===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 2. 一批元件的正品率为4，次品率为4 ，现对这批元件进行有放回的测试，设第 X 次首次测到正品，试求X 的分布列。 解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k 1 ==? ? ? ? ??==-k k X P k . 此即为X 的分布列。 3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2 ，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为 由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ???? ?????≥<≤<≤<=3 ,132 ,3 221 ,6 1 1 ,0)(x x x x x F 4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15 )(== =k k k X P 。 求 ).3( )3( ),31( )2( ),2 5 21( )1(>≤≤< 第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤ 5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )．随机变量的特征函数
连续型随机变量的分布与例题讲解
求随机变量函数的概率密度函数的教学方法
第2章 随机变量及其函数的概率分布
随机变量及其分布习题解答
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