四川省名校联盟联考2015届高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题有10个小题,每小题5分,共50分,在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={a,a+1},N={x∈R|x2≤4},若M∪N=N,则实数a的取值范围为()A.[﹣1,2]B.[﹣2,1]C.[﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
2.(5分)“a=﹣1”是“(a﹣i)2”为纯虚数的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.(5分)执行如图所示的程序框图,当输入n=30时,则输出的结果是()
A.4B.5C.6D.7
4.(5分)已知双曲线C:x2﹣=1的离心率为e,若p=e,则抛物线E:x2=2py的焦点F到
双曲线C的渐近线的距离为()
A.B.1C.D.
5.(5分)将5件不同奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是()
A.150 B.210 C.240 D.300
6.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是()
A.B.C.D.
7.(5分)数列{x n}对任意n∈N*满足(1+x n)(1﹣x n+1)=2,且x1=2,则x2013?x2015的值为()A.2B.1C.0D.﹣1
8.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x﹣b+1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()
A.0<a﹣1<b﹣1<1 B.0<b﹣1<a<1 C.0<b<a﹣1<1 D.0<a﹣1<b<1
9.(5分)若函数f(x)=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π,若对任意x∈R都有f(x)﹣1≤|f(α)﹣1|,则tanα的值为()
A.B.C.﹣D.﹣
10.(5分)已知实数a,b,c,d满足==1,其中e是自然对数的底数,则(a
﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为()
A.4B.8C.12 D.18
二、填空题:每小题5分,共25分。
11.(5分)二项式的展开式中各项系数和与常数项分别为M,N,则=.
12.(5分)已知二元一次不等式组表示的平面区域为D,若圆O:x2+y2=r2(r >0)上存在点(x0,y0)∈D,则r的取值范围为.
13.(5分)已知△ABC中,=(2,1),=(3,﹣4),则△ABC的面积S=.
14.(5分)甲、乙两个公司均可独立完成某项工程,若这项工程先由甲公司施工81天,则余下部分再由乙公司施工144天可完成,已知甲公司施工每天所需费用为6万元,乙公司施工
每天所需费用为3万元,现按合同规定,甲公司完成这项工程总量的,乙公司完成这项工程的,那么完成这项工程所需总费用的最小值为万元.
15.(5分)直线l:y=m(m为实常数)与曲线E:y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x1、x2,且x1<x2,曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.有下面5个结论:
①||=2;
②三角形PAB可能为等腰三角形;
③若直线l与y轴的交点为Q,则|PQ|=1;
④若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围为(0,1);
⑤当x1是函数g(x)=x2+lnx的零点时,||(0为坐标原点)取得最小值.
其中正确结论有.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题有6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(12分)A,B,C是△ABC的三个内角,且C=2B.
(Ⅰ)求证:sinA=3sinB﹣4sin3B;
(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形,求的取值范围.
17.(12分)空气质量按照空气质量指数大小分为六级,相对应空气质量的六个类别(见表),指数越大,级别越高说明污染情况越严重,对人体的危害也越大.
级别
指数一二三四五六
当日数(微克/立方米)范围0,50 50,100 100,150 150,200 200,300
300,500
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
为了调查某城市空气质量状况,对近300天空气中PM2.5浓度进行统计,得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率,并假设每天的PM2.5浓度相互独立.
(Ⅰ)当空气质量指数为一级或二级时,人们可正常进行户外运动,根据样本数据频率分布直方图,估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率;
(Ⅱ)当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时,出现雾霾天气的概率为,求在未来2天里,该市恰好有1天出现雾霾天气的概率.
18.(12分)已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PD⊥CD,PD⊥PB,AB=BC=2AD=2.(Ⅰ)求证:①平面PAD⊥平面PBC;②RS∥平面PAD;
(Ⅱ)若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.
19.(13分)已知数列{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是等比数列,函数f(x)=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为﹣4,其最大值为a6﹣.
(Ⅰ)求a6的值;
(Ⅱ)若d≠0且f(a2+a8)=f(a3+a11),求数列{b n}的通项公式b n;
(Ⅲ)设T n=++…+(n≥6),若T n的最小值为2,求d的值.
20.(13分)已知圆锥曲线E:+=4c(c为正常数,过原点
O的直线与曲线E交于P、A两点,其中P在第一象限,B是曲线E上不同于P,A的点,直线PB,AB的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.
(Ⅰ)若P点坐标为(1,),求圆锥曲线E的标准方程;
(Ⅱ)求k1?k2的值;
(Ⅲ)若PD⊥x轴于点D,D点坐标为(m,0),存在μ∈R使=μ,且直线AB与直线l:x=交于点M,记直线PA、PM的斜率分别为k3,k4,问是否存在常数λ,使k1+k3=λk4,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.
21.(13分)已知函数f(x)=lnx﹣ax2,
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知存在正数α、β满足α≠β,f(α)=f(β).
①若α、β都属于区间[1,3],且β﹣α=1,求实数a的取值范围.
②求证:α+β>.
四川省名校联盟联考2015届高考数学模拟试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题:本大题有10个小题,每小题5分,共50分,在每题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.(5分)设集合M={a,a+1},N={x∈R|x2≤4},若M∪N=N,则实数a的取值范围为()A.[﹣1,2]B.[﹣2,1]C.[﹣2,2]D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
考点:一元二次不等式的解法;并集及其运算.
专题:集合.
分析:解一元二次不等式化简集合N,再结合M∪N=N列不等式组即可求出实数a的取值范围.
解答:解:由N={x∈R|x2≤4}={x∈R|﹣2≤x≤2},又M∪N=N,
则,解得:﹣2≤a≤1.
∴实数a的取值范围为﹣2≤a≤1.
故选:B.
点评:本题考查了并集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
2.(5分)“a=﹣1”是“(a﹣i)2”为纯虚数的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:简易逻辑;数系的扩充和复数.
分析:根据复数的概念以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
解答:解:(a﹣i)2=a2﹣2ai+i2=a2﹣1﹣2ai,
若“(a﹣i)2”为纯虚数,则a2﹣1=0且﹣2a≠0,
解得a=±1,
∴“a=﹣1”是“(a﹣i)2”为纯虚数充分不必要条件,
故选:A
点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用复数的有关概念是解决本题的关键.3.(5分)执行如图所示的程序框图,当输入n=30时,则输出的结果是()
A.4B.5C.6D.7
考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n 的值,当S=64时,满足条件S>n,输出i的值为6.
解答:解:执行程序框图,有
n=30
S=1,i=1
S=2,i=2
不满足条件S>n,S=4,i=3;
不满足条件S>n,S=9,i=4;
不满足条件S>n,S=23,i=5;
不满足条件S>n,S=64,i=6;
满足条件S>n,输出i的值为6.
故选:C.
点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查.
4.(5分)已知双曲线C:x2﹣=1的离心率为e,若p=e,则抛物线E:x2=2py的焦点F到双曲线C的渐近线的距离为()
A.B.1C.D.
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:求出双曲线的a,b,c,运用离心率公式,求得e,再求抛物线的焦点,再求双曲线的渐近线方程,由点到直线的距离公式,即可得到.
解答:解:双曲线C:x2﹣=1的a=1,b=,c==2,
则离心率e==2,即p=2,
抛物线E:x2=2py即为x2=4y,
则有F(0,1),又双曲线的渐近线方程为y=x,
则所求距离d==.
故选D.
点评:本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率和渐近线,考查抛物线的焦点,及点到直线的距离公式,属于基础题.
5.(5分)将5件不同奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是()
A.150 B.210 C.240 D.300
考点:排列、组合及简单计数问题.
专题:排列组合.
分析:将5本不同的书分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种,分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数,相加可得答案.
解答:解:将5本不同的书分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种,
分成1、1、3时,有C53?A33=60种分法,
分成2、2、1时,根据分组公式有=90种分法,
所以共有60+90=150种分法,
故选A.
点评:本题考查组合、排列的综合运用,解题时,注意加法原理与乘法原理的使用.
6.(5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是()
A.B.C.D.
考点:由三视图求面积、体积.
专题:空间位置关系与距离.
分析:将该几何体放入边长为1的正方体中,画出图形,根据图形,结合三视图,求出答案即可.
解答:解:将该几何体放入边长为1的正方体中,如图所示,
由三视图可知该四面体为A﹣BA1C1,
由直观图可知,最大的面为BA1C1;
在等边三角形BA1C1中A1B=,
所以面积S=××sin=.
故选:A.
点评:本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么.
7.(5分)数列{x n}对任意n∈N*满足(1+x n)(1﹣x n+1)=2,且x1=2,则x2013?x2015的值为()A.2B.1C.0D.﹣1
考点:数列递推式.
专题:点列、递归数列与数学归纳法.
分析:根据数列的递推关系时,得到数列的周期为4,而,2013=503×4+1,2015=503×4+3,问题得以解决
解答:解:∵(1+x n)(1﹣x n+1)=2,
∴x n+1=1﹣,
∴x2=1﹣=,
x3=1﹣=﹣,
x4=1﹣=﹣3,
x5=1﹣=2,
x6=1﹣=,
由此可以得到数列{x n}的周期为4,
故x1=x5=2
故x2015=x503×4+3=x3=,x2013=x503×4+1=x1=2,
故x2013?x2015=﹣1
故选:D
点评:本题主要考查递推数列的应用,根据条件得到数列{x n}的周期为4,是解决本题的关键.
8.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x﹣b+1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()
A.0<a﹣1<b﹣1<1 B.0<b﹣1<a<1 C.0<b<a﹣1<1 D.0<a﹣1<b<1
考点:对数函数的图像与性质.
专题:计算题;函数的性质及应用.
分析:由图可知,a>1,f(0)=log2(1﹣b+1),故0<log2(1﹣b+1)<1,log2(a﹣1﹣b+1)<0,从而解得.
解答:解:由图可知,a>1,f(0)=log2(1﹣b+1),
故0<log2(1﹣b+1)<1,
即0<b<1,
log2(a﹣1﹣b+1)<0,
即a﹣1<b,
故选D.
点评:本题考查了函数图象的应用,属于基础题.
9.(5分)若函数f(x)=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π,若对任意x∈R都有f(x)﹣1≤|f(α)﹣1|,则tanα的值为()
A.B.C.﹣D.﹣
考点:三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:将三角函数进行化简,利用三角函数的周期公式求出ω,即可得到结论.
解答:解:f(x)=﹣sin2ωx﹣6sinωxcosωx+3cos2ωx=﹣(sin2ωx+cos2ωx)﹣
6sinωxcosωx+4cos2ωx=﹣1﹣3sin2ωx+4×=2cos2ωx﹣3sin2ωx+1=[cos2ωx
﹣sin2ωx]+1,
设cosθ=,sinθ=,则tanθ=,
则函数f(x)=cos(2ωx+θ)+1,θ为参数,
则函数的周期T=,则,即f(x)=2cosx﹣3sinx+1=cos(x+θ)+1,
若对任意x∈R都有f(x)﹣1≤|f(α)﹣1|,
则f(α)为函数f(x)的最值,
即α+θ=kπ,
则α=﹣θ+kπ,
则tanα=tan(﹣θ+kπ)=﹣tanθ=﹣,
故选:C
点评:本题主要考查三角函数的图象和性质,重点考查三角函数的周期性和最值性,利用辅助角公式是解决本题的关键.
10.(5分)已知实数a,b,c,d满足==1,其中e是自然对数的底数,则(a
﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为()
A.4B.8C.12 D.18
考点:两点间的距离公式.
专题:直线与圆.
分析:由已知得点(a,b)在曲线y=x﹣2e x上,点(c,d)在曲线y=2﹣x上,(a﹣c)2+(b﹣d)2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方.由此能求出(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值.
解答:解:∵实数a,b,c,d满足==1,∴b=a﹣2e a,d=2﹣c,
∴点(a,b)在曲线y=x﹣2e x上,点(c,d)在曲线y=2﹣x上,
(a﹣c)2+(b﹣d)2的几何意义就是曲线y=x﹣2e x到曲线y=2﹣x上点的距离最小值的平方.考查曲线y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线,
∵y′=1﹣2e x,求出y=x﹣2e x上和直线y=2﹣x平行的切线方程,
∴令y′=1﹣2e x=﹣1,
解得x=0,∴切点为(0,﹣2),
该切点到直线y=2﹣x的距离d==2就是所要求的两曲线间的最小距离,
故(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为d2=8.
故选:B.
点评:本题考查代数式的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意两点间距离公式的合理运用.
二、填空题:每小题5分,共25分。
11.(5分)二项式的展开式中各项系数和与常数项分别为M,N,则=240.
考点:二项式定理的应用.
专题:二项式定理.
分析:令x=1,可得二项式的展开式中各项系数和M=1.再根据二项式
的展开式的通项公式求得常数项N,可得的值.
解答:解:令x=1,可得二项式的展开式中各项系数和为1,M=1.
再根据二项式的展开式的通项公式为T r+1=?(﹣2)r?,令6﹣r=0,求得r=4,可得常数项为N=?16=240,
∴=240,
故答案为:240.
点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式的系数和常用的方法是赋值法,属于基础题.
12.(5分)已知二元一次不等式组表示的平面区域为D,若圆O:x2+y2=r2(r >0)上存在点(x0,y0)∈D,则r的取值范围为≤r≤5.
考点:简单线性规划的应用.
专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.
分析:由题意作出其平面区域,利用几何意义解答.
解答:解:由题意作出其平面区域,
由图可知,当半径最小时,半径等于原点到直线4x+3y=12的距离,
即r==;
故r≥.
当半径最大时,r==5;
故答案为:≤r≤5.
点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,用到了表达式的几何意义的转化,属于中档题.
13.(5分)已知△ABC中,=(2,1),=(3,﹣4),则△ABC的面积S=.
考点:数量积表示两个向量的夹角;三角形的面积公式.
专题:平面向量及应用.
分析:由题意可得向量的模长,进而可得夹角的正弦值,代入面积公式可得.
解答:解:∵在△ABC中,=(2,1),=(3,﹣4),
∴||==,||==5,
∴cosA=﹣=﹣,
∴sinA==,
∴△ABC的面积S=××5×=
故答案为:
点评:本题考查数量积与向量的夹角,涉及三角形的面积公式,属基础题.
14.(5分)甲、乙两个公司均可独立完成某项工程,若这项工程先由甲公司施工81天,则余下部分再由乙公司施工144天可完成,已知甲公司施工每天所需费用为6万元,乙公司施工
每天所需费用为3万元,现按合同规定,甲公司完成这项工程总量的,乙公司完成这项工程的,那么完成这项工程所需总费用的最小值为900万元.
考点:根据实际问题选择函数类型.
专题:计算题;函数的性质及应用.
分析:设甲单独完成x天,乙单独完成y天,则+=1;则完成这项工程所需总费用
Z=+×y×3=(4x+y)(+),利用基本不等式求解最小值.
解答:解:设甲单独完成x天,乙单独完成y天,
则+=1;
则完成这项工程所需总费用
Z=+×y×3
=4x+y
=(4x+y)(+)
=324+144+81+576
≥468+2
=468+432=900(万元);
(当且仅当81=576,x=135,y=360)
故答案为:900.
点评:本题考查了基本不等式在求实际问题中的最小值时的应用,属于中档题.
15.(5分)直线l:y=m(m为实常数)与曲线E:y=|lnx|的两个交点A、B的横坐标分别为x1、x2,且x1<x2,曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.有下面5个结论:
①||=2;
②三角形PAB可能为等腰三角形;
③若直线l与y轴的交点为Q,则|PQ|=1;
④若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围为(0,1);
⑤当x1是函数g(x)=x2+lnx的零点时,||(0为坐标原点)取得最小值.
其中正确结论有①③④.(写出所有正确结论的序号)
考点:命题的真假判断与应用.
专题:计算题;数形结合;函数的性质及应用;导数的概念及应用;直线与圆.
分析:画出y=m和y=|lnx|的图象,求出切线的斜率,求出交点的坐标M,N,即可得到MN 的长,即可判断①;
通过图象观察分析,两切线垂直,即可判断②;求出P的坐标,再求PQ长,即可判断④;由零点的定义,求出AO的长,运用函数的性质,即可判断⑤.
解答:解:对于①,由|lnx1|=|lnx2|,可得,
x1x2=1,且0<x1<1,x2>1,且A(x1,﹣lnx1)
B(x2,lnx2),在A点处的切线斜率为﹣,
在B点处的切线斜率为:,
则设M(0,s),N(0,n),
则有=﹣,解得,s=1﹣lnx1,
由,解得,n=lnx2﹣1,
则有|MN|=1﹣lnx1﹣(lnx2﹣1)=2﹣ln(x1x2)=2,则①对;
对于②,若△PAB为等腰三角形,即PA=PB,或PA=AB,或PB=AB,
若PA=PB,则P在AB的中垂线上,不可能;若PA=AB,易得P的横坐标小于1,不成立;若PB=AB,则由于﹣=﹣1,即有PA⊥BP,则不成立,故②错;
对于③,Q(0,m),由y+lnx1=1﹣x和y﹣lnx2=﹣1,x1x2=1,
解得交点P(,1﹣lnx1﹣),由于m=lnx2=﹣lnx1,
则有|PQ|==1.故③对;
对于④,d=m﹣(1﹣lnx1﹣)==﹣1+∈(0,1),故④对;
对于⑤,当x1是函数g(x)=x2+lnx的零点时,即有x12+lnx1=0,
||==,由于0<x1<1,则取不到最小值,故⑤错.
故答案为:①③④
点评:本题考查导数的几何意义:曲线在该点处的切线的斜率,考查两点的距离和点到直线的距离公式,考查函数的最值的求法,考查运算和判断能力,属于中档题和易错题.
三、解答题:本大题有6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。16.(12分)A,B,C是△ABC的三个内角,且C=2B.
(Ⅰ)求证:sinA=3sinB﹣4sin3B;
(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形,求的取值范围.
考点:正弦定理.
专题:解三角形.
分析:(Ⅰ)由三角形内角和定理及诱导公式得到sinA=sin(B+C),把C=2B代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间基本关系整理后,去括号合并即可得证;
(Ⅱ)由三角形ABC为锐角三角形,确定出C与B的范围,原式利用正弦定理化简,把C=2B,以及sinA=3sinB﹣4sin3B代入,整理后利用二次函数的性质及余弦函数的值域求出范围即可.解答:解:(Ⅰ)∵C=2B,
∴sinA=sin(B+C)=sin(2B+B)
=sin2BcosB+cos2BsinB
=2sinBcos2B+(1﹣2sin2B)sinB
=2sinB(1﹣sin2B)+(1﹣2sin2B)sinB
=2sinB﹣2sin3B+sinB﹣2sin3B
=3sinB﹣4sin3B
则sinA=3sinB﹣4sin3B;
(Ⅱ)由△ABC为锐角三角形,得到0<C<,0<2B<,即<B<,
由正弦定理化简得:====2cosB﹣
4sin2B+3=2cosB﹣4(1﹣cos2B)+3=4(cosB+)2﹣,
当B=,即cosB=时,有最小值为1+;当B=,即cosB=时,有最大值+2,
则的范围为(1+,+2).
点评:此题考查了正弦定理,诱导公式,同角三角函数间的基本关系,以及二次函数的性质,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
17.(12分)空气质量按照空气质量指数大小分为六级,相对应空气质量的六个类别(见表),指数越大,级别越高说明污染情况越严重,对人体的危害也越大.
级别
指数一二三四五六
当日数(微克/立方米)范围0,50 50,100 100,150 150,200 200,300
300,500
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
为了调查某城市空气质量状况,对近300天空气中PM2.5浓度进行统计,得出这300天中PM2.5浓度的频率分布直方图.将PM2.5浓度落入各组的频率视为概率,并假设每天的PM2.5浓度相互独立.
(Ⅰ)当空气质量指数为一级或二级时,人们可正常进行户外运动,根据样本数据频率分布直方图,估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率;
(Ⅱ)当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时,出现雾霾天气的概率为,求在未来2天里,该市恰好有1天出现雾霾天气的概率.
考点:频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
专题:概率与统计.
分析:(Ⅰ)根据频率分布直方图,求出空气质量指数为一级或二级的频率即可;
(Ⅱ)求出该市空气质量为“重度污染”和“严重污染”的频率,计算出现雾霾天气的概率,利用相互独立事件的概率求出未来2天里,该市恰好有1天出现雾霾天气的概率.
解答:解:(Ⅰ)根据样本数据频率分布直方图,得:
空气质量指数为一级或二级的频率是:
1﹣0.004×50﹣0.003×50﹣0.002×50﹣0.001×50﹣0.00025×200=0.45,
∴该市居民每天可正常进行户外运动的概率是0.45;
(Ⅱ)该市空气质量为“重度污染”和“严重污染”的概率是:
0.002×50+0.001×50+0.00025×200=0.2,
∵当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时,出现雾霾天气的概率为,
∴出现雾霾天气的概率是0.2×=,
∴在未来2天里,该市恰好有1天出现雾霾天气的概率是:
P=??=.
点评:扁桃体考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了相互独立事件的概率的计算问题,是基础题.
18.(12分)已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PD⊥CD,PD⊥PB,AB=BC=2AD=2.(Ⅰ)求证:①平面PAD⊥平面PBC;②RS∥平面PAD;
(Ⅱ)若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.
考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:(Ⅰ)①由已知得AD⊥平面APB,从而PB⊥AD,由此能证明平面PAD⊥平面PBC.②取PB中点M,连结RM,SM,由已知推导出平面PAD∥平面SMR,由此能证明RS∥平面PAD.
(Ⅱ)由已知得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=,以Q为原点,QP为x轴,QB为
y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值.
解答:(Ⅰ)①证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,
平面PAB⊥平面ABCD,AD⊥AB,
∴AD⊥平面APB,
又PB?平面APB,
∴PB⊥AD,
∵PD⊥PB,AD∩PD=D,
∴PB⊥平面PAD,
∵PB?平面PBC,
∴平面PAD⊥平面PBC.
②证明:取PB中点M,连结RM,SM,
∵R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,
∴SM∥CB∥AD,RM∥AP,
又AD∩AP=A,∴平面PAD∥平面SMR,
∵RS?平面SMR,∴RS∥平面PAD.
(Ⅱ)解:由已知得,
解得AP=1,BP=,PQ=,AQ=,BQ=,
以Q为原点,QP为x轴,QB为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则Q(0,0,0),P(),D(0,﹣,1),C(0,,2),∴,,=(0,,2),
设平面PDQ的法向量,
则,取y=2,得,
设平面PCQ的法向量,
则,取b=4,得=(0,4,﹣3),
设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ,
∴cosθ=|cos<>|=||=,
∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为.
点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.
19.(13分)已知数列{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是等比数列,函数f(x)=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为﹣4,其最大值为a6﹣.
(Ⅰ)求a6的值;
(Ⅱ)若d≠0且f(a2+a8)=f(a3+a11),求数列{b n}的通项公式b n;
(Ⅲ)设T n=++…+(n≥6),若T n的最小值为2,求d的值.
考点:数列的求和.
专题:等差数列与等比数列.
分析:(Ⅰ)由于函数f(x)=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为﹣4,其最大值为a6﹣
.可得b3=﹣4,且当x=﹣时,函数f(x)取得最大值=b3﹣=,解得a6.
(Ⅱ)由f(a2+a8)=f(a3+a11),可得=﹣.化为=,即可解得.
(Ⅲ)
T n=++…+=+…+=
=,可知:当n=6时,T n取得最小值=2,解得d即可.
解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为﹣4,其最大值为a6﹣.
∴b3=﹣4,当x=﹣时,函数f(x)取得最大值=b3﹣=﹣4+1=﹣3=,解得a6=.
(Ⅱ)∵f(a2+a8)=f(a3+a11),
∴=﹣.∴==2a6=1,
∴公比q==﹣2.
∴数列{b n}的通项公式b n==﹣4×(﹣2)n﹣3=﹣(﹣2)n﹣1.
(Ⅲ)
T n=++…+=+…+=
==,
当n=6时,T n取得最小值=2,解得d=.
点评:本题综合考查了二次函数的性质、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20.(13分)已知圆锥曲线E:+=4c(c为正常数,过原点
O的直线与曲线E交于P、A两点,其中P在第一象限,B是曲线E上不同于P,A的点,直线PB,AB的斜率分别为k1,k2,且k1k2≠0.
(Ⅰ)若P点坐标为(1,),求圆锥曲线E的标准方程;
(Ⅱ)求k1?k2的值;
(Ⅲ)若PD⊥x轴于点D,D点坐标为(m,0),存在μ∈R使=μ,且直线AB与直线l:x=交于点M,记直线PA、PM的斜率分别为k3,k4,问是否存在常数λ,使k1+k3=λk4,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.